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專題2 零點
【題型一】 水平線法：參變分離
【典例分析】
已知函數函數，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則函數無零點 B．若，則函數有零點
C．若，則函數有一個零點 D．若，則函數有兩個零點
【答案】A【解析】作出函數的圖象如圖所示：
觀察可知：當時，函數有一個零點，故A錯誤.故選：A
【提分秘籍】
基本規律
1.分離參數。得常數函數（含參水平線）
2.函數畫圖，需要運用到復合函數單調性，
【變式演練】
1.已知函數，若函數恰有三個不同的零點，則實數的取值范圍是______.
【答案】.
【解析】
函數當時是對勾函數，因為，當且僅當即時，取最小值。所以函數最小值為2，且在上為減函數，在上為增函數。當時， 是減函數，且，所以為增函數，且，所以函數為增函數，且，函數圖像如圖所示。令，函數恰有三個不同的零點，可以看成函數恰有三個不同的零點，函數的圖像與直線有三個交點。由圖像可知。
2.已知函數，若函數存在四個不同的零點，則實數的取值范圍是_______.
【答案】【解析】
畫出函數，與的圖象，函數，與的圖象的交點個數就是函數函數的零點個數，因為函數存在四個不同的零點，所以函數，與的圖象由四個交點，由圖可知，要使函數，與的圖象由四個交點，實數的取值范圍是，故答案為.
3.已知函數若函數有四個零點,零點從小到大依次為則的值為(　　)
A．2 B． C． D．
【答案】C【詳解】
作出函數的圖象如圖,函數有四個零點，即與的圖象有4個不同交點，不妨設四個交點橫坐標滿足，
則，，,可得,由，得，
則，可得，即，，故選C.
【題型二】 基礎圖像交點法
【典例分析】
設函數，的零點分別為，則（ ）
【答案】A因為函數，的零點分別為，故可得
---① --②，如圖，顯然有，故，①－②得 ，選A。
【提分秘籍】
基本規律
1.冪、指、對、對勾、雙曲等函數之間圖像交點。
2.可以借助二分法、單調性奇偶性等尋找交點所在區間。
【變式演練】
1.已知函數，則下列說法不正確的是（ ）
A.當時，函數有零點 B.若函數有零點，則
C.存在，函數有唯一的零點 D.若函數有唯一的零點，則
【答案】B．試題分析：令，得（時，顯然有零點），在同一坐標系內畫函數與的圖像，可得當時，函數有唯一零點，故A正確；取，畫函數與的圖像，可得它們有交點，故B錯誤，C正確；當時，畫函數與的圖像，可得它們有一個交點，故當或時，函數有唯一零點，故D正確．
2.設，，則的零點個數是__________．
【答案】
依題意，畫出兩個函數圖象如下圖所示，由圖可知，零點個數為.
3.已知函數有三個不同的零點，則的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】
函數有三個不同的零點，轉化為與交點問題，數形結合即可求解的取值范圍.
【詳解】作出與的圖象，顯然，不可能存在3個交點；∴，
當與相切時，即只有一個解，那么，可得，此時，
∴函數有三個不同的零點，則；故答案為：.
【題型三】 分段函數含參
【典例分析】
已知，若，方程的解集是______；若方程的解集中恰有3個元素，則a的取值范圍是______.
【答案】
【分析】求出時的解析式，分情況討論，分別求解方程的根，即可得方程的解集；在同一直角坐標系下作出函數和的圖象，由圖象分析即可得的取值范圍.
【詳解】當時，，
當時，，解得；
當時，，解得和.故若，方程的解集是；
因為，則在同一直角坐標系中，作出函數的圖象，如圖直線，
作出函數的圖象，如圖拋物線，將直線從左向右平移，
由圖象可得，當或時，方程有2個解，不符合題意；
當時，方程有3個解，符合題意；
當時，方程有1個解，不符合題意.
綜上所述，實數的取值范圍為.故答案為：；.
【提分秘籍】
基本規律
屬于“動態函數”畫圖法
1.參數在分段函數定義域分界點處。
2.函數圖像的“動態”討論點，多從特殊點，交點，單調性改變點，奇偶性等處尋找。
3.引導學生多畫分解圖。
【變式演練】
1.已知函數f (x)＝其中m>0.若存在實數b，使得關于x的方程f (x)＝b有三個不同的根，則實數m可能的值有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【分析】
在同一坐標系中，作y＝f (x)與y＝b的圖象，利用數形結合法求解.
【詳解】
在同一坐標系中，作y＝f (x)與y＝b的圖象．
當x>m時，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，所以要使方程f (x)＝b有三個不同的根，
則有4m－m20.又m>0，解得m>3.故選：CD
2.設，函數，若函數有且僅有3個零點，則a的取值范圍是___________.
【答案】##
【分析】
問題轉化為函數與直線有三個不同交點，分作出函數圖象，數形結合即可求解.
