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第六章章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
題型1 　導數的運算問題
例1　求下列函數的導數.
(1)y=+;
(2)y=xsincos;
(3)y=.
方法指導　利用導數公式、導數的四則運算法則以及復合函數的求導法則求解即可.
【方法總結】　　函數求導時要注意:(1)求導之前,應先利用代數、三角恒等式等對函數進行化簡,然后求導,這樣可以減少運算量,提高運算速度;(2)復合函數的求導,要正確分析函數的復合層次,設中間變量,確定復合過程,然后求導.
題型2 　導數的幾何意義
例2　(1)(2022年全國新高考Ⅰ卷,T15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是　　　　.
(2)(2022年全國新高考Ⅱ卷,T14)曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為　　　　　,　　　　　.
【方法總結】　　導數幾何意義的應用主要體現在與切線方程有關的問題上.利用導數的幾何意義求切線方程的關鍵是弄清楚所給的點是不是切點,常見類型有兩種:一種是求“在某點處的切線方程”,此點一定為切點,先求導,再求斜率,進而求出切線方程;另一種是求“過某點的切線方程”,這種類型中的點不一定是切點,可先設切點為Q(x1,y1),則切線方程為y-y1=f'(x1)(x-x1),再由切線過點P(x0,y0)得y0-y1=f'(x1)(x0-x1).　①
又已知y1=f(x1).　②
由①②求出x1,y1的值,即求出了過點P(x0,y0)的切線方程.
題型3 　利用導數研究函數的單調性
例3　設函數f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a>0,討論f(x)的單調性.
【方法總結】　　函數的單調性與導數的關注點:(1)關注函數的定義域,單調區間應為定義域的子區間;(2)已知函數在某個區間上的單調性時,轉化要等價;(3)分類討論求函數的單調區間的實質是討論不等式的解集;(4)求參數的取值范圍時常用到分離參數法.
題型4 　利用導數求函數的極(最)值
例4　(1)當x=1時,函數f(x)=aln x+取得最大值-2,則f'(2)=(　　).
A.-1 B.- C. D.1
(2)已知x=x1和x=x2分別是函數f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點,若x1【方法總結】　　(1)求極值時一般需確定f'(x)=0的點和f(x)的單調性,對于常見的連續函數,先確定單調性即可得極值點,當連續函數的極值點只有一個時,對應的極值點必為函數的最值點.(2)求閉區間上可導函數的最值時,對函數極值是極大值還是極小值可不做判斷,只需要直接與端點的函數值比較即可.解題過程滲透了數學運算、邏輯推理的素養.
題型5 　利用導數解決函數的零點或方程根的問題
例5　(2022年全國乙卷)已知函數f(x)=ax--(a+1)ln x.
(1)當a=0時,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)恰有一個零點,求a的取值范圍.
【方法總結】　　討論方程根的個數、研究函數圖象與x軸或某條直線的交點個數、處理不等式恒成立問題的實質就是函數的單調性與函數極(最)值的應用.問題破解的方法是根據題目的要求,借助導數將函數的單調性與極(最)值求出,然后借助單調性和極(最)值情況,畫出函數圖象的草圖,數形結合求解.解題過程滲透直觀想象、邏輯推理和數學運算的核心素養.
題型6 　利用導數證明不等式
例6　(2022年北京卷)已知函數f(x)=exln(1+x).
(1)求曲線y=f(x) 在點(0,f(0)) 處的切線方程;
(2)設g(x)=f'(x),討論函數g(x) 在[0,+∞) 上的單調性;
(3)證明:對任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).
【方法總結】　　利用導數證明不等式f(x)>g(x)的基本方法
(1)若f(x)與g(x)的最值易求出,可直接轉化為證明f(x)min>g(x)max.
