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專題04 導數的綜合應用5種常考題型歸類
利用導數證明不等式
1．（22-23高二下·北京·期中）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據導數的幾何意義求切線方程即可；
（2）構造函數，利用導函數與單調性、最值的關系即可證明.
【詳解】（1）,，
,所以切點為，由點斜式可得，，
所以切線方程為：.
（2）由題可得，
設，
，
所以當時，，
當時，，
所以在單調遞增，單調遞減，
所以，
即.
2．（21-22高二下·北京·期中）已知函數.
(1)討論函數的單調性；
(2)當時，記函數的最小值為，求證：.
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析.
【分析】（1）求導后，分類討論，利用導數的符號可求出結果；
（2）根據（1）的單調性求出，再利用導數可證不等式成立.
【詳解】（1）的定義域為，
,
當時，令，得，令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
當時，令，得，令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）當時，由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
，
令，得，令，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以.
3．（21-22高二下·北京·期中）已知函數
(1)若在上單調遞增，求實數a的取值范圍.
(2)若，求證：當時，
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題設，根據恒成立求a的取值范圍.
（2）對求導，構造利用導數研究單調性和極值，根據極值的符號及零點存在性求上變號零點的范圍，結合零點作代換判斷的極小值符號，即可證結論.
【詳解】（1）由題設，則，
又在上單調遞增，即在上恒成立，
所以.
（2）由，令，則，
所以上，遞減；上，遞增；
則，又，則，而，
所以上有一個變號零點，則上，即，遞減；上，即，遞增；
則，又，
所以，而，，
所以，則，故，
則，當時得證.
4．（22-23高二下·北京東城·期中）已知函數．
(1)時，求函數在處的切線方程；
(2)討論函數的單調性；
(3)證明不等式恒成立．
【答案】(1)
(2)當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
(3)證明見解析.
【分析】（1）求出切點坐標，用導數的幾何意義求出切線斜率即可求解；
（2）求出導函數后對的值進行分情況討論即可求；
（3）用切線不等式可證得結果.
【詳解】（1）時，，依題意切點坐標為，
，所以函數在處的切線的斜率為，
故函數在處的切線方程為，即.
（2）的定義域為，，
當時，恒成立，所以在上單調遞增；
當時，令，得，
時，，單調遞增，
時，，單調遞減.
綜上所述，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
（3）要證恒成立，即證恒成立，
令，，由（2）可知，
在上單調遞增，在上單調遞減，
所以恒成立，
即有時恒成立，當且僅當時取“=”號，
亦有即恒成立，當且僅當，即時取“=”號.
所以一方面，當且僅當，即時取“=”號，
另一方面恒成立，當且僅當時取“=”號，
所以恒成立，原不等式得證.
5．（23-24高三上·北京通州·期中）已知函數，，.
(1)求的值；
(2)求在區間上的最大值；
(3)當時，求證：對任意，恒有成立.
【答案】(1)
(2)時，，
時，
時， ，
(3)證明見解析
【分析】（1）求導即可代入求解，
（2）分類討論，即可根據導數求解函數的單調性并求解最值，
（3）將問題轉化為，對分類討論，構造函數，求導確定函數的單調性，即可利用單調性求解最值求證.
【詳解】（1）由得，所以，
（2）由得，
當時，，故在區間上單調遞增，所以，
當時，令，則，令，則，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，，此時在區間上單調遞減，所以，
當時，，此時在區間上單調遞增，所以，
當時，，此時在區間上單調遞增，在單調遞減，
綜上可得：時，，
時，
時， ，
（3）要證，即證，
即證明，
當時，，而，所以，
當時，記，則，
記，
由于，
所以當單調遞增，所以，
故在單調遞增，故，故，
綜上，對任意，恒有
【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式的基本步驟
(1)作差或變形；
(2)構造新的函數；
(3)利用導數研究的單調性或最值；
(4)根據單調性及最值，得到所證不等式．
6．（23-24高三上·北京·期中）已知函數．
(1)求函數的單調區間；
(2)已知m，n是正整數，且，證明．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）求導，令導數為0，結合定義域對進行討論即可；
（2）兩邊取對數，整理后，構造函數，證明為上的減函數，即可求解.
