資源簡介

6.1.3　基本初等函數的導數
【學習目標】
1.能根據定義求函數y=c(c為常數),y=x,y=x2,y=,y=的導數.(數學運算)
2.結合實際例子,掌握幾個常見函數的導數.(數學運算)
3.能利用所給基本初等函數的導數公式,求簡單函數的導數.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.回顧之前所學的內容,你學過哪些基本初等函數
【答案】　冪函數,指數函數,對數函數,三角函數.
2.如何用定義求函數y=f(x)的導數f'(x)
【答案】　定義法求導數的步驟:(1)求出Δy,;(2)f'(x)=.
故f'(x)=y'=.
3.f'(x)與f'(x0)的區別是什么
【答案】　f'(x0)是一個確定的數,f'(x)是函數f(x)的導數.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數在一點處的導數f'(x0)是一個常數. (　　)
(2)若y=,則y'=×2=1. (　　)
(3)若f'(x)=sin x,則f(x)=cos x. (　　)
(4)若y=,則y'=. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.給出下列結論:
①若y=ln 2,則y'=;②若y=,則y'=-;
③若y=2x,則y'=2xln 2;④若y=log2x,則y'=.
其中正確結論的個數為(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　C
【解析】　對于①,y'=0,故①錯誤;顯然②③④正確.故選C.
3.若函數f(x)=10x,則f'(1)=(　　).
A. B.10 C.10ln 10 D.
【答案】　C
【解析】　∵f'(x)=10xln 10,∴f'(1)=10ln 10.
4.曲線y=ex在點(2,e2)處的切線方程為　　　　.
【答案】　y=e2(x-1)
【解析】　∵y'=ex,∴當x=2時,y'=e2,
∴在點(2,e2)處的切線方程為y-e2=e2(x-2),即y=e2(x-1).
【合作探究】
探究1　利用導數公式計算導數
　　在科學研究和工程計算中,經常會使用到一些基本初等函數的導數.
問題1:你知道f(x)=sin x,f(x)=cos x的導數公式嗎
【答案】　f'(x)=cos x,f'(x)=-sin x.
問題2:你知道f(x)=ax,f(x)=loga x的導數公式嗎
【答案】　f'(x)=axln a(a>0,且a≠1),f'(x)=(a>0,且a≠1).
新知生成
1.一般地,如果函數y=f(x)在其定義域內的每一點x都　可導　,那么稱f(x)可導.此時,對定義域內的每一個值x,都對應一個確定的導數f'(x).于是,在f(x)的定義域內,　f'(x)　是一個函數,稱其為函數y=f(x)的導函數.記作f'(x)(或y',y'x),即f'(x)=y'=y'x= 　.
2.基本初等函數的導數公式
原函數 導數
f(x)=c(c為常數) f'(x)=　0　
f(x)=xα(α≠0) f'(x)=　αxα-1　
f(x)=sin x f'(x)=　cos x　
f(x)=cos x f'(x)=　-sin x　
f(x)=ax f'(x)=　axln a　(a>0,且a≠1)
f(x)=ex f'(x)=　ex　
f(x)=logax f'(x)=(a>0,且a≠1)
f(x)=ln x f'(x)=
新知運用
例1　求下列函數的導數.
(1)y=;(2)y=log3x;(3)y=;
(4)y=-2sin;(5)y=3ln x+ln.
【解析】　(1)y'='=(x-4)'=-4x-5=-.
(2)y'=(log3x)'=.
(3)y'=()'=()'=.
(4)因為y=-2sin
=2sin=2sin cos =sin x,
所以y'=(sin x)'=cos x.
(5)因為y=3ln x+ln =ln x3+ln =ln x,
所以y'=(ln x)'=.
【方法總結】　　利用導數公式求解,必要時進行合理變形、化簡,再求導.
求下列函數的導數.
(1)y=x14;(2)y=;(3)y=x-2;
(4)y=cos +sin cos -sin ;(5)y=e0.
【解析】　(1)y'=(x14)'=14x13.
(2)y'='=ln=-ln 3.
(3)y'=(x-2)'=-2x-3=-.
(4)∵y==cos x,
∴y'=-sin x.
(5)∵y=e0=1,∴y'=0.
探究2　f'(x)與f'(x0)的區別與聯系
新知生成
f'(x)表示函數y=f(x)的導數,而f'(x0)表示函數y=f(x)在x=x0處的導數.f'(x)是一個函數,是y=f(x)的導數值關于x的函數,而f'(x0)是一個具體的數值,是函數y=f(x)的圖象在點(x0,f(x0))處的切線斜率.
新知運用
例2　求函數f(x)=的導數f'(x)及f'(1).
【解析】　因為f(x)=,所以f'(x)=,所以f'(1)=.
【方法總結】　　求函數在某點(點在函數圖象上)處的導數的步驟:(1)先求函數的導函數;(2)再把對應點的橫坐標代入導函數求相應的導數值.
求函數f(x)=x的導數f'(x)及f'(4).
【解析】　因為f(x)=x,所以f'(x)=(x)'=()'==.故f'(4)=×=3.