(2)若f(x)與g(x)的最值不易求出,可構造函數h(x)=f(x)-g(x),x∈(a,b).若h'(x)>0在區間(a,b)上成立,則h(x)在(a,b)上單調遞增,同時h(a)>0,即f(x)>g(x);若h'(x)<0在區間(a,b)上成立,則h(x)在(a,b)上單調遞減,同時h(b)>0,即f(x)>g(x).本題考查了邏輯推理和數學運算的素養.
題型7 　利用導數解決恒成立問題
例7　已知函數f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.
【方法總結】　　解決恒成立問題的方法:(1)若關于x的不等式f(x)≤m在區間D上恒成立,則轉化為f(x)max≤m.(2)若關于x的不等式f(x)≥m在區間D上恒成立,則轉化為f(x)min≥m.(3)導數是解決函數f(x)的最大值或最小值問題的有力工具.本題考查了邏輯推理、數學運算的素養.
【拓展延伸】
　　中世紀時期,歐洲科學發展停滯不前,人類對無窮、極限和積分等概念的想法都沒有什么突破.中世紀以后,歐洲數學和科學急速發展,微積分的觀念此時趨于成熟.在積分方面,1615年,開普勒(Kepler)把酒桶看作一個由無數圓薄片積累而成的物件,從而求出其體積.而伽利略(Galileo)的學生卡瓦列里(Cavalieri)認為一條線由無窮多個點構成;一個面由無窮多條線構成;一個立體由無窮多個面構成.這些想法都是積分法的前驅.
在微分方面,十七世紀人類也有很大的突破.費馬(Fermat)在一封給羅貝瓦爾(Roberval)的信中,提及計算函數的極大值和極小值的步驟,而這實際上已相當于現代微分學中所用的“設函數導數為零,然后求出函數極值點”的方法.另外,巴羅(Barrow)也已經懂得通過“微分三角形”(相當于以dx,dy,ds為邊的三角形)求出切線的方程,這和現今微分學中用導數求切線的方法是一樣的.由此可見,人類在十七世紀已經掌握了微分的要領.
然而,直至十七世紀中葉,人類仍然認為微分和積分是兩個獨立的概念.就在這個時候,牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個貌似不相關的問題,通過“微積分基本定理”和“牛頓-萊布尼茨公式”聯系起來,說明求積分基本上是求微分之逆,求微分也是求積分之逆.這是微積分理論中的基石,是微積分發展的一個重要里程碑.
微積分誕生以后,逐漸發揮出它非凡的威力,過去很多初等數學束手無策的問題,至此迎刃而解.微積分的發展迅速,使人來不及檢查和鞏固微積分的理論基礎.十九世紀,許多迫切的問題基本上已經解決,數學家于是轉向微積分理論的基礎重建,人類也終于首次給出極限、微分和積分等概念的嚴格定義.
1816年,波爾查諾(Bolzano)在人類歷史上首次給出連續函數的近代定義.繼而在1821年,柯西(Cauchy)在他的《教程》中提出e方法,后來在1823年的《概要》中他改寫為d方法,把整個極限過程用不等式來刻畫,使無窮的運算轉化為一系列不等式的推算,這就是所謂極限概念的“算術化”.后來魏爾斯特拉斯(Weierstrass)將e和d聯系起來,完成了e-d方法,這就是現代極限的嚴格定義.
有了極限的嚴格定義,數學家便開始嘗試嚴格定義導數和積分.在柯西之前,數學家通常以微分為微積分的基本概念,并把導數視作微分的商.然而微分的概念模糊,因此把導數定義作微分的商并不嚴謹.于是柯西在《概要》中直接定義導數為差商的極限,這就是現代導數的嚴格定義,是為現代微分學的基礎.
2第六章章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
題型1 　導數的運算問題
例1　求下列函數的導數.
(1)y=+;
(2)y=xsincos;
(3)y=.
方法指導　利用導數公式、導數的四則運算法則以及復合函數的求導法則求解即可.
【解析】　(1)∵y=+=,∴y'=.
