資源簡介

5.3.1 課時1　等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能夠通過實(shí)際問題理解等比數(shù)列的定義,掌握公比的概念,熟練掌握等比數(shù)列的判定方法.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用,能用遞推公式求通項(xiàng)公式.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.閱讀教材第29頁3個案例中的數(shù)列,類比等差數(shù)列的研究,你認(rèn)為可以通過怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律 你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律
2.等比數(shù)列的定義是什么
3.等比數(shù)列的公比q能否為零
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若an+1=qan,n∈N+且q≠0,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (　　)
(2)在等比數(shù)列{an}中,an=a1qn,n∈N+. (　　)
(3)常數(shù)列一定是等比數(shù)列. (　　)
(4)存在一個數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列. (　　)
2.已知{an}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列,則這個數(shù)列的通項(xiàng)公式為(　　).
A.an=2·3n+1 B.an=3·2n+1
C.an=2·3n-1 D.an=3·2n-1
3.下列數(shù)列為等比數(shù)列的是(　　).
A.2,22,3×22,… B.,,,…
C.S-1,(S-1)2,(S-1)3,… D.0,0,0,…
4.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則公比q=　　　　.
【合作探究】
探究1　等比數(shù)列的定義
　　(1)《孫子算經(jīng)》中載有“出門望堤”問題:“今有出門,望見九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雛,雛有九毛,毛有九色,問各幾何 ”
(2)《算學(xué)寶鑒》中有這樣一個問題:“一文(錢)日增一倍,倍至三十日,問計(jì)幾何 ”
(3)“諸葛統(tǒng)兵”問題:“諸葛統(tǒng)領(lǐng)八員將,每將又分八個營.每營里面排八陣,每陣先鋒有八人.每人旗頭俱八個,每個旗頭八隊(duì)成.每隊(duì)更該八個甲,每個甲頭八個兵.”
問題1:分別寫出這三個問題所涉及的數(shù)組.
問題2:觀察這三個問題,你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特點(diǎn)嗎
新知生成
一般地,如果數(shù)列{an}從第　2　項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一個常數(shù)q,即 =q　恒成立,則稱數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其中　q　稱為等比數(shù)列的公比.
新知運(yùn)用
例1　判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列,如果是,寫出它的公比.
(1)1,,,,,…;
(2)10,10,10,10,10,…;
(3),2,3,4,…;
(4)1,0,1,0,1,0,…;
(5)1,-4,16,-64,256,….
【方法總結(jié)】　　如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列是等比數(shù)列,否則,不是等比數(shù)列,且等比數(shù)列中任意一項(xiàng)不能為0,對于含參數(shù)的數(shù)列則需要分類討論.
(多選題)下列各組數(shù)中,不是等比數(shù)列的是(　　).
A.,, B.2,-2,4
C.a2,a4,a8 D.lg 2,lg 4,lg 8
探究2　等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
　　問題1:類比等差數(shù)列,如何推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
問題2:在數(shù)列{an}中,a1=1,=,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是什么
新知生成
1.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則其通項(xiàng)公式為an=a1qn-1或an=amqn-m(m,n∈N+,m≤n,q≠0).當(dāng)n-m為大于1的奇數(shù)時,q用an,am表示為q=;當(dāng)n-m為正偶數(shù)時,q=±.
2.an=a1qn-1可變形為an=Aqn,其中A=;點(diǎn)(n,an)是曲線y=·qx上一群孤立的點(diǎn).
(1)當(dāng)q>1,a1>0或0(2)當(dāng)q>1,a1<0或00時,數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.
(3)當(dāng)q=1時,{an}是常數(shù)列;當(dāng)q<0時,數(shù)列{an}是擺動數(shù)列.
新知運(yùn)用
一、等比數(shù)列基本量的求解
例2　在等比數(shù)列{an}中,
(1)若a4=2,a7=8,求an;
(2)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
方法指導(dǎo)　(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求得a1和q,從而求出an;(2)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求得a1和q,再根據(jù)an=1確定n的值.
【方法總結(jié)】　　由等比數(shù)列的第m項(xiàng)與第n項(xiàng)的關(guān)系可求出公比q的值,進(jìn)而求出首項(xiàng)a1及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
二、等比數(shù)列的單調(diào)性
例3　設(shè){an}是等比數(shù)列,則“a1A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【方法總結(jié)】　　等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)a1的正負(fù)與公比q的范圍兩個共同決定,注意當(dāng)q=1和q<0時,等比數(shù)列不具有單調(diào)性.
1.(1)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是　　　　.