【詳解】,若函數有且僅有3個零點,則函數的圖象與直線有三個不同的交點，，當且僅當時等號成立，
當時，如圖：
即可，解得，
當時, 如圖：
即可，解得，綜上，故答案為：
3.已知函數若存在實數，使函數有兩個零點，則的取值
范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B由題意可知，函數實為函數向下平移個單位得到的．所以圖象只是在坐標系中位置發生變化，而其形狀未發生變化，有兩零點，說明也存在兩個實數根，即存在一定區間，函數的單調性不一致，由此可對進行分情況討論，當時，，所以兩根不可能異號，但是在上的單調性為先減后增，使得能夠成立；當時，均為增函數，且恒成立，故不存在兩實數根使得成立；當時，均為增函數，但是，即的最高點在的最低點的上方．則必然存在兩個實數根使得能夠成立，綜合以上分析應該選B．
【題型四】 研究直線斜率（臨界是切線）尋找交點關系
【典例分析】
已知函數,則函數的零點個數為
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C試題分析：函數的零點，即方程函數=0的實根的個數，也是y=f(x)的圖象與y=交點個數。在同一平面直角坐標系內，畫出y=f(x)，y=的圖象，觀察知，交點有3個，故選C。
【提分秘籍】
基本規律
當分離參數較困難時，可以“分離函數”，一般情況下，一側多為直線，一側是可以研究出圖像的函數。
1.交點（零點）的個數和位置，多借助切線來尋找確定。
2.切線雖然大多數可以通過導數來解得，但對于如一元二次等常見函數的切線，可以通過方程聯立解決，這樣可以簡化一些計算。
3.對于圓和圓錐曲線部分圖像所獲得的函數，導數求切線難度大，圓和圓錐曲線求切線的方法要注意總結掌握。
【變式演練】
1.已知函數，若方程恰有三個根，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意得，函數與函數有三個不同的交點，結合圖象可得出結果.
解：由題意可得，直線與函數至多有一個交點，而直線與函數至多兩個交點，函數與函數有三個不同的交點，
則只需要滿足直線與函數有一個交點直線與函數有兩個交點即可，如圖所示，與函數的圖象交點為，，
故有.而當時，直線和射線無交點，故實數的取值范圍是.
故選：A.
2.已知函數，若關于的方程有四個不同的實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】方程有四個不同的實數根，即直線與曲線，作出函數圖象，即轉化為在有兩個不等實根，可得答案.
【詳解】設，該直線恒過點，方程有四個不同的實數根
如圖作出函數的圖象，結合函數圖象，則，
所以直線與曲線有兩個不同的公共點，
所以在有兩個不等實根，令，
實數滿足，解得，所以實數的取值范圍是.故選：D.
3.已函數，當時，，若在區間內，有兩個不同的零點，則實數t的取值范圍是______．
【答案】
【分析】
由得，分別求出函數的解析式以及兩個函數的圖象，利用數形結合進行求解即可．
【詳解】當時，，當，可得，
可知函數在上的解析式為，由得，
可將函數f（x）在上的大致圖象呈現如圖：
根據的幾何意義，
x軸位置和圖中直線位置為表示直線的臨界位置，當直線經過點，可得，
因此直線的斜率t的取值范圍是。故答案為
【題型五】 “放大鏡”函數的交點
【典例分析】
已知函數為偶函數，且當時，，則當時，方程的根有（ ）個
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】轉化為與的交點個數，由于兩個函數都為偶函數，只研究，即得解
【詳解】由題意，當時，
方程的根的個數即為與的交點的個數
由于也為偶函數，故只需研究時，兩個函數的交點個數即可
當時，，故是一個交點；
當時，，故是一個交點；
當時，，
故時，兩個函數有一個交點，由于兩個函數都單調遞減，且在相交，故時，只有一個交點
當時，，
故時，兩個函數有一個交點，由于兩個函數都單調遞減，且在相交，故時，只有一個交點
綜上，兩個函數在有4個交點，由函數的對稱性有7個交點故選：C
【提分秘籍】
基本規律
“似周期函數”或者“類周期函數”，俗稱放大鏡函數，要注意以下幾點辨析：
1.是從左往右放大，還是從右往左放大。
2.放大（縮小）時，要注意是否函數值有0。
3.放大（縮小）時，是否發生了上下平移。
4.“放大鏡”函數，在尋找“切線”型臨界值時，計算容易“卡殼”，授課時要著重講清此處計算。
【變式演練】
1.定義在上的函數滿足：①當時， ②.
（i） _____；
（ii）若函數的零點從小到大依次記為，則當時，_______.
【答案】3
【分析】
（i）由于，可得，根據解析式求出，代入可得；
（ii）在同一坐標系內做出和的圖像，根據圖像得到的對稱關系，把轉化為等比數列前n項和即可求解.