探究3　導數公式的實際應用
例3　已知某質點的運動方程是s=sin t.
(1)求該質點在t=時的速度;
(2)求該質點運動的加速度方程.
【解析】　(1)∵v(t)=s'(t)=cos t,
∴v=cos =,
即質點在t=時的速度為.
(2)∵v(t)=cos t,
∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t.
【方法總結】　　由導數的定義可知,導數是瞬時變化率,所以求某個量的瞬時變化速度,就是求相關函數在某點處的導數.
假設某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%,物價p(單位:元)與時間t(單位:年)有如下函數關系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0為t=0時的物價,假定某種商品的p0=1,那么在第10個年頭,這種商品的價格上漲的速度大約是多少 (精確到0.01元/年,參考數據:1.0510≈1.63,1.0511≈1.71,ln 1.05≈0.05)
【解析】　根據基本初等函數的導數公式表,有p'(t)=1.05tln 1.05,
所以p'(10)=1.0510ln 1.05≈0.08.
所以在第10個年頭,這種商品的價格約以0.08元/年的速度上漲.
探究4　利用導數公式解決曲線的切線問題
問題1:導數的幾何意義是什么
【答案】　函數f(x)在x=x0處的導數就是曲線在該點處的切線的斜率k,即k=f'(x0).
問題2:利用導數的幾何意義解決切線問題有哪兩種情況
【答案】　(1)若已知點是切點,則在該點處的切線的斜率就是該點處的導數;
(2)若已知點不是切點,則應先設出切點,再借助兩點連線的斜率公式進行求解.
新知生成
1.曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.求過點P與曲線相切的直線方程的三個步驟
新知運用
例4　(2023·廣西西部第二次聯考)已知函數f(x)=x2,l是曲線y=f(x)的切線,且l經過點(3,5).
(1)判斷(3,5)是否是曲線y=f(x)上的點;
(2)求l的方程.
【解析】　(1)因為f(x)=x2,所以f(3)=32=9≠5,所以(3,5)不是曲線y=f(x)上的點.
(2)由f(x)=x2,得f'(x)=2x,
設切點為(x0,),則f'(x0)=2x0,所以曲線y=f(x)在點(x0,)處的切線方程為y-=2x0(x-x0),因為切線l經過點(3,5),所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5,所以切線方程為y-1=2(x-1)或 y-25=10(x-5),
即l的方程為2x-y-1=0或 10x-y-25=0.
【方法總結】　　求過點P與曲線相切的切點坐標的步驟:(1)設切點坐標為(x0,y0);(2)求導函數f'(x);(3)求切線的斜率f'(x0);(4)列出關于x0的方程,解方程求x0;(5)將x0代入f(x)求y0,得切點坐標.
　　求滿足下列條件的直線l的方程:
(1)過原點且與曲線y=ln x相切;
(2)斜率為e且與曲線y=ex相切.
【解析】　(1)y'=(x>0),
設切點為(m,ln m),切線方程為y=kx,所以k=,y=x.
因為切點為(m,ln m),所以ln m=·m=1,所以m=e,
所以切線方程為y=x.
(2)y'=ex,因為切線斜率為e,所以y'=ex=e,所以x=1,
則切點為(1,e),所以切線方程為y-e=e(x-1),即y=ex.
【隨堂檢測】
1.若y=cos,則y'=(　　).
A.0 B. C.- D.1
【答案】　A
【解析】　常數函數的導數為0.
2.(多選題)下列曲線的切線中,不存在互相垂直的切線的曲線是(　　).
A.f(x)=ex B.f(x)=x3
C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x
【答案】　ABC
【解析】　若存在互相垂直的切線,則其斜率之積為-1,或一條切線的斜率不存在,另一條切線的斜率為0.對于A,f'(x)=ex>0,對于B,f'(x)=3x2≥0,對于C,f'(x)=>0(x>0),故A,B,C均不存在互相垂直的切線方程.對于D,f'(x)=cos x,其可正可負,一定存在使cos x1·cos x2=-1的情形,故選ABC.
3.已知f(x)=xn且f'(-1)=-4,則n=　　　　.
【答案】　4
【解析】　∵f'(x)=nxn-1,∴f'(-1)=n(-1)n-1=-4.若(-1)n-1=-1,則n=4,此時滿足(-1)n-1=-1;若(-1)n-1=1,則n=-4,此時不滿足(-1)n-1=1.∴n=4.
4.求下列函數的導數.
(1)y=x15;(2)y=x-3;(3)y=;(4)y=.
【解析】　(1)y'=15x14.
(2)y'=-3x-4.
(3)y'=.
(4)因為y==,所以y'=-=-.