(2)在等比數(shù)列{an}中,若公比q=4,且前3項(xiàng)之和為21,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=　　　　.
(2)由題意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1=4n-1.
2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且公比大于0,則“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(　　).
A.充要條件
B.必要不充分條件
C.充分不必要條件
D.既不充分也不必要條件
探究3　等比中項(xiàng)
　　關(guān)于在國際象棋棋盤各個格子里放麥粒的問題,由于每一個格子里的麥粒都是前一個格子里的麥粒數(shù)的2倍,且共有64個格子,因此各個格子里的麥粒數(shù)依次是1,2,22,23,…,263.
問題1:觀察上面這個數(shù)列,這個數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)之間有什么樣的關(guān)系
問題2:我們知道,任意兩個實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng),那么,對任意兩個不為零的數(shù),是否一定都有等比中項(xiàng) 若有,是否唯一
新知生成
如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫作a與b的等比中項(xiàng),且G2=ab或G=±.
新知運(yùn)用
例4　(1)2與8的等比中項(xiàng)為　　　　;
(2)-9和-4的等比中項(xiàng)為　　　　.
【方法總結(jié)】　　(1)由等比中項(xiàng)的定義可知= G2=ab G=±,所以只有a,b同號時,a,b的等比中項(xiàng)有兩個,a,b異號時,沒有等比中項(xiàng).
(2)在一個等比數(shù)列中,從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).
(3)a,G,b成等比數(shù)列等價于G2=ab(ab>0).
若1,a,5成等差數(shù)列,1,b,9成等比數(shù)列,則a+b=　　　　.
探究4　等比數(shù)列的判定與證明
　　問題1:利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等比數(shù)列的關(guān)鍵是什么
　　問題2:在數(shù)列{an}中,若an+1=2an,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎
　　問題3:若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則它的通項(xiàng)公式為an=a1·qn-1(a1,q為非零常數(shù),n∈N+).反之,能說明數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎
問題4:如何證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列
新知生成
判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法
(1)定義法:若數(shù)列{an}滿足=q(n∈N+,q為常數(shù)且不為零)或=q(n≥2且n∈N+,q為常數(shù)且不為零),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2)通項(xiàng)公式法:若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(3)等比中項(xiàng)法:若=anan+2(n∈N+且an≠0),則數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
(4)構(gòu)造法:在條件中出現(xiàn)an+1=kan+b關(guān)系時,往往構(gòu)造數(shù)列,方法是把a(bǔ)n+1+x=k(an+x)與an+1=kan+b對照,求出x即可.
新知運(yùn)用
例5　(2023·安徽卓越第二次月考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=an-1+1(n≥2).
(1)若bn=an-2,求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【方法總結(jié)】　　判斷一個數(shù)列{an}是等比數(shù)列的方法:(1)定義法:若 =q(q為常數(shù)且不為零)或 =q(n≥2,q為常數(shù)且不為零),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;(2)等比中項(xiàng)法:若=an·an+2,且an≠0,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;(3)通項(xiàng)公式法:若an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;(4)構(gòu)造法.
　　在數(shù)列{an}中,a1=2,an=4an-1-3(n≥2,n∈N+).
(1)求證:數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【隨堂檢測】
1.在等比數(shù)列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,則a4+a5的值為(　　).
A.16 B.27 C.36 D.81
2.若等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為5,-15,45,則第5項(xiàng)是(　　).
A.405 B.-405 C.135 D.-135
3.一個直角三角形的三邊長成等比數(shù)列,則較小銳角的正弦值是　　　　.
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n=2,3,…).
(1)求a2,a3,并證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
25.3.1 課時1　等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.能夠通過實(shí)際問題理解等比數(shù)列的定義,掌握公比的概念,熟練掌握等比數(shù)列的判定方法.(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用,能用遞推公式求通項(xiàng)公式.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.閱讀教材第29頁3個案例中的數(shù)列,類比等差數(shù)列的研究,你認(rèn)為可以通過怎樣的運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律 你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律
【答案】　通過除法運(yùn)算發(fā)現(xiàn):從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一常數(shù).
2.等比數(shù)列的定義是什么
【答案】　如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個不為0的常數(shù),那么這個數(shù)列就叫作等比數(shù)列.
