資源簡介

6.1.1　函數的變化率問題
【學習目標】
1.結合具體的實例理解函數的平均變化率的概念,會根據具體函數求出函數的平均變化率.(數學建模、數學運算)
2.結合具體情境,掌握以直代曲的數學思想.(數學運算)
3.通過具體的實例理解平均速度的概念,能夠明確平均速度和平均變化率之間的關系.(邏輯推理)
【自主預習】
　　很多人都吹過氣球,回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.
閱讀教材,結合上述情境回答下列問題:
1.近似地將氣球看成一個球體,氣球的半徑r(單位:dm)與體積V(單位:L)之間的函數關系是什么
2.氣球中空氣容量V從0 L增加到1 L時,氣球的平均膨脹率是多少
3.氣球中空氣容量V從1 L增加到2 L時,氣球的平均膨脹率是多少
4.氣球中空氣容量的變化情況與它的平均膨脹率有什么關系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)Δx表示x2-x1,是相對于x1的一個增量,Δx的值可正可負,但不可為零. (　　)
(2)Δy表示f(x2)-f(x1),Δy的值可正可負,也可以為零. (　　)
(3)表示曲線y=f(x)上(x1,f(x1)),(x2,f(x2))兩點連線的斜率. (　　)
(4)若物體在某段時間內的平均速度為0,則物體始終處于靜止狀態. (　　)
2.若一質點按規律s=8+t2運動,則它在一小段時間[2,2.1]內的平均速度是(　　).
A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1
3.汽車行駛的路程s和時間t之間的函數圖象如圖所示.在時間段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分別為,,,其三者的大小關系是　　　　.
4.人們發現,在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.計算運動員在時間段①0≤t≤0.5,②1≤t≤2內的平均速度,并思考平均速度有什么作用.
【合作探究】
探究1　平均變化率
　　某市2023年3月和4月某天日最高氣溫記錄如下表.
時間t/d 3月18日 4月18日 4月20日
日最高氣溫T/℃ 3.5 ℃ 18.6 ℃ 33.4 ℃
　　4月20日那天人們會驚呼“天氣熱得太快”.
問題:如何從數學的角度刻畫氣溫“陡升”
注意:在平均變化率中,Δx可正可負但Δx不可以為0,Δy可以為0,可以為0.當=0時,并不能說明函數在該區間上一定為常函數,如f(x)=x2在區間[-2,2]上的平均變化率是0,但它不是常函數.
新知運用
例1　已知函數f(x)=x2+x,分別計算f(x)在自變量x從1變到3和從1變到2時的平均變化率.
【方法總結】　　可根據定義代入公式直接求解平均變化率,解題的關鍵是弄清自變量的增量Δx與函數值的增量Δy,求平均變化率的主要步驟如下:
求函數y=x2在x=1,x=2,x=3附近的平均變化率,并判斷哪一點附近的平均變化率最大.
探究2　平均速度
　　小蒙騎自行車由靜止沿直線運動,他在第1 s內、第2 s內、第3 s內、第4 s內通過的位移分別為1 m、2 m、3 m、4 m.
問題:你能求出小蒙騎自行車在這4 s內的平均速度嗎
新知生成
如果物體運動的位移x m與時間t s的關系為x=h(t),則物體在[t1,t2](t1新知運用
例2　已知某物體的運動方程為s=t2+2t(s的單位:m,t的單位:s).求:
(1)該物體在0≤t≤3這段時間里的平均速度;
(2)該物體在2≤t≤3這段時間里的平均速度;
(3)該物體在t0≤t≤t0+Δt這段時間里的平均速度.
【方法總結】　　1.平均速度反映運動物體的位移隨時間變化而變化的情況.平均速度是運動物體在一個時間段內位移的改變量與這段時間的比值.
2.運動物體在t0到t1這段時間內運動的平均速度就是物體運動的位移函數s(t)在區間[t0,t1]上的平均變化率,因此求平均速度的實質就是求函數的平均變化率.
以v0(v0>0)為初速度做豎直上拋運動的物體,t時刻的高度為s(t)=v0t-gt2(g為常數),求該物體從t0到t0+Δt的平均速度.
探究3　利用平均變化率解決實際問題
新知運用
例3　甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關系如圖所示,治污效果較好的是　　　.
【方法總結】　　當比較函數平均變化率的大小時,可以先將函數在每個自變量附近的平均變化率求出,再進行大小的比較.
識圖時,一定要結合題意弄清圖象所反映的量之間的關系,圖象在點x0附近的圖象越“陡峭”,函數值的變化就越快.
物體甲、乙在時間0到t1范圍內路程的變化情況如圖所示,則下列說法中正確的是(　　).
A.在0到t0范圍內甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范圍內甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范圍內甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范圍內甲的平均速度小于乙的平均速度
【隨堂檢測】
1.已知函數f(x)=x2-1的圖象上一點P(2,3)及其鄰近一點Q(2+Δx,3+Δy),則=(　　).
