資源簡介

5.3.2　課時1　等比數(shù)列的前n項和公式、性質(zhì)及應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式與應(yīng)用.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.能運(yùn)用等比數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.公比為1的等比數(shù)列的前n項和Sn如何計算
2.當(dāng)q≠1時,如何計算等比數(shù)列的前n項和Sn
3.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比為字母時,求{an}的前n項和要注意什么
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)求等比數(shù)列{an}的前n項和時可直接套用公式Sn=來求. (　　)
(2)若首項為a的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則其前n項和為Sn=na. (　　)
(3)若某數(shù)列的前n項和公式為Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N+),則此數(shù)列一定是等比數(shù)列. (　　)
2.在等比數(shù)列{an}中,a1=1,q=2,則S5=　　　　.
3.某廠去年產(chǎn)值為a,計劃在5年內(nèi)每年比上一年的產(chǎn)值增長10%,則從今年起5年內(nèi),該廠的總產(chǎn)值為　　　　.
【合作探究】
探究1　等比數(shù)列前n項和公式
　　問題1:等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)除了教材中用的錯位相減法,還有其他的方法嗎
問題2:類比等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次型函數(shù),如何從函數(shù)的角度理解等比數(shù)列前n項和Sn
新知生成
等比數(shù)列的前n項和
已知量 首項a1、公比 q(q≠1)與項數(shù)n 首項a1、末項an 與公比q(q≠1) 首項a1、 公比q=1
求和公式 Sn= Sn= Sn=na1
新知運(yùn)用
例1　在等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,q為其公比.
(1)若S2=30,S3=155,求Sn;
(2)若a1+a3=10,a4+a6=,求S5;
(3)若a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.
【方法總結(jié)】　　1.在等比數(shù)列{an}的五個量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三個量,通過列方程組,就能求出另外兩個量,這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用.
2.在解決與前n項和有關(guān)的問題時,首先要對公比q=1或q≠1進(jìn)行判斷,若兩種情況都有可能,則要分類討論.
　　在等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,q為其公比.
(1)若an=2n,求S6;
(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
探究2　等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)
　　已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn.
問題1:當(dāng)q≠1時,從函數(shù)的角度分析Sn關(guān)于n的【解析】式對應(yīng)的函數(shù)模型是什么
問題2:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k具有什么特征 采用從特殊到一般的思想進(jìn)行思考分析.
問題3:Sm,Sn,Sm+n之間有什么等量關(guān)系 利用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行推導(dǎo).
問題4:S奇,S偶分別是多少 兩者之間具有什么關(guān)系 對n進(jìn)行分類討論.
新知生成
1.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an-1(a≠0,a≠1,n∈N+),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
2.若公比不為-1的等比數(shù)列的前n項和為Sn(Sn≠0),則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為　qn　.
3.若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則Sm+n=Sn+qnSm.若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的項數(shù)為偶數(shù)時,=q;當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的項數(shù)為奇數(shù)時,=q.
新知運(yùn)用
例2　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6∶S3=1∶2,則S9∶S3=　　　　;
(2)等比數(shù)列{an}共有2n項,其和為-240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比q=　　　　.
方法指導(dǎo)　(1)根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì),利用等差中項的性質(zhì)建立等式,令S3=2,即可求出S9∶S3的值;(2)根據(jù)奇、偶數(shù)項之和與奇、偶數(shù)項之比建立方程組,利用q=即可求得公比q的值.
【方法總結(jié)】　　熟練掌握等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,且有助于減少運(yùn)算量.
例3　數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n-2.求{an}的通項公式,并判斷{an}是否是等比數(shù)列.
【方法總結(jié)】　　(1)已知Sn,可通過an=求an的通項公式,注意當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1.
(2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,則{an}是等比數(shù)列.
1.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=3,則=(　　).
A.2 B. C. D.3
2.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且其前n項和Sn=3n+1-3k,則實數(shù)k等于　　　　.
【隨堂檢測】
1.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=(　　).
A. B.- C. D.-
2.已知等比數(shù)列的公比為2,且前5項和為1,那么前10項和等于(　　).
A.31 B.33 C.35 D.37
3.已知Sn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和.若a2·a4=16,S3=7,則a8=　　　　.
4.已知Sn 為數(shù)列{an}的前n項和,Sn+2=2an.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記bn=求數(shù)列{bn}的前12項和.
25.3.2　課時1　等比數(shù)列的前n項和公式、性質(zhì)及應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握等比數(shù)列的前n項和公式與應(yīng)用.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.能運(yùn)用等比數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的實際問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【自主預(yù)習(xí)】
1.公比為1的等比數(shù)列的前n項和Sn如何計算
【答案】　當(dāng)q=1時,a1=a2=…=an,
所以Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+…+a1=na1.