【詳解】
（i）因為，所以，當時，，所以；
（ii）在同一坐標系內做出和的圖像如圖所示：
當時，利用對稱性，依次有：，
……
所以
故答案為：3；
2.已知函數，函數有2個零點，則實數a的取值范圍是____________．
【答案】或
【分析】
本題考查了導數的幾何意義，函數的零點與函數圖象的關系，
作出的函數圖象，結合函數圖象求出當直線與的圖象有兩個交點時的斜率范圍即可．
【詳解】
解：函數，函數的圖象關于對稱，繪制函數圖像如圖所示，
函數有2個零點則函數與函數有2個交點，當斜率為零，即時，由圖像可得有兩個交點，則成立；
當斜率不為零，即時，
如圖所示，考查臨界情況，當直線與函數相切時，設切點坐標為，由題意可得：,解得
則直線與函數相切時斜率為，數形結合可知實數a的取值范圍是．
綜上，答案為：或．
3.對于函數，下列個結論正確的是__________（把你認為正確的答案全部寫上）．（1）任取，都有；
（2）函數在上單調遞增；
（3），對一切恒成立；
（4）函數有個零點；
（5）若關于的方程有且只有兩個不同的實根，，則.
【答案】（1）（4）（5）
【詳解】
由題意，得的圖象如圖所示，
由圖象 ，則任取，,都有
，故（1）正確；函數在上先增后減，故（2）錯誤；當時，
，即，故（3）錯誤；在同一坐標系中作出和的圖象，可知兩函數圖象有三個不同公共點，即函數有3個零點，故（4）正確；
在同一坐標系中作出和的圖象，由圖象可知當且僅當 時，關于的方程有且只有兩個不同的實根,，且,關于對稱，即；故（5）正確；故填（1）、（4）、（5）.
【題型六】 函數變換：
【典例分析】
已知函數，若關于x的方程有且僅有四個互不相等的實根，則實數m的取值范圍是（ ）
A．（-∞，7] B．（6， +∞） C．（2 +∞） D．[8， +∞）
【答案】B
【分析】根據題意分析出關于x的方程有且僅有四個互不相等的實根，可轉化為與y=m有四個不同的交點，在同一個坐標系作出和y=m的圖像，即可求出實數m的取值范圍.
【詳解】當時，可化為，x=0顯然不成立，故時，
當時，可化為，所以
記函數，由知，函數為偶函數.
要使關于x的方程有且僅有四個互不相等的實根，只需和y=m有四個不同的交點.在同一個坐標系作出和y=m的圖像如圖所示：
所以：m>6即實數m的取值范圍是（6， +∞）.故選：B
【提分秘籍】
基本規律
利用函數性質，推導出中心對稱，軸對稱等等函數圖像特征性質。
【變式演練】
1.設函數，若方程在區間內有且僅有兩個根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先求出分段函數在上得解析式，進而根據解析式做出函數圖象，由于函數在區間內有且僅有兩個根等價于函數的圖象與直線在區間內有且僅有兩個公共點，數形結合即可求出結果.
【詳解】若，則，所以，故，
其圖象如圖：
函數的圖象與直線在區間內有且僅有兩個公共點，于是，.故選：C.
2.已知函數，若關于的方程有且只有3個實數根，則實數的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】本題轉化為求函數與的圖象有且只有3個交點，分別利用、以及三種情況討論可求得，結合的圖像即可得解.
【詳解】
因為關于方程有且只有3個實數根，設，
得到函數與的圖象有且只有3個交點.
當時，，所以；
當時，；
當時，，所以，
所以如圖所示：
因為函數與的圖象有且只有3個交點，所以或或.
故答案為：.
3.已知函數對于恒有，若與函數的圖像的點交為，則=____________
【答案】2n
【分析】根據題意判斷出函數和的圖像關于點對稱，所以交點也關于點對稱，即可求解.
【詳解】因為函數對于恒有，所以函數的圖像關于點對稱；
的圖像關于點對稱，
所以當為和的圖像的交點時，點也是和的圖像的交點.所以
【題型七】 對數函數絕對值“積定法”
【典例分析】
設函數，若關于的方程有四個不同的解，，，，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D解：如圖所示，繪制函數 的圖象，則點 的坐標分別為 ，由對稱性可得： ，則： ,
函數 在區間 上單調遞減，據此可得：的取值范圍是本題選擇D選項.
【提分秘籍】
基本規律
對于，若有兩個零點，則滿足
1.
2.
3.要注意上述結論在對稱軸作用下的“變與不變”
【變式演練】
1.已知， 是方程的兩個解，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】 因為是方程的兩個解，即是函數與函數的圖象有兩個交點，在同一坐標系中，畫出函數與函數圖象，如圖所示，
由圖象可得，即，即，
又因為，所以，所以，
綜上所述，故選B．
2.已知函數，方程有四個不相等的實數根，且滿足： ，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B作出f（x）的函數圖象如圖所示：
由圖象知 x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，1＜b≤2，
解不等式1x≤2得：x3，∴，令t＝，則x3，
令g（t）＝-4t-，則g（t）為在[，）上單調遞增，在[，）上單調遞減，
∴g（）≤g（t）≤g（），即-3≤g（t）≤．故選：B．
3.已知函數，（其中），若的四個零點從小到大依次為，，，，則的值是（ ）
A．16 B．13 C．12 D．10
【答案】B
解：由題意可知，
有四個零點等價于函數圖象與函數有四個交點，如圖所示，
由圖形可知，，，
，，∴，，，，
即，，，，
所以，，故，故選：B．
【題型八】 高斯函數型
【典例分析】
設表示不超過的最大整數，如，已知函數，若方程有且僅有個實根，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】解：由 可得： ，繪制函數 的圖象，使得此函數與正比例函數 在 上恰好有 個交點即可.