(2)∵y=xsincos=x·sin(4x+π)=-xsin 4x,
∴y'=-sin 4x-x·4cos 4x=-sin 4x-2xcos 4x.
(3)y'='
=
=
=
=.
【方法總結】　　函數求導時要注意:(1)求導之前,應先利用代數、三角恒等式等對函數進行化簡,然后求導,這樣可以減少運算量,提高運算速度;(2)復合函數的求導,要正確分析函數的復合層次,設中間變量,確定復合過程,然后求導.
題型2 　導數的幾何意義
例2　(1)(2022年全國新高考Ⅰ卷,T15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線,則a的取值范圍是　　　　.
(2)(2022年全國新高考Ⅱ卷,T14)曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為　　　　　,　　　　　.
【答案】　(1)(-∞,-4)∪(0,+∞)　(2)y=　y=-
【解析】　(1)易得曲線不過原點,設切點為(x0,(x0+a)), 則切線的斜率為f'(x0)=(x0+a+1),可得切線方程為y-(x0+a)=(x0+a+1)(x-x0).由切線過原點,可得-(x0+a)=-x0(x0+a+1),化簡得+ax0-a=0,　(※)
又切線有兩條,所以方程(※)有兩個不相等的實根,則判別式Δ=a2+4a>0,得a<-4或a>0.
(2)當x>0時,點(x1, ln x1)(x1>0)處的切線為y-ln x1=(x-x1),若該切線經過原點,則ln x1-1=0,解得x1=e,故此時切線方程為y=;當x<0時,點(x2, ln(-x2))(x2<0)處的切線為y-ln(-x2)=(x-x2),若該切線經過原點,則ln(-x2)-1=0,解得x2=-e,故此時切線方程為y=-.
【方法總結】　　導數幾何意義的應用主要體現在與切線方程有關的問題上.利用導數的幾何意義求切線方程的關鍵是弄清楚所給的點是不是切點,常見類型有兩種:一種是求“在某點處的切線方程”,此點一定為切點,先求導,再求斜率,進而求出切線方程;另一種是求“過某點的切線方程”,這種類型中的點不一定是切點,可先設切點為Q(x1,y1),則切線方程為y-y1=f'(x1)(x-x1),再由切線過點P(x0,y0)得y0-y1=f'(x1)(x0-x1).　①
又已知y1=f(x1).　②
由①②求出x1,y1的值,即求出了過點P(x0,y0)的切線方程.
題型3 　利用導數研究函數的單調性
例3　設函數f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a>0,討論f(x)的單調性.
【解析】　由題意知,函數的定義域為(0,+∞),
f'(x)=,
因為a>0,x>0,所以2ax+3>0,
當0時,f'(x)>0.
所以f(x)的單調遞減區間為0,,單調遞增區間為,+∞.
【方法總結】　　函數的單調性與導數的關注點:(1)關注函數的定義域,單調區間應為定義域的子區間;(2)已知函數在某個區間上的單調性時,轉化要等價;(3)分類討論求函數的單調區間的實質是討論不等式的解集;(4)求參數的取值范圍時常用到分離參數法.
題型4 　利用導數求函數的極(最)值
例4　(1)當x=1時,函數f(x)=aln x+取得最大值-2,則f'(2)=(　　).
A.-1 B.- C. D.1
(2)已知x=x1和x=x2分別是函數f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點,若x1【答案】　(1)B　(2),1
【解析】　(1)由題意得f(1)=b=-2,則f(x)=aln x-(x>0),
則f'(x)=+=,
因為當x=1時函數f(x)取得最值,所以x=1也是函數f(x)的一個極值點,
所以f'(1)=a+2=0,即a=-2,
所以f'(x)=,
所以f'(2)==-.
故選B.