2.當(dāng)q≠1時,如何計算等比數(shù)列的前n項和Sn
【答案】　利用公式Sn=計算.
3.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比為字母時,求{an}的前n項和要注意什么
【答案】　若等比數(shù)列的公比為字母,應(yīng)用公式求其前n項和時要注意討論公比是否為1,分情況選取合適的公式來解答.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)求等比數(shù)列{an}的前n項和時可直接套用公式Sn=來求. (　　)
(2)若首項為a的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則其前n項和為Sn=na. (　　)
(3)若某數(shù)列的前n項和公式為Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N+),則此數(shù)列一定是等比數(shù)列. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.在等比數(shù)列{an}中,a1=1,q=2,則S5=　　　　.
【答案】　31
【解析】　S5===31.
3.某廠去年產(chǎn)值為a,計劃在5年內(nèi)每年比上一年的產(chǎn)值增長10%,則從今年起5年內(nèi),該廠的總產(chǎn)值為　　　　.
【答案】　11a(1.15-1)
【解析】　去年產(chǎn)值為a,從今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a,所以1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=a·=11a(1.15-1).
【合作探究】
探究1　等比數(shù)列前n項和公式
　　問題1:等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)除了教材中用的錯位相減法,還有其他的方法嗎
【答案】　有.當(dāng)q=1時,Sn=na1.當(dāng)q≠1時,根據(jù)等比數(shù)列的定義,可知===…==q,
所以a2=a1q,a3=a2q,…,an=an-1q,即a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)q,
所以=q,即=q,
所以Sn=.
把a(bǔ)n=a1qn-1代入Sn=,可得Sn=.
問題2:類比等差數(shù)列前n項和是關(guān)于n的二次型函數(shù),如何從函數(shù)的角度理解等比數(shù)列前n項和Sn
【答案】　當(dāng)q≠1時,Sn==-qn+,即等比數(shù)列{an}的前n項和可以寫成Sn=Aqn-A(q≠1,q≠0,A≠0)的形式,所以可把等比數(shù)列前n項和Sn理解為關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù).
新知生成
等比數(shù)列的前n項和
已知量 首項a1、公比 q(q≠1)與項數(shù)n 首項a1、末項an 與公比q(q≠1) 首項a1、 公比q=1
求和公式 Sn= Sn= Sn=na1
新知運(yùn)用
例1　在等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,q為其公比.
(1)若S2=30,S3=155,求Sn;
(2)若a1+a3=10,a4+a6=,求S5;
(3)若a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.
【解析】　(1)由題意知解得或
所以Sn=×5n+1-或Sn=.
(2)(法一)由題意知解得所以S5==.
(法二)由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,所以q=.
又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,所以S5==.
(3)因為a2an-1=a1an=128,a1+an=66,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的兩根.
得或
又Sn==126,所以q=2或q=.
【方法總結(jié)】　　1.在等比數(shù)列{an}的五個量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三個量,通過列方程組,就能求出另外兩個量,這是方程思想與整體思想在數(shù)列中的具體應(yīng)用.
2.在解決與前n項和有關(guān)的問題時,首先要對公比q=1或q≠1進(jìn)行判斷,若兩種情況都有可能,則要分類討論.
　　在等比數(shù)列{an}中,Sn為其前n項和,q為其公比.
(1)若an=2n,求S6;
(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
【解析】　設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1,公比為q.
(1)∵an=2n=2×2n-1,∴a1=2,q=2.
∴S6==126.
(2)(法一)由Sn=,an=a1qn-1及已知條件,得
解得
(法二)由公式Sn=及已知條件,
得189=,解得a1=3.
又由an=a1qn-1,
得96=3×2n-1,解得n=6.
探究2　等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)
　　已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項和為Sn.
問題1:當(dāng)q≠1時,從函數(shù)的角度分析Sn關(guān)于n的【解析】式對應(yīng)的函數(shù)模型是什么
【答案】　若q≠1,則Sn==qn-=Aqn-A,其中A=.
故等比數(shù)列Sn關(guān)于n的【解析】式對應(yīng)的函數(shù)模型是f(x)=Axn-A(A≠0).
問題2:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k具有什么特征 采用從特殊到一般的思想進(jìn)行思考分析.
【答案】　當(dāng)q=-1時,例如an=(-1)n,當(dāng)k為偶數(shù)時,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k都等于零,不能構(gòu)成等比數(shù)列.
當(dāng)q≠-1時,Sn≠0,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k構(gòu)成等比數(shù)列,
因為S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=a1qk+a2qk+…+akqk=Skqk,
S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k+a2q2k+…+akq2k=Skq2k,
所以==qk,所以Sk,S2k-Sk,S3k-S2k構(gòu)成等比數(shù)列.
問題3:Sm,Sn,Sm+n之間有什么等量關(guān)系 利用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行推導(dǎo).
