資源簡介

6.2.1　導數與函數的單調性
【學習目標】
1.理解導數與函數的單調性的關系.(數學抽象、邏輯推理、直觀想象)
2.掌握利用導數判斷函數單調性的方法.(數學抽象、邏輯推理)
3.會用導數求函數的單調區間.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.我們知道判斷函數y=x2的單調性可以用定義法、圖象法,對于函數y=x3-3x,如何判斷它的單調性呢
【答案】　定義法是解決問題的根本方法,但是定義法較煩瑣,又不能畫出它的圖象.通過前面的學習,我們可以通過研究函數的導數來判斷它的單調性.
2.函數f(x)的單調性與導數有什么關系
【答案】　在區間(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞增;在區間(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函數y=f(x)在區間(a,b)上單調遞減.
3.如何利用導數求函數f(x)的單調區間
【答案】　先求定義域,令f'(x)>0,結合定義域得單調遞增區間,令f'(x)<0,結合定義域得單調遞減區間.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若函數f(x)在(a,b)上單調遞增,則一定有f'(x)>0. (　　)
(2)若 x∈(a,b),f'(x)>0,則函數f(x)在(a,b)上單調遞增. (　　)
(3)若 x∈(a,b),f'(x)=0,則函數f(x)在(a,b)上不單調. (　　)
(4)已知f(x)是定義在R上的可導函數,若 x≥a,f(x)≥f(a),則f'(a)≥0. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.下列函數中,在(0,+∞)上單調遞增的是(　　).
A.y=sin x B.y=xex
C.y=x3-x D.y=ln x-x
【答案】　B
【解析】　(sin x)'=cos x,(xex)'=ex+xex=(1+x)ex,(x3-x)'=3x2-1,(ln x-x)'=-1,當x∈(0,+∞)時,只有(xex)'=(1+x)ex>0恒成立.
3.已知函數f(x)的導函數y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數f(x)的單調遞增區間為　　　　.
【答案】　[-1,0]和[2,+∞)
【解析】　∵當-1≤x≤0或x≥2時,f'(x)≥0,
∴函數f(x)的單調遞增區間為[-1,0]和[2,+∞).
4.證明函數f(x)=x+在(0,1]上單調遞減.
【解析】　f'(x)=1-=,∵x∈(0,1],∴x2-1≤0(當且僅當x=1時,等號成立),
∴f'(x)≤0,∴f(x)=x+在(0,1]上單調遞減.
【合作探究】
探究1　函數的單調性與導數
　　問題1:如圖,這是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象以及其速度v隨時間t變化的函數v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的圖象,試說明運動員從起跳到最高點以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別
【答案】　通過觀察圖象,可以發現:
(1)運動員從起點到最高點,離水面的高度h隨時間t的增加而增加,即h(t)單調遞增,相應地,v(t)=h'(t)>0;
(2)運動員從最高點到入水,離水面的高度h隨時間t的增加而減小,即h(t)單調遞減,相應地,v(t)=h'(t)<0.
問題2:觀察下面一些函數的圖象,探究函數的單調性和導數正負的關系.
【答案】　圖象(1)中,在區間(-∞,+∞)上,y'=1>0,y=x是增函數;
圖象(2)中,在區間(-∞,0)上,y'=2x<0,y=x2是減函數,在區間(0,+∞)上,y'=2x>0,y=x2是增函數;
圖象(3)中,在區間(-∞,+∞)上,y'=3x2≥0,y=x3是增函數;
圖象(4)中,在區間(-∞,0),(0,+∞)上,y'=-<0,y=是減函數.
新知生成
1.函數的單調性
(1)如果在區間(a,b)內,f'(x)>0,則曲線y=f(x)在區間(a,b)對應的那一段上每一點處切線的斜率都　大于0　,曲線呈　上升　狀態,因此f(x)在(a,b)上是　增　函數,如圖(1)所示;
(2)如果在區間(a,b)內,f'(x)<0,則曲線y=f(x)在區間(a,b)對應的那一段上每一點處切線的斜率都　小于0　,曲線呈　下降　狀態,因此f(x)在(a,b)上是　減　函數,如圖(2)所示.
　　圖(1)　　　　　　圖(2)　　
2.對函數的單調性與其導數正負的關系的兩點說明:
(1)若在某區間上有有限個點使f'(x)=0,在其余的點恒有f'(x)>0,則f(x)仍為增函數(減函數的情形完全類似);
(2)f(x)為增函數的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)內的任一非空子區間上f'(x)不恒為0.
