資源簡介

6.3　利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過實(shí)際例子,體會導(dǎo)數(shù)在解決最優(yōu)問題中的應(yīng)用.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.通過分析實(shí)際問題,體會導(dǎo)數(shù)在研究實(shí)際問題中的作用.(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,能建立函數(shù)模型.(數(shù)學(xué)建模)
【自主預(yù)習(xí)】
　　統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(單位:升)關(guān)于行駛速度x(單位:千米/小時)的函數(shù)【解析】式可以表示為y=x3-x+8(0閱讀教材,結(jié)合上述情境回答下列問題.
1.當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升
【答案】　當(dāng)x=40時,汽車從甲地到乙地行駛了2.5小時,共耗油2.5×=17.5(升).
因此,當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油17.5升.
2.當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少 最少為多少升
【答案】　當(dāng)速度為x千米/小時時,汽車從甲地到乙地行駛了小時,設(shè)耗油量為h(x)升,
依題意得h(x)=·=x2+-(0當(dāng)x∈(0,80)時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(80,120]時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=80時,h(x)取得極小值h(80)=11.25(升).
易知h(80)是h(x)在(0,120]上的最小值.
故當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少,最少為11.25升.
1.用總長為14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m,那么高為　　　　時容器的容積最大.
【答案】　1.2 m
【解析】　設(shè)容器底面短邊長為x m,則另一邊長為(x+0.5) m,高為[14.8-4x-4(x+0.5)]=(3.2-2x) m.
由3.2-2x>0及x>0,得0設(shè)容器的容積為y m3,則有y=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x3+2.2x2+1.6x(0由y'=0及00,當(dāng)1所以y在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,1.6)上單調(diào)遞減,
因此當(dāng)x=1時,y取得最大值,且ymax=-2+2.2+1.6=1.8(m3),此時高為1.2 m.
2.某科研小組研究發(fā)現(xiàn),一棵水果樹的產(chǎn)量ω(x)(單位:百千克)與肥料費(fèi)用x(單位:百元)滿足如下關(guān)系:ω(x)=此外,還需要投入其他成本(如施肥的人工費(fèi)等)2x百元.已知這種水果的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克),且市場需求始終供不應(yīng)求.記該棵水果樹獲得的利潤為L(x)(單位:百元).
(1)求L(x)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時,該水果樹獲得的利潤最大 最大利潤是多少
【解析】　(1)L(x)=16ω(x)-2x-x
=
(2)當(dāng)0≤x≤2時,L'(x)=16x-3,令L'(x)=0,得x=,當(dāng)0≤x<時,L'(x)<0,則L(x)單調(diào)遞減,當(dāng)0,則L(x)單調(diào)遞增.而L(0)=16,L(2)=42,所以L(x)max=42(百元).
當(dāng)20,則L(x)單調(diào)遞增;當(dāng)3故當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為300元時,種植該水果樹獲得的利潤最大,最大利潤是4300元.
【合作探究】
探究1　利潤最大化問題
　　某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+10(x-6)2,其中3問題1:求a的值.
【答案】　因?yàn)楫?dāng)x=5時,y=11,
所以+10=11,得a=2.
問題2:若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
【答案】　由問題1可知,該商品每日的銷售量y=+10(x-6)2.
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤
f(x)=(x-3)
=2+10(x-3)(x-6)2(3從而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
=30(x-4)(x-6).
于是,當(dāng)x變化時,f'(x),f(x)的變化情況如下表:
x (3,4) 4 (4,6)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 極大值 ↘
　　由上表可得,x=4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn).
所以,當(dāng)x=4時,函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于42.
故當(dāng)銷售價格為4元/千克時,商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
新知生成
1.經(jīng)濟(jì)生活中優(yōu)化問題的解法
經(jīng)濟(jì)生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢,以產(chǎn)量或單價為自變量建立函數(shù)關(guān)系,從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動.
2.關(guān)于利潤問題常用的兩個等量關(guān)系
(1)利潤=收入-成本.
