資源簡介

5.2.2 課時2　等差數列前n項和公式的應用
【學習目標】
1.構造等差數列求和模型,解決實際問題.(數學建模、數學運算)
2.能夠利用等差數列前n項和的函數性質求其前n項和的最值.(數學抽象、邏輯推理、數學運算)
3.理解并應用等差數列前n項和的性質.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.等差數列的前n項和是關于n的什么函數 有什么特點
2.我們已經知道當公差d≠0時,等差數列的前n項和可看成是二次函數f(x)=x2+a1-x在x=n時的函數值,類比二次函數的最值情況,等差數列的Sn何時有最大值 何時有最小值
1.(多選題)等差數列{an}是遞增數列,滿足a7=3a5,前n項和為Sn,則下列結論正確的是(　　).
A.d>0
B.a1<0
C.當n=5時,Sn最小
D.當Sn>0時,n的最小值為8
2.若等差數列{an}的前n項和Sn=n2-3n,則其最小值為　　　　.
3.已知數列{an}的通項公式為an=-n2+10n+11,則該數列前　　　　項的和最大.
4.若數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n,求數列{an}的通項公式.
【合作探究】
探究1　含絕對值的數列的和
例1　(2023·安徽卓越第二次月考)已知數列{an}的前n 項和Sn=n2-14n+2.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)求數列{|an|}的前n 項和Tn .
【方法總結】　　求解數列{|an|}的前n項和,應先判斷數列{an}各項的正負,然后去掉絕對值符號,轉化為等差數列的求和問題.
　　已知數列{an} 是遞增的等差數列,且a1+a6=-6,a3·a4=8.
(1)求數列{an} 的通項公式;
(2)求數列{|an|} 的前n 項和Tn .
探究2　等差數列前n項和的最值
例2　(1)在等差數列{an}中,a2=2008,a2008=a2004-16,則當其前n項和Sn取最大值時n的值為(　　).
A.503 B.504
C.503或504 D.505
(2)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若公差d<0,S5=S42,則當Sn取得最大值時,n的值為(　　).
A.22 B.23
C.24 D.23或24
【方法總結】　　1.將Sn=na1+d=n2+n配方,轉化為求二次函數的最值問題,借助函數的單調性來解決.
2.鄰項變號法
當a1>0,d<0時,滿足的項數n使Sn取最大值.
當a1<0,d>0時,滿足的項數n使Sn取最小值.
　　已知等差數列{an}的前n項和為Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,則當Sn取得最大值時n的值為(　　).
A.5 B.6 C.7 D.8
探究3　等差數列前n項和的實際應用
例3　某人用分期付款的方式購買了一件家電,價格為1150元,購買當天先付150元,以后每月的這一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率為1%.若交付150元后的一個月開始算分期付款的第一個月,則分期付款的第10個月該交付多少錢 全部貸款付清后,買這件家電實際花費多少錢
【方法總結】　　應用等差數列解決實際問題的一般思路
　　已知甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時相向運動,甲第1分鐘走2 m,以后每分鐘比前1分鐘多走1 m,乙每分鐘走5 m.
(1)甲、乙開始運動后幾分鐘相遇
(2)如果甲、乙到達對方起點后立即返回,甲繼續每分鐘比前1分鐘多走1 m,乙繼續每分鐘走5 m,那么開始運動幾分鐘后第二次相遇
【隨堂檢測】
1.若在等差數列中,a8>0,a4+a10<0,則數列{an}的前n項和Sn中最小的是(　　).
A.S4 B.S5 C.S6 D.S7
2.若在數列{an}中,an=43-3n,則數列{an}的前n項和Sn取得最大值時,n=(　　).
A.13 B.14
C.15 D.14或15
3.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S4≥10,S5≤15,則a4的最大值為(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
4.已知等差數列{an}滿足a1=32,a2+a3=40,則{|an|}的前12項和為　　　　.
5.某抗洪指揮部接到預報,24小時后有一洪峰到達,為確保安全,指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線.經計算,除現有的參戰軍民連續奮戰外,還需調用20輛同型號翻斗車,平均每輛車工作24小時.從各地緊急抽調的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用,每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達,一共可調集25輛,那么在24小時內能否構筑成第二道防線
25.2.2 課時2　等差數列前n項和公式的應用
【學習目標】
1.構造等差數列求和模型,解決實際問題.(數學建模、數學運算)
2.能夠利用等差數列前n項和的函數性質求其前n項和的最值.(數學抽象、邏輯推理、數學運算)
3.理解并應用等差數列前n項和的性質.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.等差數列的前n項和是關于n的什么函數 有什么特點
【答案】　當d≠0時,等差數列的前n項和可看成是二次函數f(x)=x2+a1-x在x=n時的函數值,其特點是不含常數項.