新知運用
例1　利用導數判斷下列函數的單調性.
(1)f(x)=x3-x2+2x-5;(2)f(x)=x--ln x;(3)f(x)=x-ex(x>0).
【解析】　(1)因為f(x)=x3-x2+2x-5,所以f'(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,所以函數f(x)=x3-x2+2x-5在R上單調遞增.
(2)因為f(x)=x--ln x,x∈(0,+∞),
所以f'(x)=1+-==>0,所以f(x)=x--ln x在(0,+∞)上單調遞增.
(3)因為f(x)=x-ex,x∈(0,+∞),所以f'(x)=1-ex<0,所以f(x)=x-ex在(0,+∞)上單調遞減.
例2　(2023·安徽卓越第二次月考)已知函數f(x)=2ln(1-x)-.
(1)求曲線y=f(x)在點(-1,f(-1))處的切線方程;
(2)求函數y=f(x)的單調區間.
【解析】　(1)由f(x)=2ln(1-x)-,得f'(x)=+=.
因為f'(-1)=0,f(-1)=2ln 2+1,所以曲線y=f(x)在點(-1,2ln 2+1)處的切線方程為y=2ln 2+1.
(2)由題意可知,函數y=f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,1),由(1)知,當x<-1時,f'(x)<0,函數f(x)在(-∞,-1)上單調遞減;當-10,函數f(x)在(-1,0)和0,上單調遞增;當綜上所述,函數y=f(x)的單調遞增區間為(-1,0)和0,,單調遞減區間為(-∞,-1),,1.
【方法總結】　　1.利用導數判斷或證明函數單調性的思路:利用導數判斷或證明一個函數在給定區間上的單調性,實質上就是判斷或證明不等式f'(x)>0(f'(x)<0)在給定區間上恒成立.一般步驟:①求導數f'(x);②判斷f'(x)的符號;③給出單調性的結論.
特別提醒:如果出現個別點使f'(x)=0,不影響函數在包含該點的某個區間內的單調性.
2.求函數y=f(x)的單調區間的步驟
(1)確定函數y=f(x)的定義域.
(2)求導數y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,函數在解集與定義域的交集上為增函數.
(4)解不等式f'(x)<0,函數在解集與定義域的交集上為減函數.
求下列函數的單調區間:
(1)f(x)=x+sin x,x∈(0,2π);
(2)f(x)=2x-ln x.
【解析】　(1)由題意知,f'(x)=+cos x,令f'(x)>0,得+cos x>0,即cos x>-.
∵x∈(0,2π),∴0同理,令f'(x)<0,得∴該函數的單調遞增區間為0,和,2π,單調遞減區間為,.
(2)∵函數的定義域為(0,+∞),f'(x)=2-,
令2->0,解得x>;令2-<0,解得0∴該函數的單調遞增區間為,+∞,單調遞減區間為0,.
探究2　導函數圖象與原函數圖象的關系
　　問題1:結合圖象,如何從導數的角度解釋函數增減快慢的情況
【答案】　一般地,如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大,那么函數在這個范圍內變化得快,這時,函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);反之,函數的圖象就“平緩”一些.
如圖所示,函數y=f(x)在(0,b)或(a,0)內的圖象“陡峭”,在(b,+∞)或(-∞,a)內的圖象“平緩”.
問題2:若函數f(x)在(a,b)上滿足f'(x)>0(或f'(x)<0),則f(x)在(a,b)上具備什么樣的單調性
【答案】　若f'(x)>0,則f(x)在(a,b)上為增函數;若f'(x)<0,則f(x)在(a,b)上為減函數.
問題3:若函數f(x)為可導函數,且在區間(a,b)上是單調遞增(減)函數,則f'(x)滿足什么條件
【答案】　f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
新知生成
一般地,若函數y=f(x)為可導函數,則在區間(a,b)上有如下關系:
導數的絕對值 函數值變化 函數的圖象
越大 快 比較“陡峭” (向上或向下)
越小 慢 比較“平緩”
新知運用
例3　已知函數y=xf'(x)(其中f'(x)是函數f(x)的導函數)的圖象如圖所示,則下面四個圖象中,是函數y=f(x)的大致圖象的是(　　).
