資源簡介

5.4　數(shù)列的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.正確理解分期還款的兩種計(jì)算方式.(數(shù)據(jù)分析)
2.掌握政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)的相關(guān)知識(shí).(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
3.能夠利用等差(比)數(shù)列的知識(shí)解決一些實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
4.借助數(shù)列的遞推關(guān)系解決數(shù)列問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)
【自主預(yù)習(xí)】
　　我國現(xiàn)代都市人的消費(fèi)觀念正在改變——我們對花明天的錢圓今天的夢已不再陌生,許多年輕人過起了名副其實(shí)的“負(fù)翁”生活,貸款購物,分期付款已深入我們生活,在當(dāng)前的市場環(huán)境中,分期付款被很多商家看作是搶市場份額的有效手段,為迎合消費(fèi)心理,商家各盡其能,但面對商家和銀行提供的各種分期還款服務(wù),究竟選擇什么樣的方式好呢
閱讀教材并結(jié)合上述情境回答下列問題:
1.什么是“等額本金還款法”
2.什么是“等額本息還款法”
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)“等額本金還款法”中,每一期還款數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列. (　　)
(2)“等額本息還款法”中,每一期還款數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列. (　　)
(3)如果政府的支出增加,那么經(jīng)濟(jì)就會(huì)產(chǎn)生“乘數(shù)”效應(yīng). (　　)
2.某件產(chǎn)品計(jì)劃每年成本降低q%,若三年后成本為a,則現(xiàn)在的成本是(　　).
A.a(1+q%)3 B.a(1-q%)3
C. D.
3.自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款200000元作為創(chuàng)業(yè)資金,貸款的年利率為5%,若他按照“等額本金還款法”分10年進(jìn)行還款,則其第二年應(yīng)還　　　　元;若他按照“等額本息還款法”分10年進(jìn)行還款,則其每年還款約　　　　元.(1.0510≈1.62889)
4.今年,某公司投入資金500萬元,由于堅(jiān)持改革,大膽創(chuàng)新,以后每年投入的資金比上一年增加30%,那么7年后該公司共投入資金　　　　萬元.
【合作探究】
探究1　等差、等比數(shù)列的應(yīng)用
　　我校今年招生1000名高一新生,為擴(kuò)大辦學(xué)規(guī)模,從今年開始的五年內(nèi),計(jì)劃每年比上一年多招生100名,則這5年中我校總共招收多少名學(xué)生
問題1:這是函數(shù)模型嗎
問題2:這個(gè)函數(shù)的定義域是什么
問題3:如何解決這個(gè)問題
新知生成
解決數(shù)列應(yīng)用題的思路和方法
(1)認(rèn)真審題準(zhǔn)確理解題意,明確問題是屬于等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題,要確定a1與項(xiàng)數(shù)n的實(shí)際意義,同時(shí)要搞清是求an還是求Sn.
(2)抓住題目中的主要數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和方法,恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量,將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來.
(3)將已知和所求聯(lián)系起來,列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式.
新知運(yùn)用
例1　一航模小組進(jìn)行飛機(jī)模型實(shí)驗(yàn),飛機(jī)模型在第一分鐘時(shí)間里上升了15米.
(1)若通過動(dòng)力控制系統(tǒng),使得飛機(jī)模型在以后的每一分鐘里,上升的高度都比它前一分鐘上升的高度少2米,達(dá)到最大高度后保持飛行,問飛機(jī)模型上升的最大高度是多少
(2)若通過動(dòng)力控制系統(tǒng),使得飛機(jī)模型在以后的每一分鐘上升的高度是它在前一分鐘里上升高度的80%,那么這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度能超過75米嗎 請說明理由.
【方法總結(jié)】　　利用等差、等比數(shù)列解決實(shí)際問題的一般步驟:(1)閱讀題目,確定數(shù)列類型;(2)尋找已知量;(3)確定未知量;(4)利用等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式建立等式求解.
