資源簡介

6.1.4　求導法則及其應用
【學習目標】
1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導法則.(數(shù)學運算)
2.理解求導法則的證明過程,能夠綜合運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù).(邏輯推理、數(shù)學運算)
3.利用導數(shù)的運算法則解決有關問題.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)
【自主預習】
1.默寫基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表.
2.利用定義求函數(shù)的導數(shù)的一般步驟是什么
3.如何求兩函數(shù)和、差、積、商的導數(shù)
4.[f(x)·g(x)]'與f'(x)·g'(x)相等嗎 '與相等嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)f'(x0)與[f(x0)]'表示的意義相同. (　　)
(2)函數(shù)f(x)=xln x的導數(shù)是f'(x)=x. (　　)
(3)函數(shù)f(x)=是復合函數(shù). (　　)
(4)[f(x)g(x)h(x)]'=f'(x)g'(x)h'(x). (　　)
2.函數(shù)f(x)=xex的導數(shù)f'(x)=(　　).
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
3.若函數(shù)f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,則a=　　　　.
4.若y=,則y'=　　　　.
【合作探究】
探究1　函數(shù)和與差的求導法則
問題1:觀察f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x2+x與導數(shù)f'(x)=2x,g'(x)=1,h'(x)=2x+1,你有什么發(fā)現(xiàn)和猜想
問題2:如何證明你的猜想
新知生成
1.[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
2.[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'= f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).
新知運用
例1　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=x2+log3 x; (2)y=sin x-2x2.
【方法總結】　　根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式以及函數(shù)和與差的求導法則進行求解.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=5-4x3;
(2)y=lg x-.
探究2　函數(shù)積與商的求導法則
問題1:你能利用定義求y=f(x)g(x)的導數(shù)嗎
問題2:對于函數(shù)(g(x)≠0),如何求導
新知生成
1.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特別地,當g(x)是常數(shù)函數(shù),即g(x)=c時,[cf(x)]'=cf'(x).
2.'=(g(x)≠0).
3.[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x).(a,b為常數(shù))
新知運用
例2　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=cos x·ln x;
(2)y=x3·ex;
(3)y=.
【方法總結】　　根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和函數(shù)積與商的求導法則進行求解.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=;
(2)y=2xcos x-3xlog2020x;
(3)y=x·tan x.
探究3　簡單復合函數(shù)的求導法則
　　海上一艘油輪發(fā)生了泄漏事故,泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜,油膜的面積S(單位:m2)關于油膜半徑r(單位:m)的函數(shù)為S=f(r)=πr2.油膜的半徑r隨著時間t(單位:s)的增加而增大,假設r關于t的函數(shù)為r=φ(t)=2t+1.
問題1:你知道上述情境中S關于t的函數(shù)是怎樣復合而成的嗎
問題2:你能求出S關于t的函數(shù)的導數(shù)嗎
新知生成
1.復合函數(shù)的概念
一般地,已知函數(shù)y=f(u)與u=g(x),給定x的任意一個值,就能確定u的值.如果此時還能確定y的值,那么y可以看成x的函數(shù),此時稱f(g(x))有意義,且稱y=h(x)=f(g(x))為函數(shù)　f(u)　與　g(x)　的復合函數(shù),其中　u　稱為中間變量.
2.復合函數(shù)的求導法則
一般地,如果函數(shù)y=f(u)與u=g(x)的復合函數(shù)為y=h(x)=f(g(x)),則可以證明復合函數(shù)的導數(shù)h'(x)與f'(u),g'(x)之間的關系為h'(x)=[f(g(x))]'=　f'(u)g'(x)　=　f'(g(x))g'(x)　.這一結論也可以表示為y'x=　y'uu'x　.
新知運用
例3　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=ln(x+2);
(2)y=(1+sin x)2.
　
【方法總結】　　應用復合函數(shù)的求導法則求導時,應注意以下幾個方面:
(1)中間變量的選取應是基本函數(shù)結構.
(2)正確分析函數(shù)的復合層次,并要弄清每一步是哪個變量對哪個變量的求導.
(3)一般是從最外層開始,由外及里,一層層地求導.
(4)善于把一部分表達式作為一個整體.
(5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù).熟練后,就不必再寫中間步驟.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=e2x+1;
(2)y=(-2)2.
【隨堂檢測】
1.若f(x)=sin x+cos,則f'(α)=(　　).
A.sin α B.cos α
C.sin+cos α D.cos+sin α
2.已知直線y=2x-1與曲線y=ln(x+a)相切,則a的值為　　　　　.