【詳解】（1）
函數的定義域為，，
①當時，在上恒成立，的減區間為，無增區間；
②當時，令，解得，令，解得，
所以的增區間為，減區間為．
綜上，當時，的減區間為，無增區間；
當時，的增區間為，減區間為．
（2）
兩邊同時取對數，證明不等式成立等價于證明，
即證明，
構造函數，
令，由（1）知，當時，在上為減函數，故，
所以，所以為上的減函數，
因為，知，即，即．
7．（22-23高二下·北京大興·期中）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設，求證：當時，；
(3)對任意的，判斷與的大小關系，并證明結論．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)，證明見解析
【分析】（1）利用導數的幾何意求解即可；
（2）對求導，可判斷出當時，，則在區間上單調遞減，從而可證得結論；
（3）不妨假設中的定值，令，，對函數求導后可判斷在上單調遞減，則，從而可比較出大小.
【詳解】（1）由，
得．
因為，．
所以曲線在點處的切線方程為．
（2）依題意，．
所以．
當時，，
所以．
所以函數在區間上單調遞減．
因為，
所以當時，．
（3）不妨假設中的定值，令，，
則，，．
由（2）知，在區間上單調遞減，
因為，所以．
從而在上單調遞減．
因為，
所以當時，，即．
綜上，對任意的，有
【點睛】關鍵點睛：此題第（3）問解題的關鍵是假設中的定值，令，，然后利用導數求出其單調區間，從而得結果.
8．（22-23高二下·北京大興·期中）已知函數，．
(1)若曲線在點處的切線方程為，求的值；
(2)設函數，證明：的圖象在的圖象的上方．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用導數的幾何意義根據題意列方程組可求得答案；
（2）令，，將問題轉化為證明對任意的，恒成立，等價于證明當，的最小值大于零，然后利用導數求的最小值即可.
【詳解】（1）因為，，
所以．
依題設，，，且．
解得，．
（2）令， ，
證明的圖象在圖象的上方，
等價于證明對任意的，恒成立，
等價于證明當，的最小值大于零．
由，得，，
令，則，
且當時，．
所以在區間上單調遞增，
因為，，
所以在區間上存在唯一零點，
所以，即．
當時，，當時，，
所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以．
因為，且，
所以．
因為，所以．
故．
所以．
故對任意的，恒成立，
即的圖象在圖象的上方．
【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的綜合應用，考查導數的幾何意義，考查利用導數證明不等式，解題的關鍵是將問題轉化為證明對任意的，恒成立，然后利用導數求的最小值即可，考查數學轉化思想和計算能力，屬于較難題.
利用導數研究不等式恒成立問題
9．（22-23高一下·北京·期中）已知函數，其中.
(1)若曲線在點處的切線是軸，求的值；
(2)當時，求證：；
(3)若對，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據導數幾何意義可知，由此可構造方程求得的值；
（2）分別構造函數、，利用導數可求得的單調性和最值，從而得到，進而證得結論；
（3）當時，可得，由（2）可知滿足題意；當時，由可說明
不合題意，由此可得結論.
【詳解】（1），；
在點處的切線為軸，，即，.
（2）當時，；
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，
，即；
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞減，在上單調遞增，
，即；
，即，.
（3）當時，，，；
由（2）知：當時，，恒成立，滿足題意；
當時，，，；
則當時，，與恒成立矛盾，不合題意；
綜上所述：實數的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數幾何意義、不等式的證明和恒成立問題的求解；本題求解恒成立問題的關鍵是采用放縮法，結合（2）中所證不等式來根據恒成立的不等式確定參數的范圍.
10．（21-22高二下·北京·期中）已知函數．
(1)求證：
(2)設，若在區間內恒成立，求k的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)1
【分析】（1）構造函數，利用函數的導數，通過函數的最值判斷證明即可．
（2）設，利用函數的導數，在區間求解函數的最值，推出k的最小值．
【詳解】（1）證明：函數．所以，
令，
可得，令，可得，
當時，，函數是增函數，
當時，，函數是減函數，
所以時，函數取得最大值：，
所以，即．
（2）設，若在區間內恒成立，
即：，令，
可得，
當時，，函數是增函數，當時，，函數是減函數，所以時，函數取得最大值：，
可得，k的最小值為1．
11．（22-23高三上·北京順義·期中）已知函數.
(1)當時，求的單調增區間；
(2)當時，求證：在上是增函數；
(3)求證：當時，對任意，.
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)見解析.
