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導(dǎo)數(shù)專題-利用函數(shù)的極值求參數(shù)
題型1 利用函數(shù)的極值求參數(shù)的值
已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的值有兩個關(guān)鍵點：
(1)列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．
(2)驗證：因為某點處的導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性．
【例1】若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3時取得極值，則a的值為________．
【答案】5
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由題意知f′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，
解得a＝5.
【變式1-1】若函數(shù)f(x)＝x(x－a)2在x＝2處取得極小值，則a＝________.
【答案】2
【解析】f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x，∴f′(x)＝3x2－4ax＋a2.
由f′(2)＝12－8a＋a2＝0，解得a＝2或a＝6.
當(dāng)a＝2時，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(x－2)(3x－2)，函數(shù)在x＝2處取得極小值，符合；
當(dāng)a＝6時，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，函數(shù)在x＝2處取得極大值，不符合，∴a＝2.
【變式1-2】已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f(2)等于( )
A．11或18 B．11 C．18 D．17或18
【答案】C
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴
或.經(jīng)檢驗符合題意，
∴f(2)＝23＋4×4＋2×(－11)＋16＝18.
【變式1-3】已知函數(shù)f(x)＝cos x＋aln x在x＝處取得極值，則a＝
【答案】
【解析】∵f(x)＝cos x＋aln x，∴f′(x)＝－sin x＋.
∵f(x)在x＝處取得極值，∴f′＝－＋＝0，解得a＝，經(jīng)檢驗符合題意.
【變式1-4】已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1處取得極大值10，則的值為( )
A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－
【答案】A
【解析】由題意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，
即解得或
經(jīng)檢驗滿足題意，故＝－.
【變式1-5】已知函數(shù)在處有極小值，且極小值為，則（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】．因為在處有極小值，且極小值為，
所以，即，解得或．
當(dāng)時，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在處有極小值．
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，無極值．
【變式1-6】已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax存在極大值0，則a的值為
【答案】
【解析】∵f′(x)＝－a，x>0，
當(dāng)a≤0時，f′(x)＝－a>0恒成立，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，不存在最大值；
當(dāng)a>0時，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝；
當(dāng)00，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x>時，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f(x)max＝f＝ln －1＝0，解得a＝.
【變式1-7】設(shè)函數(shù)，若的極小值為，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由已知得：，
令，有，且上遞減，上遞增，
∴的極小值為，即，得.故選：B.
題型2 利用函數(shù)的極值求參數(shù)范圍
根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)范圍問題主要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題。
從極值的定義出發(fā)，極值點的個數(shù)問題與導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)問題關(guān)系密切，但需要注意極值點個數(shù)與導(dǎo)函數(shù)零點個數(shù)之間并不是充分必要條件。
主要使用的方法有：二次函數(shù)根的分布、分離參數(shù)法、分類討論法。
類型1 單極值點型
【例2】函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－4在區(qū)間(－1,1)內(nèi)恰有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．(1,5) B．[1,5) C．(1,5] D．(－∞，1)∪(5，＋∞)
【答案】B
【解析】由題意，f′(x)＝3x2＋2x－a，則f′(－1)f′(1)＜0，
即(1－a)(5－a)＜0，解得1＜a＜5.
當(dāng)a＝1時，函數(shù)f(x)＝x3＋x2－x－4在區(qū)間(－1,1)恰有一個極值點，
當(dāng)a＝5時，函數(shù)f(x)＝x3＋x2－5x－4在區(qū)間(－1,1)沒有一個極值點，故選B.
【變式2-1】函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，
函數(shù)在上有且僅有一個極值點，
在上只有一個變號零點.令，得.
設(shè)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，
又，得當(dāng)，在上只有一個變號零點.故選：B.
【變式2-2】已知a∈R，若f(x)＝ex在區(qū)間(0,1)上有且只有一個極值點，則a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＞0 C．a(chǎn)≤1 D．a(chǎn)≥0
【答案】B
【解析】f′(x)＝(ax2＋x－1)，若f(x)在(0,1)上有且只有一個極值點，
則f′(x)＝0在(0,1)上有且只有一個零點，顯然＞0，
問題轉(zhuǎn)化為g(x)＝ax2＋x－1在(0,1)上有且只有一個零點，
故g(0)·g(1)＜0，即解得：a＞0，故選B.