2.我們已經知道當公差d≠0時,等差數列的前n項和可看成是二次函數f(x)=x2+a1-x在x=n時的函數值,類比二次函數的最值情況,等差數列的Sn何時有最大值 何時有最小值
【答案】　由二次函數的性質可以得出,當a1<0,d>0時,Sn先減后增,有最小值;當a1>0,d<0時,Sn先增后減,有最大值;且當n取最接近對稱軸的正整數時,Sn取得最值.
1.(多選題)等差數列{an}是遞增數列,滿足a7=3a5,前n項和為Sn,則下列結論正確的是(　　).
A.d>0
B.a1<0
C.當n=5時,Sn最小
D.當Sn>0時,n的最小值為8
【答案】　ABD
【解析】　設等差數列{an}的公差為d.
因為a7=3a5,所以a1+6d=3(a1+4d),解得a1=-3d.
又由等差數列{an}是遞增數列,可知d>0,則a1<0,故A,B正確.
因為Sn=n2+n=n2-n,
所以由n=-=可知,當n=3或4時Sn最小,故C錯誤.
令Sn=n2-n>0,解得n<0(舍去)或n>7,即當Sn>0時,n的最小值為8,故D正確.
故選ABD.
2.若等差數列{an}的前n項和Sn=n2-3n,則其最小值為　　　　.
【答案】　-2
【解析】　由Sn=n2-3n=-,可知當n=1或n=2時,Sn的最小值為-2.
3.已知數列{an}的通項公式為an=-n2+10n+11,則該數列前　　　　項的和最大.
【答案】　10或11
【解析】　令an≥0得-n2+10n+11≥0,
即n2-10n-11≤0,∴-1≤n≤11.
∵n∈N+,∴該數列前10項為正,第11項為0.
∴該數列前10或11項的和最大.
4.若數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n,求數列{an}的通項公式.
【解析】　當n=1時,a1=S1=-1;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5.
經檢驗,當n=1時,a1=-1滿足上式,故an=4n-5(n∈N+).
【合作探究】
探究1　含絕對值的數列的和
例1　(2023·安徽卓越第二次月考)已知數列{an}的前n 項和Sn=n2-14n+2.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)求數列{|an|}的前n 項和Tn .
【解析】　(1)當n=1 時,S1=1-14+2=-11,即a1=-11;
當n≥2 時,an=Sn-Sn-1=n2-14n+2-[(n-1)2-14(n-1)+2]=2n-15.
當n=1 時,a1=-13,不適合上式,
所以an=
(2)由an≤0 得n≤,而n∈N+,所以當1≤n≤7 時,an<0;當n≥8 時,an>0.
當1≤n≤7 時,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=-n2+14n-2;
當n≥8 時,Tn=|a1|+|a2|+…+|a7|+|a8|+…+|an|=-(a1+a2+…+a7)+a8+…+an=-S7+(Sn-S7) =Sn-2S7 =n2-14n+96.
所以Tn=
【方法總結】　　求解數列{|an|}的前n項和,應先判斷數列{an}各項的正負,然后去掉絕對值符號,轉化為等差數列的求和問題.
　　已知數列{an} 是遞增的等差數列,且a1+a6=-6,a3·a4=8.
(1)求數列{an} 的通項公式;
(2)求數列{|an|} 的前n 項和Tn .
【解析】　(1)設遞增的等差數列{an} 的公差為d,則d>0,
因為a1+a6=-6,a3·a4=8,
所以
解得或(舍去)
所以an=-8+2(n-1)=2n-10.
(2)設Sn=a1+a2+…+an,則Sn==n2-9n.
由an≤0,得2n-10≤0,解得n≤5.
當1≤n≤5,n∈N+ 時,Tn=-a1-a2-…-an=-Sn=9n-n2;
當n≥6,n∈N+ 時,Tn=-a1-a2-…-a5+a6+a7+…+an
=-2(a1+a2+…+a5)+a1+a2+…+a5+a6+a7+…+an
=-2S5+Sn=-2×(52-5×9)+n2-9n=n2-9n+40.
故Tn=
探究2　等差數列前n項和的最值
例2　(1)在等差數列{an}中,a2=2008,a2008=a2004-16,則當其前n項和Sn取最大值時n的值為(　　).
A.503 B.504
C.503或504 D.505
(2)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若公差d<0,S5=S42,則當Sn取得最大值時,n的值為(　　).
A.22 B.23
C.24 D.23或24
【答案】　(1)C　(2)D
【解析】　(1)由于數列{an}為等差數列,所以解得故an=-4n+2016,當an≥0時,解得n≤504,故當n=503或504時,Sn取得最大值.故選C.
(2)設Sn=An2+Bn,則A=<0,又S5=S42,所以函數y=Ax2+Bx圖象的對稱軸為直線x=-,即-==,畫出二次函數y=Ax2+Bx的圖象可得當n=23或n=24時,Sn取得最大值.
【方法總結】　　1.將Sn=na1+d=n2+n配方,轉化為求二次函數的最值問題,借助函數的單調性來解決.
