資源簡介

6.4　數(shù)學建模活動:描述體重與脈搏率的關系
【學習目標】
1.通過情景,讓學生經(jīng)歷和體驗數(shù)學建模的過程.(數(shù)學建模)
2.通過本節(jié)學習,讓學生體驗數(shù)學建模和研究方法.(數(shù)學建模、數(shù)學運算)
【自主預習】
　　用數(shù)學的眼光觀察世界,用數(shù)學的語言描述世界,用數(shù)學的思維思考世界,用數(shù)學的模型把握世界.為了更好地了解世界,人們用數(shù)學模型來描述某種特定的現(xiàn)象,生活中處處可見數(shù)學模型.遠到醫(yī)學CT層析儀、電視數(shù)字化、訊飛翻譯機,近到我們的脈搏率.
1.如何測量脈搏率
2.通過一個數(shù)學模型,你只要告訴我體重,我就可以算出脈搏率,將這樣一個生活問題數(shù)學化,可以實現(xiàn)嗎
【合作探究】
　　一、模型建立
1.實驗研究
下表給出了一些動物體重W與脈搏率f對應的數(shù)據(jù).
動物 體重W/克 脈搏率f/(次/分)
田鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2000 205
小狗 5000 120
大狗 30000 85
羊 50000 70
馬 450000 38
師:圖1是動物體重與脈搏率的散點圖,從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)什么
生:從圖中可以看出,體重越輕的動物脈搏率越高.
師:如果想要用體重預測脈搏率,可以如何操作
學生活動:討論得出可以建立體重和脈搏率的函數(shù)模型.
師:圖2是用MATLAB軟件擬合的函數(shù)模型f=1831.5W-0.302,記為模型1.
師生活動:驗證模型.
師:圖2與給定數(shù)據(jù)擬合得很好,對我們的研究具有一定的指導意義,一定程度上體現(xiàn)了體重與脈搏率的數(shù)量的關系,但缺少了對問題本質(zhì)的研究,這是我們第一階段的實驗研究,接下來我們?nèi)绻^續(xù)深入,需要研究文獻,了解相應的生物背景知識.
2.文獻研究
學生活動:閱讀學習相關生物背景知識.
問題的提出:
生物學家認為,睡眠中的恒溫動物依然會消耗體內(nèi)能量,主要是為了保持體溫.研究表明,消耗的能量E與通過心臟的血流量Q成正比.根據(jù)生物學常識知道,體溫主要通過身體表面散失,動物的體重與體積成正比.
(1)請根據(jù)生物學常識,給出血流量Q與體重W之間關系的數(shù)學模型.
(2)從表中可以看出,體重越輕的動物脈搏率越高.請根據(jù)上面提供的數(shù)據(jù)尋求數(shù)量之間的比例關系,建立脈搏率f與體重W關系的數(shù)學模型.
(3)根據(jù)表格,作出動物的體重W和脈搏率f的散點圖,驗證建立的數(shù)學模型.
師:在必修第一冊的學習中,我們曾學習過指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、冪函數(shù)模型,它們都是我們對現(xiàn)實研究后提煉抽象出的數(shù)學模型,它們比原型簡化,是“最簡單”的.現(xiàn)實世界的原型都是具有多因素、多變量、多層次的比較復雜的系統(tǒng),如果我們對問題的所有因素一概考慮,無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為,所以我們要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力,善于辨別主次,而且為了使處理方法簡單,應盡量使問題線性化、均勻化.根據(jù)對象的特征和建模目的,對問題進行必要的、合理的簡化,即抓住主要矛盾.用精確的語言做出假設,是建模至關重要的一步.
學生活動討論:匯總再剔除影響因素,得出模型假設.
模型假設:
(1)假設恒溫動物處于睡眠狀態(tài),其消耗的能量全部轉化為熱量,全部熱量都用來維持體溫;
(2)假設外界環(huán)境是保持恒定的,不會出現(xiàn)使體溫變化很大的環(huán)境因素.
符號說明:
S:動物的身體表面積.
V:動物的體積.
W:動物的體重.
f:動物的脈搏率.
Q:動物每分心輸出量.
q:動物心臟每搏輸出量.
