資源簡介

5.3.2課時2　等比數列前n項和公式的綜合應用
【學習目標】
1.掌握等比數列前n項和公式在幾何中的應用.(邏輯推理、直觀想象)
2.能夠運用等比數列前n項和公式解決實際問題.(邏輯推理、數學建模)
3.能夠利用遞推公式解決一些實際問題.(邏輯推理、數學建模)
【自主預習】
1.某件產品計劃每年成本降低q%,若三年后成本為a,則現在的成本是(　　).
A.a(1+q%)3 B.a(1-q%)3
C. D.
2.某人在2022年元旦存入a元,若按年利率為x計算(不計利息稅),則到2027年元旦可取(　　)元.
A.a(1+x)5 B.a(1+x)6
C.a(1+x)4 D.a(1+x5)
3.數列{2n-1}的前n項和為　　　　.
4.如圖,將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分,以中間一段為邊向外作正三角形,并擦去中間一段,得圖(2).如此繼續下去,得圖(3)….
則第5個圖形的邊長為　　　　　;第n個圖形的周長為　　　　　.
【合作探究】
探究1　等比數列前n項和公式在平面幾何中的應用
例1　侏羅紀蜘蛛網是一種非常有規則的蜘蛛網,如圖,它是由無數個正方形環繞而成,且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點上,設外圍第一個正方形的邊長是m,有人說,如此下去,蜘蛛網的長度也是無限的增大,那么侏羅紀蜘蛛網的長度真的是無限長的嗎 設侏羅紀蜘蛛網的長度為Sn,則(　　).
A.Sn無限大
B.Sn<3m(3+)
C.Sn=3m(3+)
D.Sn可以取100m
【方法總結】　　此類幾何問題可以轉化為等比數列模型,利用等比數列的有關知識解決,要注意步驟的規范性.
　　如圖,正方形ABCD的邊長為2,取正方形ABCD各邊的中點E,F,G,H,則得到第2個正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各邊的中點I,J,K,L,則得到第3個正方形IJKL,依此方法一直繼續下去,則第4個正方形的面積是　　　.從正方形ABCD開始,連續8個正方形面積之和是　　　.
　
探究2　等比數列前n項和公式在實際問題中的應用
例2　去年某地產生生活垃圾20萬噸,其中14萬噸垃圾以填埋方式處理,6萬噸垃圾以環保方式處理.預計每年生活垃圾的總量遞增5%,同時,通過環保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.記從今年起每年生活垃圾的總量(單位:萬噸)構成數列{an},每年以環保方式處理的垃圾量(單位:萬噸)構成數列{bn}.
(1)求數列{an}和數列{bn}的通項公式;
(2)為了確定處理生活垃圾的預算,請求出從今年起,n年內通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式,并計算從今年起5年內通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬噸).(參考數據1.054≈1.216,1.055≈1.276,1.056≈1.340)
【方法總結】　　解答數列應用題的步驟:
(1)審題——仔細閱讀材料,認真理解題意.
(2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數學(數列)語言,將實際問題轉化成數學(數列)問題,弄清該數列的結構和特征.
(3)求解——求出該問題的數學解.
(4)還原——將所求結果還原到實際問題中.
注意:判斷數列類型的兩個關鍵詞:“平均變化量是常數”→等差數列;“平均變化率是常數”→等比數列.
　　某地投入資金進行生態環境建設,并以此發展旅游產業.根據規劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少,本年度當地旅游收入估計為400萬元,由于該項建設對旅游業有促進作用,預計今后的旅游業收入每年會比上年增長.設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元,旅游業總收入為bn萬元,寫出an,bn的表達式.
探究3　遞推公式在實際問題中的應用
例3　(多選題)某牧場2023年年初牛的存欄數為500,預計以后每年存欄數的增長率為20%,且在每年年底賣出60頭牛.設牧場從2023年起每年年初的計劃存欄數依次為c1,c2,c3,…,cn,其中n∈N+,則下列結論正確的是(　　).(附:1.25≈2.4883,1.26≈2.9860,1.27≈3.5832,1.210≈6.1917)
A.c2=540
B.cn+1與cn的遞推公式為cn+1=1.2cn-60
C.按照計劃2029年年初存欄數首次突破1000
D.令S10=c1+c2+c3+…+c10,則S10≈8192(精確到整數)
【方法總結】　　求解較復雜的與數列模型相關問題時,一般需要對數列模型進行分析,利用遞推公式或等式兩邊同加或者同減某數,湊配出我們熟悉的數列模型.