A.4 B.4Δx C.4+Δx D.Δx
2.一輛汽車在起步的前10 s內,按s=3t2+1(t的單位:s,s的單位:m)的規律做直線運動,則在2≤t≤3這段時間里的平均速度是(　　).
A.4 m/s B.13 m/s
C.15 m/s D.28 m/s
3.(2023·江西萍鄉月考)降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣,即開窗通風換氣.在某室內,空氣中微生物密度(c)隨開窗通風換氣時間(t)的關系如圖所示.則下列時間段內,空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是(　　).
A.[5,10] B.[5,15]
C.[5,20] D.[5,35]
4.已知函數y=x3-2,當x=2時,=　　　　.
26.1.1　函數的變化率問題
【學習目標】
1.結合具體的實例理解函數的平均變化率的概念,會根據具體函數求出函數的平均變化率.(數學建模、數學運算)
2.結合具體情境,掌握以直代曲的數學思想.(數學運算)
3.通過具體的實例理解平均速度的概念,能夠明確平均速度和平均變化率之間的關系.(邏輯推理)
【自主預習】
　　很多人都吹過氣球,回憶一下吹氣球的過程,可以發現,隨著氣球內空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.
閱讀教材,結合上述情境回答下列問題:
1.近似地將氣球看成一個球體,氣球的半徑r(單位:dm)與體積V(單位:L)之間的函數關系是什么
【答案】　r(V)=.
2.氣球中空氣容量V從0 L增加到1 L時,氣球的平均膨脹率是多少
【答案】　當V從0 L增加到1 L時,氣球半徑增加了r(1)-r(0)≈0.62(dm),
氣球的平均膨脹率為≈0.62(dm/L).
3.氣球中空氣容量V從1 L增加到2 L時,氣球的平均膨脹率是多少
【答案】　當V從1 L增加到2 L時,氣球半徑增加了r(2)-r(1)≈0.16 (dm),
氣球的平均膨脹率為≈0.16(dm/L).
4.氣球中空氣容量的變化情況與它的平均膨脹率有什么關系
【答案】　可以看出,隨著氣球中空氣容量逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小了.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)Δx表示x2-x1,是相對于x1的一個增量,Δx的值可正可負,但不可為零. (　　)
(2)Δy表示f(x2)-f(x1),Δy的值可正可負,也可以為零. (　　)
(3)表示曲線y=f(x)上(x1,f(x1)),(x2,f(x2))兩點連線的斜率. (　　)
(4)若物體在某段時間內的平均速度為0,則物體始終處于靜止狀態. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.若一質點按規律s=8+t2運動,則它在一小段時間[2,2.1]內的平均速度是(　　).
A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1
【答案】　B
【解析】　====4.1,故選B.
3.汽車行駛的路程s和時間t之間的函數圖象如圖所示.在時間段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分別為,,,其三者的大小關系是　　　　.
【答案】　>>
【解析】　 ∵==kMA,==kAB,==kBC,由圖象可知kMA∴>>.
4.人們發現,在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.計算運動員在時間段①0≤t≤0.5,②1≤t≤2內的平均速度,并思考平均速度有什么作用.
【解析】　①在0≤t≤0.5這段時間內,==4.05(m/s);
②在1≤t≤2這段時間內,==-8.2(m/s).
由以上計算可知平均速度可以描述運動員在某段時間內運動的快慢.
【合作探究】
探究1　平均變化率
　　某市2023年3月和4月某天日最高氣溫記錄如下表.
時間t/d 3月18日 4月18日 4月20日
日最高氣溫T/℃ 3.5 ℃ 18.6 ℃ 33.4 ℃
　　4月20日那天人們會驚呼“天氣熱得太快”.
問題:如何從數學的角度刻畫氣溫“陡升”
【答案】　3月18日至4月18日氣溫平均變化率是≈0.5(℃/d);4月18日至20日氣溫平均變化率是=7.4(℃/d),顯然4月18日至20日氣溫“陡升”.
新知生成
一般地,若函數y=f(x)的定義域為D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),則
(1)自變量的改變量Δx=　x2-x1　;
(2)因變量的改變量Δy=　y2-y1　(或Δf=f(x2)-f(x1));
(3)f(x)在[x1,x2]上的平均變化率為= 或= .
注意:在平均變化率中,Δx可正可負但Δx不可以為0,Δy可以為0,可以為0.當=0時,并不能說明函數在該區間上一定為常函數,如f(x)=x2在區間[-2,2]上的平均變化率是0,但它不是常函數.
新知運用
例1　已知函數f(x)=x2+x,分別計算f(x)在自變量x從1變到3和從1變到2時的平均變化率.
【解析】　自變量x從1變到3時,函數f(x)的平均變化率為==5;自變量x從1變到2時,函數f(x)的平均變化率為==4.
【方法總結】　　可根據定義代入公式直接求解平均變化率,解題的關鍵是弄清自變量的增量Δx與函數值的增量Δy,求平均變化率的主要步驟如下:
求函數y=x2在x=1,x=2,x=3附近的平均變化率,并判斷哪一點附近的平均變化率最大.