3.等比數(shù)列的公比q能否為零
【答案】　不能.根據(jù)等比數(shù)列的定義,公比為每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比,即=q,若q=0,則an=0,所以數(shù)列中每一項(xiàng)都為零,所以an-1=0,這樣比值無意義,所以q≠0.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若an+1=qan,n∈N+且q≠0,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (　　)
(2)在等比數(shù)列{an}中,an=a1qn,n∈N+. (　　)
(3)常數(shù)列一定是等比數(shù)列. (　　)
(4)存在一個數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.已知{an}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列,則這個數(shù)列的通項(xiàng)公式為(　　).
A.an=2·3n+1 B.an=3·2n+1
C.an=2·3n-1 D.an=3·2n-1
【答案】　C
【解析】　由已知可得a1=2,q=3,
則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1·qn-1=2·3n-1.
3.下列數(shù)列為等比數(shù)列的是(　　).
A.2,22,3×22,… B.,,,…
C.S-1,(S-1)2,(S-1)3,… D.0,0,0,…
【答案】　B
【解析】　結(jié)合等比數(shù)列的定義可知選項(xiàng)B正確.
4.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則公比q=　　　　.
【答案】　
【解析】　∵a2=a1q=2,　①
a5=a1q4=,　②
∴②÷①得q3=,∴q=.
【合作探究】
探究1　等比數(shù)列的定義
　　(1)《孫子算經(jīng)》中載有“出門望堤”問題:“今有出門,望見九堤,堤有九木,木有九枝,枝有九巢,巢有九禽,禽有九雛,雛有九毛,毛有九色,問各幾何 ”
(2)《算學(xué)寶鑒》中有這樣一個問題:“一文(錢)日增一倍,倍至三十日,問計(jì)幾何 ”
(3)“諸葛統(tǒng)兵”問題:“諸葛統(tǒng)領(lǐng)八員將,每將又分八個營.每營里面排八陣,每陣先鋒有八人.每人旗頭俱八個,每個旗頭八隊(duì)成.每隊(duì)更該八個甲,每個甲頭八個兵.”
問題1:分別寫出這三個問題所涉及的數(shù)組.
【答案】　(1)9,92,93,94,95,96,97,98.
(2)2,22,23,…,230.
(3)8,82,83,84,85,86,87,88.
問題2:觀察這三個問題,你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特點(diǎn)嗎
【答案】　對于數(shù)列(1),從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于9;對于數(shù)列(2),從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于2;對于數(shù)列(3),從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于8.
也就是說,這些數(shù)列有一個共同的特點(diǎn):從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù).
新知生成
一般地,如果數(shù)列{an}從第　2　項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等于同一個常數(shù)q,即 =q　恒成立,則稱數(shù)列{an}為等比數(shù)列,其中　q　稱為等比數(shù)列的公比.
新知運(yùn)用
例1　判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列,如果是,寫出它的公比.
(1)1,,,,,…;
(2)10,10,10,10,10,…;
(3),2,3,4,…;
(4)1,0,1,0,1,0,…;
(5)1,-4,16,-64,256,….
【解析】　(1)不是等比數(shù)列;(2)是等比數(shù)列,且公比為1;(3)是等比數(shù)列,且公比為;(4)不是等比數(shù)列;(5)是等比數(shù)列,且公比為-4.
【方法總結(jié)】　　如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列是等比數(shù)列,否則,不是等比數(shù)列,且等比數(shù)列中任意一項(xiàng)不能為0,對于含參數(shù)的數(shù)列則需要分類討論.
(多選題)下列各組數(shù)中,不是等比數(shù)列的是(　　).
A.,, B.2,-2,4
C.a2,a4,a8 D.lg 2,lg 4,lg 8
【答案】　ACD
【解析】　對于A選項(xiàng),,,不是等比數(shù)列.
對于B選項(xiàng),2,-2,4是公比為-的等比數(shù)列.
對于C選項(xiàng),a2,a4,a8,當(dāng)a=0時,是等差數(shù)列;當(dāng)a=1時,既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列;當(dāng)a≠0,1時,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列.
對于D選項(xiàng),lg 2,lg 4,lg 8,即lg 2,2lg 2,3lg 2,是公差為lg 2的等差數(shù)列.
探究2　等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
　　問題1:類比等差數(shù)列,如何推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
【答案】　(1)累乘法:
設(shè)在等比數(shù)列{an}中,=q(n∈N+,n≥2,q為非零常數(shù)),則=q,=q,…,=q,
將以上這(n-1)個等式相乘,得··…·=qn-1,
整理得an=a1qn-1,
當(dāng)n=1時,上面的式子也成立,
所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1.
(2)歸納法:
若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公比是q,則據(jù)其定義可得,
a2÷a1=q,即a2=a1·q,
a3÷a2=q,即a3=a2·q=a1·q2,
a4÷a3=q,即a4=a3·q=a1·q3,
…,
由此歸納等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1.
