資源簡介

6.2.2 課時2　導數與函數的最大(小)值
【學習目標】
1.借助函數圖象,直觀地理解函數的最大值和最小值的概念.(直觀想象)
2.弄清函數最大值、最小值與極大值、極小值的區別與聯系.(數學抽象、邏輯推理)
3.會用導數求在給定區間上函數的最大值、最小值.(邏輯推理、數學建模、數學運算)
【自主預習】
1.如圖,觀察區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象,你能找出它的極大值、極小值嗎
2.對上述的函數y=f(x),你能找出它在區間[a,b]上的最大值、最小值嗎 在區間(a,b)上呢
3.結合上述問題,如果區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線,那么可以得出什么結論
4.如何求連續函數f(x)在[a,b]上的最值
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)一般地,連續函數f(x)在[a,b]上既有最大值,又有最小值. (　　)
(2)函數的極值可以有多個,但最大(小)值最多只能有一個. (　　)
(3)最大(小)值一定是函數的極大(小)值. (　　)
(4)極大(小)值一定是函數的最大(小)值. (　　)
2.函數f(x)=x+在區間[-3,-1]上的最大值為(　　).
A.-2 B.-3
C.- D.-
3.函數f(x)=x3-3x2+6x-10在區間[-1,1]上的最大值為　　　　.
4.求函數f(x)=sin 2x-x在-,上的最大值和最小值.
【合作探究】
探究1　函數的最值
　　問題1:y=f(x)在區間[a,b]上的函數圖象如圖所示.顯然f(x1),f(x3),f(x5)為極大值,f(x2),f(x4),f(x6)為極小值.你能找到函數的最大值和最小值嗎
問題2:在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線,想一想,在[a,b]上一定存在最值和極值嗎 在區間(a,b)上呢
問題3:函數的極值與最值的區別是什么
新知生成
1.函數的最值
(1)一般地,如果函數y=f(x)在定義域內的每一點都可導,且函數存在極值,則函數的最值點一定是某個　極值點　;
(2)如果函數y=f(x)的定義域為[a,b]且存在極值,函數y=f(x)在(a,b)內可導,那么函數的最值點要么是　區間端點a或b　,要么是　極值點　.
2.求函數的最值時,應注意以下幾點:
(1)函數的極值是在局部范圍內討論問題,是一個局部概念,而函數的最值是對整個定義域而言,是在整體范圍內討論問題,是一個整體性的概念.
(2)閉區間[a,b]上的連續函數一定有最值,開區間(a,b)內的可導函數不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數的最值.
(3)函數在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個,而函數的極值可能不止一個,也可能沒有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值).
新知運用
例1　求函數f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最大值與最小值.
【方法總結】　　1.求函數f(x)在閉區間[a,b]上的最值的步驟:
(1)求函數f(x)的導函數f'(x);
(2)計算函數f(x)在區間(a,b)內使得f'(x)=0的所有點的函數值以及端點的函數值f(a)與f(b);
(3)比較以上各個函數值,其中最大的是函數的最大值,最小的是函數的最小值.
2.求一個函數在無窮區間(或開區間)上的最值與在閉區間上的最值的方法是不同的.求函數在無窮區間(或開區間)上的最值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調性,并通過單調性和極值情況,畫出函數的大致圖象,然后借助圖象觀察得到函數的最值.
求下列函數的最值.
(1)f(x)=2sin x-x,x∈-,;(2)f(x)=(x2-3)ex.
探究2　含參函數的最值問題
例2　已知a是實數,函數f(x)=x2(x-a).
(1)若f'(1)=5,求a的值及曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)求f(x)在區間[0,2]上的最大值.
【方法總結】　　對于含參函數的最值問題,由于參數的取值范圍不同會導致函數在所給區間上的單調性的變化,從而導致最值的變化,故解決此類問題時可通過導函數值為0時自變量的大小或通過比較函數值的大小等方面進行參數分界的確定.
已知函數f(x)=x3-ax2-a2x.求函數f(x)在[0,+∞)上的最小值.
探究3　由函數的最值求參數問題
例3　已知函數f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在實數a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29 若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
【方法總結】　　已知函數的最值求參數,可先求出函數在給定區間上的極值及函數在區間端點處的函數值,通過比較它們的大小,判斷出哪個是最大值,哪個是最小值.結合已知求出參數,進而使問題得以解決.要注意極值點是否在區間內.
已知a,b為常數且a>0,f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+b.函數f(x)的極大值為2,且在區間[0,3]上的最小值為-2a+b,求a,b的值.
【隨堂檢測】
1.下列結論正確的是(　　).