　　　 　　　　 A　　　　　　　　　B
　　　　 　　　　C　　　　　　　　　D
【答案】　C
【解析】　由函數y=xf'(x)的圖象可得,
當x<-1時,xf'(x)<0,f'(x)>0,可知函數f(x)在(-∞,-1)上單調遞增;
當-10,f'(x)<0,可知函數f(x)在(-1,0)上單調遞減;
當0當x>1時,xf'(x)>0,f'(x)>0,可知函數f(x)在(1,+∞)上單調遞增.
綜上所述,函數f(x)的單調遞增區間為(-∞,-1),(1,+∞),單調遞減區間為(-1,1).故選C.
【方法總結】　　研究函數與導函數圖象之間關系的方法:研究一個函數的圖象與其導函數圖象之間的關系時,注意抓住各自的關鍵要素,對于原函數,要注意其圖象在哪個區間內單調遞增,在哪個區間內單調遞減;而對于導函數,則應注意其函數值在哪個區間內大于零,在哪個區間內小于零,并分析這些區間與原函數的單調區間是否一致.
已知函數f(x)的導函數f'(x)=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則函數f(x)的圖象可能是(　　).
　 A　　　　　　B　　　　　　 C　　　 　　　D
【答案】　D
【解析】　觀察導函數f'(x)的圖象可知,當x<0或x>x1時,f'(x)<0,函數f(x)在(-∞,0)和(x1,+∞)上單調遞減;當00,函數f(x)在(0,x1)上單調遞增.故選D.
【隨堂檢測】
1.函數f(x)=2x-sin x在R上是(　　).
A.增函數 B.減函數 C.先增后減 D.不確定
【答案】　A
【解析】　f'(x)=2-cos x,∵cos x≤1,
∴f'(x)>0,∴f(x)在R上是增函數.
2.已知函數y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f'(x)的圖象可能是(　　).
A　　　　　　　　　　 B
C　　　　　　　　　　　　 D
【答案】　D
【解析】　由f(x)的圖象可知,f(x)在(-∞,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減,∴在(0,+∞)上f'(x)<0,在(-∞,0)上f'(x)>0,故選D.
3.函數f(x)=3+xln x的單調遞增區間是　　　　.
【答案】　
【解析】　函數f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=ln x+1,令f'(x)>0,即ln x+1>0,得x>,故函數f(x)的單調遞增區間為.
4.已知函數f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線垂直于直線y=x.求:
(1)a的值;
(2)函數f(x)的單調區間.
【解析】　(1)對f(x)=+-ln x-求導,得f'(x)=--(x>0),由曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線垂直于直線y=x,得f'(1)=--a=-2,解得a=.
(2)由(1)知,f(x)=+-ln x-(x>0),則f'(x)==,令f'(x)=0,解得x=-1或x=5.由于x=-1不在f(x)的定義域(0,+∞)內,故舍去.當x∈(0,5)時,f'(x)<0,故f(x)在(0,5)上為減函數;當x∈(5,+∞)時,f'(x)>0,故f(x)在(5,+∞)上為增函數.所以f(x)=+-ln x-的單調遞減區間為(0,5),單調遞增區間為(5,+∞).
26.2.1　導數與函數的單調性
【學習目標】
1.理解導數與函數的單調性的關系.(數學抽象、邏輯推理、直觀想象)
2.掌握利用導數判斷函數單調性的方法.(數學抽象、邏輯推理)
3.會用導數求函數的單調區間.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.我們知道判斷函數y=x2的單調性可以用定義法、圖象法,對于函數y=x3-3x,如何判斷它的單調性呢
2.函數f(x)的單調性與導數有什么關系
3.如何利用導數求函數f(x)的單調區間
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若函數f(x)在(a,b)上單調遞增,則一定有f'(x)>0. (　　)
(2)若 x∈(a,b),f'(x)>0,則函數f(x)在(a,b)上單調遞增. (　　)
(3)若 x∈(a,b),f'(x)=0,則函數f(x)在(a,b)上不單調. (　　)
(4)已知f(x)是定義在R上的可導函數,若 x≥a,f(x)≥f(a),則f'(a)≥0. (　　)
2.下列函數中,在(0,+∞)上單調遞增的是(　　).
A.y=sin x B.y=xex
C.y=x3-x D.y=ln x-x
3.已知函數f(x)的導函數y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數f(x)的單調遞增區間為　　　　.
4.證明函數f(x)=x+在(0,1]上單調遞減.
【合作探究】
探究1　函數的單調性與導數
　　問題1:如圖,這是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象以及其速度v隨時間t變化的函數v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的圖象,試說明運動員從起跳到最高點以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別
問題2:觀察下面一些函數的圖象,探究函數的單調性和導數正負的關系.
