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專題1 集合
【題型一】集合的表示
【典例分析】
如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點(diǎn)，則集合中的元素個數(shù)（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】
本題首先可根據(jù)圖像得出，然后將轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)棱長為以及即可得出結(jié)果.
【詳解】
由圖像可知，，則，
因?yàn)槔忾L為，，所以，，
故集合中的元素個數(shù)為，故選：A.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
列舉法，注意元素互異性和無序性
描述法，注意準(zhǔn)確理解集合元素，能理解不同符號的元素
【變式演練】
1.設(shè)集合，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
對于集合，令和，即得解.
【詳解】
，，，，
對于集合，當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，．
，故選：B．
2.，若表示集合中元素的個數(shù)，則_______，則_______．
【答案】11； 682．
【詳解】
試題分析：當(dāng)時，，，即，，
由于不能整除3，從到，，3的倍數(shù)，共有682個，
3.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)k，對定義域中的任意x，等式＝＋恒成立．現(xiàn)有兩個函數(shù)：，，則函數(shù)、與集合M的關(guān)系為___________________________ .
【答案】M,
【解析】
（1）若＝ax＋b∈M，則存在非零常數(shù)k，對任意x∈D均有 ＝akx＋b＝＋，即a(k－1)x＝恒成立，得無解，所以M．
（2）＝＋，則＝，k＝4，k＝2時等式恒成立，所以＝∈M．
【題型二】 集合元素的特征
【典例分析】
已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B
【分析】
解指數(shù)不等式求得集合，解分式不等式求得集合，由此求得集合的元素個數(shù).
【詳解】
由得，，解得，所以.由解得，所以.所以，共有個元素.
故選：B.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性。
2.研究兩（多個）集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。
【變式演練】
1.已知集合,則下列四個元素中屬于M的元素的個數(shù)是（ ）
①;②;③;④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
①②③都可以寫成的形式，驗(yàn)證是否是有理數(shù)，④計(jì)算的平方驗(yàn)證，判斷.
【詳解】
①當(dāng)時，可得，這與矛盾，
② ，可得 ，都是有理數(shù)，所以正確，
③，，可得，都是有理數(shù)，所以正確，
④而 ，，
是無理數(shù)，不是集合中的元素，
只有②③是集合的元素.
故選：C
2.函數(shù)，則集合元素的個數(shù)有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】D
【分析】
根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合集合元素要滿足的性質(zhì)，通過分類討論求所有滿足條件的的值，進(jìn)而確定集合中元素的個數(shù)．
【詳解】
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，若，解得，
當(dāng)時，若，解得，
當(dāng)時，若，則，解得或.
又∵
∴或
∴或或或或.
∴集合元素的個數(shù)有5個.故選：D．
3.已知集合，集合的所有非空子集依次記為：，設(shè)分別是上述每一個子集內(nèi)元素的乘積，（如果的子集中只有一個元素，規(guī)定其積等于該元素本身），那么___________________．
【答案】
【詳解】
試題分析：集合所有子集的“乘積”之和為函數(shù)展開式中所有項(xiàng)數(shù)之和；因?yàn)?，所以?br/>【題型三】 集合的關(guān)系
【典例分析】
已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，則是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合個數(shù)為____________ .
【答案】196個
【分析】
先找出集合U的子集個數(shù)，再減去集合A或集合B的子集個數(shù)，即可得出結(jié)果.
【詳解】
集合U的子集個數(shù)為28，其中是集合A或集合B的子集個數(shù)為，所以滿足條件的集合個數(shù)為.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.注意子集和真子集的區(qū)別和練習(xí)
2.判斷集合之間的關(guān)系：
（1）定義判斷
（2）數(shù)形結(jié)合判斷
【變式演練】
1.若，則集合的個數(shù)是．
A．4 B．3 C．2 D．8
【答案】C
【分析】
先將集合用列舉法來表示,即,根據(jù)真子集的關(guān)系確定集合的可能性即可
【詳解】
∵,∴,
∴可以為,,
故選C
2.設(shè)是全集，若，則下列關(guān)系式一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用Venn圖，通過舉例說明A，B，D錯誤，從而選C.