26.1.3　基本初等函數的導數
【學習目標】
1.能根據定義求函數y=c(c為常數),y=x,y=x2,y=,y=的導數.(數學運算)
2.結合實際例子,掌握幾個常見函數的導數.(數學運算)
3.能利用所給基本初等函數的導數公式,求簡單函數的導數.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.回顧之前所學的內容,你學過哪些基本初等函數
2.如何用定義求函數y=f(x)的導數f'(x)
3.f'(x)與f'(x0)的區別是什么
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數在一點處的導數f'(x0)是一個常數. (　　)
(2)若y=,則y'=×2=1. (　　)
(3)若f'(x)=sin x,則f(x)=cos x. (　　)
(4)若y=,則y'=. (　　)
2.給出下列結論:
①若y=ln 2,則y'=;②若y=,則y'=-;
③若y=2x,則y'=2xln 2;④若y=log2x,則y'=.
其中正確結論的個數為(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若函數f(x)=10x,則f'(1)=(　　).
A. B.10 C.10ln 10 D.
4.曲線y=ex在點(2,e2)處的切線方程為　　　　.
【合作探究】
探究1　利用導數公式計算導數
　　在科學研究和工程計算中,經常會使用到一些基本初等函數的導數.
問題1:你知道f(x)=sin x,f(x)=cos x的導數公式嗎
問題2:你知道f(x)=ax,f(x)=loga x的導數公式嗎
新知生成
1.一般地,如果函數y=f(x)在其定義域內的每一點x都　可導　,那么稱f(x)可導.此時,對定義域內的每一個值x,都對應一個確定的導數f'(x).于是,在f(x)的定義域內,　f'(x)　是一個函數,稱其為函數y=f(x)的導函數.記作f'(x)(或y',y'x),即f'(x)=y'=y'x= 　.
2.基本初等函數的導數公式
原函數 導數
f(x)=c(c為常數) f'(x)=　0　
f(x)=xα(α≠0) f'(x)=　αxα-1　
f(x)=sin x f'(x)=　cos x　
f(x)=cos x f'(x)=　-sin x　
f(x)=ax f'(x)=　axln a　(a>0,且a≠1)
f(x)=ex f'(x)=　ex　
f(x)=logax f'(x)=(a>0,且a≠1)
f(x)=ln x f'(x)=
新知運用
例1　求下列函數的導數.
(1)y=;(2)y=log3x;(3)y=;
(4)y=-2sin;(5)y=3ln x+ln.
【方法總結】　　利用導數公式求解,必要時進行合理變形、化簡,再求導.
求下列函數的導數.
(1)y=x14;(2)y=;(3)y=x-2;
(4)y=cos +sin cos -sin ;(5)y=e0.
探究2　f'(x)與f'(x0)的區別與聯系
新知生成
f'(x)表示函數y=f(x)的導數,而f'(x0)表示函數y=f(x)在x=x0處的導數.f'(x)是一個函數,是y=f(x)的導數值關于x的函數,而f'(x0)是一個具體的數值,是函數y=f(x)的圖象在點(x0,f(x0))處的切線斜率.
新知運用
例2　求函數f(x)=的導數f'(x)及f'(1).
【方法總結】　　求函數在某點(點在函數圖象上)處的導數的步驟:(1)先求函數的導函數;(2)再把對應點的橫坐標代入導函數求相應的導數值.
求函數f(x)=x的導數f'(x)及f'(4).
探究3　導數公式的實際應用
例3　已知某質點的運動方程是s=sin t.
(1)求該質點在t=時的速度;
(2)求該質點運動的加速度方程.
【方法總結】　　由導數的定義可知,導數是瞬時變化率,所以求某個量的瞬時變化速度,就是求相關函數在某點處的導數.
假設某地在20年間的年均通貨膨脹率為5%,物價p(單位:元)與時間t(單位:年)有如下函數關系:p(t)=p0(1+5%)t,其中p0為t=0時的物價,假定某種商品的p0=1,那么在第10個年頭,這種商品的價格上漲的速度大約是多少 (精確到0.01元/年,參考數據:1.0510≈1.63,1.0511≈1.71,ln 1.05≈0.05)
探究4　利用導數公式解決曲線的切線問題
問題1:導數的幾何意義是什么
問題2:利用導數的幾何意義解決切線問題有哪兩種情況
新知生成
1.曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.求過點P與曲線相切的直線方程的三個步驟
新知運用
例4　(2023·廣西西部第二次聯考)已知函數f(x)=x2,l是曲線y=f(x)的切線,且l經過點(3,5).
(1)判斷(3,5)是否是曲線y=f(x)上的點;
(2)求l的方程.
【方法總結】　　求過點P與曲線相切的切點坐標的步驟:(1)設切點坐標為(x0,y0);(2)求導函數f'(x);(3)求切線的斜率f'(x0);(4)列出關于x0的方程,解方程求x0;(5)將x0代入f(x)求y0,得切點坐標.
　　求滿足下列條件的直線l的方程:
(1)過原點且與曲線y=ln x相切;
(2)斜率為e且與曲線y=ex相切.
【隨堂檢測】
1.若y=cos,則y'=(　　).
A.0 B. C.- D.1
2.(多選題)下列曲線的切線中,不存在互相垂直的切線的曲線是(　　).
A.f(x)=ex B.f(x)=x3
C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x
3.已知f(x)=xn且f'(-1)=-4,則n=　　　　.
4.求下列函數的導數.
(1)y=x15;(2)y=x-3;(3)y=;(4)y=.
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