問題2:在數(shù)列{an}中,a1=1,=,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是什么
【答案】　當(dāng)n≥2時,an=···…···a1=···…·××1=,
顯然當(dāng)n=1時,a1=1也滿足上式,
∴an=,n∈N+.
新知生成
1.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則其通項(xiàng)公式為an=a1qn-1或an=amqn-m(m,n∈N+,m≤n,q≠0).當(dāng)n-m為大于1的奇數(shù)時,q用an,am表示為q=;當(dāng)n-m為正偶數(shù)時,q=±.
2.an=a1qn-1可變形為an=Aqn,其中A=;點(diǎn)(n,an)是曲線y=·qx上一群孤立的點(diǎn).
(1)當(dāng)q>1,a1>0或0(2)當(dāng)q>1,a1<0或00時,數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.
(3)當(dāng)q=1時,{an}是常數(shù)列;當(dāng)q<0時,數(shù)列{an}是擺動數(shù)列.
新知運(yùn)用
一、等比數(shù)列基本量的求解
例2　在等比數(shù)列{an}中,
(1)若a4=2,a7=8,求an;
(2)若a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
方法指導(dǎo)　(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求得a1和q,從而求出an;(2)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組,求得a1和q,再根據(jù)an=1確定n的值.
【解析】　(1)因?yàn)樗?br/>由得q3=4,從而q=,
而a1q3=2,于是a1==,
所以an=a1qn-1=.
(2)因?yàn)?br/>所以由得q=,從而a1=32.
又an=1,所以32×=1,
所以n=6.
【方法總結(jié)】　　由等比數(shù)列的第m項(xiàng)與第n項(xiàng)的關(guān)系可求出公比q的值,進(jìn)而求出首項(xiàng)a1及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
二、等比數(shù)列的單調(diào)性
例3　設(shè){an}是等比數(shù)列,則“a1A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
【答案】　B
【解析】　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a10,解得或此時數(shù)列{an}不一定是遞增數(shù)列;
若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,必得a1所以“a1【方法總結(jié)】　　等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng)a1的正負(fù)與公比q的范圍兩個共同決定,注意當(dāng)q=1和q<0時,等比數(shù)列不具有單調(diào)性.
1.(1)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是　　　　.
(2)在等比數(shù)列{an}中,若公比q=4,且前3項(xiàng)之和為21,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=　　　　.
【答案】　 (1)4　(2)4n-1
【解析】　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由a8=a6+2a4,得a4q4=a4q2+2a4,解得q2=2(負(fù)值舍去).又a2=1,所以a6=a2q4=4.
(2)由題意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1=4n-1.
2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且公比大于0,則“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(　　).
A.充要條件
B.必要不充分條件
C.充分不必要條件
D.既不充分也不必要條件
【答案】　D
【解析】　當(dāng)a1<0,q>1時,數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,即充分性不成立;
當(dāng)“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”時,可能是a1<0,0所以“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.
探究3　等比中項(xiàng)
　　關(guān)于在國際象棋棋盤各個格子里放麥粒的問題,由于每一個格子里的麥粒都是前一個格子里的麥粒數(shù)的2倍,且共有64個格子,因此各個格子里的麥粒數(shù)依次是1,2,22,23,…,263.
問題1:觀察上面這個數(shù)列,這個數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)之間有什么樣的關(guān)系
【答案】　前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的積是中間項(xiàng)的平方.
問題2:我們知道,任意兩個實(shí)數(shù)都有等差中項(xiàng),那么,對任意兩個不為零的數(shù),是否一定都有等比中項(xiàng) 若有,是否唯一
【答案】　不一定,只有當(dāng)兩個數(shù)同號,即兩個數(shù)之積大于零時,這兩個數(shù)才有等比中項(xiàng)且有兩個等比中項(xiàng),它們互為相反數(shù).
新知生成
如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫作a與b的等比中項(xiàng),且G2=ab或G=±.
新知運(yùn)用
例4　(1)2與8的等比中項(xiàng)為　　　　;
(2)-9和-4的等比中項(xiàng)為　　　　.
【答案】　(1)±4　(2)±6
【解析】　(1)由題意得,2與8的等比中項(xiàng)為±=±4.
(2)-9和-4的等比中項(xiàng)為±=±6.
【方法總結(jié)】　　(1)由等比中項(xiàng)的定義可知= G2=ab G=±,所以只有a,b同號時,a,b的等比中項(xiàng)有兩個,a,b異號時,沒有等比中項(xiàng).