【詳解】
如圖，，此時 ，A錯，B，B錯，，D錯，
故選：C
3.已知集合若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用集合的包含關(guān)系即求.
【詳解】
由題意， ，
∵集合，
①；
②m 時，成立；
③
綜上所述，
故選：B.
【題型四】 集合的運(yùn)算
【典例分析】
已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求三角函數(shù)的值域求得集合，解不等式求得集合，由此求得.
【詳解】
對于集合，
.所以.
對于集合，，
所以，
所以，
所以.
故選：B
【提分秘籍】
基本規(guī)律
注意并集與交集的大小關(guān)系
補(bǔ)集和全集是不可分割的兩個概念
【變式演練】
1.已知，，若，則a的取值范圍是（ ）.
A． B．或
C．或 D．以上答案都不對
【答案】D
【分析】
法1.可以代特殊值，對答案進(jìn)行排除；
法2.畫出圖形，進(jìn)而使得雙曲線與圓沒有公共點(diǎn)即可，然后根據(jù)圖形的位置關(guān)系解得答案.
【詳解】
法1.當(dāng)時，總可找到一個適當(dāng)?shù)腶值，使；又當(dāng)時，也有.于是a的取值范圍有三個不同的區(qū)間，對照選擇，排除A、B、C.
故選：D.
法2.由已知，集合P表示雙曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的集合；集合Q表示圓上的點(diǎn)構(gòu)成的集合，則問題雙曲線C1與圓C2沒有公共點(diǎn).
如圖1所示：圓C2位于雙曲線C1外，
此時，.
如圖2所示：圓C2位于雙曲線C1內(nèi)（僅畫了圓在右側(cè)），
先考慮兩者相切時，聯(lián)立，
，
由圖形可知，若圓C2位于雙曲線C1內(nèi)，則或.
綜上：或或.故選：D.
2.已知， ，若集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先由集合分別求出的范圍，由得范圍相同，可知交是否是空集取決于的范圍，然后分情況討論即可求解
【詳解】
因?yàn)椋?br/>所以得到；得到；
因?yàn)?br/>所以，，
所以交是否是空集取決于的范圍，
因?yàn)椋?br/>所以，
當(dāng)時，；當(dāng)時，
所以當(dāng)集合時，實(shí)數(shù)的取值范圍是：
故選：A．
3.若，，定義，
則
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
試題分析：由題意，
，
所以,
所以
【題型五】 集合與排列組合概率
【典例分析】
已知非空集合，設(shè)集合，.分別用、、表示集合、、中元素的個數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則可能為18 D．若，則不可能為19
【答案】D
【分析】
分析集合中的元素，將問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題，求出的最大值，若集合由相鄰元素構(gòu)成時，則取得最小值，依次分析各個選項(xiàng)，即可得解.
【詳解】
已知，.
又、、表示集合、、中元素的個數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為排列組合問題，
對于AB，，，，則，故B正確；
但若考慮重復(fù)情況，即由相鄰元素構(gòu)成，例，則，，即，故A正確；
對于CD，，，，則，故D錯誤；
但若考慮重復(fù)情況，即由相鄰元素構(gòu)成，例，則，，即，故可能為18，故C正確；
故選：D
【提分秘籍】
基本規(guī)律
利用排列組合思想求集合或者集合中元素的個數(shù)，需要運(yùn)用邏輯分析和轉(zhuǎn)化化歸的思想
【變式演練】
1.設(shè)，與是的子集，若，則稱為一個“理想配集”.那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定與是兩個不同的“理想配集”的個數(shù)是（ ）
A．16 B．9 C．8 D．4
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意，子集和不可以互換，從子集分類討論，結(jié)合計(jì)數(shù)原理，即可求解.
【詳解】
由題意，對子集分類討論：
當(dāng)集合，集合可以是，共4中結(jié)果；
當(dāng)集合，集合可以是，共2種結(jié)果；
當(dāng)集合，集合可以是，共2種結(jié)果；
當(dāng)集合，集合可以是，共1種結(jié)果，
根據(jù)計(jì)數(shù)原理，可得共有種結(jié)果.
故選：B.