　　張先生在2018年年底購買了一輛1.6 L排量的小轎車,為積極響應(yīng)政府發(fā)展森林碳匯(指森林植物吸收大氣中的二氧化碳并將其固定在植被或土壤中)的號(hào)召,買車的同時(shí)出資1萬元向中國綠色碳匯基金會(huì)購買了 2畝荒山用于植樹造林.科學(xué)研究表明:轎車每行駛3000公里就要排放1噸二氧化碳,林木每生長1立方米,平均可吸收1.8噸二氧化碳.
(1)若張先生第一年(即2019年)會(huì)用車1.2萬公里,以后逐年増加1000公里,則該轎車使用10年共要排放二氧化碳多少噸
(2)若種植的林木第一年(即2019年)生長了1立方米,以后每年以10%的生長速度遞增,問林木至少生長多少年,吸收的二氧化碳的量超過轎車使用10年排出的二氧化碳的量 (參考數(shù)據(jù):1.114≈3.7975,1.115≈4.1772,1.116≈4.5950)
探究2　分期還款中的數(shù)列問題
　　一對夫婦為5年后能夠購買一輛車,準(zhǔn)備每年到銀行去存一筆等額的錢.假設(shè)銀行儲(chǔ)蓄年利率為5%,按復(fù)利計(jì)算,為了使本利和共有10萬元,請你算一算他們每年約需存多少錢 (精確到1元)
問題1:利用什么模型可以解決這個(gè)問題
問題2:請你解決這個(gè)問題.
新知生成
分期還款與數(shù)列
(1)等額本金還款法:將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還,每期還款金額=+(貸款本金-已還本金總額)×利率.
(2)等額本息還款法:將本金和利息平均分配到每一期進(jìn)行償還.每期還款金額=,其中A0為貸款時(shí)的資金,r為銀行貸款月利率,m為還款總期數(shù)(單位:月).
新知運(yùn)用
例2　某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造,有兩種方案:
甲方案:一次性貸款10萬元,第一年便可獲得利潤1萬元,以后每年比上年增加30%的利潤;
乙方案:每年貸款1萬元,第一年可獲得利潤1萬元,以后每年比前一年多獲利5000元.
兩種方案的期限都是10年,到期一次性歸還本息.若銀行貸款利息均以年息10%計(jì)算,試比較兩個(gè)方案哪個(gè)獲得純利潤更多 (計(jì)算精確到千元,參考數(shù)據(jù):1.110≈2.594,1.310≈13.786)
【方法總結(jié)】　　解決數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題,關(guān)鍵是讀懂題意,從實(shí)際問題中提煉出問題的實(shí)質(zhì),轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決.價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖、利率、增長率等問題常歸結(jié)為數(shù)列建模,從而歸納轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題去解決.
　　小華準(zhǔn)備購買一部售價(jià)為5000元的手機(jī),采用分期付款方式,并在一年內(nèi)將款全部付清.商家提出的付款方式為購買2個(gè)月后第1次付款,再過2個(gè)月后第2次付款,…,購買12個(gè)月后第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計(jì)算,估計(jì)小華每期的付款金額.(參考數(shù)據(jù):1.0082≈1.016,1.00812≈1.100)
【隨堂檢測】
1.某空調(diào)制造廠用若干臺(tái)效率相同的機(jī)械組裝空調(diào),若所用機(jī)械同時(shí)開動(dòng),則需24 小時(shí)完成一項(xiàng)任務(wù);若一臺(tái)接一臺(tái)地開動(dòng),每相鄰兩臺(tái)啟動(dòng)時(shí)間間隔都相同,則到完成該項(xiàng)任務(wù)時(shí),第一臺(tái)的工作時(shí)間是最后一臺(tái)的7倍,則最后一臺(tái)機(jī)械工作的時(shí)間是(　　).
