資源簡介

5.5　數學歸納法
【學習目標】
1.了解數學歸納法的原理.(數學抽象、邏輯推理)
2.掌握數學歸納法的步驟.(邏輯推理)
3.能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.(邏輯推理)
【自主預習】
1.如果你從袋子里拿出5個小球,發現全部都是綠色的,那么能否判斷袋子里面的小球都是綠色的
2.對于數列{an},已知a1=1,(n+2)an+1=(n+1)an(n=1,2,3,…),通過對n=1,2,3,4前4項的歸納,猜出其通項公式為an=.而在教材第51頁中,根據多米諾骨牌游戲的原理給出證明,說明猜想是正確的,其證明步驟是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)與正整數n有關的數學命題的證明只能用數學歸納法. (　　)
(2)數學歸納法的第一步n0的初始值一定為1. (　　)
(3)數學歸納法的兩個步驟缺一不可. (　　)
2.用數學歸納法證明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1×3×…·(2n-1)”時,從“k”到“k+1”左端需增乘的代數式為(　　).
A.2k+1 B.2(2k+1)
C. D.
3.用數學歸納法證明:++…+>-,假設當n=k時,不等式成立,則當n=k+1時,應推證的目標不等式是　　　　　　　　.
4.用數學歸納法證明等式“1+2+3+…+(n+3)=”,第一步驗證當n=1時,左邊應取的項是　　　　.
【合作探究】
探究1　數學歸納法
　　問題:在多米諾骨牌游戲中,能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么
新知生成
一個與　自然數　有關的命題,如果
(1)當n=n0時,命題成立;
(2)在假設n=　k(其中k≥n0)　時命題成立的前提下,能夠推出n=　k+1　時命題也成立.
那么,這個命題對　大于等于n0　的所有自然數都成立.
新知運用
例1　用數學歸納法證明“1+2+3+…+n3=(n∈N+)”,則當n=k+1時,應當在n=k時對應的等式的左邊加上(　　).
A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3
B.k3+1
C.(k+1)3
D.
方法指導　先確定當n=k 時等式左端的代數式,再確定當n=k+1時等式左端的代數式,進而確定其應當在n=k時對應的等式的左邊加上的代數式.
【方法總結】　　用數學歸納法證明恒等式時,一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;二是弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;三是證明n=k+1時結論也成立,要設法將待證式與歸納假設建立聯系,并朝n=k+1證明目標的表達式變形.
　　證明:1-+-+…+-=++…+(n∈N+).
探究2　用數學歸納法證明不等式
例2　已知正項數列{an}中,a1=1,an+1=1+(n∈N+),用數學歸納法證明:an方法指導　直接利用數學歸納法的證明步驟,通過n=1驗證不等式成立,假設n=k時不等式成立,證明n=k+1時不等式也成立即可.
【方法總結】　　用數學歸納法證明不等式的四個關鍵
(1)驗證第一個n的值時,要注意n0不一定為1,若n>k(k為正整數),則n0=k+1.
(2)證明不等式的第二步中,從n=k到n=k+1的推導過程中,一定要用到歸納假設,不運用歸納假設的證明不是數學歸納法,因為缺少歸納假設.
(3)用數學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式:一是直接給出不等式,按要求進行證明;二是給出兩個式子,按要求比較它們的大小.第二種形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較,以免出現判斷失誤,最后猜出從某個n值開始都成立的結論,常用數學歸納法證明.
(4)用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n=k時成立得出n=k+1時也成立,主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等.
用數學歸納法證明:
1+++…+<2-(n∈N+,n≥2).
探究3　“歸納—猜想—證明”問題
例3　已知數列{an}的前n項和為Sn,其中an=,且a1=.
(1)求a2,a3;
(2)猜想數列{an}的通項公式,并證明.
方法指導　(1)令n=2,3可分別求出a2,a3.
(2)根據a1,a2,a3的值,找出規律,猜想an,再用數學歸納法證明.
【方法總結】　　“歸納—猜想—證明”的一般步驟
已知函數y=f(n)(n∈N+),設f(1)=2,且對任意的n1,n2∈N+,都有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2).
(1)求f(2),f(3),f(4)的值;
(2)試猜想f(n)的【解析】式,并用數學歸納法給出證明.
【隨堂檢測】
1.用數學歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=(n∈N+,a≠1)”,在驗證當n=1時,左邊所得的項為(　　).
A.1 B.1+a+a2
C.1+a D.1+a+a2+a3
2.用數學歸納法證明:設f(n)=1+++…+,則n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n)(n∈N+,n≥2),第一步要證的式子是(　　).
A.2+f(1)=2f(2) B.2+f(1)=2f(1)
C.2+f(2)=2f(2) D.2+f(2)=2f(1)
3.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),用數學歸納法證明f(2n)>時,f(2k+1)-f(2k)=　　　　　　　　.