(2)f'(x)=2ln a·ax-2ex,
因為x1,x2分別是函數f(x)=2ax-ex2的極小值點和極大值點,
所以函數f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上單調遞減,在(x1,x2)上單調遞增,
所以當x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)時,f'(x)<0,當x∈(x1,x2)時,f'(x)>0.
若a>1,則當x<0時,2ln a·ax>0,2ex<0,此時f'(x)>0,與函數f(x)有兩個極值點矛盾,故a>1不符合題意.
若0即函數g(x)=ln a·ax與函數y=ex的圖象有兩個不同的交點.
因為0又ln a<0,所以g(x)=ln a·ax的圖象是由指數函數y=ax的圖象向下關于x軸作對稱變換,然后將圖象上的每個點的橫坐標保持不變,縱坐標伸長或縮短為原來的|ln a|倍得到的,如圖所示.
設過原點且與函數y=g(x)的圖象相切的直線的切點為(x0,ln a·),
則切線的斜率為g'(x0)=(ln a)2·,
故切線方程為y-ln a·=(ln a)2·(x-x0),
因為切線過原點,
則有-ln a·=-x0(ln a)2·,解得x0=,
所以切線的斜率為(ln a)2·=e(ln a)2.
因為函數g(x)=ln a·ax與函數y=ex的圖象有兩個不同的交點,
所以e(ln a)2又0綜上所述,a的取值范圍為,1.
【方法總結】　　(1)求極值時一般需確定f'(x)=0的點和f(x)的單調性,對于常見的連續函數,先確定單調性即可得極值點,當連續函數的極值點只有一個時,對應的極值點必為函數的最值點.(2)求閉區間上可導函數的最值時,對函數極值是極大值還是極小值可不做判斷,只需要直接與端點的函數值比較即可.解題過程滲透了數學運算、邏輯推理的素養.
題型5 　利用導數解決函數的零點或方程根的問題
例5　(2022年全國乙卷)已知函數f(x)=ax--(a+1)ln x.
(1)當a=0時,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)恰有一個零點,求a的取值范圍.
【解析】　(1)當a=0時,f(x)=--ln x,x>0,則f'(x)=-=,
當x∈(0,1)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增;
當x∈(1,+∞)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減.
所以f(x)max=f(1)=-1.
(2)f(x)=ax--(a+1)ln x,x>0,則f'(x)=a+-=,
當a≤0時,ax-1<0,所以當x∈(0,1)時,f'(x)>0,f(x)單調遞增,當x∈(1,+∞)時,f'(x)<0,f(x)單調遞減.
所以f(x)max=f(1)=a-1<0,此時函數無零點,不符合題意;
當01,在(0,1)和,+∞上,f'(x)>0,f(x)單調遞增,在1,上,f'(x)<0,f(x)單調遞減.又f(1)=a-1<0,
由(1)得+ln x≥1,即ln≥1-x,所以ln x當x>1時,f(x)=ax--(a+1)ln x>ax--2(a+1)>ax-(2a+3),
則存在m=+22>,使得f(m)>0,
所以f(x)僅在,+∞上有唯一零點,符合題意;
當a=1時,f'(x)=≥0,所以f(x)單調遞增,又f(1)=a-1=0,
所以f(x)有唯一零點,符合題意;
當a>1時,<1,在0,,(1,+∞)上f'(x)>0,f(x)單調遞增,在,1上f'(x)<0,f(x)單調遞減.此時f(1)=a-1>0,
由(1)得,當01-,ln>1-,所以ln x>21-,
此時f(x)=ax--(a+1)ln x存在n=<,使得f(n)<0,
所以f(x)在0,上有一個零點,在,+∞上無零點,
所以f(x)有唯一零點,符合題意.
綜上,a的取值范圍為(0,+∞).
【方法總結】　　討論方程根的個數、研究函數圖象與x軸或某條直線的交點個數、處理不等式恒成立問題的實質就是函數的單調性與函數極(最)值的應用.問題破解的方法是根據題目的要求,借助導數將函數的單調性與極(最)值求出,然后借助單調性和極(最)值情況,畫出函數圖象的草圖,數形結合求解.解題過程滲透直觀想象、邏輯推理和數學運算的核心素養.