2.已知集合，若A，B是P的兩個非空子集，則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(A,B)的個數(shù)為（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
【答案】A
【分析】
利用分類計(jì)數(shù)法，當(dāng)A中的最大數(shù)分別為1、2、3、4時確定A的集合數(shù)量，并得到對應(yīng)的集合個數(shù)，它們在各情況下個數(shù)之積，最后加總即為總數(shù)量.
【詳解】
集合知：
1、若A中的最大數(shù)為1時，B中只要不含1即可：的集合為，
而有 種集合，集合對(A,B)的個數(shù)為15；
2、若A中的最大數(shù)為2時，B中只要不含1、2即可：
的集合為，而B有種，
集合對(A,B)的個數(shù)為；
3、若A中的最大數(shù)為3時，B中只要不含1、2、3即可：
的集合為，而B有種，
集合對(A,B)的個數(shù)為；
4、若A中的最大數(shù)為4時，B中只要不含1、2、3、4即可：
的集合為，
而B有種，集合對(A,B)的個數(shù)為；
∴一共有個，故選：A
3.設(shè)集合，選擇A的兩個非空子集B和C，要使C中最小的數(shù)大于B中的最大數(shù)，則不同的選擇方法有________；
【答案】
【分析】
分類討論集合中的最大元素，利用集合的非空子集的個數(shù)的求法把所有滿足題意的情況求出來即可得出結(jié)果.
【詳解】
由題意得：
當(dāng)集合中的最大元素為時，滿足題意的集合共有1個，對應(yīng)的集合共有個，即滿足題意的共有個；
當(dāng)集合中的最大元素為時，滿足題意的集合共有個，對應(yīng)的集合共有個，即滿足題意的共有個；
當(dāng)集合中的最大元素為時，滿足題意的集合共有個，對應(yīng)的集合共有個，即滿足題意的共有個；
當(dāng)集合中的最大元素為時，滿足題意的集合共有個，對應(yīng)的集合共有個，即滿足題意的共有個；
當(dāng)集合中的最大元素為時，滿足題意的集合共有個，對應(yīng)的集合共有個，即滿足題意的共有個；
綜上：滿足題意的不同的選擇方法有：
，故答案為：.
【題型六】 新定義
【典例分析】
用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意可得或，進(jìn)而討論a的范圍，確定出，最后得到答案.
【詳解】
因?yàn)椋?，所以或?br/>由，得，
關(guān)于x的方程，
當(dāng)時，即時，易知，符合題意；
當(dāng)時，即或時，易知0， -a不是方程的根，故，不符合題意；
當(dāng)時，即時，方程 無實(shí)根，
若a=0，則B={0}，，符合題意，
若或，則，不符合題意.
所以，故.故選：B.
【提分秘籍】
解題思路
1.新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方法并不難，難在“翻譯”
2.新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計(jì)算公式，新的運(yùn)算法則，新的定理”，要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法理解。
【變式演練】
1.定義，設(shè)、、是某集合的三個子集，且滿足，則是的（ ）
A．充要條件 B．充分非必要條件
C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件
【答案】A
【分析】
作出示意圖，由可知兩個陰影部分均為，根據(jù)新定義結(jié)合集合并集的運(yùn)算以及充分條件與必要條件的定義判斷即可.
【詳解】
如圖，由于，故兩個陰影部分均為，于是，
（1）若，則，，而，
成立；
（2）反之，若，則由于，，
，，，故選：A
2.已知集合，若A，B是P的兩個非空子集，則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(A,B)的個數(shù)為（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
【答案】A
【分析】
利用分類計(jì)數(shù)法，當(dāng)A中的最大數(shù)分別為1、2、3、4時確定A的集合數(shù)量，并得到對應(yīng)的集合個數(shù)，它們在各情況下個數(shù)之積，最后加總即為總數(shù)量.