(2)利潤=每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù).
新知運(yùn)用
例1　某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為13萬元/輛,年銷售量為5000輛.本年度為適應(yīng)市場需求,計劃提高產(chǎn)品檔次,適當(dāng)增加投入成本,若每輛車投入成本增加的比例為x(0(1)若年銷售量增加的比例為0.4x,為使本年度的年利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)
(2)若年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為y=3240-x2+2x+,則當(dāng)x為何值時,本年度的年利潤最大 最大利潤是多少
【解析】　(1)由題意得上年度的利潤為(13-10)×5000=15000(萬元).
本年度每輛車的投入成本為10×(1+x),每輛車的出廠價為13×(1+0.7x),年銷售量為5000×(1+0.4x),
因此本年度的年利潤為f(x)=[13×(1+0.7x)-10×(1+x)]×5000×(1+0.4x)=(3-0.9x)×5000×(1+0.4x)=-1800x2+1500x+15000(0由-1800x2+1500x+15000>15000,得0故當(dāng)0(2)由題意得本年度的年利潤為f(x)=(3-0.9x)×3240×=3240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),
則f'(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),
令f'(x)=0,得x=或x=3(舍去),
當(dāng)x∈時,f'(x)>0,f(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈時,f'(x)<0,f(x)是減函數(shù).
故當(dāng)x=時,f(x)取得極大值f=20000.
又函數(shù)f(x)在(0,1)上只有一個極大值,即為最大值,
所以當(dāng)x=時,本年度的年利潤最大,最大利潤為20000萬元.
【方法總結(jié)】　　根據(jù)題意,建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式,再利用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性,得出函數(shù)的極大值點(diǎn),從而得出最大值對應(yīng)的x值.
某市舉辦購物節(jié)促銷活動,某廠商擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi),對所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷,經(jīng)調(diào)查測算,該促銷產(chǎn)品在購物節(jié)的銷售量p(單位:萬件)與廣告費(fèi)用 x(單位:萬元)滿足p=3-(其中 0≤x≤a,a為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品 p萬件還需投入成本(10+2p)萬元(不含廣告費(fèi)用),產(chǎn)品的銷售價格定為元/件,假定廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品恰好能夠售完.
(1)將該產(chǎn)品的利潤y(單位:萬元)表示為廣告費(fèi)用x(單位:萬元)的函數(shù);
(2)問廣告費(fèi)用投入多少萬元時,廠商的利潤最大
【解析】　(1)由題意知,y=p-x-(10+2p),將p=3-代入化簡得y=16--x(0≤x≤a).
(2)y'=-1-==-=-.
若a≥1,當(dāng)x∈(0,1)時,y'>0,所以函數(shù)y=16-x-在(0,1)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,a)時,y'<0,所以函數(shù)y=16--x在(1,a)上單調(diào)遞減.
所以廣告費(fèi)用投入 1萬元時,廠家的利潤最大.
若a<1,因?yàn)楹瘮?shù)y=16--x在(0,1)上單調(diào)遞增,所以y=16--x在[0,a]上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=a時,函數(shù)有最大值,即廣告費(fèi)用投入a萬元時,廠家的利潤最大.
綜上所述,當(dāng) a≥1時,廣告費(fèi)用投入 1萬元,廠家的利潤最大;當(dāng)a<1時,廣告費(fèi)用投入a萬元,廠家的利潤最大.
探究2　幾何中的最值問題
　　將一段長為100 cm的鐵絲截成兩段,一段彎成正方形,一段彎成圓.
問題:如何截可使正方形與圓面積之和最小
【答案】　設(shè)彎成圓的一段長為x cm(0令S'=0,則x=.
由于在(0,100)內(nèi)函數(shù)只有一個導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),問題中面積之和最小值顯然存在,故當(dāng)x= cm時,面積之和最小.
故當(dāng)截得彎成圓的一段長為 cm時,兩種圖形面積之和最小.