新知生成
1.函數的單調性
(1)如果在區間(a,b)內,f'(x)>0,則曲線y=f(x)在區間(a,b)對應的那一段上每一點處切線的斜率都　大于0　,曲線呈　上升　狀態,因此f(x)在(a,b)上是　增　函數,如圖(1)所示;
(2)如果在區間(a,b)內,f'(x)<0,則曲線y=f(x)在區間(a,b)對應的那一段上每一點處切線的斜率都　小于0　,曲線呈　下降　狀態,因此f(x)在(a,b)上是　減　函數,如圖(2)所示.
　　圖(1)　　　　　　圖(2)　　
2.對函數的單調性與其導數正負的關系的兩點說明:
(1)若在某區間上有有限個點使f'(x)=0,在其余的點恒有f'(x)>0,則f(x)仍為增函數(減函數的情形完全類似);
(2)f(x)為增函數的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)內的任一非空子區間上f'(x)不恒為0.
新知運用
例1　利用導數判斷下列函數的單調性.
(1)f(x)=x3-x2+2x-5;(2)f(x)=x--ln x;(3)f(x)=x-ex(x>0).
例2　(2023·安徽卓越第二次月考)已知函數f(x)=2ln(1-x)-.
(1)求曲線y=f(x)在點(-1,f(-1))處的切線方程;
(2)求函數y=f(x)的單調區間.
【方法總結】　　1.利用導數判斷或證明函數單調性的思路:利用導數判斷或證明一個函數在給定區間上的單調性,實質上就是判斷或證明不等式f'(x)>0(f'(x)<0)在給定區間上恒成立.一般步驟:①求導數f'(x);②判斷f'(x)的符號;③給出單調性的結論.
特別提醒:如果出現個別點使f'(x)=0,不影響函數在包含該點的某個區間內的單調性.
2.求函數y=f(x)的單調區間的步驟
(1)確定函數y=f(x)的定義域.
(2)求導數y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,函數在解集與定義域的交集上為增函數.
(4)解不等式f'(x)<0,函數在解集與定義域的交集上為減函數.
求下列函數的單調區間:
(1)f(x)=x+sin x,x∈(0,2π);
(2)f(x)=2x-ln x.
探究2　導函數圖象與原函數圖象的關系
　　問題1:結合圖象,如何從導數的角度解釋函數增減快慢的情況
問題2:若函數f(x)在(a,b)上滿足f'(x)>0(或f'(x)<0),則f(x)在(a,b)上具備什么樣的單調性
問題3:若函數f(x)為可導函數,且在區間(a,b)上是單調遞增(減)函數,則f'(x)滿足什么條件
新知生成
一般地,若函數y=f(x)為可導函數,則在區間(a,b)上有如下關系:
導數的絕對值 函數值變化 函數的圖象
越大 快 比較“陡峭” (向上或向下)
越小 慢 比較“平緩”
新知運用
例3　已知函數y=xf'(x)(其中f'(x)是函數f(x)的導函數)的圖象如圖所示,則下面四個圖象中,是函數y=f(x)的大致圖象的是(　　).
　　　 　　　　 A　　　　　　　　　B
　　　　 　　　　C　　　　　　　　　D
【方法總結】　　研究函數與導函數圖象之間關系的方法:研究一個函數的圖象與其導函數圖象之間的關系時,注意抓住各自的關鍵要素,對于原函數,要注意其圖象在哪個區間內單調遞增,在哪個區間內單調遞減;而對于導函數,則應注意其函數值在哪個區間內大于零,在哪個區間內小于零,并分析這些區間與原函數的單調區間是否一致.
已知函數f(x)的導函數f'(x)=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則函數f(x)的圖象可能是(　　).
　 A　　　　　　B　　　　　　 C　　　 　　　D
【隨堂檢測】
1.函數f(x)=2x-sin x在R上是(　　).
A.增函數 B.減函數 C.先增后減 D.不確定
2.已知函數y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f'(x)的圖象可能是(　　).
A　　　　　　　　　　 B
C　　　　　　　　　　　　 D
3.函數f(x)=3+xln x的單調遞增區間是　　　　.
4.已知函數f(x)=+-ln x-,其中a∈R,且曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線垂直于直線y=x.求:
(1)a的值;
(2)函數f(x)的單調區間.
2

展開更多......

收起↑