A.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有極小值,則極小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極小值一定在x=a和x=b處取得
D.若f(x)在[a,b]上連續,則f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
2.函數f(x)=的最大值為(　　).
A.a B.(a-1)e C.e1-a D.ea-1
3.(多選題)已知函數y=f(x)的導函數y=f'(x)的圖象如圖所示,則下列說法錯誤的是(　　).
A.x=-3是函數y=f(x)的極值點
B.x=-1是函數y=f(x)的最小值點
C.y=f(x)在區間(-3,1)上單調遞增
D.y=f(x)在x=0處的切線的斜率小于零
4.已知函數f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m∈[-1,1],則f(m)的最小值為　　　　.
26.2.2 課時2　導數與函數的最大(小)值
【學習目標】
1.借助函數圖象,直觀地理解函數的最大值和最小值的概念.(直觀想象)
2.弄清函數最大值、最小值與極大值、極小值的區別與聯系.(數學抽象、邏輯推理)
3.會用導數求在給定區間上函數的最大值、最小值.(邏輯推理、數學建模、數學運算)
【自主預習】
1.如圖,觀察區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象,你能找出它的極大值、極小值嗎
【答案】　能.f(x1),f(x3),f(x5)是函數y=f(x)的極小值;f(x2),f(x4),f(x6)是函數y=f(x)的極大值.
2.對上述的函數y=f(x),你能找出它在區間[a,b]上的最大值、最小值嗎 在區間(a,b)上呢
【答案】　函數y=f(x)在區間[a,b]上的最大值是f(a),最小值是f(x3).若區間改為(a,b),觀察圖象可知,f(x)有最小值f(x3),無最大值.
3.結合上述問題,如果區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線,那么可以得出什么結論
【答案】　一般地,如果在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線,那么它必有最大值與最小值.
4.如何求連續函數f(x)在[a,b]上的最值
【答案】　求出函數f(x)在[a,b]上的極值和端點值,然后進行比較,最大者為最大值,最小者為最小值.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)一般地,連續函數f(x)在[a,b]上既有最大值,又有最小值. (　　)
(2)函數的極值可以有多個,但最大(小)值最多只能有一個. (　　)
(3)最大(小)值一定是函數的極大(小)值. (　　)
(4)極大(小)值一定是函數的最大(小)值. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.函數f(x)=x+在區間[-3,-1]上的最大值為(　　).
A.-2 B.-3
C.- D.-
【答案】　A
【解析】　f'(x)=1-,令f'(x)=0,且x∈[-3,-1],解得x=-,x=(舍去).
當-3≤x≤-時,f'(x)≥0,函數f(x)單調遞增;
當-≤x≤-1時,f'(x)≤0,函數f(x)單調遞減.
所以函數f(x)的最大值是f(-)=-2.
3.函數f(x)=x3-3x2+6x-10在區間[-1,1]上的最大值為　　　　.
【答案】　-6
【解析】　因為f'(x)=3x2-6x+6=3(x-1)2+3>0,
所以函數f(x)在區間[-1,1]上單調遞增,
所以當x=1時,函數f(x)取得最大值,最大值為f(1)=-6.
4.求函數f(x)=sin 2x-x在-,上的最大值和最小值.
【解析】　f'(x)=2cos 2x-1.令f'(x)=0,且x∈-,,解得x=-或x=.
又f-=-,f=-,f-=,f=-,其中最大,-最小,
所以函數f(x)的最大值為,最小值為-.
【合作探究】
探究1　函數的最值
　　問題1:y=f(x)在區間[a,b]上的函數圖象如圖所示.顯然f(x1),f(x3),f(x5)為極大值,f(x2),f(x4),f(x6)為極小值.你能找到函數的最大值和最小值嗎
【答案】　能.最大值y=M=f(x3)=f(b)分別在x=x3及x=b處取得,最小值y=m=f(x4)在x=x4處取得.
問題2:在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線,想一想,在[a,b]上一定存在最值和極值嗎 在區間(a,b)上呢
【答案】　在區間[a,b]上一定有最值,但不一定有極值.如果函數f(x)在[a,b]上是單調的,那么此時f(x)在[a,b]上無極值;如果f(x)在[a,b]上不是單調函數,那么f(x)在[a,b]上有極值.當f(x)在(a,b)上為單調函數時,它既沒有最值也沒有極值.
問題3:函數的極值與最值的區別是什么
【答案】　函數的最大值和最小值是一個整體性概念,最大值必須是整個區間內所有函數值中的最大值;最小值必須是整個區間內所有函數值中的最小值.