A.2小時(shí) B.4小時(shí) C.6小時(shí) D.8小時(shí)
2.私家車具有申請報(bào)廢制度.若一車主購買車輛時(shí)花費(fèi)15萬,每年的保險(xiǎn)費(fèi)、路橋費(fèi)、汽油費(fèi)等約1.5萬元,每年的維修費(fèi)是一個(gè)公差為3000元的等差數(shù)列,第一年維修費(fèi)為3000元,則該車主申請車輛報(bào)廢的最佳年限(使用多少年的年平均費(fèi)用最少)是第(　　)年.
A.6 B.8 C.9 D.10
3.某市在2023年共有1萬輛燃油型公交車,有關(guān)部門計(jì)劃于2024年投入128輛電力型公交車,隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%,試問:
(1)該市在2030年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車
(2)到哪一年年底,該市電力型公交車的數(shù)量開始超過公交車總量的 (lg 657≈2.82,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
25.4　數(shù)列的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.正確理解分期還款的兩種計(jì)算方式.(數(shù)據(jù)分析)
2.掌握政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)的相關(guān)知識(shí).(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)
3.能夠利用等差(比)數(shù)列的知識(shí)解決一些實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
4.借助數(shù)列的遞推關(guān)系解決數(shù)列問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)
【自主預(yù)習(xí)】
　　我國現(xiàn)代都市人的消費(fèi)觀念正在改變——我們對花明天的錢圓今天的夢已不再陌生,許多年輕人過起了名副其實(shí)的“負(fù)翁”生活,貸款購物,分期付款已深入我們生活,在當(dāng)前的市場環(huán)境中,分期付款被很多商家看作是搶市場份額的有效手段,為迎合消費(fèi)心理,商家各盡其能,但面對商家和銀行提供的各種分期還款服務(wù),究竟選擇什么樣的方式好呢
閱讀教材并結(jié)合上述情境回答下列問題:
1.什么是“等額本金還款法”
【答案】　將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還,每一期還款金額由兩部分組成,一部分為每期本金,即貸款本金除以還款期數(shù),另一部分是利息,即貸款本金與已還本金總額的差乘利率.
2.什么是“等額本息還款法”
【答案】　將本金和利息平均分配到每一期進(jìn)行償還.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)“等額本金還款法”中,每一期還款數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列. (　　)
(2)“等額本息還款法”中,每一期還款數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列. (　　)
(3)如果政府的支出增加,那么經(jīng)濟(jì)就會(huì)產(chǎn)生“乘數(shù)”效應(yīng). (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√
2.某件產(chǎn)品計(jì)劃每年成本降低q%,若三年后成本為a,則現(xiàn)在的成本是(　　).
A.a(1+q%)3 B.a(1-q%)3
C. D.
【答案】　C
【解析】　設(shè)現(xiàn)在的成本為x,則x(1-q%)3=a,故x=.
3.自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款200000元作為創(chuàng)業(yè)資金,貸款的年利率為5%,若他按照“等額本金還款法”分10年進(jìn)行還款,則其第二年應(yīng)還　　　　元;若他按照“等額本息還款法”分10年進(jìn)行還款,則其每年還款約　　　　元.(1.0510≈1.62889)
【答案】　29000　25901
【解析】　若采用“等額本金還款法”,則第二年應(yīng)還20000+(200000-20000)×5%=29000(元).若采用“等額本息還款法”,則每年應(yīng)還≈25901(元).
4.今年,某公司投入資金500萬元,由于堅(jiān)持改革,大膽創(chuàng)新,以后每年投入的資金比上一年增加30%,那么7年后該公司共投入資金　　　　萬元.
【答案】　(1.37-1)
【解析】　設(shè)第n年投入資金an萬元,由題意可知an+1=an(1+30%)=1.3an.
∴{an}為首項(xiàng)a1=500,公比為1.3的等比數(shù)列,
∴7年后該公司共投入資金S7==(1.37-1).