　　某公司從2023年初開始生產某種高科技產品,初始投入資金為1000萬元,到年底資金增長50%.預計以后每年資金增長率與第一年相同,但每年年底公司要扣除消費資金x萬元,余下的資金再投入下一年的生產.設第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為an萬元.
(1)用x表示a1,a2,并寫出an+1與an的關系式;
(2)若企業希望經過5年后,使企業剩余資金達3000萬元,試確定每年年底扣除的消費資金x的值(精確到萬元).
【隨堂檢測】
1.某小鎮在今年年底統計有20萬人,預計人數年平均增長率為1%,則五年后這個小鎮有(　　)萬人.
A.20×(1.01)5 B.20×(1.01)4
C.20× D.20×
2.已知A(0,0),B(5,0),C(1,3),連接△ABC 的各邊中點得到△A1B1C1,連接△A1B1C1 的各邊中點得到△A2B2C2,如此無限繼續下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,….則這一系列三角形的面積之和無限趨近于常數(　　).
A. B.5 C.10 D.15
3.某科研單位欲拿出一定的經費獎勵科研人員,第一名得全部獎金的一半多一萬元,第二名得余下的一半多一萬元,以此類推,每人都得到余下的一半多一萬元,到第十名恰好分完,則此單位共拿出　　　　萬元資金獎勵科研人員(參考數據:210=1024,211=2048).
4.有邊長為1的正方形,取其對角線的一半作邊,構成新的正方形,再取新正方形對角線的一半作邊,構成正方形……如此形成一個邊長不斷縮小的正方形系列.
(1)從原始的正方形開始計數,到第2次構成新正方形時,共有3個正方形,則第3個正方形的邊長為　　　　;
(2)將這一過程延續下去,記前n個正方形面積的和為Sn.若 n∈N+,Sn25.3.2課時2　等比數列前n項和公式的綜合應用
【學習目標】
1.掌握等比數列前n項和公式在幾何中的應用.(邏輯推理、直觀想象)
2.能夠運用等比數列前n項和公式解決實際問題.(邏輯推理、數學建模)
3.能夠利用遞推公式解決一些實際問題.(邏輯推理、數學建模)
【自主預習】
1.某件產品計劃每年成本降低q%,若三年后成本為a,則現在的成本是(　　).
A.a(1+q%)3 B.a(1-q%)3
C. D.
2.某人在2022年元旦存入a元,若按年利率為x計算(不計利息稅),則到2027年元旦可取(　　)元.
A.a(1+x)5 B.a(1+x)6
C.a(1+x)4 D.a(1+x5)
3.數列{2n-1}的前n項和為　　　　.
4.如圖,將一個邊長為1的正三角形的每條邊三等分,以中間一段為邊向外作正三角形,并擦去中間一段,得圖(2).如此繼續下去,得圖(3)….
則第5個圖形的邊長為　　　　　;第n個圖形的周長為　　　　　.
【合作探究】
探究1　等比數列前n項和公式在平面幾何中的應用
例1　侏羅紀蜘蛛網是一種非常有規則的蜘蛛網,如圖,它是由無數個正方形環繞而成,且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點上,設外圍第一個正方形的邊長是m,有人說,如此下去,蜘蛛網的長度也是無限的增大,那么侏羅紀蜘蛛網的長度真的是無限長的嗎 設侏羅紀蜘蛛網的長度為Sn,則(　　).
A.Sn無限大
B.Sn<3m(3+)
C.Sn=3m(3+)
D.Sn可以取100m
【方法總結】　　此類幾何問題可以轉化為等比數列模型,利用等比數列的有關知識解決,要注意步驟的規范性.
　　如圖,正方形ABCD的邊長為2,取正方形ABCD各邊的中點E,F,G,H,則得到第2個正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各邊的中點I,J,K,L,則得到第3個正方形IJKL,依此方法一直繼續下去,則第4個正方形的面積是　　　.從正方形ABCD開始,連續8個正方形面積之和是　　　.
