資源簡介

6.1.2　導數及其幾何意義
【學習目標】
1.知道函數的瞬時變化率的概念,能夠結合具體實例,理解瞬時變化率的幾何意義.(數學建模、邏輯推理)
2.了解導數概念的實際背景,了解導數與割線斜率之間的關系,能利用導數的定義求函數的導數,能結合具體情境,感受導數的實際應用.(數學運算)
3.理解曲線的切線的概念,理解導數的幾何意義,會求曲線上某點處的切線方程.(數學運算)
【自主預習】
1.槍彈在槍筒中運動可以看作勻加速運動,如果它的加速度是5.0×105 m/s2,槍彈從槍口射出時所用時間為1.6×10-3 s,求槍彈從槍口射出時的瞬時速度.
【答案】　位移公式為s=at2,
∴Δs=a(t0+Δt)2-a=at0Δt+a(Δt)2,
∴=at0+aΔt,∴ =at0+aΔt=at0.
∵a=5.0×105 m/s2,t0=1.6×10-3 s,
∴at0=800 m/s.
故槍彈從槍口射出時的瞬時速度為800 m/s.
2.已知拋物線f(x)=x2上的點P0(1,1),點P(1+Δx,(1+Δx)2),如何求割線P0P的斜率呢
【答案】　割線P0P的斜率k===Δx+2.
3.拋物線f(x)=x2在點P0(1,1)處的切線P0T的斜率與割線P0P的斜率有什么內在聯系
【答案】　當橫坐標間隔|Δx|無限變小時,點P無限趨近于點P0,于是割線P0P無限趨近于點P0處的切線P0T.這時,割線P0P的斜率k無限趨近于點P0處的切線P0T的斜率k0.因此,切線P0T的斜率k0=2.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數f(x)=c(c為常數)在區間[x1,x2]上的平均變化率為0. (　　)
(2)瞬時變化率刻畫某函數在某點處變化快慢的情況. (　　)
(3)函數y=f(x)在某點處的導數是一個變量. (　　)
(4)若函數y=f(x)在某點處可導,則在該點處一定有切線,反之也成立. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.設函數f(x)在點x0附近有定義,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b為常數),則(　　).
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
【答案】　C
【解析】　因為f'(x0)=
==(a+bΔx)=a,
所以選C.
3.設f(x)=2x+1,則f'(1)=　　　　.
【答案】　2
【解析】　f'(1)=
==2.
4.拋物線f(x)=x2-2在點(3,7)處的切線斜率為　　　　.
【答案】　6
【解析】　===6+Δx,當Δx→0時,→6,即拋物線f(x)=x2-2在點(3,7)處的切線斜率為6.
【合作探究】
探究1　瞬時變化率
　　我們經常看到在道路旁立著許多交通標志,如圖,該限速標志表示允許行駛的最大速度是80 km/h.
問題:你知道這個數據表達的物理意義嗎
【答案】　不超過80 km/h,即汽車的速度每時每刻都不超過這個數據,而不是指一段時間內的平均速度不超過這個數據,所以物理意義是瞬時速度.
新知生成
1.瞬時變化率
一般地,設函數y=f(x)在x0附近有定義,自變量在x=x0處的改變量為Δx,當Δx無限接近于0時,若平均變化率 =　無限接近于一個常數k,那么稱　常數k　為函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率.簡記為:當Δx→0時,→k或=k.
2.函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率的實質與作用
(1)實質:瞬時變化率是當自變量的改變量趨近于0時,平均變化率趨近的值.
(2)作用:刻畫函數在某一點處變化的快慢.
3.“Δx無限趨近于0”的含義
Δx與0要多近有多近,即|Δx-0|可以小于給定的任意小的正數,且Δx始終不等于0.
新知運用
例1　已知某物體的運動方程為s=3t2+2t.
(1)求物體在t0到t0+Δt這段時間內的平均速度;
(2)求物體在t0時的瞬時速度.
【解析】　(1)物體在t0到t0+Δt這段時間內位移的變化量Δs=3(t0+Δt)2+2(t0+Δt)-3-2t0=6t0Δt+3Δt2+2Δt,
故平均速度===6t0+3Δt+2.
(2)物體在t0時的瞬時速度
v==(6t0+3Δt+2)=6t0+2.
【方法總結】　　平均速度即Δt時間內物體位移與時間的比值,當Δt無限趨近于0時,平均速度趨近于瞬時速度.
質點M按規律s(t)=2t2+3(位移單位:cm,時間單位:s)做直線運動,求質點M在t=2 s時的瞬時速度.
【解析】　v=
==(2Δt+8)=8(cm/s).
探究2　導數的概念及導數運算
　　將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品,需要對原油進行加熱和冷卻,如果第x h時,原油的溫度(單位:℃)為f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).
問題:計算第2 h和第6 h時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.
【答案】　 在第2 h和第6 h時,原油溫度的瞬時變化率就是f'(2)和f'(6),
根據導數的定義,知=
=
=Δx-3,
所以f'(2)==(Δx-3)=-3.
同理可得f'(6)=5.