【變式2-3】若函數(shù)f(x)＝(x2＋ax＋3)ex在(0，＋∞)上有且僅有一個極值點，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－2) C．(－∞，－3] D．(－∞，－3)
【答案】C
【解析】f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋3)ex＝[x2＋(a＋2)x＋a＋3]ex.令g(x)＝x2＋(a＋2)x＋a＋3，
由題意知或即或
解得a≤－3，故選C．
【變式2-4】已知函數(shù)，若x＝2是函數(shù)f（x）的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B． C．（0，2] D．[2，+∞）
【答案】A
【解析】∵函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
∴f′（x）k，
∵x＝2是函數(shù)f（x）的唯一一個極值點，
∴x＝2是導(dǎo)函數(shù)f′（x）＝0的唯一根，
∴ex﹣kx2＝0在（0，+∞）無變號零點，即k在x＞0上無變號零點，令g（x），
因為g'（x），
所以g（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在x＞2 上單調(diào)遞增，
所以g（x）的最小值為g（2），所以必須k，故選：A．
類型2 多極值點型
【例3】設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)＝x3－2ax2＋a2x的兩個極值點，若x1<2【答案】(2,6)
【解析】由題意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的兩個零點x1，x2滿足x1<2【變式3-1】已知函數(shù)有兩個不同的極值點，則滿足條件的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù)，定義域為，
則
因為函數(shù)有兩個不同的極值點
所以有兩個不同的正實數(shù)根，
則有，解得所以滿足條件的取值范圍為故選：D.
【變式3-2】已知函數(shù)f(x)＝x(ln x－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D． (0，＋∞)
【答案】B
【解析】∵f(x)＝x(ln x－ax)，∴f′(x)＝ln x－2ax＋1，故f′(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，
令f′(x)＝0，則2a＝，設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝，
∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，又∵當(dāng)x→0時，g(x)→－∞，
當(dāng)x→＋∞時，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，∴只需0<2a<1 0【變式3-3】式若函數(shù)f(x)＝xln x－x2－x＋1有兩個極值點，則a的取值范圍為________．
【答案】(2,6)
【解析】因為f(x)＝xln x－x2－x＋1(x>0)，所以f′(x)＝ln x－ax，f″(x)＝－a＝0，
得f′(x)有極大值點x＝，由于x→0時f′(x)→－∞；當(dāng)x→＋∞時，f′(x)→－∞，
因此原函數(shù)要有兩個極值點，只要f′＝ln－1>0，解得0【變式3-4】已知函數(shù)f（x）x3ax2+x在區(qū)間（，3）上既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（2，） D．（2，）
【答案】C
【解析】函數(shù)f（x）x3ax2+x，求導(dǎo)f′（x）＝x2﹣ax+1，
由f（x）在（，3）上既有極大值又有極小值，則f′（x）＝0在（，3）內(nèi)應(yīng)有兩個不同實數(shù)根．
，解得：2＜a，實數(shù)a的取值范圍（2，），
類型3 存在極值點型
【例4】若函數(shù)f(x)＝x3－2cx2＋x有極值點，則實數(shù)c的取值范圍為________．
【答案】
【解析】f′(x)＝3x2－4cx＋1，由f′(x)＝0有兩個不同的根，可得Δ＝(－4c)2－12>0，∴c>或c<－.
【變式4-1】若f(x)＝ax3＋3x＋2無極值，則a的范圍是________．
【答案】
【解析】f′(x)＝3ax2＋3，
當(dāng)a≥0時，f′(x)>0，f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)無極值．
當(dāng)a<0時，由f′(x)＝0，得x＝± .
易知－和 分別是f(x)的極小值點和極大值點．綜上知a的范圍是[0，＋∞).