4.已知數列{an}滿足a1=,an+1=(n∈N+).
(1)求a1,a2,a3,a4;
(2)根據(1)猜想數列的通項公式an,并用數學歸納法證明你的結論.
25.5　數學歸納法
【學習目標】
1.了解數學歸納法的原理.(數學抽象、邏輯推理)
2.掌握數學歸納法的步驟.(邏輯推理)
3.能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.(邏輯推理)
【自主預習】
1.如果你從袋子里拿出5個小球,發現全部都是綠色的,那么能否判斷袋子里面的小球都是綠色的
【答案】　不能.通過考察部分對象,得到一般的結論的方法,叫不完全歸納法.不完全歸納法得到的結論不一定正確.例如,在數學上有費馬猜想、哥德巴赫猜想等,他們所用的就是不完全歸納法,至于最終的結論能否成立,只能留給你們了.
2.對于數列{an},已知a1=1,(n+2)an+1=(n+1)an(n=1,2,3,…),通過對n=1,2,3,4前4項的歸納,猜出其通項公式為an=.而在教材第51頁中,根據多米諾骨牌游戲的原理給出證明,說明猜想是正確的,其證明步驟是什么
【答案】?、衮炞C當n=1時,猜想成立;②假設當n=k(n∈N+)時,猜想成立,然后證明當n=k+1時,猜想也成立,從而證明原猜想正確.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)與正整數n有關的數學命題的證明只能用數學歸納法. (　　)
(2)數學歸納法的第一步n0的初始值一定為1. (　　)
(3)數學歸納法的兩個步驟缺一不可. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
2.用數學歸納法證明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1×3×…·(2n-1)”時,從“k”到“k+1”左端需增乘的代數式為(　　).
A.2k+1 B.2(2k+1)
C. D.
【答案】　B
【解析】　當n=k時,等式的左邊=(k+1)(k+2)·…·(k+k),當n=k+1時,等式的左邊=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+k)(k+1+k)(k+k+2),所以從“k”到“k+1”左端需增乘的代數式為=2(2k+1).
3.用數學歸納法證明:++…+>-,假設當n=k時,不等式成立,則當n=k+1時,應推證的目標不等式是　　　　　　　　.
【答案】　++…++>-
4.用數學歸納法證明等式“1+2+3+…+(n+3)=”,第一步驗證當n=1時,左邊應取的項是　　　　.
【答案】　1+2+3+4
【解析】　當n=1時,左邊=1+2+3+4.
【合作探究】
探究1　數學歸納法
　　問題:在多米諾骨牌游戲中,能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么
【答案】　使多米諾骨牌全部倒下需要以下兩個條件:(1)第一塊骨牌倒下;(2)任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導致后一塊倒下.
新知生成
一個與　自然數　有關的命題,如果
(1)當n=n0時,命題成立;
(2)在假設n=　k(其中k≥n0)　時命題成立的前提下,能夠推出n=　k+1　時命題也成立.
那么,這個命題對　大于等于n0　的所有自然數都成立.
新知運用
例1　用數學歸納法證明“1+2+3+…+n3=(n∈N+)”,則當n=k+1時,應當在n=k時對應的等式的左邊加上(　　).
A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3
B.k3+1
C.(k+1)3
D.
方法指導　先確定當n=k 時等式左端的代數式,再確定當n=k+1時等式左端的代數式,進而確定其應當在n=k時對應的等式的左邊加上的代數式.
【答案】　A
【解析】　當n=k 時,等式左端=1+2+…+k3 ,
　　當n=k+1 時,等式左端=1+2+…+k3+(k3+1)+(k3+2)+(k3+3)+…+(k+1)3.故選A.
【方法總結】　　用數學歸納法證明恒等式時,一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況;二是弄清從n=k到n=k+1等式兩端增加了哪些項,減少了哪些項;三是證明n=k+1時結論也成立,要設法將待證式與歸納假設建立聯系,并朝n=k+1證明目標的表達式變形.
　　證明:1-+-+…+-=++…+(n∈N+).
【解析】?、佼攏=1時,左邊=1-=,右邊=,等式成立.
②假設當n=k(k∈N+)時等式成立,即
1-+-+…+-=++…+,
那么,當n=k+1時,
1-+-+…+-+-
=++…++-
=++…+++.
根據①和②,可知等式對任何n∈N+都成立.
探究2　用數學歸納法證明不等式
例2　已知正項數列{an}中,a1=1,an+1=1+(n∈N+),用數學歸納法證明:an方法指導　直接利用數學歸納法的證明步驟,通過n=1驗證不等式成立,假設n=k時不等式成立,證明n=k+1時不等式也成立即可.
【解析】?、佼攏=1時,a2=1+=,a1所以n=1時,不等式成立;
②假設當n=k(k∈N+)時,akak+2-ak+1=1+-ak+1
=1+-
=>0,
所以當n=k+1時,不等式成立.