在第2 h和第6 h時,
原油溫度的瞬時變化率分別為-3和5,
說明在第2 h附近,原油溫度大約以3 ℃/h的速率下降;
在第6 h附近,原油溫度大約以5 ℃/h的速率上升.
新知生成
一般地,函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是=,我們稱它為函數y=f(x)在x=x0處的導數,記作f'(x0)或y',即f'(x0)= =.
新知運用
例2　已知函數f(x)=2x2+3x-1,試求f'(2).
方法指導　先求Δy,然后求,再求.
【解析】　因為Δy=f(2+Δx)-f(2)=2(2+Δx)2+3(2+Δx)-1-(2×22+3×2-1)=2(Δx)2+11Δx,
所以==2Δx+11,
所以f'(2)==(2Δx+11)=11.
【方法總結】　　用導數的定義求函數在某一點處的導數的步驟
(1)求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均變化率=;
(3)求極限.
已知某物體的位移s與時間t存在關系s(t)=10t+5t2(s的單位是m,t的單位是s).
(1)當t=20,Δt=0.1時,求Δs與的值;
(2)求當t=20時的速度.
【解析】　(1)當t=20,Δt=0.1時,
Δs=s(20+Δt)-s(20)
=10×(20+0.1)+5×(20+0.1)2-(10×20+5×202)
=1+20+5×0.01=21.05(m).
∴==210.5(m/s).
(2)由導數的定義知,t=20時的速度
v=
=
=
=(5Δt+10+10×20)
=210(m/s).
探究3　導數的幾何意義
　　如果一個函數是路程關于時間的函數,那么該函數在某點處的導數就是瞬時速度,這是函數的實際意義.
問題:從函數的圖象上來考查函數在某點處的導數,它具有怎樣的幾何意義呢
【答案】　設函數y=f(x)的圖象如圖所示,AB是過點A(x0,f(x0))與點B(x0+Δx,f(x0+Δx))的一條割線,此割線的斜率是=.當點B沿曲線趨近于點A時,割線AB繞點A轉動,它的極限位置為直線AD,這條直線AD叫作此曲線在點A處的切線.于是,當Δx→0時,割線AB的斜率無限趨近于過點A的切線AD的斜率k,即k=f'(x0)= .
新知生成
1.導數的幾何意義
(1)切線的概念:如圖,對于割線PPn,當點Pn無限接近于點P時,割線PPn無限接近于通過點P的一條直線,這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線.
(2)導數的幾何意義:函數f(x)在x=x0處的導數就是切線PT的斜率k,即k= =f'(x0).
2.曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以有無窮多個,與曲線只有一個公共點的直線也不一定是曲線的切線.
新知運用
例3　求曲線y=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.
【解析】　因為y'|x=1
=
= =2,
所以所求切線的斜率為2,
因此,所求的切線方程為y-2=2(x-1),即2x-y=0.
【方法總結】　　過曲線上一點求切線方程的三個步驟　　
求函數y=3x2的圖象在點(1,3)處的切線方程.
【解析】　因為 y'|x=1== (6+3Δx)=6,
所以所求切線的斜率為6,
因此,所求的切線方程為y-3=6(x-1),即6x-y-3=0.
【隨堂檢測】
1.一質點的運動方程為s=5-3t2,若該質點在時間段[1,1+Δt]內相應的平均速度為-3Δt-6,則該質點在t=1時的瞬時速度是(　　).
A.-3 B.3 C.6 D.-6
【答案】　D
【解析】　由平均速度和瞬時速度的關系可知,v=s'(1)=(-3Δt-6)=-6.
2.函數f(x)=在x=3處的導數是(　　).
A.- B.- C.- D.-
【答案】　C
【解析】　Δy=f(3+Δx)-f(3)=-=,所以=,于是f(x)在x=3處的導數為f'(3)==-.
3.已知曲線f(x)=2x2+4x在點P處的切線斜率為16,則點P的坐標為　　　　.
【答案】　(3,30)
【解析】　設點P(x0,2+4x0),
則f'(x0)=
==4x0+4,
令4x0+4=16得x0=3,∴點P的坐標為(3,30).
4.一質點M按運動方程s(t)=at2+1做直線運動(位移單位:m,時間單位:s),若質點M在t=2 s時的瞬時速度為8 m/s,求常數a的值.
【解析】　質點M在t=2時的瞬時速度即函數在t=2處的瞬時變化率.
∵質點M在t=2附近的平均速度為
==
=4a+aΔt,
∴ =4a=8,即a=2.∴常數a的值為2.
26.1.2　導數及其幾何意義
【學習目標】
1.知道函數的瞬時變化率的概念,能夠結合具體實例,理解瞬時變化率的幾何意義.(數學建模、邏輯推理)
2.了解導數概念的實際背景,了解導數與割線斜率之間的關系,能利用導數的定義求函數的導數,能結合具體情境,感受導數的實際應用.(數學運算)
3.理解曲線的切線的概念,理解導數的幾何意義,會求曲線上某點處的切線方程.(數學運算)
【自主預習】
1.槍彈在槍筒中運動可以看作勻加速運動,如果它的加速度是5.0×105 m/s2,槍彈從槍口射出時所用時間為1.6×10-3 s,求槍彈從槍口射出時的瞬時速度.