新知生成
　　利用導(dǎo)數(shù)解決幾何問題,往往是求體積、面積的最值,首先看清題意,分析幾何圖形的特征,設(shè)出變量,列出目標(biāo)函數(shù)式,注明定義域,再轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求最值.若在定義域內(nèi)只有一個極值點(diǎn),則這個極值便為最值.
新知運(yùn)用
例2　請你設(shè)計一個包裝盒,如圖所示,四邊形ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得ABCD四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn),設(shè)AE=FB=x cm.
(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值
(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值 并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
【解析】　設(shè)包裝盒的高為h cm,底面邊長為a cm,則a=x,h=(30-x),0(1)根據(jù)題意有S=4×x×(30-x)=240x-8x2=-8(x-15)2+1800(0所以當(dāng)x=15 cm時,包裝盒側(cè)面積S最大.
(2)根據(jù)題意有V=(x)2×(30-x)=2x2·(30-x)(0所以V'=6x(20-x).
當(dāng)00,V單調(diào)遞增;當(dāng)20所以當(dāng)x=20 cm時,V取得極大值,也是最大值.
此時,包裝盒的高與底面邊長的比值為=.
即當(dāng)x=20 cm時,包裝盒容積V(cm3)最大, 此時包裝盒的高與底面邊長的比值為.
【方法總結(jié)】　　幾何中最值問題的求解思路:
面積、體積(容積)最大,周長最短,距離最小等實(shí)際幾何問題,求解時先設(shè)出恰當(dāng)?shù)淖兞?將待求解最值的問題表示為變量的函數(shù),再按函數(shù)求最值的方法求解,最后檢驗(yàn).
如果圓柱軸截面的周長l為定值,那么體積的最大值為(　　).
A.π B.π
C.π D. π
【答案】　A
【解析】　設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,體積為V,則4r+2h=l,
∴h=,V=πr2h=πr2-2πr3,則V'=lπr-6πr2.
令V'=0,得r=0或r=,而r>0,∴r=是其唯一的極值點(diǎn).
故當(dāng)r=時,V取得最大值,最大值為π.
探究3　用料、費(fèi)用最省問題
　　一艘輪船在航行時每小時的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比,已知速度為每小時10千米時的燃料費(fèi)是每小時6元,而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時96元.
問題:此輪船以何種速度航行時,能使行駛每千米的費(fèi)用總和最小
【答案】　設(shè)輪船速度為x(x>0)千米/小時時每小時的燃料費(fèi)用為Q元,則Q=kx3.由6=k×103,可得k=.∴Q=x3.
∴每千米的總費(fèi)用y==x2+.
∴y'=-,令y'=0,得x=20.
∴當(dāng)x∈(0,20)時,y'<0,此時函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(20,+∞)時,y'>0,此時函數(shù)單調(diào)遞增.
∴當(dāng)x=20時,y取得最小值,
∴此輪船以20千米/小時的速度行駛時,每千米的費(fèi)用總和最小.
新知生成
　　費(fèi)用、用料最省問題是日常生活中常見的問題之一,解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數(shù)表達(dá)式,準(zhǔn)確求導(dǎo),結(jié)合實(shí)際作答.
新知運(yùn)用
例3　某網(wǎng)球中心欲建連成片的網(wǎng)球場數(shù)塊,用128萬元購買土地10000平方米,該中心每塊球場的建設(shè)面積為1000平方米,球場每平方米建筑的平均建設(shè)費(fèi)用(單位:元)與球場數(shù)有關(guān),當(dāng)該中心建球場x塊時,每平方米的平均建設(shè)費(fèi)用可近似地用f(x)=800來表示.為了使該球場每平方米的綜合費(fèi)用最省(綜合費(fèi)用是建設(shè)費(fèi)用與購地費(fèi)用之和),該網(wǎng)球中心應(yīng)建幾個球場
【解析】　設(shè)應(yīng)建x個球場,則1≤x≤10,x∈N+,球場每平方米的購地費(fèi)用為=元.因?yàn)榍驁雒科椒矫椎钠骄ㄔO(shè)費(fèi)用可近似地用f(x)=8001+ln x來表示,所以球場每平方米的綜合費(fèi)用為g(x)=f(x)+=800+160ln x+,所以g'(x)=.