【合作探究】
探究1　等差、等比數(shù)列的應(yīng)用
　　我校今年招生1000名高一新生,為擴(kuò)大辦學(xué)規(guī)模,從今年開始的五年內(nèi),計(jì)劃每年比上一年多招生100名,則這5年中我校總共招收多少名學(xué)生
問題1:這是函數(shù)模型嗎
【答案】　是特殊的函數(shù)模型.
問題2:這個(gè)函數(shù)的定義域是什么
【答案】　其定義域是{1,2,3,4,5}.
問題3:如何解決這個(gè)問題
【答案】　建立等差數(shù)列模型.
根據(jù)題意,學(xué)校每年的招生人數(shù)為等差數(shù)列{an},a1=1000,d=100,n=5,
所以這5年中我校總共招收S5=1000×5+×100=6000名學(xué)生.
新知生成
解決數(shù)列應(yīng)用題的思路和方法
(1)認(rèn)真審題準(zhǔn)確理解題意,明確問題是屬于等差數(shù)列問題還是等比數(shù)列問題,要確定a1與項(xiàng)數(shù)n的實(shí)際意義,同時(shí)要搞清是求an還是求Sn.
(2)抓住題目中的主要數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)和方法,恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量,將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來.
(3)將已知和所求聯(lián)系起來,列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式.
新知運(yùn)用
例1　一航模小組進(jìn)行飛機(jī)模型實(shí)驗(yàn),飛機(jī)模型在第一分鐘時(shí)間里上升了15米.
(1)若通過動(dòng)力控制系統(tǒng),使得飛機(jī)模型在以后的每一分鐘里,上升的高度都比它前一分鐘上升的高度少2米,達(dá)到最大高度后保持飛行,問飛機(jī)模型上升的最大高度是多少
(2)若通過動(dòng)力控制系統(tǒng),使得飛機(jī)模型在以后的每一分鐘上升的高度是它在前一分鐘里上升高度的80%,那么這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度能超過75米嗎 請說明理由.
【解析】　(1)由題意知,飛機(jī)模型每分鐘上升的高度構(gòu)成a1=15,d=-2的等差數(shù)列,
則Sn=na1+d=15n+·(-2)=-n2+16n.
當(dāng)n=8時(shí),(Sn)max=S8=64.
即飛機(jī)模型在第8分鐘上升到最大高度,最大高度為64米.
(2)不能超過.理由如下:
由題意知,飛機(jī)模型每分鐘上升的高度構(gòu)成b1=15,q=0.8的等比數(shù)列,
則Sn===75(1-0.8n)<75.
所以這個(gè)飛機(jī)模型上升的最大高度不能超過75米.
【方法總結(jié)】　　利用等差、等比數(shù)列解決實(shí)際問題的一般步驟:(1)閱讀題目,確定數(shù)列類型;(2)尋找已知量;(3)確定未知量;(4)利用等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式建立等式求解.
　　張先生在2018年年底購買了一輛1.6 L排量的小轎車,為積極響應(yīng)政府發(fā)展森林碳匯(指森林植物吸收大氣中的二氧化碳并將其固定在植被或土壤中)的號(hào)召,買車的同時(shí)出資1萬元向中國綠色碳匯基金會(huì)購買了 2畝荒山用于植樹造林.科學(xué)研究表明:轎車每行駛3000公里就要排放1噸二氧化碳,林木每生長1立方米,平均可吸收1.8噸二氧化碳.
(1)若張先生第一年(即2019年)會(huì)用車1.2萬公里,以后逐年増加1000公里,則該轎車使用10年共要排放二氧化碳多少噸
(2)若種植的林木第一年(即2019年)生長了1立方米,以后每年以10%的生長速度遞增,問林木至少生長多少年,吸收的二氧化碳的量超過轎車使用10年排出的二氧化碳的量 (參考數(shù)據(jù):1.114≈3.7975,1.115≈4.1772,1.116≈4.5950)
【解析】　(1)設(shè)第n年小轎車排出的二氧化碳的噸數(shù)為an(n∈N+),
則a1==4,a2==,a3==,…,
顯然其構(gòu)成首項(xiàng)a1=4,公差d=a2-a1=的等差數(shù)列,
記其前n項(xiàng)和為Sn,則S10=10×4+×=55,
所以該轎車使用10年共排放二氧化碳55噸.