(2)在一個等比數(shù)列中,從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).
(3)a,G,b成等比數(shù)列等價于G2=ab(ab>0).
若1,a,5成等差數(shù)列,1,b,9成等比數(shù)列,則a+b=　　　　.
【答案】　0或6
【解析】　因?yàn)?,a,5成等差數(shù)列,1,b,9成等比數(shù)列,
所以a==3,b=±=±3,
所以a+b的值為0或6.
探究4　等比數(shù)列的判定與證明
　　問題1:利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列為等比數(shù)列的關(guān)鍵是什么
【答案】　關(guān)鍵是能夠證明(n∈N+)是一個非零常數(shù).
　　問題2:在數(shù)列{an}中,若an+1=2an,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎
【答案】　不一定.當(dāng)an≠0時,數(shù)列{an}是等比數(shù)列;當(dāng)an=0時,數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.
　　問題3:若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則它的通項(xiàng)公式為an=a1·qn-1(a1,q為非零常數(shù),n∈N+).反之,能說明數(shù)列{an}是等比數(shù)列嗎
【答案】　能.根據(jù)等比數(shù)列的定義可以判斷.
問題4:如何證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列
【答案】　證明=q(q≠0)即可.
新知生成
判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法
(1)定義法:若數(shù)列{an}滿足=q(n∈N+,q為常數(shù)且不為零)或=q(n≥2且n∈N+,q為常數(shù)且不為零),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(2)通項(xiàng)公式法:若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1(n∈N+,a1≠0,q≠0),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
(3)等比中項(xiàng)法:若=anan+2(n∈N+且an≠0),則數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
(4)構(gòu)造法:在條件中出現(xiàn)an+1=kan+b關(guān)系時,往往構(gòu)造數(shù)列,方法是把a(bǔ)n+1+x=k(an+x)與an+1=kan+b對照,求出x即可.
新知運(yùn)用
例5　(2023·安徽卓越第二次月考)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=an-1+1(n≥2).
(1)若bn=an-2,求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【解析】　(1)因?yàn)閍1=1,an=an-1+1(n≥2),所以an-2=(an-1-2)(n≥2),即bn=bn-1(n≥2),
所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為a1-2=-1,公比為的等比數(shù)列.
(2)由(1)得bn=-,所以an-2=-,即an=2-.
【方法總結(jié)】　　判斷一個數(shù)列{an}是等比數(shù)列的方法:(1)定義法:若 =q(q為常數(shù)且不為零)或 =q(n≥2,q為常數(shù)且不為零),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;(2)等比中項(xiàng)法:若=an·an+2,且an≠0,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;(3)通項(xiàng)公式法:若an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列;(4)構(gòu)造法.
　　在數(shù)列{an}中,a1=2,an=4an-1-3(n≥2,n∈N+).
(1)求證:數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【解析】　(1)因?yàn)閍1=2,an=4an-1-3(n≥2,n∈N+),
所以an-1=4(an-1-1)(n≥2,n∈N+),
所以數(shù)列{an-1}是首項(xiàng)為a1-1=1,公比為4 的等比數(shù)列.
(2)由(1)得an-1=1×4n-1,所以an=4n-1+1.
【隨堂檢測】
1.在等比數(shù)列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,則a4+a5的值為(　　).
A.16 B.27 C.36 D.81
【答案】　B
【解析】　由已知得a1+a2=1,a3+a4=9,∴q2=9,
∴q=3或q=-3(舍去),∴a4+a5=(a3+a4)q=27.
2.若等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為5,-15,45,則第5項(xiàng)是(　　).
A.405 B.-405 C.135 D.-135
【答案】　A
【解析】　∵a5=a1q4,而a1=5,q==-3,
∴a5=405.
3.一個直角三角形的三邊長成等比數(shù)列,則較小銳角的正弦值是　　　　.
【答案】　
【解析】　設(shè)三邊長分別為a,aq,aq2 (q>1),
則(aq2)2=(aq)2+a2,∴q2=(負(fù)值舍去),
記較小的銳角為θ,則sin θ===.
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n=2,3,…).
(1)求a2,a3,并證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
【解析】　(1)a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15.
下面證明{an-n}是等比數(shù)列:
=
==3(n=1,2,3,…).
又∵a1-1=-2,∴an-n=(-2)·3n-1(n∈N+),故數(shù)列{an-n}是以-2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.
(2)由(1)知an-n=(-2)·3n-1,∴an=n-2·3n-1(n∈N+).
2

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