3.某物體做直線運動時,其運動規(guī)律為s=t2+(t的單位:s,s的單位:m),則它在第4 s末的瞬時速度應為　　　　 m/s.
4.已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲線y=f(x)在點P(0,f(0))處的切線,求切線l的方程.
26.1.4　求導法則及其應用
【學習目標】
1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導法則.(數(shù)學運算)
2.理解求導法則的證明過程,能夠綜合運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù).(邏輯推理、數(shù)學運算)
3.利用導數(shù)的運算法則解決有關問題.(數(shù)學抽象、數(shù)學運算)
【自主預習】
1.默寫基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表.
【答案】　基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表:
原函數(shù) 導函數(shù)
f(x)=c(c為常數(shù)) f'(x)=0
f(x)=xα(α≠0) f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
2.利用定義求函數(shù)的導數(shù)的一般步驟是什么
【答案】　第一步:求函數(shù)的改變量Δy=f(x+Δx)-f(x);第二步:求平均變化率=;第三步:取極限,得導數(shù)y'=f'(x)=.
3.如何求兩函數(shù)和、差、積、商的導數(shù)
【答案】　利用導數(shù)的四則運算法則.
4.[f(x)·g(x)]'與f'(x)·g'(x)相等嗎 '與相等嗎
【答案】　都不相等.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)f'(x0)與[f(x0)]'表示的意義相同. (　　)
(2)函數(shù)f(x)=xln x的導數(shù)是f'(x)=x. (　　)
(3)函數(shù)f(x)=是復合函數(shù). (　　)
(4)[f(x)g(x)h(x)]'=f'(x)g'(x)h'(x). (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.函數(shù)f(x)=xex的導數(shù)f'(x)=(　　).
A.ex(x+1) B.1+ex
C.x(1+ex) D.ex(x-1)
【答案】　A
【解析】　f'(x)=x'ex+x(ex)'=ex+xex=ex(x+1),故選A.
3.若函數(shù)f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,則a=　　　　.
【答案】　1
【解析】　∵f(x)=ax2+c,∴f'(x)=2ax,故f'(1)=2a=2,∴a=1.
4.若y=,則y'=　　　　.
【答案】　
【解析】　∵y=ln x,∴y'=·=.
【合作探究】
探究1　函數(shù)和與差的求導法則
問題1:觀察f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x2+x與導數(shù)f'(x)=2x,g'(x)=1,h'(x)=2x+1,你有什么發(fā)現(xiàn)和猜想
【答案】　h(x)=f(x)+g(x);h'(x)=f'(x)+g'(x);[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).
問題2:如何證明你的猜想
【答案】　設h(x)=f(x)+g(x),
則=
=
=
=+,
所以==+,
即h'(x)=f'(x)+g'(x).
新知生成
1.[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
2.[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'= f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).
新知運用
例1　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=x2+log3 x; (2)y=sin x-2x2.
【解析】　 (1)y'=(x2+log3x)'=(x2)'+(log3x)'=2x+.
(2)y'=(sin x-2x2)'=(sin x)'-(2x2)'=cos x-4x.
【方法總結】　　根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式以及函數(shù)和與差的求導法則進行求解.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=5-4x3;
(2)y=lg x-.
【解析】　(1)y'=-12x2.
(2)y'=+.
探究2　函數(shù)積與商的求導法則
問題1:你能利用定義求y=f(x)g(x)的導數(shù)嗎
【答案】　因為Δy=f(x+Δx)g(x+Δx)-f(x)g(x),
所以=
=
=·g(x+Δx)+·f(x),
其中=f'(x),g(x+Δx)=g(x),=g'(x),
所以y'==f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
所以[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),即兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘第二個函數(shù)加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導數(shù).
問題2:對于函數(shù)(g(x)≠0),如何求導
【答案】　'=
=
=
=
=.
新知生成
1.[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特別地,當g(x)是常數(shù)函數(shù),即g(x)=c時,[cf(x)]'=cf'(x).
2.'=(g(x)≠0).
3.[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x).(a,b為常數(shù))
新知運用
例2　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=cos x·ln x;
(2)y=x3·ex;
(3)y=.
【解析】　(1)y'=(cos x·ln x)'=(cos x)'·ln x+cos x·(ln x)'=-sin x·ln x+.
(2)y'=(x3·ex)'=(x3)'·ex+x3·(ex)'
=3x2·ex+x3·ex=ex(x3+3x2).
(3)y'='=
==-.
【方法總結】　　根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和函數(shù)積與商的求導法則進行求解.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=;
(2)y=2xcos x-3xlog2020x;
(3)y=x·tan x.