(2)記第n年林木吸收二氧化碳的噸數(shù)為bn(n∈N+),
則b1=1×1.8,b2=1×(1+10%)×1.8,b3=1×(1+10%)2×1.8,…,
顯然其構(gòu)成首項(xiàng)為b1=1.8,公比為q=1.1的等比數(shù)列,
記其前n項(xiàng)和為Tn,
由題意,得Tn==18×(1.1n-1)≥55,解得n≥15,
所以林木至少生長15年,其吸收的二氧化碳的量超過轎車使用10年排出的二氧化碳的量.
探究2　分期還款中的數(shù)列問題
　　一對夫婦為5年后能夠購買一輛車,準(zhǔn)備每年到銀行去存一筆等額的錢.假設(shè)銀行儲(chǔ)蓄年利率為5%,按復(fù)利計(jì)算,為了使本利和共有10萬元,請你算一算他們每年約需存多少錢 (精確到1元)
問題1:利用什么模型可以解決這個(gè)問題
【答案】　等比數(shù)列模型.
問題2:請你解決這個(gè)問題.
【答案】　設(shè)每年他們存入x元,一年后存的本利和為x(1+5%),
兩年后的本利和為x(1+5%)+x(1+5%)2,
以此類推,5年后的本利和為x(1+5%)+x(1+5%)2+…+x(1+5%)5,
依題意,列方程得x(1+5%)+x(1+5%)2+…+x(1+5%)5=100000,
即1.05x×=100000,解得x≈17236.
所以每年約需存入17236元.
新知生成
分期還款與數(shù)列
(1)等額本金還款法:將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還,每期還款金額=+(貸款本金-已還本金總額)×利率.
(2)等額本息還款法:將本金和利息平均分配到每一期進(jìn)行償還.每期還款金額=,其中A0為貸款時(shí)的資金,r為銀行貸款月利率,m為還款總期數(shù)(單位:月).
新知運(yùn)用
例2　某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造,有兩種方案:
甲方案:一次性貸款10萬元,第一年便可獲得利潤1萬元,以后每年比上年增加30%的利潤;
乙方案:每年貸款1萬元,第一年可獲得利潤1萬元,以后每年比前一年多獲利5000元.
兩種方案的期限都是10年,到期一次性歸還本息.若銀行貸款利息均以年息10%計(jì)算,試比較兩個(gè)方案哪個(gè)獲得純利潤更多 (計(jì)算精確到千元,參考數(shù)據(jù):1.110≈2.594,1.310≈13.786)
【解析】　根據(jù)題意,分析可得甲方案是等比數(shù)列,乙方案是等差數(shù)列.
甲方案獲利1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9 =≈42.62(萬),
而銀行的利息成本為10(1+0.1)10=25.94萬元,
那么甲方案的純利潤為42.62-25.94≈16.7萬元.
乙方案逐年獲利成等差數(shù)列,前10年共獲利1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5) ==32.50(萬元),
貸款的本利和為1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)9]≈17.53(萬元),
所以乙方案扣除本利后的純利潤為32.50-17.53≈15.0(萬元).
所以甲方案的獲利更多.
【方法總結(jié)】　　解決數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題,關(guān)鍵是讀懂題意,從實(shí)際問題中提煉出問題的實(shí)質(zhì),轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決.價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖、利率、增長率等問題常歸結(jié)為數(shù)列建模,從而歸納轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題去解決.