E:動物消耗的能量.
3.機理研究
學生活動討論:問題中有哪些量 它們有什么關系 如何得到每分心輸出量Q與體重W的關系
設計亮點:長方體的引入不僅幫助學生清晰地理順量與量之間的關系,而且對表面積與體積的量化關系也提供了一個類比思路,可謂“一體雙用”.
4.模型求解
學生活動:成果演示.
體重W與每分心輸出量Q:Q=n·.
體重W與脈搏率f:f=k·.
教師提煉出比例模型.
經(jīng)由MATLAB軟件擬合,我們得到模型2.
二、模型分析
師:兩個模型對原始數(shù)據(jù)擬合情況都比較滿意,模型1的曲線單純從數(shù)據(jù)角度擬合,效果較好,給出的模型也較貼近,是“形似”,模型2經(jīng)過數(shù)學推理,有了生物和數(shù)學的背景,則是“神似”,那模型2的預測效果如何呢
三、模型檢驗
師生共同分析模型誤差原因,指出可以用人體數(shù)據(jù)來擬合模型,實際上西醫(yī)檢測儀器芯片是科學家通過數(shù)學模型設計制造的.教師拋磚引玉,激勵學生進一步改進模型.
四、模型應用
根據(jù)模型,結合體重對脈搏率的影響,給出形成健康的生活方式的建議.這一過程體現(xiàn)了數(shù)學生活化.
五、總結提升
模型準備:了解實際背景,明確建模目的,搜集有關信息,掌握對象特征.
模型假設:針對問題特點和建模目的,做出合理的、簡化的設計,在合理與簡化之間折中.
模型建立:用數(shù)學的語言、符號描述問題,盡量采用簡單的數(shù)學工具.
模型求解:各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術.
模型分析:如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析.
模型檢驗:與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較,檢驗模型的合理性、適用性.
模型應用:模型適用情況.
26.4　數(shù)學建模活動:描述體重與脈搏率的關系
【學習目標】
1.通過情景,讓學生經(jīng)歷和體驗數(shù)學建模的過程.(數(shù)學建模)
2.通過本節(jié)學習,讓學生體驗數(shù)學建模和研究方法.(數(shù)學建模、數(shù)學運算)
【自主預習】
　　用數(shù)學的眼光觀察世界,用數(shù)學的語言描述世界,用數(shù)學的思維思考世界,用數(shù)學的模型把握世界.為了更好地了解世界,人們用數(shù)學模型來描述某種特定的現(xiàn)象,生活中處處可見數(shù)學模型.遠到醫(yī)學CT層析儀、電視數(shù)字化、訊飛翻譯機,近到我們的脈搏率.
1.如何測量脈搏率
【答案】　中醫(yī)的“望聞問切”,西醫(yī)的儀器輔助.
2.通過一個數(shù)學模型,你只要告訴我體重,我就可以算出脈搏率,將這樣一個生活問題數(shù)學化,可以實現(xiàn)嗎
【答案】　可以.一方面我們可以通過實驗研究,收集動物體重和脈搏率的數(shù)據(jù),對其進行分析研究;另一方面可以通過研究文獻,科學地認識生物學背景知識,再通過數(shù)學機理研究,給出體重和脈搏率的量化關系.
【合作探究】
　　一、模型建立
1.實驗研究
下表給出了一些動物體重W與脈搏率f對應的數(shù)據(jù).
動物 體重W/克 脈搏率f/(次/分)
田鼠 25 670
大鼠 200 420
豚鼠 300 300
兔 2000 205
小狗 5000 120
大狗 30000 85
羊 50000 70
馬 450000 38
師:圖1是動物體重與脈搏率的散點圖,從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)什么
生:從圖中可以看出,體重越輕的動物脈搏率越高.
師:如果想要用體重預測脈搏率,可以如何操作
學生活動:討論得出可以建立體重和脈搏率的函數(shù)模型.
師:圖2是用MATLAB軟件擬合的函數(shù)模型f=1831.5W-0.302,記為模型1.
師生活動:驗證模型.