【分析】（1）求出函數的導數，討論其符號后可得函數的單調性；
（2）利用判別式可判斷導數的符號，從而可證函數在上是增函數；
（3）結合（1）的討論可求函數的最小值，從而可證不等式成立.
【詳解】（1），
當時，，
當或時，；當時，，
故的增區間為，減區間為.
（2）設，則，
當時，，故恒成立且不恒為零，
故在上恒成立且不恒為零，故在上為增函數.
（3），
當時，；當時，，
故在上為減函數，在上為增函數，
故在上，，
故成立.
12．（23-24高三上·北京·期中）已知函數，曲線在點處的切線為．
(1)求的方程；
(2)判斷曲線與直線的公共點個數，并證明；
(3)若，令，求證：對任意的，都有成立．
【答案】(1)
(2)公共點個數為1個，證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）對函數求導，求出切線斜率，寫出方程即可；
（2）構造新函數對函數二次求導列表分析由零點個數確定曲線與直線的公共點個數即可；
（3）將代入函數中，由（2）得出函數單調性求出函數在上的值域，然后結合函數分析即可證明.
【詳解】（1），
所以切線方程為，
即；
（2）令，
，
令，
令，得，
0
0
↘ 極小值 ↗
所以，即恒成立，
為上的增函數．
又，所以只有唯一零點0，
即曲線與直線l的公共點個數為1個．
（3）當時，函數，由（2）知，
在上單調遞減，在上單調遞增，
又，
所以的值域為，
對任意的，
都有，
所以．
【點睛】方法點睛：函數導數問題，通常有以下幾類考法
（1）利用函數導數求函數在某點處的切線方程
（2）利用函數導數求函數（含參）的單調區間或判斷函數的單調性
（3）證明不等式成立
（4）求極值、最值等
方法：對函數求導利用函數導數進行分析求解，遇到含參數的函數需要對其進行分類討論，有時候還需要進行二次求導.
13．（22-23高三上·北京朝陽·期中）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區間上恒成立，求的取值范圍；
(3)試比較與的大小，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據導數的幾何意義即可求解；
（2）將在區間上恒成立，轉化為，令，問題轉化為，利用導數求函數即可得解；
（3）由（2）知，時，在區間上恒成立，取，可得解.
【詳解】（1）當時，，
，
所以曲線在點處切線的斜率，又，
所以曲線在點處切線的方程為即.
（2）在區間上恒成立，即，對，
即，對，
令，只需，
，，
當時，有，則，
在上單調遞減，
符合題意，
當時，令，
其對應方程的判別式，
若即時，有，即，
在上單調遞減，
符合題意，
若即時，，對稱軸，又，
方程的大于1的根為，
，，即，
，，即，
所以函數在上單調遞增，，不合題意.
綜上，在區間上恒成立，實數的取值范圍為.
（3）由（2）知，當時，，在區間上恒成立，
即，對，
取代入上式得，化簡得.
14．（23-24高三上·北京通州·期中）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求的極值；
(3)若對于任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)極小值為，無極大值
(3)
【分析】（1）求導，即可得斜率，進而可求直線方程，
（2）求導，根據導數求解單調性，即可求解極值，
（3）將恒成立問題參數分離，構造函數即可求導求解最值求解.
【詳解】（1）由得，又，
所以在切線為
（2）令，則，故在單調遞增，
當時，單調遞減，
所以當時，取極小值，無極大值，
（3）由得，
故，
構造函數則，令，則，
故當時，，單調遞增，時，單調遞減，
故當取極小值也是最小值，，
所以，即
15．（23-24高三上·北京·期中）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求函數的零點個數；
(3)若對于任意，恒成立，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)有且僅有兩個零點
(3)
【分析】（1）把代入得切點坐標，代入得切線斜率，利用導數的幾何意義，求曲線在點處的切線方程；
（2）利用導數求函數單調性，結合函數極值，求零點個數；
（3）由函數的極小值，恒成立，當時，可得恒成立；當時，若，不成立，可得的取值范圍．
【詳解】（1）函數，因為，所以切點為，
由，得，即曲線在點處的切線斜率為0，
所以曲線在點處的切線方程為．
（2）由（1）可知，
因為，所以，令，則．
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
又因為，，
所以，由零點存在定理可知，存在唯一的使得，存在唯一的使得．故函數有且僅有兩個零點．
（3）由（2）可知，，
即恒成立，即恒成立．
所以當時，恒成立，
下證當時，存在，使得．
令
因為，
故當時，對于任意不恒成立．
故．
16．（23-24高三上·北京·期中）已知函數.