題型6 　利用導數證明不等式
例6　(2022年北京卷)已知函數f(x)=exln(1+x).
(1)求曲線y=f(x) 在點(0,f(0)) 處的切線方程;
(2)設g(x)=f'(x),討論函數g(x) 在[0,+∞) 上的單調性;
(3)證明:對任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).
【解析】　(1)∵f(x)=exln(1+x),∴f(0)=0,即切點坐標為(0,0),
又f'(x)=exln(1+x)+,∴切線斜率k=f'(0)=1,∴切線方程為y=x.
(2)∵g(x)=f'(x)=exln(1+x)+,
∴g'(x)=exln(1+x)+-.
令h(x)=ln(1+x)+-,
則h'(x)=-+=>0,
∴h(x) 在[0,+∞) 上單調遞增,∴h(x)≥h(0)=1>0,
∴g'(x)>0 在[0,+∞) 上恒成立,∴g(x)在[0,+∞) 上單調遞增.
(3)原不等式等價于f(s+t)-f(s)>f(t)-f(0).
令m(x)=f(x+t)-f(x)(x>0,t>0),即證明m(x)>m(0),
∵m(x)=f(x+t)-f(x)=ex+tln(1+x+t)-exln(1+x),
m'(x)=ex+tln(1+x+t)+-exln(1+x)-=g(x+t)-g(x),
由(2)知,g(x)=f'(x)=exln(1+x)+ 在[0,+∞)上單調遞增,且t>0,得x+t>x,
∴g(x+t)>g(x),∴m'(x)>0,
∴m(x) 在(0,+∞) 上單調遞增,又x,t>0,∴m(x)>m(0),即f(s+t)>f(s)+f(t).
【方法總結】　　利用導數證明不等式f(x)>g(x)的基本方法
(1)若f(x)與g(x)的最值易求出,可直接轉化為證明f(x)min>g(x)max.
(2)若f(x)與g(x)的最值不易求出,可構造函數h(x)=f(x)-g(x),x∈(a,b).若h'(x)>0在區間(a,b)上成立,則h(x)在(a,b)上單調遞增,同時h(a)>0,即f(x)>g(x);若h'(x)<0在區間(a,b)上成立,則h(x)在(a,b)上單調遞減,同時h(b)>0,即f(x)>g(x).本題考查了邏輯推理和數學運算的素養.
題型7 　利用導數解決恒成立問題
例7　已知函數f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.
【解析】　(1)∵f(x)=ex-ln x+1,∴f'(x)=ex-,
∴切線斜率k=f'(1)=e-1.
∵f(1)=e+1,∴切點坐標為(1,1+e),
∴函數f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-e-1=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2,
∴切線與坐標軸的交點坐標分別為(0,2),,0,
∴所求三角形的面積為×2×=.
(2)(法一)由f(x)≥1,得aex-1-ln x+ln a≥1,即eln a+x-1+ln a+x-1≥ln x+x,而ln x+x=eln x+ln x,∴eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x.
令h(m)=em+m,則h'(m)=em+1>0,
∴h(m)在R上單調遞增.
由eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x,得h(ln a+x-1)≥h(ln x),∴ln a+x-1≥ln x,∴ln a≥(ln x-x+1)max.
令F(x)=ln x-x+1(x>0),則F'(x)=-1=.
∴當x∈(0,1)時,F'(x)>0,F(x)單調遞增;
當x∈(1,+∞)時,F'(x)<0,F(x)單調遞減.
∴F(x)max=F(1)=0,則ln a≥0,即a≥1.
∴a的取值范圍為[1,+∞).
(法二)由題意知a>0,x>0,令aex-1=t,
∴ln a+x-1=ln t,∴ln a=ln t-x+1.