　　小華準(zhǔn)備購買一部售價(jià)為5000元的手機(jī),采用分期付款方式,并在一年內(nèi)將款全部付清.商家提出的付款方式為購買2個(gè)月后第1次付款,再過2個(gè)月后第2次付款,…,購買12個(gè)月后第6次付款,每次付款金額相同,約定月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計(jì)算,估計(jì)小華每期的付款金額.(參考數(shù)據(jù):1.0082≈1.016,1.00812≈1.100)
【解析】　設(shè)小華每期付款x元,到第k個(gè)月時(shí)已付款及利息為Ak元,則:
A2=x;
A4=A2(1+0.008)2+x=x(1+1.0082);
A6=A4(1+0.008)2+x=x(1+1.0082+1.0084);
…;
A12=x(1+1.0082+1.0084+1.0086+1.0088+1.00810).
∵年底付清欠款,∴A12=5000×1.00812,
即5000×1.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),
∴x=
=≈880.
故小華每期付款金額約為880元.
【隨堂檢測】
1.某空調(diào)制造廠用若干臺(tái)效率相同的機(jī)械組裝空調(diào),若所用機(jī)械同時(shí)開動(dòng),則需24 小時(shí)完成一項(xiàng)任務(wù);若一臺(tái)接一臺(tái)地開動(dòng),每相鄰兩臺(tái)啟動(dòng)時(shí)間間隔都相同,則到完成該項(xiàng)任務(wù)時(shí),第一臺(tái)的工作時(shí)間是最后一臺(tái)的7倍,則最后一臺(tái)機(jī)械工作的時(shí)間是(　　).
A.2小時(shí) B.4小時(shí) C.6小時(shí) D.8小時(shí)
【答案】　C
【解析】　設(shè)有n臺(tái)機(jī)械,每相鄰兩臺(tái)啟動(dòng)時(shí)間間隔為d小時(shí),最后一臺(tái)工作時(shí)間為t小時(shí),由題意得化簡得解得t=6,即最后一臺(tái)機(jī)械工作的時(shí)間為6小時(shí).故選C.
2.私家車具有申請報(bào)廢制度.若一車主購買車輛時(shí)花費(fèi)15萬,每年的保險(xiǎn)費(fèi)、路橋費(fèi)、汽油費(fèi)等約1.5萬元,每年的維修費(fèi)是一個(gè)公差為3000元的等差數(shù)列,第一年維修費(fèi)為3000元,則該車主申請車輛報(bào)廢的最佳年限(使用多少年的年平均費(fèi)用最少)是第(　　)年.
A.6 B.8 C.9 D.10
【答案】　D
【解析】　設(shè)這輛汽車報(bào)廢的最佳年限為第n年,第n年的費(fèi)用為an,則an=1.5+0.3n.前n年的總費(fèi)用為Sn=15+1.5n+(0.3+0.3n)=0.15n2+1.65n+15,年平均費(fèi)用為=0.15n++1.65≥2+1.65=4.65,當(dāng)且僅當(dāng)0.15n=,即n=10時(shí),年平均費(fèi)用取得最小值,所以這輛汽車報(bào)廢的最佳年限是第10年.
3.某市在2023年共有1萬輛燃油型公交車,有關(guān)部門計(jì)劃于2024年投入128輛電力型公交車,隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%,試問:
(1)該市在2030年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車
(2)到哪一年年底,該市電力型公交車的數(shù)量開始超過公交車總量的 (lg 657≈2.82,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
【解析】　(1)設(shè)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列{an},其中首項(xiàng)a1=128,公比q=1.5,則在2030年應(yīng)該投入的電力型公交車的數(shù)量為a7=a1·q6=1458(輛).
(2)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,根據(jù)題意,得>,所以Sn=>5000,即1.5n>,兩邊同時(shí)取常用對數(shù),可得nlg 1.5>lg,即n(lg 3-lg 2)>lg 657-5lg 2,所以n>≈7.3.
又n∈N+,所以n≥8,所以到2031年年底,該市電力型公交車的數(shù)量開始超過公交車總量的.
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