如圖所示，點 和點 為臨界點，實數 的取值范圍是 .
本題選擇C選項.
【提分秘籍】
基本規律
取整函數（高斯函數）
1.具有“周期性”
2.一端是“空心頭”，一端是“實心頭”
3.還可以引入“四舍五入”函數作對比
【變式演練】
1.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，設，用表示不超過的最大整數，也被稱為“高斯函數”，例如，，，設為函數的零點，則（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
利用零點存在性定理求出，再由“高斯函數”的定義即可求解.
【詳解】，函數在上單調遞增，，
，若，則，所以.故選：B
2.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，為了紀念數學家高斯，人們把函數稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數.設，則函數的所有零點之和為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】
由題意知，當時，，所以不是函數的零點，當時，令，作出函數的圖象，利用數形結合思想，結合函數零點的定義即可求解.
【詳解】
由題意知，當時，，所以不是函數的零點，
當時，可得，，令，
作出函數的圖象如圖所示：
由圖象可知，除點外，函數圖象其余交點關于（0，1）中心對稱，∴橫坐標互為相反數，即，
由函數零點的定義知，函數的所有零點之和為
.故選：A
3.高斯函數（表示不超過實數x的最大整數），若函數的零點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判斷的單調性，再由零點存在定理，得到零點所在范圍，然后從內到外求函數值.
【詳解】因為，所以，所以在R上是增函數.而，所以，所以，所以.故選：B
【題型九】 與三角函數結合
【典例分析】
設a∈R，函數f(x)，若函數f(x)在區間（0，+∞）內恰有6個零點，則a的取值范圍是（ ）
A．（2，]∪（，] B．（，2]∪（，]
C．（2，]∪[，3） D．（，2）∪[，3）
【答案】A
【分析】由最多有2個根，可得至少有4個根，分別討論當和時兩個函數零點個數情況，再結合考慮即可得出.
【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，
由可得，由可得，
（1）時，當時，有4個零點，即；
當，有5個零點，即；
當，有6個零點，即；
（2）當時，，，
當時，，無零點；
當時，，有1個零點；
當時，令，則，此時有2個零點；
所以若時，有1個零點.
綜上，要使在區間內恰有6個零點，則應滿足或或，則可解得a的取值范圍是.故選：A．
【提分秘籍】
基本規律
與三角函數結合時，三角函數提供了
1.多中心，多對稱軸。
2.周期性
3.正余弦的有界性。
4.正切函數的“漸近線”性質
【變式演練】
1.已知定義在上的奇函數，滿足，當時，，若函數，在區間上有10個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由得出函數的圖象關于點成中心對稱以及函數
的周期為，由函數為奇函數得出，并由周期性得出
，然后作出函數與函數的圖象，列舉前個交點的橫坐標，結合第個交點的橫坐標得出實數的取值范圍．
【詳解】
由可知函數的圖象關于點成中心對稱，
且，所以，，
所以，函數的周期為，
由于函數為奇函數，則，則，
作出函數與函數的圖象如下圖所示：
，則，
于是得出，，
由圖象可知，函數與函數在區間上從左到右個交點的橫坐標分別為、、、、、、、、、，第個交點的橫坐標為，
因此，實數的取值范圍是，故選A．
2.若函數有且只有一個零點，又點在動直線上的投影為點若點，那么的最小值為__________.
【答案】
【分析】
易知：為偶函數，若要若函數有且只有一個零點，則，解得：，根據題意，直線過定點：，則點在以線段為直徑的圓上，再根據圓外一點到圓上最短距離即可得解.
【詳解】
由可得為偶函數，若要若函數有且只有一個零點，
根據偶函數的性質有，解得：，故點直線過定點，定點：，
由點在動直線上的投影為點
則點在以線段為直徑的圓上，圓心為，半徑，
所以.故答案為：.
3.函數在上的所有零點之和等于______.
【答案】8
【詳解】
分析：通過化簡函數表達式，畫出函數圖像，分析圖像根據各個對稱點的關系求得零點的和．
詳解：零點即 ，所以即，畫出函數圖像如圖所示
函數零點即為函數圖像的交點，由圖可知共有8個交點。圖像關于 對稱，所以各個交點的橫坐標的和為8
【題型十】 借助周期性
【典例分析】
函數是定義在上的奇函數，且為偶函數，當時，，若函數恰有一個零點，則實數的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根據條件判斷函數周期為，求出函數在一個周期內的解析式，將函數的零點轉化為與直線只有一個交點，結合函數圖像，即可求解.
【詳解】
函數是定義在上的奇函數，且為偶函數，，
，
即，的周期為.時，，
，，，
周期為4，，當，
當，做出函數圖像，如下圖所示：
令，
當，，，兩邊平方得，
，此時直線與在函數圖像相切，與函數有兩個交點，
同理，直線與在函數圖像相切，與函數有兩個交點，則要使函數在內與直線只有一個交點，則滿足，周期為4，范圍也表示為，
所以所有的取值范圍是.故選:D.