∴f(x)=aex-1-ln x+ln a=t-ln x+ln t-x+1.
∵f(x)≥1,即t-ln x+ln t-x+1≥1,∴t+ln t≥x+ln x,而y=x+ln x在(0,+∞)上為增函數,故t≥x,即aex-1≥x,分離參數后有a≥.
令g(x)=,∴g'(x)===.
當00,g(x)單調遞增;當x>1時,g'(x)<0,g(x)單調遞減.
∴當x=1時,g(x)=取得最大值,最大值為g(1)=1.
∴a的取值范圍為[1,+∞).
【方法總結】　　解決恒成立問題的方法:(1)若關于x的不等式f(x)≤m在區間D上恒成立,則轉化為f(x)max≤m.(2)若關于x的不等式f(x)≥m在區間D上恒成立,則轉化為f(x)min≥m.(3)導數是解決函數f(x)的最大值或最小值問題的有力工具.本題考查了邏輯推理、數學運算的素養.
【拓展延伸】
　　中世紀時期,歐洲科學發展停滯不前,人類對無窮、極限和積分等概念的想法都沒有什么突破.中世紀以后,歐洲數學和科學急速發展,微積分的觀念此時趨于成熟.在積分方面,1615年,開普勒(Kepler)把酒桶看作一個由無數圓薄片積累而成的物件,從而求出其體積.而伽利略(Galileo)的學生卡瓦列里(Cavalieri)認為一條線由無窮多個點構成;一個面由無窮多條線構成;一個立體由無窮多個面構成.這些想法都是積分法的前驅.
在微分方面,十七世紀人類也有很大的突破.費馬(Fermat)在一封給羅貝瓦爾(Roberval)的信中,提及計算函數的極大值和極小值的步驟,而這實際上已相當于現代微分學中所用的“設函數導數為零,然后求出函數極值點”的方法.另外,巴羅(Barrow)也已經懂得通過“微分三角形”(相當于以dx,dy,ds為邊的三角形)求出切線的方程,這和現今微分學中用導數求切線的方法是一樣的.由此可見,人類在十七世紀已經掌握了微分的要領.
然而,直至十七世紀中葉,人類仍然認為微分和積分是兩個獨立的概念.就在這個時候,牛頓和萊布尼茨將微分及積分兩個貌似不相關的問題,通過“微積分基本定理”和“牛頓-萊布尼茨公式”聯系起來,說明求積分基本上是求微分之逆,求微分也是求積分之逆.這是微積分理論中的基石,是微積分發展的一個重要里程碑.
微積分誕生以后,逐漸發揮出它非凡的威力,過去很多初等數學束手無策的問題,至此迎刃而解.微積分的發展迅速,使人來不及檢查和鞏固微積分的理論基礎.十九世紀,許多迫切的問題基本上已經解決,數學家于是轉向微積分理論的基礎重建,人類也終于首次給出極限、微分和積分等概念的嚴格定義.
1816年,波爾查諾(Bolzano)在人類歷史上首次給出連續函數的近代定義.繼而在1821年,柯西(Cauchy)在他的《教程》中提出e方法,后來在1823年的《概要》中他改寫為d方法,把整個極限過程用不等式來刻畫,使無窮的運算轉化為一系列不等式的推算,這就是所謂極限概念的“算術化”.后來魏爾斯特拉斯(Weierstrass)將e和d聯系起來,完成了e-d方法,這就是現代極限的嚴格定義.
有了極限的嚴格定義,數學家便開始嘗試嚴格定義導數和積分.在柯西之前,數學家通常以微分為微積分的基本概念,并把導數視作微分的商.然而微分的概念模糊,因此把導數定義作微分的商并不嚴謹.于是柯西在《概要》中直接定義導數為差商的極限,這就是現代導數的嚴格定義,是為現代微分學的基礎.
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