令g'(x)=0,則x=8,
當(dāng)08時,g'(x)>0.
所以x=8時,函數(shù)取得極小值,且為最小值.
故應(yīng)建8個球場,此時球場每平方米的綜合費(fèi)用最省.
【方法總結(jié)】　　利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題,當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點(diǎn)使f'(x)=0時,如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道在這個點(diǎn)取得最大(小)值.
某地需修建一條通過120公里寬沙漠地帶的大型輸油管道,該段輸油管道兩端的輸油站已建好,余下工程只需在該段兩輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離x公里修建增壓站.經(jīng)預(yù)算,修建一個增壓站的工程費(fèi)用為432萬元,鋪設(shè)距離為x公里輸油管道費(fèi)用為(x3+x)萬元.設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬元.
(1)試將y表示成關(guān)于x的函數(shù);
(2)需要修建多少個增壓站才能使y最小
【解析】　(1)設(shè)需要修建k個增壓站,則(k+1)x=120,即k=-1.
∴y=432k+(k+1)(x3+x)=432+(x3+x)=+120x2-312.
∵x表示相鄰兩增壓站之間的距離,則0(2)設(shè)f(x)=+120x2-312(0則f'(x)=-+240x=(x3-216).
由f'(x)>0,得x3>216.又0∴f(x)在區(qū)間(6,120]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[0,6)上單調(diào)遞減.
∴當(dāng)x=6時,f(x)取得最小值,
此時k=-1=-1=19.
故需要修建19個增壓站才能使y最小.
【隨堂檢測】
1.有長和寬分別為8和5的長方形,在各角剪去相同的小正方形,把四邊折起做成一個無蓋小盒,要使小盒的容積最大,則剪去的小正方形的邊長應(yīng)為(　　).
A.18　　 　　 B.10　　 　　 C.8　　 　　 D.1
【答案】　D
【解析】　設(shè)正方形的邊長為x,則
V=(8-2x)(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x),
所以V'=4(3x2-13x+10),
令V'=0,得x=1,
所以當(dāng)x=1時,容積V取得最大值,最大值為18.
2.某銀行準(zhǔn)備設(shè)置一項新的定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)測,存款量與存款利率的平方成正比,比例系數(shù)為k(k>0),貸款的利率為4.8%,假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.若存款利率為x(0A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%
【答案】　A
【解析】　依題意知,存款量是kx2,銀行應(yīng)支付的利息是kx3,銀行應(yīng)獲得的利息是0.048kx2,所以銀行的收益是y=0.048kx2-kx3,故y'=0.096kx-3kx2,令y'=0,得x=0.032或x=0(舍去).因?yàn)閗>0,所以當(dāng)00;當(dāng)0.0323.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進(jìn)一批商品.若該商品零售價定為P元/件,銷量為Q,銷量Q(單位:件)與零售價P(單位:元/件)有如下關(guān)系Q=8300-170P-P2,則最大毛利潤為(　　).(毛利潤=銷售收入-進(jìn)貨支出)
A.30元 B.60元 C.28000元 D.23000元
【答案】　D
【解析】　設(shè)毛利潤為L(P)元,由題意知,
L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)
=(8300-170P-P2)(P-20)
=-P3-150P2+11700P-166000,
所以L'(P)=-3P2-300P+11700.
令L'(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).
此時,L(30)=23000(元).
根據(jù)實(shí)際問題的意義知,L(30)是最大值,即零售價定為每件30元時,最大毛利潤為23000元.
4.如圖,有一塊邊長為a的正方形鐵板,現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形,做成一個長方體形狀的無蓋容器.為使其容積最大,截下的小正方形邊長應(yīng)為多少
【解析】　設(shè)截下的小正方形的邊長為x,容器容積為V(x),則做成的長方體形無蓋容器底面邊長為a-2x,高為x,
則V(x)=(a-2x)2x,
即V(x)=4x3-4ax2+a2x,
∴V'(x)=12x2-8ax+a2.