函數的最大值、最小值是比較整個定義區間的函數值得出的,函數的極值是比較極值點附近的函數值得出的,函數的極值可以有多個,但最值只能有一個;極值只能在區間內取得,最值則可以在端點處取得;有極值的未必有最值,有最值的未必有極值;極值有可能成為最值,最值只要不在端點必定是極值.
當連續函數f(x)在開區間(a,b)內只有一個導數為零的點時,若在這一點處f(x)有極大值(或極小值),則可以判定f(x)在該點處取得最大值(或最小值),這里的(a,b)也可以是無窮區間.
新知生成
1.函數的最值
(1)一般地,如果函數y=f(x)在定義域內的每一點都可導,且函數存在極值,則函數的最值點一定是某個　極值點　;
(2)如果函數y=f(x)的定義域為[a,b]且存在極值,函數y=f(x)在(a,b)內可導,那么函數的最值點要么是　區間端點a或b　,要么是　極值點　.
2.求函數的最值時,應注意以下幾點:
(1)函數的極值是在局部范圍內討論問題,是一個局部概念,而函數的最值是對整個定義域而言,是在整體范圍內討論問題,是一個整體性的概念.
(2)閉區間[a,b]上的連續函數一定有最值,開區間(a,b)內的可導函數不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數的最值.
(3)函數在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個,而函數的極值可能不止一個,也可能沒有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值).
新知運用
例1　求函數f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最大值與最小值.
【解析】　 f'(x)=x2-4,當f'(x)>0時,x<-2或x>2;
當f'(x)<0時,-2所以在[0,3]上,當x=2時,f(x)取得極小值,極小值為f(2)=-.
又f(0)=4,f(3)=1,所以函數f(x)=x3-4x+4在[0,3]上的最大值為4,最小值為-.
【方法總結】　　1.求函數f(x)在閉區間[a,b]上的最值的步驟:
(1)求函數f(x)的導函數f'(x);
(2)計算函數f(x)在區間(a,b)內使得f'(x)=0的所有點的函數值以及端點的函數值f(a)與f(b);
(3)比較以上各個函數值,其中最大的是函數的最大值,最小的是函數的最小值.
2.求一個函數在無窮區間(或開區間)上的最值與在閉區間上的最值的方法是不同的.求函數在無窮區間(或開區間)上的最值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調性,并通過單調性和極值情況,畫出函數的大致圖象,然后借助圖象觀察得到函數的最值.
求下列函數的最值.
(1)f(x)=2sin x-x,x∈-,;(2)f(x)=(x2-3)ex.
【解析】　(1)f'(x)=2cos x-1,x∈-,,
令f'(x)=0,解得x1=,x2=-.
當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如表所示:
x - -,- - -, ,
f'(x) -1 - 0 + 0 - -1
f(x) -2+ ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 2-
　　由上表知,x=為極大值點,x=-為極小值點,
f=-,f-=-+,
f=2-,f-=-2+.
因為f>f,f-　　所以f(x)max=-,f(x)min=-+.
(2)函數的定義域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)·ex=ex(x2+2x-3)=ex(x+3)(x-1).
令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3所以函數f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)內單調遞增,在(-3,1)內單調遞減.因此函數f(x)在x=-3處取得極大值,且極大值為f(-3)=6e-3;在x=1處取得極小值,且極小值為f(1)=-2e.
又令f(x)>0,得x>或x<-;令f(x)<0,得-由函數圖象可得,函數f(x)的最小值就是函數的極小值f(1)=-2e,無最大值.
探究2　含參函數的最值問題
例2　已知a是實數,函數f(x)=x2(x-a).
(1)若f'(1)=5,求a的值及曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)求f(x)在區間[0,2]上的最大值.
【解析】　(1)f'(x)=3x2-2ax,
因為f'(1)=3-2a=5,所以a=-1.
又當a=-1時,f(1)=2,f'(1)=5,
所以曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為5x-y-3=0.
(2)令f'(x)=0,解得x1=0,x2=.
當≤0,即a≤0時,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在[0,2]上單調遞增,從而f(x)max=f(2)=8-4a.
當≥2,即a≥3時,f'(x)≤0恒成立,所以f(x)在[0,2]上單調遞減,從而f(x)max=f(0)=0.
當0<<2,即0綜上所述,f(x)max=
【方法總結】　　對于含參函數的最值問題,由于參數的取值范圍不同會導致函數在所給區間上的單調性的變化,從而導致最值的變化,故解決此類問題時可通過導函數值為0時自變量的大小或通過比較函數值的大小等方面進行參數分界的確定.
已知函數f(x)=x3-ax2-a2x.求函數f(x)在[0,+∞)上的最小值.
【解析】　f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),
令f'(x)=0,解得x1=-,x2=a.
①當a>0時,f(x)在[0,a)上單調遞減,在[a,+∞)上單調遞增,所以f(x)min=f(a)=-a3.