2.已知拋物線f(x)=x2上的點P0(1,1),點P(1+Δx,(1+Δx)2),如何求割線P0P的斜率呢
3.拋物線f(x)=x2在點P0(1,1)處的切線P0T的斜率與割線P0P的斜率有什么內在聯系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數f(x)=c(c為常數)在區間[x1,x2]上的平均變化率為0. (　　)
(2)瞬時變化率刻畫某函數在某點處變化快慢的情況. (　　)
(3)函數y=f(x)在某點處的導數是一個變量. (　　)
(4)若函數y=f(x)在某點處可導,則在該點處一定有切線,反之也成立. (　　)
2.設函數f(x)在點x0附近有定義,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b為常數),則(　　).
A.f'(x)=a B.f'(x)=b
C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b
3.設f(x)=2x+1,則f'(1)=　　　　.
4.拋物線f(x)=x2-2在點(3,7)處的切線斜率為　　　　.
【合作探究】
探究1　瞬時變化率
　　我們經常看到在道路旁立著許多交通標志,如圖,該限速標志表示允許行駛的最大速度是80 km/h.
問題:你知道這個數據表達的物理意義嗎
新知生成
1.瞬時變化率
一般地,設函數y=f(x)在x0附近有定義,自變量在x=x0處的改變量為Δx,當Δx無限接近于0時,若平均變化率 =　無限接近于一個常數k,那么稱　常數k　為函數f(x)在x=x0處的瞬時變化率.簡記為:當Δx→0時,→k或=k.
2.函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率的實質與作用
(1)實質:瞬時變化率是當自變量的改變量趨近于0時,平均變化率趨近的值.
(2)作用:刻畫函數在某一點處變化的快慢.
3.“Δx無限趨近于0”的含義
Δx與0要多近有多近,即|Δx-0|可以小于給定的任意小的正數,且Δx始終不等于0.
新知運用
例1　已知某物體的運動方程為s=3t2+2t.
(1)求物體在t0到t0+Δt這段時間內的平均速度;
(2)求物體在t0時的瞬時速度.
【方法總結】　　平均速度即Δt時間內物體位移與時間的比值,當Δt無限趨近于0時,平均速度趨近于瞬時速度.
質點M按規律s(t)=2t2+3(位移單位:cm,時間單位:s)做直線運動,求質點M在t=2 s時的瞬時速度.
探究2　導數的概念及導數運算
　　將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品,需要對原油進行加熱和冷卻,如果第x h時,原油的溫度(單位:℃)為f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).
問題:計算第2 h和第6 h時,原油溫度的瞬時變化率,并說明它們的意義.
新知生成
一般地,函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是=,我們稱它為函數y=f(x)在x=x0處的導數,記作f'(x0)或y',即f'(x0)= =.
新知運用
例2　已知函數f(x)=2x2+3x-1,試求f'(2).
方法指導　先求Δy,然后求,再求.
【方法總結】　　用導數的定義求函數在某一點處的導數的步驟
(1)求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均變化率=;
(3)求極限.
已知某物體的位移s與時間t存在關系s(t)=10t+5t2(s的單位是m,t的單位是s).
(1)當t=20,Δt=0.1時,求Δs與的值;
(2)求當t=20時的速度.
探究3　導數的幾何意義
　　如果一個函數是路程關于時間的函數,那么該函數在某點處的導數就是瞬時速度,這是函數的實際意義.
問題:從函數的圖象上來考查函數在某點處的導數,它具有怎樣的幾何意義呢
新知生成
1.導數的幾何意義
(1)切線的概念:如圖,對于割線PPn,當點Pn無限接近于點P時,割線PPn無限接近于通過點P的一條直線,這個確定位置的直線PT稱為點P處的切線.
(2)導數的幾何意義:函數f(x)在x=x0處的導數就是切線PT的斜率k,即k= =f'(x0).
2.曲線的切線并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以有無窮多個,與曲線只有一個公共點的直線也不一定是曲線的切線.
新知運用
例3　求曲線y=x2+1在點P(1,2)處的切線方程.
【方法總結】　　過曲線上一點求切線方程的三個步驟　　
求函數y=3x2的圖象在點(1,3)處的切線方程.
【隨堂檢測】
1.一質點的運動方程為s=5-3t2,若該質點在時間段[1,1+Δt]內相應的平均速度為-3Δt-6,則該質點在t=1時的瞬時速度是(　　).
A.-3 B.3 C.6 D.-6
2.函數f(x)=在x=3處的導數是(　　).
A.- B.- C.- D.-
3.已知曲線f(x)=2x2+4x在點P處的切線斜率為16,則點P的坐標為　　　　.
4.一質點M按運動方程s(t)=at2+1做直線運動(位移單位:m,時間單位:s),若質點M在t=2 s時的瞬時速度為8 m/s,求常數a的值.
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