【詳解】
集合知：
1、若A中的最大數(shù)為1時，B中只要不含1即可：的集合為，
而有 種集合，集合對(A,B)的個數(shù)為15；
2、若A中的最大數(shù)為2時，B中只要不含1、2即可：
的集合為，而B有種，
集合對(A,B)的個數(shù)為；
3、若A中的最大數(shù)為3時，B中只要不含1、2、3即可：
的集合為，而B有種，
集合對(A,B)的個數(shù)為；
4、若A中的最大數(shù)為4時，B中只要不含1、2、3、4即可：
的集合為，
而B有種，集合對(A,B)的個數(shù)為；
∴一共有個，故選：A
3.在元數(shù)集中，設(shè)，若的非空子集滿足，則稱是集合的一個“平均子集”，并記數(shù)集的元“平均子集”的個數(shù)為．已知集合，，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)新定義求出元平均子集的個數(shù)，逐一判斷，由此得出正確選項(xiàng)．
【詳解】
，將中的元素分成5組，，，，．
則，,,；
同理：，將中的元素分成5組，，，，．
則，．
∴，，，．
故選：C．
【題型七】 集合與圓和圓錐曲線
【典例分析】
設(shè)集合，（）.當(dāng)有且只有一個元素時，則正數(shù)的所有取值為（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】
依題畫出滿足題意的圖形，因?yàn)橛星抑挥幸粋€元素，所以圓N和圓M只有一個交點(diǎn)，所以圓N的位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，然后分析計(jì)算即可得解.
【詳解】
，，即圓M：的上半部分，如圖：
圓M的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓N的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，
因?yàn)橛星抑挥幸粋€元素，所以圓N和圓M只有一個交點(diǎn)，
所以圓N的位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，
①外切：，d為圓心距，，此時，
②介于圓（2）、圓（3）之間：圓（2）處的半徑，
圓（3）處的半徑，所以，
綜上，正數(shù)的所有取值為或.故選：C.
【提分秘籍】
基本規(guī)律
注意解析幾何中公式的形式及應(yīng)用
數(shù)形結(jié)合。
【變式演練】
1.已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．
【答案】
【詳解】
試題分析：集合表示由直線圍成的平面區(qū)域，集合表示以為圓心，半徑為的圓. 為使，須圓落在上述平面區(qū)域內(nèi).由圓心到直線及的距離等于，即，得或，或，又，故實(shí)數(shù)的取值范圍，
2.設(shè)集合， ，記，則點(diǎn)集所表示的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分析集合A，B所對應(yīng)的幾何圖形，將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系，如題圖，其交集P對應(yīng)的幾何圖形為線段AB，計(jì)算AB的長即可。
【詳解】
由題意的圓心為，半徑為1，
而圓心（-3sinα，-3cosα），滿足（-3sinα）2+（-3cosα）2=9，
故圓心在以（0，0）圓心，半徑為3的圓上，
∴集合A對應(yīng)的幾何圖形為圓x2+y2=4和x2+y2=16之間的圓環(huán)區(qū)域，
由于原點(diǎn)到直線的距離為，所以直線恰好與圓環(huán)的小圓相切．
所以表示的是直線截圓環(huán)的大圓所得的弦長．
故點(diǎn)集所表示的軌跡長度為．故選D．
3.如圖，有6個半徑都為1的圓，其圓心分別為O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．記集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4，5，6}．若A，B為M的非空子集，且A中的任何一個圓與B中的任何一個圓均無公共點(diǎn)，則稱 (A，B) 為一個“有序集合對”(當(dāng)A≠B時，(A，B) 和 (B，A) 為不同的有序集合對)，那么M中 “有序集合對”(A，B) 的個數(shù)是
A．50 B．54 C．58 D．60
【答案】B
【詳解】
當(dāng)時，可以是集合的非空子集，有個．同理，當(dāng)或或時的情況類似，則總共有28種可能情況；
當(dāng)時，可以是集合的非空子集，有個．當(dāng)?shù)那闆r類似，則總共有6種可能情況；
當(dāng)時，可以是集合的非空子集，有個．當(dāng)?shù)那闆r類似，則總共有6種可能情況；
當(dāng)時， ．當(dāng)或或或或或或或或的情況類似，則總共有10種可能情況；
當(dāng)時， ．當(dāng)或或的情況類似，則總有4種可能．
鞏固練習(xí)
1.已知集合，若對于任意實(shí)數(shù)對，存在，使成立，則稱集合是“垂直對點(diǎn)集” .給出下列四個集合：
① ；
②；
③ ；
④.
其中是“垂直對點(diǎn)集”的序號是（ ）.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】
由題意可得：集合是“垂直對點(diǎn)集”，即滿足：曲線上過任意一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線，都存在過另一點(diǎn)與原點(diǎn)的直線與之垂直，對①、②、③、④逐個分析即可.