【解析】　(1)y'=
=
=-.
(2)y'=(2x)'cos x+(cos x)'2x-3[x'log2020x+(log2020x)'x]
=2xln 2·cos x-sin x·2x-3log2020x+log2020ex
=2xln 2·cos x-2xsin x-3log2020x-3log2020e.
(3)y'=(xtan x)'='
=
=
=
==.
探究3　簡單復合函數(shù)的求導法則
　　海上一艘油輪發(fā)生了泄漏事故,泄出的原油在海面上形成一個圓形油膜,油膜的面積S(單位:m2)關于油膜半徑r(單位:m)的函數(shù)為S=f(r)=πr2.油膜的半徑r隨著時間t(單位:s)的增加而增大,假設r關于t的函數(shù)為r=φ(t)=2t+1.
問題1:你知道上述情境中S關于t的函數(shù)是怎樣復合而成的嗎
【答案】　S關于t的函數(shù)是由函數(shù)S=πr2和r=2t+1復合而成的.
問題2:你能求出S關于t的函數(shù)的導數(shù)嗎
【答案】　S'(t)=S'(r)·r'(t)=2πr·2=4π(2t+1).
新知生成
1.復合函數(shù)的概念
一般地,已知函數(shù)y=f(u)與u=g(x),給定x的任意一個值,就能確定u的值.如果此時還能確定y的值,那么y可以看成x的函數(shù),此時稱f(g(x))有意義,且稱y=h(x)=f(g(x))為函數(shù)　f(u)　與　g(x)　的復合函數(shù),其中　u　稱為中間變量.
2.復合函數(shù)的求導法則
一般地,如果函數(shù)y=f(u)與u=g(x)的復合函數(shù)為y=h(x)=f(g(x)),則可以證明復合函數(shù)的導數(shù)h'(x)與f'(u),g'(x)之間的關系為h'(x)=[f(g(x))]'=　f'(u)g'(x)　=　f'(g(x))g'(x)　.這一結論也可以表示為y'x=　y'uu'x　.
新知運用
例3　求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=ln(x+2);
(2)y=(1+sin x)2.
　　【解析】　(1)令y=ln u,u=x+2,
則y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(x+2)'=·1=.
(2)令y=u2,u=1+sin x,
則yx'=yu'·ux'=(u2)'·(1+sin x)'
=2u·cos x=2cos x(1+sin x).
【方法總結】　　應用復合函數(shù)的求導法則求導時,應注意以下幾個方面:
(1)中間變量的選取應是基本函數(shù)結構.
(2)正確分析函數(shù)的復合層次,并要弄清每一步是哪個變量對哪個變量的求導.
(3)一般是從最外層開始,由外及里,一層層地求導.
(4)善于把一部分表達式作為一個整體.
(5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù).熟練后,就不必再寫中間步驟.
求下列函數(shù)的導數(shù).
(1)y=e2x+1;
(2)y=(-2)2.
【解析】　(1)令y=eu,u=2x+1,
則y'x=y'u·u'x=(eu)'·(2x+1)'=2eu=2e2x+1.
(2)(法一)∵y=(-2)2=x-4+4,
∴y'=x'-(4)'+4'
=1-4×=1-.
(法二)令u=-2,
則yx'=yu'·ux'=2(-2)·(-2)'=2(-2)·=1-.
【隨堂檢測】
1.若f(x)=sin x+cos,則f'(α)=(　　).
A.sin α B.cos α
C.sin+cos α D.cos+sin α
【答案】　B
【解析】　∵f(x)=sin x+cos,∴f'(x)=cos x,∴f'(α)=cos α.故選B.
2.已知直線y=2x-1與曲線y=ln(x+a)相切,則a的值為　　　　　.
【答案】　ln 2
【解析】　∵y=ln(x+a),∴y'=.設切點為(x0,y0),則y0=2x0-1,y0=ln(x0+a),且=2,
解得a=ln 2.
3.某物體做直線運動時,其運動規(guī)律為s=t2+(t的單位:s,s的單位:m),則它在第4 s末的瞬時速度應為　　　　 m/s.
【答案】　
【解析】　由題意得s=t2+,
可得瞬時速度v=s'=2t-,
故它在第4 s末的瞬時速度應為2×4-=(m/s).
4.已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲線y=f(x)在點P(0,f(0))處的切線,求切線l的方程.
【解析】　f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1.
所以f'(x)=2ax-2+=,
所以f'(0)=-1,
所以切點P的坐標為(0,1),切線l的斜率為-1,
所以切線l的方程為x+y-1=0.
2

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