師:圖2與給定數(shù)據(jù)擬合得很好,對我們的研究具有一定的指導意義,一定程度上體現(xiàn)了體重與脈搏率的數(shù)量的關系,但缺少了對問題本質(zhì)的研究,這是我們第一階段的實驗研究,接下來我們?nèi)绻^續(xù)深入,需要研究文獻,了解相應的生物背景知識.
2.文獻研究
學生活動:閱讀學習相關生物背景知識.
問題的提出:
生物學家認為,睡眠中的恒溫動物依然會消耗體內(nèi)能量,主要是為了保持體溫.研究表明,消耗的能量E與通過心臟的血流量Q成正比.根據(jù)生物學常識知道,體溫主要通過身體表面散失,動物的體重與體積成正比.
(1)請根據(jù)生物學常識,給出血流量Q與體重W之間關系的數(shù)學模型.
(2)從表中可以看出,體重越輕的動物脈搏率越高.請根據(jù)上面提供的數(shù)據(jù)尋求數(shù)量之間的比例關系,建立脈搏率f與體重W關系的數(shù)學模型.
(3)根據(jù)表格,作出動物的體重W和脈搏率f的散點圖,驗證建立的數(shù)學模型.
師:在必修第一冊的學習中,我們曾學習過指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型、冪函數(shù)模型,它們都是我們對現(xiàn)實研究后提煉抽象出的數(shù)學模型,它們比原型簡化,是“最簡單”的.現(xiàn)實世界的原型都是具有多因素、多變量、多層次的比較復雜的系統(tǒng),如果我們對問題的所有因素一概考慮,無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為,所以我們要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力,善于辨別主次,而且為了使處理方法簡單,應盡量使問題線性化、均勻化.根據(jù)對象的特征和建模目的,對問題進行必要的、合理的簡化,即抓住主要矛盾.用精確的語言做出假設,是建模至關重要的一步.
學生活動討論:匯總再剔除影響因素,得出模型假設.
模型假設:
(1)假設恒溫動物處于睡眠狀態(tài),其消耗的能量全部轉化為熱量,全部熱量都用來維持體溫;
(2)假設外界環(huán)境是保持恒定的,不會出現(xiàn)使體溫變化很大的環(huán)境因素.
符號說明:
S:動物的身體表面積.
V:動物的體積.
W:動物的體重.
f:動物的脈搏率.
Q:動物每分心輸出量.
q:動物心臟每搏輸出量.
E:動物消耗的能量.
3.機理研究
學生活動討論:問題中有哪些量 它們有什么關系 如何得到每分心輸出量Q與體重W的關系
設計亮點:長方體的引入不僅幫助學生清晰地理順量與量之間的關系,而且對表面積與體積的量化關系也提供了一個類比思路,可謂“一體雙用”.
4.模型求解
學生活動:成果演示.
體重W與每分心輸出量Q:Q=n·.
體重W與脈搏率f:f=k·.
教師提煉出比例模型.
經(jīng)由MATLAB軟件擬合,我們得到模型2.
二、模型分析
師:兩個模型對原始數(shù)據(jù)擬合情況都比較滿意,模型1的曲線單純從數(shù)據(jù)角度擬合,效果較好,給出的模型也較貼近,是“形似”,模型2經(jīng)過數(shù)學推理,有了生物和數(shù)學的背景,則是“神似”,那模型2的預測效果如何呢
三、模型檢驗
師生共同分析模型誤差原因,指出可以用人體數(shù)據(jù)來擬合模型,實際上西醫(yī)檢測儀器芯片是科學家通過數(shù)學模型設計制造的.教師拋磚引玉,激勵學生進一步改進模型.
四、模型應用
根據(jù)模型,結合體重對脈搏率的影響,給出形成健康的生活方式的建議.這一過程體現(xiàn)了數(shù)學生活化.
五、總結提升
模型準備:了解實際背景,明確建模目的,搜集有關信息,掌握對象特征.
模型假設:針對問題特點和建模目的,做出合理的、簡化的設計,在合理與簡化之間折中.
模型建立:用數(shù)學的語言、符號描述問題,盡量采用簡單的數(shù)學工具.
模型求解:各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術.
模型分析:如結果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析.
模型檢驗:與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較,檢驗模型的合理性、適用性.
模型應用:模型適用情況.
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