【詳解】
由題意知，若集合是“垂直對點(diǎn)集”，則對于任意，存在，使成立，因此，
①，其圖象向左向右和軸無限接近，向上和軸無限接近，據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，在圖象上任取一點(diǎn)，連，過原點(diǎn)作的垂線必與的圖象相交，即一定存在點(diǎn)，使得成立，故是“垂直對點(diǎn)集”；
②，（），取，則不存在點(diǎn)（），滿足，因此不是“垂直對點(diǎn)集”；
③，其圖象過點(diǎn)，且向右向上無限延展，向左向下無限延展，據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知，在圖象上任取一點(diǎn)A，連OA，過原點(diǎn)作的垂線必與的圖象相交，即一定存在點(diǎn)，使得成立，故是“垂直對點(diǎn)集”；
④，在圖象上任取一點(diǎn)，連，過原點(diǎn)作直線的垂線，因?yàn)榈膱D象沿軸向左向右無限延展，且與軸相切，因此直線總會與的圖象相交，故是“垂直對點(diǎn)集”，
綜上可得：只有①③④是“垂直對點(diǎn)集”．
故選：C
2.設(shè)平面點(diǎn)集，則所表示的平面圖形的面積為
【答案】
【詳解】
因?yàn)?br/>或
表示的面積如圖陰影部分，
利用圖形的對稱性可知所表示的平面圖形的面積為圓面積的一半.
故答案為.
3.設(shè)集合是實(shí)數(shù)集的子集，如果點(diǎn)滿足：對任意，都存在，使得，稱為集合的聚點(diǎn)，則在下列集合中：
①；②；③；④
以0為聚點(diǎn)的集合有______．
【答案】②③
【分析】
根據(jù)集合聚點(diǎn)的新定義，結(jié)合集合的表示及集合中元素的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】
由題意，集合是實(shí)數(shù)集的子集，如果點(diǎn)滿足：對任意，都存在，使得，稱為集合的聚點(diǎn)，
①對于某個，比如，
此時對任意的，都有或者，
也就是說不可能，從而0不是的聚點(diǎn)；
②集合，對任意的，都存在（實(shí)際上任意比小得數(shù)都可以），
使得，∴0是集合的聚點(diǎn)；
③集合中的元素是極限為0的數(shù)列，
對于任意的，存在，使，
∴0是集合的聚點(diǎn)；
④中，集合中的元素是極限為1的數(shù)列，除了第一項(xiàng)0之外，其余的都至少比0大，∴在的時候，不存在滿足得的，
∴0不是集合的聚點(diǎn)．
故答案為：②③．
4.設(shè)集合其中均為整數(shù)}，則集合_____..
【答案】M={0，1，3，4}.
【分析】
根據(jù)2x+2y＝2t，進(jìn)行提取2x，得到x，y的關(guān)系，根據(jù)整數(shù)關(guān)系進(jìn)行推理即可得到結(jié)論．
【詳解】
由得，則，且指數(shù)均為整數(shù)，因此右邊一定為偶數(shù)，則左邊即，且即.
為整數(shù)，則為2的約數(shù)，則，.故M={0，1，3，4}.
故答案為M={0，1，3，4}.
5.已知集合M＝，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
【答案】
【分析】
分別求得a＝0，a>0，a<0三種情況下，x的解集，根據(jù)題意，列出不等式，即可求得a的范圍.
【詳解】
由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)<0，
當(dāng)a＝0時，得，顯然不滿足題意，
當(dāng)a>0時，原不等式可化為，
若，則解得或，
所以只需滿足，解得；
若，則解得或，
所以只需滿足，解得9當(dāng)a<0時，當(dāng)時，(ax－5)(x2－a)<0恒成立，不符合題意，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
6.對于集合，給出如下三個結(jié)論：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正確結(jié)論的個數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
①根據(jù)，得出，即；
②根據(jù)，證明，即；
③根據(jù)，，證明．
【詳解】
解：集合，，，
對于①，，，
則恒有，
，即，，則，①正確；
對于②，，，
若，則存在，使得，
，
又和同奇或同偶，
若和都是奇數(shù)，則為奇數(shù)，而是偶數(shù)；
若和都是偶數(shù)，則能被4整除，而不能被4整除，
，即，②正確；
對于③，，，
可設(shè)，，、；
則
那么，③正確．
綜上，正確的命題是①②③．
故選．
7.設(shè)集合，且是單元素集合，若存在使點(diǎn)，則點(diǎn)所在的區(qū)域的面積為________.