　
探究2　等比數列前n項和公式在實際問題中的應用
例2　去年某地產生生活垃圾20萬噸,其中14萬噸垃圾以填埋方式處理,6萬噸垃圾以環保方式處理.預計每年生活垃圾的總量遞增5%,同時,通過環保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.記從今年起每年生活垃圾的總量(單位:萬噸)構成數列{an},每年以環保方式處理的垃圾量(單位:萬噸)構成數列{bn}.
(1)求數列{an}和數列{bn}的通項公式;
(2)為了確定處理生活垃圾的預算,請求出從今年起,n年內通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式,并計算從今年起5年內通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬噸).(參考數據1.054≈1.216,1.055≈1.276,1.056≈1.340)
【方法總結】　　解答數列應用題的步驟:
(1)審題——仔細閱讀材料,認真理解題意.
(2)建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數學(數列)語言,將實際問題轉化成數學(數列)問題,弄清該數列的結構和特征.
(3)求解——求出該問題的數學解.
(4)還原——將所求結果還原到實際問題中.
注意:判斷數列類型的兩個關鍵詞:“平均變化量是常數”→等差數列;“平均變化率是常數”→等比數列.
　　某地投入資金進行生態環境建設,并以此發展旅游產業.根據規劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少,本年度當地旅游收入估計為400萬元,由于該項建設對旅游業有促進作用,預計今后的旅游業收入每年會比上年增長.設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元,旅游業總收入為bn萬元,寫出an,bn的表達式.
探究3　遞推公式在實際問題中的應用
例3　(多選題)某牧場2023年年初牛的存欄數為500,預計以后每年存欄數的增長率為20%,且在每年年底賣出60頭牛.設牧場從2023年起每年年初的計劃存欄數依次為c1,c2,c3,…,cn,其中n∈N+,則下列結論正確的是(　　).(附:1.25≈2.4883,1.26≈2.9860,1.27≈3.5832,1.210≈6.1917)
A.c2=540
B.cn+1與cn的遞推公式為cn+1=1.2cn-60
C.按照計劃2029年年初存欄數首次突破1000
D.令S10=c1+c2+c3+…+c10,則S10≈8192(精確到整數)
【方法總結】　　求解較復雜的與數列模型相關問題時,一般需要對數列模型進行分析,利用遞推公式或等式兩邊同加或者同減某數,湊配出我們熟悉的數列模型.
　　某公司從2023年初開始生產某種高科技產品,初始投入資金為1000萬元,到年底資金增長50%.預計以后每年資金增長率與第一年相同,但每年年底公司要扣除消費資金x萬元,余下的資金再投入下一年的生產.設第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為an萬元.
(1)用x表示a1,a2,并寫出an+1與an的關系式;
(2)若企業希望經過5年后,使企業剩余資金達3000萬元,試確定每年年底扣除的消費資金x的值(精確到萬元).
【隨堂檢測】
1.某小鎮在今年年底統計有20萬人,預計人數年平均增長率為1%,則五年后這個小鎮有(　　)萬人.
A.20×(1.01)5 B.20×(1.01)4
C.20× D.20×
2.已知A(0,0),B(5,0),C(1,3),連接△ABC 的各邊中點得到△A1B1C1,連接△A1B1C1 的各邊中點得到△A2B2C2,如此無限繼續下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,….則這一系列三角形的面積之和無限趨近于常數(　　).
A. B.5 C.10 D.15
3.某科研單位欲拿出一定的經費獎勵科研人員,第一名得全部獎金的一半多一萬元,第二名得余下的一半多一萬元,以此類推,每人都得到余下的一半多一萬元,到第十名恰好分完,則此單位共拿出　　　　萬元資金獎勵科研人員(參考數據:210=1024,211=2048).
4.有邊長為1的正方形,取其對角線的一半作邊,構成新的正方形,再取新正方形對角線的一半作邊,構成正方形……如此形成一個邊長不斷縮小的正方形系列.
(1)從原始的正方形開始計數,到第2次構成新正方形時,共有3個正方形,則第3個正方形的邊長為　　　　;
(2)將這一過程延續下去,記前n個正方形面積的和為Sn.若 n∈N+,Sn2

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