【答案】　當(dāng)公比q=1時,有Sn=na1,Sm=ma1,Sm+n=(m+n)a1,所以Sn+qnSm=na1+1n·m=(m+n)·a1,所以Sm+n=Sn+qnSm;當(dāng)公比q≠1時,有Sn=(1-qn),Sm=(1-qm),Sm+n=(1-qn+m),所以Sn+qnSm=(1-qn)+qn·(1-qm)=(1-qn+qn-qm+n)=·(1-qn+m),所以Sm+n=Sn+qnSm.
綜上可得,Sm+n=Sn+qnSm.
問題4:S奇,S偶分別是多少 兩者之間具有什么關(guān)系 對n進(jìn)行分類討論.
【答案】　已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1,S偶=a2+a4+a6+…+a2n(n∈N+).若項數(shù)為2n(n∈N+),則===q;若項數(shù)為2n+1(n∈N+),則===q.
新知生成
1.若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an-1(a≠0,a≠1,n∈N+),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
2.若公比不為-1的等比數(shù)列的前n項和為Sn(Sn≠0),則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為　qn　.
3.若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,則Sm+n=Sn+qnSm.若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的項數(shù)為偶數(shù)時,=q;當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的項數(shù)為奇數(shù)時,=q.
新知運(yùn)用
例2　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S6∶S3=1∶2,則S9∶S3=　　　　;
(2)等比數(shù)列{an}共有2n項,其和為-240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比q=　　　　.
方法指導(dǎo)　(1)根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì),利用等差中項的性質(zhì)建立等式,令S3=2,即可求出S9∶S3的值;(2)根據(jù)奇、偶數(shù)項之和與奇、偶數(shù)項之比建立方程組,利用q=即可求得公比q的值.
【答案】　(1)3∶4　(2)2
【解析】　(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)得S3,S6-S3,S9-S6仍成等比數(shù)列,于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6),不妨令S3=2,則S6=1,代入解得S9=,故S9∶S3=3∶4.
(2)由題意知
解得
故公比q===2.
【方法總結(jié)】　　熟練掌握等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,且有助于減少運(yùn)算量.
例3　數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n-2.求{an}的通項公式,并判斷{an}是否是等比數(shù)列.
【解析】　當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1.
當(dāng)n=1時,a1=S1=31-2=1不適合上式.
∴an=
(法一)易知a1=1,a2=6,a3=18,顯然a1,a2,a3不是等比數(shù)列,即{an}不是等比數(shù)列.
(法二)當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{bn}的公比q≠1時,其前n項和Sn=A·qn+B滿足的條件為A=-B,對比可知Sn=3n-2,1≠-2,故{an}不是等比數(shù)列.
【方法總結(jié)】　　(1)已知Sn,可通過an=求an的通項公式,注意當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1.
(2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,則{an}是等比數(shù)列.
1.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若=3,則=(　　).
A.2 B. C. D.3
【答案】　B
【解析】　設(shè)公比為q(q≠0),由題意知q≠-1,根據(jù)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì),得==1+q3=3,解得q3=2.于是===.
2.若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且其前n項和Sn=3n+1-3k,則實數(shù)k等于　　　　.
【答案】　1
【解析】　∵Sn=3n+1-3k=3×3n-3k,∴3=3k,即k=1.
【隨堂檢測】
1.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=(　　).
A. B.- C. D.-
【答案】　C
【解析】　由題知公比q≠1,則S3==a1q+10a1,得q2=9,又a5=a1q4=9,則a1=,故選C.
2.已知等比數(shù)列的公比為2,且前5項和為1,那么前10項和等于(　　).
A.31 B.33 C.35 D.37
【答案】　B
【解析】　根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得=q5,
∴=25,∴S10=33.
3.已知Sn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和.若a2·a4=16,S3=7,則a8=　　　　.
【答案】　128
【解析】　∵a2·a4==16,
∴a3=4或a3=-4(舍去).
∵a3=a1q2=4,S3=7,∴q≠1,
∴S2===3,
∴3q2-4q-4=0,解得q=-(舍去)或q=2.
∴a1=1,∴a8=27=128.
4.已知Sn 為數(shù)列{an}的前n項和,Sn+2=2an.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記bn=求數(shù)列{bn}的前12項和.
【解析】　(1)因為Sn+2=2an,
所以當(dāng)n=1 時,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2,
當(dāng)n≥2 時,Sn+2=2an,Sn-1+2=2an-1,所以an=2an-2an-1,即an=2an-1,
所以數(shù)列{an}是首項為a1=2,公比為2的等比數(shù)列,
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n .
(2)由(1)知an=2n,所以bn=
記數(shù)列{bn}的前12項和為T12,
所以T12=(21+23+25+27+29+211)+(2+4+6+8+10+12)=+ =+42=2772.
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