【答案】
【分析】
先根據(jù)為單元素集合得到滿足，結(jié)合表示以為圓心的動圓面可得所在區(qū)域的面積.
【詳解】
因?yàn)闉閱卧丶?，所以有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
此時即.
因?yàn)?，故表示第三象限中的個圓周（不含端點(diǎn)）.
如圖所示：
設(shè)，因?yàn)?，故在以為圓心，1為半徑的圓面內(nèi)（含邊界），當(dāng)變化時，諸圓面構(gòu)成的圖形由兩個半圓面（半徑為1，圓心分別為，不含半圓周）和一個個圓面（半徑為2，圓心為，含邊界）構(gòu)成，
所以點(diǎn)所在的區(qū)域的面積為.
故答案為：.
8.記為偶函數(shù)，是正整數(shù)，，對任意實(shí)數(shù)，滿足中的元素不超過兩個，且存在實(shí)數(shù)使中含有兩個元素，則的值是__________．
【答案】4、5、6
【分析】
根據(jù) 偶函數(shù)，是正整數(shù)，推斷出的取值范圍，相鄰的兩個的距離是，依照題意列不等式組，求出 的值．
【詳解】
由題意得．∵為偶函數(shù)，是正整數(shù)，
∴，
∵對任意實(shí)數(shù)，滿足中的元素不超過兩個，且存在實(shí)數(shù)使中含有兩個元素，
∴中任意相鄰的兩個元素的間隔必小于1，任意相鄰的三個元素的間隔之和必大于1．
∴，解得，又，∴．答案：．
9.設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求解集合A中函數(shù)的定義域和集合B中的不等式，化簡兩個集合，再利用交集、補(bǔ)集的定義即得解
【詳解】
由題意，
或
故
故選：A
10.已知集合，若，則 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先解不等式，化簡集合，再由并集的結(jié)果，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)榛颍?br/>又，
所以只需，解得，
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故選：B.21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)專題1 集合
【題型一】集合的表示
【典例分析】
如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點(diǎn)，則集合中的元素個數(shù)（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【提分秘籍】
基本規(guī)律
列舉法，注意元素互異性和無序性
描述法，注意準(zhǔn)確理解集合元素，能理解不同符號的元素
【變式演練】
1.設(shè)集合，，，，則（ ）
A． B． C． D．
2.，若表示集合中元素的個數(shù)，則_______，則_______．
3.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)k，對定義域中的任意x，等式＝＋恒成立．現(xiàn)有兩個函數(shù)：，，則函數(shù)、與集合M的關(guān)系為___________________________ .
【題型二】 集合元素的特征
【典例分析】
已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性。
2.研究兩（多個）集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。
【變式演練】
1.已知集合,則下列四個元素中屬于M的元素的個數(shù)是（ ）
①;②;③;④
A．4 B．3 C．2 D．1
2.函數(shù)，則集合元素的個數(shù)有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
3.已知集合，集合的所有非空子集依次記為：，設(shè)分別是上述每一個子集內(nèi)元素的乘積，（如果的子集中只有一個元素，規(guī)定其積等于該元素本身），那么___________________．
【題型三】 集合的關(guān)系
【典例分析】
已知集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3，4，5}，B={4，5，6，7，8}，則是集合U的子集但不是集合A的子集，也不是集合B的子集的集合個數(shù)為____________ .
【提分秘籍】
基本規(guī)律
1.注意子集和真子集的區(qū)別和練習(xí)
2.判斷集合之間的關(guān)系：
（1）定義判斷
（2）數(shù)形結(jié)合判斷
【變式演練】
1.若，則集合的個數(shù)是．
A．4 B．3 C．2 D．8
2.設(shè)是全集，若，則下列關(guān)系式一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3.已知集合若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型四】 集合的運(yùn)算
【典例分析】
已知集合，，，則（ ）
A． B． C． D．
【提分秘籍】
基本規(guī)律
注意并集與交集的大小關(guān)系
補(bǔ)集和全集是不可分割的兩個概念
【變式演練】
1.已知，，若，則a的取值范圍是（ ）.