【提分秘籍】
基本規律
本專題，講清楚【典例分析】這道題，在周期函數中，與切線的關系。可以利用周期平移對稱等距等等函數性質，求出對應的切線截距。當做選擇題來分析講解(雖然本題可以“秒殺”排除）
【變式演練】
1.定義在上的偶函數滿足，且當時，，若函數有個零點，則實數的取值范圍為．
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
,當時，,作出圖形，由圖可知直線過點時有六個交點，過點時有八個交點，過點時有六個交點，過點時有八個交點，因此要使函數有7個零點，需 ，選A.
2.已知定義域為的奇函數滿足，當時，，則函數在區間上的零點個數最多時，所有零點之和為__________．
【答案】14
【解析】試題分析：由于定義域為的奇函數滿足， ∴函數 為周期函數，且周期為8，當時，，
函數在區間上的零點的個數，即為函數 與 的交點的個數，
作出函數 上的函數的圖象，
顯然，當 時，交點最多，符合題意，此時，零點的和為 .
3.已知函數的定義域是，滿足且，若存在實數k，使函數在區間上恰好有2021個零點，則實數a的取值范圍為____
【答案】
【分析】方程在上恰有2021個零點，等價于存在，使在上恰有2021個交點，作出函數的圖像，數形結合，再根據函數周期性的應用，使每個交點都處在之間才能取到2021個點，代入條件求得參數取值范圍.
【詳解】由函數在上的解析式作出如圖所示圖像，
由知，函數是以4為周期，且每個周期上下平移|a|個單位的一個函數，
若使時，存在，方程在上恰有2021個零點，等價于在上恰有2021個交點，如圖所示，知在每個周期都有4個交點，即時滿足條件，且必須每個周期內均應使處在極大值和極小值之間，才能保證恰有2021個交點，
則當時，需使最后一個完整周期中的極小值，
即，解得，即
當時，需使最后一個極大值，
即，解得，即，
綜上所述，故答案為：
鞏固練習
1.已知函數，函數有三個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
將問題轉化為“與的圖象有三個交點”，然后根據圖象分析有三個交點時的取值范圍即可.
【詳解】
由題意可知：與的圖象有三個交點，在同一平面直角坐標系中作出與的圖象，如下圖所示：
當時，若與的圖象有三個交點，需滿足，即；
當時，考慮與相切，則有，
即，所以，所以，
當時，，即切點在第三象限，不符合，
當時，，符合要求，
又，所以由圖象可知：
若與的圖象有三個交點，需滿足，即，
綜上可知，，故選：A.
2.（多選題）已知函數，若關于x的方程有6個不同的實數根，則實數k的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】ACD
【分析】
作出函數的圖象，根據圖象可知方程的實根個數可能為0，1，2，3，4，而 最多有2個實根，由此分類討論可得出結果.
【詳解】
函數的圖象如圖所示，由圖可知方程的實根個數可能為0，1，2，3，4，
當時，方程無實根，
當時，方程有唯一實根，
當時，方程有2個實根，
當或時，方程有3個實根，
當時，方程有4個實根，
∵最多有2個實根，此時，
∴方程有6個不同的實數根等價于的實根至少有3個，
當時，的三個根均大于-2，符合題意；
當時，的四個根均大于，有8個不同的實數根，不合題意；
當時，此時有7個不同的實數根，不合題意；
當時，只有三個均大于的不同實根，符合題意.
故的取值范圍是故選：ACD
3.（多選題）關于的函數，給出下列四個命題，其中是真命題的為（ ）．
A．存在實數，使得函數恰有2個零點；
B．存在實數，使得函數恰有4個零點；
C．存在實數，使得函數恰有5個零點；
D．存在實數，使得函數恰有8個零點；
【答案】ABCD
【分析】
將問題轉化為與圖像的交點個數，用導數研究函數的單調性和極值，畫出簡圖即可得到答案.
【詳解】
令，
設，容易判斷函數為偶函數，現考慮時的情況，
，
時，，，
則函數在單增，在單減，函數極大值為，
時，，，
則函數在單增，在單減，函數極大值為，
結合函數是偶函數，如示意圖，
而問題與圖像的交點個數.，由圖可知，交點個數可以是2、4、5、8個.
故選：ABCD.
4.給出定義：若（其中為整數），則叫做與實數“親密的整數”記作，在此基礎上給出下列關于函數的四個說法：
①函數在是增函數；
②函數的圖象關于直線對稱；
③函數在上單調遞增；
④當時，函數有兩個零點.
其中說法正確的序號是__________.
【答案】②③④
【分析】
由，可證，是周期為的函數，求出的解析式，做出函數圖像，利用周期性做出函數的圖像，以及函數圖像，即可判斷①②③④真假，得出結論.