令V'(x)=0,得12x2-8ax+a2=0,
解得x1=,x2=(舍去).
∴當(dāng)00;
當(dāng)因此在區(qū)間內(nèi),x=是唯一的極值點(diǎn),且是V(x)的最大值點(diǎn).
因此當(dāng)截下的小正方形的邊長為時,容積最大.
26.3　利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.通過實(shí)際例子,體會導(dǎo)數(shù)在解決最優(yōu)問題中的應(yīng)用.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
2.通過分析實(shí)際問題,體會導(dǎo)數(shù)在研究實(shí)際問題中的作用.(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)
3.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,能建立函數(shù)模型.(數(shù)學(xué)建模)
【自主預(yù)習(xí)】
　　統(tǒng)計表明,某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(單位:升)關(guān)于行駛速度x(單位:千米/小時)的函數(shù)【解析】式可以表示為y=x3-x+8(0閱讀教材,結(jié)合上述情境回答下列問題.
1.當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時,從甲地到乙地要耗油多少升
2.當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時,從甲地到乙地耗油最少 最少為多少升
1.用總長為14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m,那么高為　　　　時容器的容積最大.
2.某科研小組研究發(fā)現(xiàn),一棵水果樹的產(chǎn)量ω(x)(單位:百千克)與肥料費(fèi)用x(單位:百元)滿足如下關(guān)系:ω(x)=此外,還需要投入其他成本(如施肥的人工費(fèi)等)2x百元.已知這種水果的市場售價為16元/千克(即16百元/百千克),且市場需求始終供不應(yīng)求.記該棵水果樹獲得的利潤為L(x)(單位:百元).
(1)求L(x)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時,該水果樹獲得的利潤最大 最大利潤是多少
【合作探究】
探究1　利潤最大化問題
　　某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價格x(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=+10(x-6)2,其中3問題1:求a的值.
問題2:若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
新知生成
1.經(jīng)濟(jì)生活中優(yōu)化問題的解法
經(jīng)濟(jì)生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢,以產(chǎn)量或單價為自變量建立函數(shù)關(guān)系,從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動.
2.關(guān)于利潤問題常用的兩個等量關(guān)系
(1)利潤=收入-成本.
(2)利潤=每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù).
新知運(yùn)用
例1　某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為13萬元/輛,年銷售量為5000輛.本年度為適應(yīng)市場需求,計劃提高產(chǎn)品檔次,適當(dāng)增加投入成本,若每輛車投入成本增加的比例為x(0(1)若年銷售量增加的比例為0.4x,為使本年度的年利潤比上年度有所增加,則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)
(2)若年銷售量關(guān)于x的函數(shù)為y=3240-x2+2x+,則當(dāng)x為何值時,本年度的年利潤最大 最大利潤是多少
【方法總結(jié)】　　根據(jù)題意,建立目標(biāo)函數(shù)關(guān)系式,再利用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性,得出函數(shù)的極大值點(diǎn),從而得出最大值對應(yīng)的x值.
某市舉辦購物節(jié)促銷活動,某廠商擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi),對所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷,經(jīng)調(diào)查測算,該促銷產(chǎn)品在購物節(jié)的銷售量p(單位:萬件)與廣告費(fèi)用 x(單位:萬元)滿足p=3-(其中 0≤x≤a,a為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品 p萬件還需投入成本(10+2p)萬元(不含廣告費(fèi)用),產(chǎn)品的銷售價格定為元/件,假定廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品恰好能夠售完.
(1)將該產(chǎn)品的利潤y(單位:萬元)表示為廣告費(fèi)用x(單位:萬元)的函數(shù);
(2)問廣告費(fèi)用投入多少萬元時,廠商的利潤最大
探究2　幾何中的最值問題
　　將一段長為100 cm的鐵絲截成兩段,一段彎成正方形,一段彎成圓.