2.鄰項變號法
當a1>0,d<0時,滿足的項數n使Sn取最大值.
當a1<0,d>0時,滿足的項數n使Sn取最小值.
　　已知等差數列{an}的前n項和為Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,則當Sn取得最大值時n的值為(　　).
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】　D
【解析】　由題意,等差數列{an}的前n項和為Sn,a6+a8=6,S9-S6=3,
根據等差數列的性質和等差數列的前n項和公式,
可得a6+a8=2a7=6,S9-S6=a7+a8+a9=3a8=3,
解得a7=3,a8=1,
則d=a8-a7=-2,
可求得數列的通項公式為an=17-2n,
令an≥0,即17-2n≥0,解得n≤.
又由n∈N+,可得等差數列{an}中,當1≤n≤8,n∈N+時,an>0,當n≥9,n∈N+時,an<0,
所以Sn取得最大值時n的值為8,故選D.
探究3　等差數列前n項和的實際應用
例3　某人用分期付款的方式購買了一件家電,價格為1150元,購買當天先付150元,以后每月的這一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率為1%.若交付150元后的一個月開始算分期付款的第一個月,則分期付款的第10個月該交付多少錢 全部貸款付清后,買這件家電實際花費多少錢
【解析】　設每次交款數額依次為a1,a2,…,a20,則a1=50+1000×1%=60,
a2=50+(1000-50)×1%=59.5,
…
a10=50+(1000-9×50)×1%=55.5,
即第10個月應付款55.5元.
所以數列{an}是以60為首項,-0.5為公差的等差數列,
所以S20=×20=1105,
即全部付清后實際付款1105+150=1255(元).
【方法總結】　　應用等差數列解決實際問題的一般思路
　　已知甲、乙兩物體分別從相距70 m的兩處同時相向運動,甲第1分鐘走2 m,以后每分鐘比前1分鐘多走1 m,乙每分鐘走5 m.
(1)甲、乙開始運動后幾分鐘相遇
(2)如果甲、乙到達對方起點后立即返回,甲繼續每分鐘比前1分鐘多走1 m,乙繼續每分鐘走5 m,那么開始運動幾分鐘后第二次相遇
【解析】　(1)設n分鐘后相遇,依題意,有2n++5n=70,
整理得n2+13n-140=0,解得n=7或n=-20(舍去).
故相遇是在開始運動后7分鐘.
(2)設n分鐘后第2次相遇,依題意,有2n++5n=3×70,
整理得n2+13n-420=0,解得n=15或n=-28(舍去).
故第2次相遇是在開始運動后15分鐘.
【隨堂檢測】
1.若在等差數列中,a8>0,a4+a10<0,則數列{an}的前n項和Sn中最小的是(　　).
A.S4 B.S5 C.S6 D.S7
【答案】　D
【解析】　因為數列{an}是等差數列,所以a4+a10=2a7,
由a4+a10<0,得a7<0,又a8>0,
所以等差數列{an}的公差d>0,即等差數列{an}是遞增數列,且前7項均是負數,
所以前n項和Sn中最小的是S7.
2.若在數列{an}中,an=43-3n,則數列{an}的前n項和Sn取得最大值時,n=(　　).
A.13 B.14
C.15 D.14或15
【答案】　B
【解析】　當n≥2,n∈N+時,an-an-1=43-3n-[43-3(n-1)]=-3,所以數列{an}是以40為首項,-3為公差的等差數列,故Sn==-n2+n=-n-2+,當n=14時,Sn取得最大值.
3.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S4≥10,S5≤15,則a4的最大值為(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】　C
【解析】　因為S4=2(a2+a3)≥10,所以a2+a3≥5.又S5=5a3≤15,所以a3≤3.而a4=3a3-(a2+a3),故a4≤4,當且僅當a2=2,a3=3時等號成立,所以a4的最大值為4.故選C.
4.已知等差數列{an}滿足a1=32,a2+a3=40,則{|an|}的前12項和為　　　　.
【答案】　304
【解析】　因為a1=32,a2+a3=2a1+3d=64+3d=40,所以d=-8,所以an=a1+(n-1)d=40-8n,所以|an|=|40-8n|=所以數列{|an|}的前12項和為+=80+224=304.
5.某抗洪指揮部接到預報,24小時后有一洪峰到達,為確保安全,指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線.經計算,除現有的參戰軍民連續奮戰外,還需調用20輛同型號翻斗車,平均每輛車工作24小時.從各地緊急抽調的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用,每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達,一共可調集25輛,那么在24小時內能否構筑成第二道防線
【解析】　從第一輛車投入工作算起各車工作時間(單位:小時)依次設為a1,a2,…,a25.
由題意可知,此數列為等差數列,且a1=24,公差d=-.
25輛翻斗車完成的工作量為a1+a2+…+a25=25×24+25×12×-=500,而需要完成的工作量為24×20=480.∵500>480,∴在24小時內能構筑成第二道防線.
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