【詳解】
，的周期為1，當時，，
，先做出函數圖像，利用周期做出圖像如下圖所示：
在不具有單調性，①錯誤；
函數的圖象關于直線對稱，②正確；
函數在上單調遞增，③正確；
函數有多少個零點，即為有多少個解，
轉化為與有多少個交點，
作出函數圖象可知當時，函數有兩個零點，④正確.
故答案為：②③④.
5.已知函數，其中，若與的圖像有兩個交點，則的取值范圍是_________
【答案】
【分析】為分段函數，做出和圖象，根據圖象交點個數得出的取值范圍．
【詳解】
解：， （1）若，作出和的圖象如圖，
顯然與只有一個交點．
（2）若，作出和的圖象如圖，
顯然與只有一個交點．
（3）若，作出和的圖象如圖，
顯然與只有一個交點．
（4）若，作出和的圖象如圖，
顯然與有兩個交點．
（5）若，作出和的圖象如圖，顯然與只有一個交點．
綜上，的取值范圍是．故答案為：．
6.對于實數和，定義運算：，設，且關于的方程為恰有三個互不相等的實數根，則的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】
根據代數式和之間的大小關系，結合題中所給的定義，用分段函數的形式表示函數的解析式，畫出函數的圖象，利用數形結合求出的取值范圍.
【詳解】
由可得，由 可得，
所以根據題意得，
即 ，
作出函數的圖象如圖，
當時，開口向下，對稱軸為，所以當時，函數的最大值為，
函數的圖象和直線有三個不同的交點．可得的取值范圍是，故答案為：
7.設函數則函數的零點個數為_______ ；若，且函數有偶數個零點，則實數的取值范圍是____________．
【答案】1
【分析】
首先畫出函數的圖象，將函數的零點個數，轉化為與的交點個數；將函數有偶數個零點個數，轉化為函數與的交點個數為偶數個時，求實數的取值范圍.
【詳解】
首先畫出函數的圖象，以及函數的圖象，如圖兩個函數都過點，函數只有一個零點；
恒過點，的零點，轉化為函數與的交點，如圖：
當時，，直線的斜率，，，,
當時，與有0個交點，即有0個零點；
當時，與有2個交點，即有2個零點；
當時，與聯立方程，
得，，解得：（舍）或，
，，，,
所以當時，與有2個交點，即有2個零點；
當時，與有4個交點，即有4個零點；
當時，與有2個交點，即有2個零點；
當，當時，與有0個交點，即有0個零點；
綜上可知，函數有偶數個零點，則實數的取值范圍是.
故答案為：1；
8.已知函數滿足，函數有兩個零點，則的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】設 ， ，即 ，函數 ，函數 ，解得： 或 ，若 ，解得： ，若函數只有兩個零點，那么沒有 時，即 ，若沒有 時，不成立，若沒有 時， ，所以 的取值范圍是
9.設是定義在R上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數.當時，，，其中k>0.若在區間(0，9]上，關于x的方程有8個不同的實數根，則k的取值范圍是_____.
【答案】.當時，即
又為奇函數，其圖象關于原點對稱，其周期為4，如圖，函數與的圖象，要使在(0,9]上有8個實根，只需二者圖象有8個交點即可.
當時，函數與的圖象有2個交點；
當時，的圖象為恒過點（-2，0）的直線，只需函數與的圖象有6個交點.當與圖象相切時，圓心（1，0）到直線的距離為1，即，得，函數與的圖象有3個交點；當過點（1,1）時，函數與的圖象有6個交點，此時，得.
綜上可知，滿足在(0,9]上有8個實根的k的取值范圍為.
10.高斯是世界著名的數學家之一，他一生成就極為豐碩僅以他的名字“高斯”命名的成果就多達110個，為數學家中之最．對于高斯函數，其中表示不超過的最大整數，如，，表示實數的非負純小數，即，如，．若函數（，且）有且僅有 個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
將函數的零點問題轉化為的圖象與函數的圖象有且僅有個交點的問題，根據高斯函數的定義，求出的解析式，作出其圖象，數形結合即可得參數的取值范圍．
【詳解】
函數有且僅有3個零點，
即的圖象與函數的圖象有且僅有個交點．
而，畫出函數的圖象，
易知當時，與的圖象最多有1個交點，故，
作出函數的大致圖象，結合題意可得，解得：，
所以實數的取值范圍是，故選：D．
11.（多選題）高斯是德國著名數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，例如，.已知函數，函數，則（　　）
A．函數的值域是 B．函數是周期函數
C．函數的圖象關于對稱 D．方程只有一個實數根
【答案】AD
【分析】先研究函數的奇偶性，作出函數的圖象，作出函數的圖象判斷選項ABC的正確性，再分類討論判斷方程的根的個數得解.
【詳解】由題得函數的定義域為,，
所以函數為偶函數，當時，；
當時，；
當時，；
所以函數的圖象如圖所示，
所以函數的圖象如圖所示，
所以函數的值域是，故選項A正確；由函數的圖象得到不是周期函數，
故選項B不正確；
由函數的圖象得到函數的圖象不關于對稱，故選項C不正確；
對于方程，當時，，方程有一個實數根；
當時，，此時，此時方程沒有實數根；
當時，，此時，此時方程沒有實數根；
故方程只有一個實數根，故選項D正確.