【解析】　函數y=x2在x=1附近的平均變化率為k1===2+Δx;
在x=2附近的平均變化率為k2===4+Δx;
在x=3附近的平均變化率為k3===6+Δx.
因為對任意的Δx,有k1所以在x=3附近的平均變化率最大.
探究2　平均速度
　　小蒙騎自行車由靜止沿直線運動,他在第1 s內、第2 s內、第3 s內、第4 s內通過的位移分別為1 m、2 m、3 m、4 m.
問題:你能求出小蒙騎自行車在這4 s內的平均速度嗎
【答案】　小蒙騎自行車在這4 s內的平均速度==2.5 m/s.
新知生成
如果物體運動的位移x m與時間t s的關系為x=h(t),則物體在[t1,t2](t1新知運用
例2　已知某物體的運動方程為s=t2+2t(s的單位:m,t的單位:s).求:
(1)該物體在0≤t≤3這段時間里的平均速度;
(2)該物體在2≤t≤3這段時間里的平均速度;
(3)該物體在t0≤t≤t0+Δt這段時間里的平均速度.
【解析】　(1)∵Δt=3,Δs=s(3)-s(0)=15,
∴該物體在0≤t≤3這段時間里的平均速度==5(m/s).
(2)∵Δt=3-2=1,Δs=s(3)-s(2)=7,
∴該物體在2≤t≤3這段時間里的平均速度==7(m/s).
(3)∵Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=(2t0+2)·Δt+(Δt)2,
∴該物體在t0≤t≤t0+Δt這段時間里的平均速度==2t0+2+Δt.
【方法總結】　　1.平均速度反映運動物體的位移隨時間變化而變化的情況.平均速度是運動物體在一個時間段內位移的改變量與這段時間的比值.
2.運動物體在t0到t1這段時間內運動的平均速度就是物體運動的位移函數s(t)在區間[t0,t1]上的平均變化率,因此求平均速度的實質就是求函數的平均變化率.
以v0(v0>0)為初速度做豎直上拋運動的物體,t時刻的高度為s(t)=v0t-gt2(g為常數),求該物體從t0到t0+Δt的平均速度.
【解析】　∵Δs=v0(t0+Δt)-g(t0+Δt)2-=(v0-gt0)Δt-g(Δt)2,
∴=v0-gt0-gΔt,
即該物體從t0到t0+Δt的平均速度為v0-gt0-gΔt.
探究3　利用平均變化率解決實際問題
新知運用
例3　甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關系如圖所示,治污效果較好的是　　　.
【答案】　乙
【解析】　在t0處,雖然W1(t0)=W2(t0),
但是,在t0-Δt處,W1(t0-Δt)即<,所以在相同時間Δt內,甲廠比乙廠的平均治污率小.所以乙廠治污效果較好.
【方法總結】　　當比較函數平均變化率的大小時,可以先將函數在每個自變量附近的平均變化率求出,再進行大小的比較.
識圖時,一定要結合題意弄清圖象所反映的量之間的關系,圖象在點x0附近的圖象越“陡峭”,函數值的變化就越快.
物體甲、乙在時間0到t1范圍內路程的變化情況如圖所示,則下列說法中正確的是(　　).
A.在0到t0范圍內甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范圍內甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范圍內甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范圍內甲的平均速度小于乙的平均速度
【答案】　C
【解析】　在0到t0范圍內,甲、乙所走的路程相同,時間一樣,所以平均速度相同;在t0到t1范圍內,甲、乙所用的時間相同,而甲走的路程較多,所以甲的平均速度較大.
【隨堂檢測】
1.已知函數f(x)=x2-1的圖象上一點P(2,3)及其鄰近一點Q(2+Δx,3+Δy),則=(　　).
A.4 B.4Δx C.4+Δx D.Δx
【答案】　C
【解析】　∵Δy=f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,
∴==4+Δx.
2.一輛汽車在起步的前10 s內,按s=3t2+1(t的單位:s,s的單位:m)的規律做直線運動,則在2≤t≤3這段時間里的平均速度是(　　).
A.4 m/s B.13 m/s
C.15 m/s D.28 m/s
【答案】　C
【解析】　===15(m/s).
3.(2023·江西萍鄉月考)降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣,即開窗通風換氣.在某室內,空氣中微生物密度(c)隨開窗通風換氣時間(t)的關系如圖所示.則下列時間段內,空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是(　　).
A.[5,10] B.[5,15]
C.[5,20] D.[5,35]
【答案】　C
【解析】　如圖,分別令t=5、t=10、t=15、t=20、t=35所對應的點為A,B,C,D,E,由圖可知|kAD|>|kAE|>|kAC|>|kAB|,
所以[5,20]內空氣中微生物密度變化的平均速度最快.
4.已知函數y=x3-2,當x=2時,=　　　　.
【答案】　(Δx)2+6Δx+12
【解析】　=
==(Δx)2+6Δx+12.
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