問題:如何截可使正方形與圓面積之和最小
新知生成
　　利用導(dǎo)數(shù)解決幾何問題,往往是求體積、面積的最值,首先看清題意,分析幾何圖形的特征,設(shè)出變量,列出目標(biāo)函數(shù)式,注明定義域,再轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求最值.若在定義域內(nèi)只有一個極值點(diǎn),則這個極值便為最值.
新知運(yùn)用
例2　請你設(shè)計一個包裝盒,如圖所示,四邊形ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得ABCD四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn),設(shè)AE=FB=x cm.
(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值
(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值 并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.
【方法總結(jié)】　　幾何中最值問題的求解思路:
面積、體積(容積)最大,周長最短,距離最小等實(shí)際幾何問題,求解時先設(shè)出恰當(dāng)?shù)淖兞?將待求解最值的問題表示為變量的函數(shù),再按函數(shù)求最值的方法求解,最后檢驗(yàn).
如果圓柱軸截面的周長l為定值,那么體積的最大值為(　　).
A.π B.π
C.π D. π
探究3　用料、費(fèi)用最省問題
　　一艘輪船在航行時每小時的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比,已知速度為每小時10千米時的燃料費(fèi)是每小時6元,而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時96元.
問題:此輪船以何種速度航行時,能使行駛每千米的費(fèi)用總和最小
新知生成
　　費(fèi)用、用料最省問題是日常生活中常見的問題之一,解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象.正確書寫函數(shù)表達(dá)式,準(zhǔn)確求導(dǎo),結(jié)合實(shí)際作答.
新知運(yùn)用
例3　某網(wǎng)球中心欲建連成片的網(wǎng)球場數(shù)塊,用128萬元購買土地10000平方米,該中心每塊球場的建設(shè)面積為1000平方米,球場每平方米建筑的平均建設(shè)費(fèi)用(單位:元)與球場數(shù)有關(guān),當(dāng)該中心建球場x塊時,每平方米的平均建設(shè)費(fèi)用可近似地用f(x)=800來表示.為了使該球場每平方米的綜合費(fèi)用最省(綜合費(fèi)用是建設(shè)費(fèi)用與購地費(fèi)用之和),該網(wǎng)球中心應(yīng)建幾個球場
【方法總結(jié)】　　利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題,當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點(diǎn)使f'(x)=0時,如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道在這個點(diǎn)取得最大(小)值.
某地需修建一條通過120公里寬沙漠地帶的大型輸油管道,該段輸油管道兩端的輸油站已建好,余下工程只需在該段兩輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離x公里修建增壓站.經(jīng)預(yù)算,修建一個增壓站的工程費(fèi)用為432萬元,鋪設(shè)距離為x公里輸油管道費(fèi)用為(x3+x)萬元.設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬元.
(1)試將y表示成關(guān)于x的函數(shù);
(2)需要修建多少個增壓站才能使y最小
【隨堂檢測】
1.有長和寬分別為8和5的長方形,在各角剪去相同的小正方形,把四邊折起做成一個無蓋小盒,要使小盒的容積最大,則剪去的小正方形的邊長應(yīng)為(　　).
A.18　　 　　 B.10　　 　　 C.8　　 　　 D.1
2.某銀行準(zhǔn)備設(shè)置一項新的定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)測,存款量與存款利率的平方成正比,比例系數(shù)為k(k>0),貸款的利率為4.8%,假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.若存款利率為x(0A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%
3.某商場從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進(jìn)一批商品.若該商品零售價定為P元/件,銷量為Q,銷量Q(單位:件)與零售價P(單位:元/件)有如下關(guān)系Q=8300-170P-P2,則最大毛利潤為(　　).(毛利潤=銷售收入-進(jìn)貨支出)
A.30元 B.60元 C.28000元 D.23000元
4.如圖,有一塊邊長為a的正方形鐵板,現(xiàn)從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形,做成一個長方體形狀的無蓋容器.為使其容積最大,截下的小正方形邊長應(yīng)為多少
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