②當a=0時,f'(x)=3x2≥0,f(x)在[0,+∞)上單調遞增,所以f(x)min=f(0)=0.
③當a<0時,f(x)在0,-上單調遞減,在-,+∞上單調遞增,所以f(x)min=f-=.
綜上所述,當a>0時,f(x)的最小值為-a3;
當a=0時,f(x)的最小值為0;
當a<0時,f(x)的最小值為.
探究3　由函數的最值求參數問題
例3　已知函數f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在實數a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29 若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
【解析】　存在.顯然a≠0,f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,且x∈[-1,2],解得x1=0,x2=4(舍去).
①若a>0,則當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如表所示:
x [-1,0) 0 (0,2]
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 極大值 ↘
　　∴當x=0時,f(x)取得極大值,同時也是最大值,∴b=3.
又∵f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),∴當x=2時,f(x)取得最小值,即-16a+3=-29,解得a=2.
②若a<0,則當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如表所示:
x [-1,0) 0 (0,2]
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 極小值 ↗
　　∴當x=0時,f(x)取得極小值,同時也是最小值,∴b=-29.
又∵f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1),∴當x=2時,f(x)取得最大值,即-16a-29=3,解得a=-2.
綜上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
【方法總結】　　已知函數的最值求參數,可先求出函數在給定區間上的極值及函數在區間端點處的函數值,通過比較它們的大小,判斷出哪個是最大值,哪個是最小值.結合已知求出參數,進而使問題得以解決.要注意極值點是否在區間內.
已知a,b為常數且a>0,f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+b.函數f(x)的極大值為2,且在區間[0,3]上的最小值為-2a+b,求a,b的值.
【解析】　f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1).
令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a.
∵a>0,∴x1當x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如表所示:
x (-∞,-1) -1 (-1,a) a (a,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
　　∴當x=-1時,f(x)有極大值2,即3a+2b=3.
①當0∴f(a)為最小值,且f(a)=-a3-a2+b,
即-a3-a2+b=-2a+b,解得a=1(a=0和a=-4舍去).
又3a+2b=3,∴b=0,
∴a=1,b=0.
②當a≥3時,可知f(x)在[0,3]上單調遞減,
∴當x=3時,f(x)取到[0,3]上的最小值.
∴f(3)=27+(1-a)-9a+b=-2a+b,
∴解得a=,
∵<3,∴此時沒有符合條件的a,b.
綜上所述,滿足題意的a=1,b=0.
【隨堂檢測】
1.下列結論正確的是(　　).
A.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有極小值,則極小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極小值一定在x=a和x=b處取得
D.若f(x)在[a,b]上連續,則f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
【答案】　D
【解析】　函數f(x)在[a,b]上的極值不一定是最值,最值也不一定是極值,極值一定不會在端點處取得,而在[a,b]上一定存在最大值和最小值.
2.函數f(x)=的最大值為(　　).
A.a B.(a-1)e C.e1-a D.ea-1
【答案】　D
【解析】　f'(x)=,
所以當x<1-a時,f'(x)>0;當x>1-a時,f'(x)<0.
所以f(x)在(-∞,1-a)上單調遞增,在(1-a,+∞)上單調遞減,
所以f(x)max=f(1-a)=ea-1.
3.(多選題)已知函數y=f(x)的導函數y=f'(x)的圖象如圖所示,則下列說法錯誤的是(　　).
A.x=-3是函數y=f(x)的極值點
B.x=-1是函數y=f(x)的最小值點
C.y=f(x)在區間(-3,1)上單調遞增
D.y=f(x)在x=0處的切線的斜率小于零
【答案】　BD
【解析】　易知-3是函數y=f(x)的極小值點,故A正確;
根據導函數圖象可知當x∈(-∞,-3)時,f'(x)<0,當x∈(-3,1)時,f'(x)≥0,
∴函數y=f(x)在(-∞,-3)上單調遞減,在(-3,1)上單調遞增,故C正確;
∵f(x)在(-3,1)上單調遞增,∴x=-1不是函數y=f(x)的最小值點,故B錯誤;
∵函數y=f(x)在x=0處的導數大于0,∴切線的斜率大于零,故D錯誤.
4.已知函數f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m∈[-1,1],則f(m)的最小值為　　　　.
【答案】　-4
【解析】　f'(x)=-3x2+2ax,由f(x)在x=2處取得極值知f'(2)=0.
即-3×4+4a=0,故a=3.
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),
∴f(x)在[-1,0]上單調遞減,在(0,1]上單調遞增,
∴當m∈[-1,1]時,f(m)min=f(0)=-4.
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