A． B．或
C．或 D．以上答案都不對
2.已知， ，若集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3.若，，定義，
則
A． B． C． D．
【題型五】 集合與排列組合概率
【典例分析】
已知非空集合，設(shè)集合，.分別用、、表示集合、、中元素的個數(shù)，則下列說法不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則可能為18 D．若，則不可能為19
【提分秘籍】
基本規(guī)律
利用排列組合思想求集合或者集合中元素的個數(shù)，需要運(yùn)用邏輯分析和轉(zhuǎn)化化歸的思想
【變式演練】
1.設(shè)，與是的子集，若，則稱為一個“理想配集”.那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定與是兩個不同的“理想配集”的個數(shù)是（ ）
A．16 B．9 C．8 D．4
2.已知集合，若A，B是P的兩個非空子集，則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(A,B)的個數(shù)為（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
3.設(shè)集合，選擇A的兩個非空子集B和C，要使C中最小的數(shù)大于B中的最大數(shù)，則不同的選擇方法有________；
【題型六】 新定義
【典例分析】
用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【提分秘籍】
解題思路
1.新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方法并不難，難在“翻譯”
2.新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計(jì)算公式，新的運(yùn)算法則，新的定理”，要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法理解。
【變式演練】
1.定義，設(shè)、、是某集合的三個子集，且滿足，則是的（ ）
A．充要條件 B．充分非必要條件
C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件
2.已知集合，若A，B是P的兩個非空子集，則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(A,B)的個數(shù)為（ ）
A．49 B．48 C．47 D．46
3.在元數(shù)集中，設(shè)，若的非空子集滿足，則稱是集合的一個“平均子集”，并記數(shù)集的元“平均子集”的個數(shù)為．已知集合，，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型七】 集合與圓和圓錐曲線
【典例分析】
設(shè)集合，（）.當(dāng)有且只有一個元素時，則正數(shù)的所有取值為（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
【提分秘籍】
基本規(guī)律
注意解析幾何中公式的形式及應(yīng)用
數(shù)形結(jié)合。
【變式演練】
1.已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．
2.設(shè)集合， ，記，則點(diǎn)集所表示的軌跡長度為（ ）
A． B． C． D．
3.如圖，有6個半徑都為1的圓，其圓心分別為O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．記集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4，5，6}．若A，B為M的非空子集，且A中的任何一個圓與B中的任何一個圓均無公共點(diǎn)，則稱 (A，B) 為一個“有序集合對”(當(dāng)A≠B時，(A，B) 和 (B，A) 為不同的有序集合對)，那么M中 “有序集合對”(A，B) 的個數(shù)是
A．50 B．54 C．58 D．60
鞏固練習(xí)
1.已知集合，若對于任意實(shí)數(shù)對，存在，使成立，則稱集合是“垂直對點(diǎn)集” .給出下列四個集合：
① ；
②；
③ ；
④.
其中是“垂直對點(diǎn)集”的序號是（ ）.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2.設(shè)平面點(diǎn)集，則所表示的平面圖形的面積為
3.設(shè)集合是實(shí)數(shù)集的子集，如果點(diǎn)滿足：對任意，都存在，使得，稱為集合的聚點(diǎn)，則在下列集合中：
①；②；③；④
以0為聚點(diǎn)的集合有______．
4.設(shè)集合其中均為整數(shù)}，則集合_____..
5.已知集合M＝，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
6.對于集合，給出如下三個結(jié)論：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正確結(jié)論的個數(shù)是
A．0 B．1 C．2 D．3
7.設(shè)集合，且是單元素集合，若存在使點(diǎn)，則點(diǎn)所在的區(qū)域的面積為________.
8.記為偶函數(shù)，是正整數(shù)，，對任意實(shí)數(shù)，滿足中的元素不超過兩個，且存在實(shí)數(shù)使中含有兩個元素，則的值是__________．
9.設(shè)，，則（ ）
A． B． C． D．
10.已知集合，若，則 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
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