故選：AD
12.已知函數，，，已知時，函數的所有零點和為21，則當時，函數的所有零點的和為__________．
【答案】35
【分析】確定三角函數和一次函數函數的對稱中心為，根據零點和得到有三個零點，畫出圖象得到答案.
【詳解】時，，是函數的對稱中心，周期為，
，則是函數的對稱中心，
的所有零點和為21，故有三個零點，
直線與三角函數相切，畫出函數圖象，如圖所示：
當時，，是函數的對稱中心，
根據圖象知有五個零點，故所有零點和為.
故答案為：.
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21世紀教育網(www.21cnjy.com)專題2 零點
【題型一】 水平線法：參變分離
【典例分析】
已知函數函數，則下列說法錯誤的是（ ）
A．若，則函數無零點 B．若，則函數有零點
C．若，則函數有一個零點 D．若，則函數有兩個零點
【提分秘籍】
基本規律
1.分離參數。得常數函數（含參水平線）
2.函數畫圖，需要運用到復合函數單調性，
【變式演練】
1.已知函數，若函數恰有三個不同的零點，則實數的取值范圍是___________.
2.已知函數，若函數存在四個不同的零點，則實數的取值范圍是___________.
3.已知函數若函數有四個零點,零點從小到大依次為則的值為(　　)
A．2 B． C． D．
【題型二】 基礎圖像交點法
【典例分析】
設函數，的零點分別為，則（ ）
【提分秘籍】
基本規律
1.冪、指、對、對勾、雙曲等函數之間圖像交點。
2.可以借助二分法、單調性奇偶性等尋找交點所在區間。
【變式演練】
1.已知函數，則下列說法不正確的是（ ）
A.當時，函數有零點 B.若函數有零點，則
C.存在，函數有唯一的零點 D.若函數有唯一的零點，則
2.設，，則的零點個數是__________．
3.已知函數有三個不同的零點，則的取值范圍是__________.
【題型三】 分段函數含參
【典例分析】
已知，若，方程的解集是______；若方程的解集中恰有3個元素，則a的取值范圍是______.
【提分秘籍】
基本規律
屬于“動態函數”畫圖法
1.參數在分段函數定義域分界點處。
2.函數圖像的“動態”討論點，多從特殊點，交點，單調性改變點，奇偶性等處尋找。
3.引導學生多畫分解圖。
【變式演練】
1.已知函數f (x)＝其中m>0.若存在實數b，使得關于x的方程f (x)＝b有三個不同的根，則實數m可能的值有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.設，函數，若函數有且僅有3個零點，則a的取值范圍是___________.
3.已知函數若存在實數，使函數有兩個零點，則的取值
范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型四】 研究直線斜率（臨界是切線）尋找交點關系
【典例分析】
已知函數,則函數的零點個數為
A.1 B.2 C.3 D.4
【提分秘籍】
基本規律
當分離參數較困難時，可以“分離函數”，一般情況下，一側多為直線，一側是可以研究出圖像的函數。
1.交點（零點）的個數和位置，多借助切線來尋找確定。
2.切線雖然大多數可以通過導數來解得，但對于如一元二次等常見函數的切線，可以通過方程聯立解決，這樣可以簡化一些計算。
3.對于圓和圓錐曲線部分圖像所獲得的函數，導數求切線難度大，圓和圓錐曲線求切線的方法要注意總結掌握。
【變式演練】
1.已知函數，若方程恰有三個根，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函數，若關于的方程有四個不同的實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3.已函數，當時，，若在區間內，有兩個不同的零點，則實數t的取值范圍是______．
【題型五】 “放大鏡”函數的交點
【典例分析】
已知函數為偶函數，且當時，，則當時，方程的根有（ ）個
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本規律
“似周期函數”或者“類周期函數”，俗稱放大鏡函數，要注意以下幾點辨析：
1.是從左往右放大，還是從右往左放大。
2.放大（縮小）時，要注意是否函數值有0。
3.放大（縮小）時，是否發生了上下平移。
4.“放大鏡”函數，在尋找“切線”型臨界值時，計算容易“卡殼”，授課時要著重講清此處計算。
【變式演練】
1.定義在上的函數滿足：①當時， ②.
（i） _____；
（ii）若函數的零點從小到大依次記為，則當時，_______.
2.已知函數，函數有2個零點，則實數a的取值范圍是____________．
3.對于函數，下列個結論正確的是__________（把你認為正確的答案全部寫上）．（1）任取，都有；
（2）函數在上單調遞增；
（3），對一切恒成立；
（4）函數有個零點；
（5）若關于的方程有且只有兩個不同的實根，，則.
【題型六】 函數變換：
【典例分析】
已知函數，若關于x的方程有且僅有四個互不相等的實根，則實數m的取值范圍是（ ）
A．（-∞，7] B．（6， +∞） C．（2 +∞） D．[8， +∞）
【提分秘籍】
基本規律
利用函數性質，推導出中心對稱，軸對稱等等函數圖像特征性質。
【變式演練】
1.設函數，若方程在區間內有且僅有兩個根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2.已知函數，若關于的方程有且只有3個實數根，則實數的取值范圍是___________.