【變式4-2】若函數(shù)f（x）＝x3﹣3bx+b在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極小值，則b的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣1，0）
【答案】
【解析】由題意，得f′（x）＝3x2﹣3b，
令f′（x）＝0，則x＝±，
∵函數(shù)在（，）上f′（x）＜0，函數(shù)遞減，在（，+∞）上f′（x）＞0，函數(shù)遞增
∴x時，函數(shù)取得極小值
∵函數(shù)f（x）＝x3﹣3bx+b在區(qū)間（0，1）內(nèi)有極小值，
∴01，
∴b∈（0，1）
【變式4-3】已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上有極值，則t的取值范圍是________．
【答案】
【解析】函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－x＋4－＝，
令f′(x)＝0得x＝1或x＝3，經(jīng)檢驗知x＝1或x＝3是函數(shù)f(x)的兩個極值點，
由題意知，t＜1＜t＋1或t＜3＜t＋1，解得0＜t＜1或2＜t＜3.
【變式4-4】若函數(shù)f（x）x2+x+1在區(qū)間（，3）上有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（2，） B．[2，） C．（2，） D．[2，）
【答案】C
【解析】∵函數(shù)f（x）x2+x+1，
∴f′（x）＝x2﹣ax+1，
若函數(shù)f（x）x2+x+1在區(qū)間（，3）上有極值點，
則f′（x）＝x2﹣ax+1在區(qū)間（，3）內(nèi)有零點
由x2﹣ax+1＝0可得a＝x
∵x∈（，3），∴2≤a，
當(dāng)a＝2時，函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)等于零時值只有1，可是兩邊的單調(diào)性相同，所以a不能等于2．
【變式4-5】函數(shù)在內(nèi)有極值，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，，
因函數(shù)在內(nèi)有極值，則時，有解，
即在時，函數(shù)與直線y=a有公共點，
而，即在上單調(diào)遞減，，則，
顯然在零點左右兩側(cè)異號，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C
【變式4-6】設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點，則( )
A．a(chǎn)<－1 B．a(chǎn)>－1 C．a(chǎn)>－ D．a(chǎn)<－
【答案】A
【解析】因為y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a，又函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點，則方程
y′＝ex＋a＝0有大于零的解，當(dāng)x>0時，－ex<－1，所以a＝－ex<－1.故選A.
【課后練習(xí)】
1．若函數(shù)f（x）＝（x2+ax+3）ex在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣3） D．（﹣∞，﹣3]
【答案】D
【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝（2x+a）ex+（x2+ax+3）ex＝[x2+（a+2）x+a+3]ex，
若函數(shù)f（x）＝（x2+ax+3）ex在（0，+∞）內(nèi)有且僅有一個極值點，
等價為f′（x）＝0在[0，+∞）上只要一個變號根，
即f′（0）＜0，即可此時a+3＜0，得a＜﹣3，
當(dāng)a＝﹣3時，f′（x）＝（x2﹣x）ex，
由f（x）＝0得x＝0或x＝1，即x＝1是函數(shù)的一個極值點，滿足條件，綜上a≤﹣3，
即實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]，
2、已知函數(shù)有三個極值點，則a的取范圍是（ ）
A．（0，e） B． C．（e，+∞） D．
【答案】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝ex+xex﹣ax2﹣ax，
若函數(shù)有三個極值點，
等價為f′（x）＝ex+xex﹣ax2﹣ax＝0有三個不同的實根，
即（1+x）ex﹣ax（x+1）＝0，即（x+1）（ex﹣ax）＝0，
則x＝﹣1，則ex﹣ax＝0，有兩個不等于﹣1的根，則a，
設(shè)h（x），則h′（x），
則由h′（x）＞0得x＞1，由h′（x）＜0得x＜1且x≠0，
則當(dāng)x＝1時，h（x）取得極小值h（1）＝e，
當(dāng)x＜0時，h（x）＜0，
作出函數(shù)h（x），的圖象如圖，
要使a有兩個不同的根，則滿足a＞e，即實數(shù)a的取值范圍是（e，+∞），
3、已知函數(shù)在x=1處取得極大值，則m的值為（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．2或
【答案】B
【解析】由題意得：，因為在x=1處取得極大值，
所以，解得或，
當(dāng)時，，
令，解得或，
當(dāng)時，，為增函數(shù)，
當(dāng)時，，為減函數(shù)，
所以在處取得極小值，不符合題意，故舍去，
當(dāng)時，，
令，解得或，
當(dāng)時，，為增函數(shù)，
當(dāng)時，，為減函數(shù)，
所以在處取得極大值，故滿足題意，綜上.