由①和②可知,不等式an【方法總結】　　用數學歸納法證明不等式的四個關鍵
(1)驗證第一個n的值時,要注意n0不一定為1,若n>k(k為正整數),則n0=k+1.
(2)證明不等式的第二步中,從n=k到n=k+1的推導過程中,一定要用到歸納假設,不運用歸納假設的證明不是數學歸納法,因為缺少歸納假設.
(3)用數學歸納法證明與n有關的不等式一般有兩種具體形式:一是直接給出不等式,按要求進行證明;二是給出兩個式子,按要求比較它們的大小.第二種形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較,以免出現判斷失誤,最后猜出從某個n值開始都成立的結論,常用數學歸納法證明.
(4)用數學歸納法證明不等式的關鍵是由n=k時成立得出n=k+1時也成立,主要方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等.
用數學歸納法證明:
1+++…+<2-(n∈N+,n≥2).
【解析】?、佼攏=2時,1+=<2-=,命題成立.
②假設n=k(k≥2,且k∈N+)時命題成立,即1+++…+<2-.
當n=k+1時,1+++…++<2-+<2-+=2-+-=2-,命題成立.
由①和②知,原不等式在n∈N+,n≥2時均成立.
探究3　“歸納—猜想—證明”問題
例3　已知數列{an}的前n項和為Sn,其中an=,且a1=.
(1)求a2,a3;
(2)猜想數列{an}的通項公式,并證明.
方法指導　(1)令n=2,3可分別求出a2,a3.
(2)根據a1,a2,a3的值,找出規律,猜想an,再用數學歸納法證明.
【解析】　(1)a2==,a1=,
則a2=,同理可得a3=.
(2)由a1=,a2=,a3=,…,猜想an=.
證明:①當n=1時,由(1)可知等式成立;
②假設當n=k(k∈N+)時猜想成立,即ak=,那么,當n=k+1時,由題設an=,得ak=,ak+1=,
所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)·=,Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1,
所以ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-.
因此k(2k+3)ak+1=,所以ak+1==.
所以當n=k+1時猜想成立.
由①②可知,猜想對任何n∈N+都成立.
【方法總結】　　“歸納—猜想—證明”的一般步驟
已知函數y=f(n)(n∈N+),設f(1)=2,且對任意的n1,n2∈N+,都有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2).
(1)求f(2),f(3),f(4)的值;
(2)試猜想f(n)的【解析】式,并用數學歸納法給出證明.
【解析】　(1)因為f(1)=2,f(n1+n2)=f(n1)·f(n2),
所以f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22=4,
f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=22·2=23=8.
f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=23·2=24=16.
(2)猜想:f(n)=2n(n∈N+).
用數學歸納法證明如下:
①當n=1時,f(1)=21=2,猜想正確.
②假設當n=k(k∈N+)時猜想正確,即f(k)=2k,
那么當n=k+1時,f(k+1)=f(k)·f(1)=2k·2=2k+1,
所以當n=k+1時,猜想正確.
由①②知,對任意的n∈N+,都有f(n)=2n.
【隨堂檢測】
1.用數學歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=(n∈N+,a≠1)”,在驗證當n=1時,左邊所得的項為(　　).
A.1 B.1+a+a2
C.1+a D.1+a+a2+a3
【答案】　B
【解析】　當n=1時,n+1=2,故左邊所得的項為1+a+a2.
2.用數學歸納法證明:設f(n)=1+++…+,則n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=nf(n)(n∈N+,n≥2),第一步要證的式子是(　　).
A.2+f(1)=2f(2) B.2+f(1)=2f(1)
C.2+f(2)=2f(2) D.2+f(2)=2f(1)
【答案】　A
【解析】　因為n≥2,所以n0=2.觀察等式左邊最后一項,將n0=2代入即可得2+f(1)=2f(2).
3.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),用數學歸納法證明f(2n)>時,f(2k+1)-f(2k)=　　　　　　　　.
【答案】　++…+
【解析】　因為f(2k)=1+++…+,
f(2k+1)=1+++…+++…+,
所以f(2k+1)-f(2k)=++…+.
4.已知數列{an}滿足a1=,an+1=(n∈N+).
(1)求a1,a2,a3,a4;
(2)根據(1)猜想數列的通項公式an,并用數學歸納法證明你的結論.
【解析】　(1)因為a1=,an+1=(n∈N+),所以a2==,a3==,a4==.
(2)猜想:an=(n∈N+).用數學歸納法證明如下:①當n=1時,a1==,猜想成立;②假設當n=k(k∈N+)時猜想成立,即ak=,那么當n=k+1時,ak+1====,故當n=k+1時,猜想也成立.
由①②知,an=對所有n∈N+成立.
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