3.已知函數對于恒有，若與函數的圖像的點交為，則=____________
【題型七】 對數函數絕對值“積定法”
【典例分析】
設函數，若關于的方程有四個不同的解，，，，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【提分秘籍】
基本規律
對于，若有兩個零點，則滿足
1.
2.
3.要注意上述結論在對稱軸作用下的“變與不變”
【變式演練】
1.已知， 是方程的兩個解，則（ ）
A. B. C. D.
2.已知函數，方程有四個不相等的實數根，且滿足： ，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函數，（其中），若的四個零點從小到大依次為，，，，則的值是（ ）
A．16 B．13 C．12 D．10
【題型八】 高斯函數型
【典例分析】
設表示不超過的最大整數，如，已知函數，若方程有且僅有個實根，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【提分秘籍】
基本規律
取整函數（高斯函數）
1.具有“周期性”
2.一端是“空心頭”，一端是“實心頭”
3.還可以引入“四舍五入”函數作對比
【變式演練】
1.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，設，用表示不超過的最大整數，也被稱為“高斯函數”，例如，，，設為函數的零點，則（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．5
2.高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，為了紀念數學家高斯，人們把函數稱為高斯函數，其中表示不超過的最大整數.設，則函數的所有零點之和為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3.高斯函數（表示不超過實數x的最大整數），若函數的零點為，則（ ）
A． B． C． D．
【題型九】 與三角函數結合
【典例分析】
設a∈R，函數f(x)，若函數f(x)在區間（0，+∞）內恰有6個零點，則a的取值范圍是（ ）
A．（2，]∪（，] B．（，2]∪（，]
C．（2，]∪[，3） D．（，2）∪[，3）
【提分秘籍】
基本規律
與三角函數結合時，三角函數提供了
1.多中心，多對稱軸。
2.周期性
3.正余弦的有界性。
4.正切函數的“漸近線”性質
【變式演練】
1.已知定義在上的奇函數，滿足，當時，，若函數，在區間上有10個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2.若函數有且只有一個零點，又點在動直線上的投影為點若點，那么的最小值為__________.
3.函數在上的所有零點之和等于______.
【題型十】 借助周期性
【典例分析】
函數是定義在上的奇函數，且為偶函數，當時，，若函數恰有一個零點，則實數的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
【提分秘籍】
基本規律
本專題，講清楚【典例分析】這道題，在周期函數中，與切線的關系。可以利用周期平移對稱等距等等函數性質，求出對應的切線截距。當做選擇題來分析講解(雖然本題可以“秒殺”排除）
【變式演練】
1.定義在上的偶函數滿足，且當時，，若函數有個零點，則實數的取值范圍為．
A． B．
C． D．
2.已知定義域為的奇函數滿足，當時，，則函數在區間上的零點個數最多時，所有零點之和為__________．
3.已知函數的定義域是，滿足且，若存在實數k，使函數在區間上恰好有2021個零點，則實數a的取值范圍為____
鞏固訓練
1.已知函數，函數有三個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2.（多選題）已知函數，若關于x的方程有6個不同的實數根，則實數k的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．1
3.（多選題）關于的函數，給出下列四個命題，其中是真命題的為（ ）．
A．存在實數，使得函數恰有2個零點；
B．存在實數，使得函數恰有4個零點；
C．存在實數，使得函數恰有5個零點；
D．存在實數，使得函數恰有8個零點；
4.給出定義：若（其中為整數），則叫做與實數“親密的整數”記作，在此基礎上給出下列關于函數的四個說法：
①函數在是增函數；
②函數的圖象關于直線對稱；
③函數在上單調遞增；
④當時，函數有兩個零點.
其中說法正確的序號是__________.
5.已知函數，其中，若與的圖像有兩個交點，則的取值范圍是_________
6.對于實數和，定義運算：，設，且關于的方程為恰有三個互不相等的實數根，則的取值范圍是___________.
7.設函數則函數的零點個數為_______ ；若，且函數有偶數個零點，則實數的取值范圍是____________．
8.已知函數滿足，函數有兩個零點，則的取值范圍為__________．
9.設是定義在R上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數.當時，，，其中k>0.若在區間(0，9]上，關于x的方程有8個不同的實數根，則k的取值范圍是_____.
10.高斯是世界著名的數學家之一，他一生成就極為豐碩僅以他的名字“高斯”命名的成果就多達110個，為數學家中之最．對于高斯函數，其中表示不超過的最大整數，如，，表示實數的非負純小數，即，如，．若函數（，且）有且僅有 個不同的零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
11.（多選題）高斯是德國著名數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，例如，.已知函數，函數，則（　　）
A．函數的值域是 B．函數是周期函數
C．函數的圖象關于對稱 D．方程只有一個實數根
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12.已知函數，，，已知時，函數的所有零點和為21，則當時，函數的所有零點的和為__________．21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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