4、已知函數(shù)在處取得極值0，則（ ）
A．4 B．11 C．4或11 D．3或9
【答案】B
【解析】因為，由題有，即，
解得或，檢驗：當(dāng)時，不合題意，舍掉；
當(dāng)'時，，令，得或；
令得.
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意，
則.
5、已知f（x）＝ex，g（x）＝lnx，若f（t）＝g（s），則當(dāng)s﹣t取得最小值時，f（t）所在區(qū)間是（ ）
A．（ln2，1） B．（，ln2） C．（，） D．（，）
【答案】B
【解析】令f（t）＝g（s）＝a，即et＝lns＝a＞0，
∴t＝lna，s＝ea，
∴s﹣t＝ea﹣lna，（a＞0），
令h（a）＝ea﹣lna，h′（a）＝ea
∵y＝ea遞增，y遞減，
故存在唯一a＝a0使得h′（a）＝0，
0＜a＜a0時，ea，h′（a）＜0，
a＞a0時，ea，h′（a）＞0，
∴h（a）min＝h（a0），即s﹣t取最小值時，f（t）＝a＝a0，
由零點存在定理驗證0的根的范圍：
a0時，0，
a0＝ln2時，0，故a0∈（，ln2），
6、已知函數(shù)f（x）＝lnx+x2﹣ax+a（a＞0）有兩個極值點x1、x2（x1＜x2），則f（x1）+f（x2）的最大值為（ ）
A．﹣1﹣ln2 B．1﹣ln2 C．2﹣ln2 D．3﹣ln2
【答案】D
【解析】函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）2x﹣a，
由題意可知2x2﹣ax+1＝0在（0，+∞）上有兩個不同的解x1，x2，
所以x1+x2，x1x2，且，解得a＞2，
所以f（x1）+f（x2）＝lnx1+x12﹣ax1+a+lnx2+x22﹣ax2+a，
＝ln（x1x2）+x12+x22﹣a（x1+x2）+2a2a﹣ln2﹣1（a﹣4）2+3﹣ln2≤3﹣ln2，
當(dāng)a＝4時，等號成立，故f（x1）+f（x2）的最大值為3﹣ln2．
7、已知函數(shù)，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的極值大于0？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）
①當(dāng)a＝0時，f′（x），∴f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a≠0時，令f′（x）＝0得ax2+x+1＝0，△＝1﹣4a．
（ⅰ）當(dāng)△≤0，即時，f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
（ⅱ）當(dāng)△＞0，即時，方程ax2+x+1＝0的兩個實根分別為 ，．
若，則x1＜0，x2＜0，此時，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增若a＜0，則x1＞0，x2＜0，
此時，當(dāng)x∈（0，x1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（x1，+∞）時，f′（x）＜0f（x）單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)a≥0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
（2）由（1）得當(dāng)a≥0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）無極值；
當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
則f（x）有極大值，其值為，其中．
而，
∴，
設(shè)函數(shù)h（x）＝lnx，x＞0，則h′（x）0，
則h（x）＝lnx在（0，+∞）上為增函數(shù)．
又h（1）＝0，故h（x）＞0等價于x＞1．
因而0等價于x1＞1．
即在a＜0時，方程ax2+x+1＝0的大根大于1，
設(shè) （x）＝ax2+x+1，由于 （x）的圖象是開口向下的拋物線，
且經(jīng)過點（0，1），對稱軸，則只需 （1）＞0，即a+2＞0
解得a＞﹣2，而a＜0，
故實數(shù)a的取值范圍為（﹣2，0）

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