(1)若，求曲線在點處的切線；
(2)討論的單調性；
(3)當時，若對任意實數，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）代入函數解析式，利用導數的幾何意義求曲線在點處的切線；
（2）利用導數，對分類討論，求的單調區間；
（3）由恒成立，結合函數的極值，求的取值范圍.
【詳解】（1）時，函數，則，切點坐標為，
，則曲線在點處的切線斜率為，
所求切線方程為，即.
（2），函數定義域為R，
①，解得或，解得，
所以在和上單調遞增，在上單調遞減，
②，解得或，解得，
所以在和上單調遞增，在上單調遞減，
③，恒成立，在上單調遞增.
（3）當時，由（2）可知為在上的極小值，也是最小值.
于是，所以
當且時，
由于函數的圖像拋物線開口向上，對稱軸大于0，
因此，此時，符合題意.
所以的取值范圍為.
利用導數研究能成立問題
17．（21-22高二下·北京·期中）已知，若在區間上存在，使得成立，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題知，函數在區間不是單調函數，進而轉化為在上有解問題求解即可.
【詳解】解：，
因為在區間上存在，使得成立，
所以函數在區間不是單調函數，
所以在上有解，
所以在上有解，
所以.
所以，實數a的取值范圍是.
故答案為：
18．（21-22高二下·北京·期中）已知函數，若存在，使得成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用導數判斷函數的單調性，并求出最大值，由已知條件列不等式即可求解.
【詳解】的定義域為，
，
∵當時， ，當時， ，
∴在上單調遞增，在上單調遞減，
即，
又∵存在，使得成立，
∴ ，解得，
則實數的取值范圍為，
故選：D.
19．（22-23高二下·北京·期中）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)求的極值；
(3)若存在，，使得，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)當時，無極值，當時，有極小值，無極大值.
(3)
【分析】（1）當時，，計算，由導數的幾何意義可得曲線在點處的切線斜率為，進而可得答案.
（2）求導得，分兩種情況：和，各自分析的符號，的單調性，即可得出答案.
（3）令在上的最大值為，最小值為，存在，使得成立，即或，由于，，只需，由（2）可知在上單調或先單調遞減后遞增，為與中的較大者，只需或，即可得到答案.
【詳解】（1）當時，，，
則，
所以曲線在點處的切線斜率為，
所以曲線在點處的切線方程為.
（2）由題，，
當時，恒成立，則在上單調遞減，無極值；
當時，令，得，
所以在上，單調遞減，
在上，單調遞增，
所以有極小值，無極大值.
綜上，當時，無極值，
當時，有極小值，無極大值.
（3）令在上的最大值為，最小值為，
所以由題知，存在，使得成立，
即或，
當，，
所以存在，使得成立，只需，
由（2）知：在上單調遞減，或先單調遞減后遞增，
所以為與中的較大者，
所以只需或，即可滿足題意，
即或，
解得或，
綜上所述，的取值范圍為.
【點睛】關鍵點點睛：第三問將問題轉化為函數不等式在區間內能成立問題為關鍵.
20．（22-23高二下·北京·期中）已知函數，.
(1)求的單調區間；
(2)若存在（是常數，）使不等式成立，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)的遞減區間是，遞增區間是
(2)
【分析】（1）求得，令，求得，結合導數的符號，即可求得函數的單調區間；
（2）把不等式轉化為則有解，設，即，求得，求得函數的單調性與最大值，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數的定義域為，且，
令，解得，
所以，，的對應值表為
x
- 0 +
極小值
所以的遞減區間是，遞增區間是.
（2）解：由不等式，可得，則
設，
因為存在，恒成立，所以
又由，令，解得或（舍去）
根據的對應值表
x 1
- 0 +
極小值
所以函數在區間上是減函數，在區間上是增函數，
所以，
因為，，所以，
所以.
【點睛】方法技巧：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；
2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．
3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．
利用導數研究函數的零點
21．（20-21高二下·北京·期中）設函數，則“”是“有個零點”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】求出函數的導數，探討函數的極值情況，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.
【詳解】函數定義域為R，求導得，
當，即時，恒成立，函數在R上單調遞增，最多1個零點，
當，即時，方程有兩個不等實根，
當或時，，當時，，
因此函數在取得極大值，在取得極小值，
當且時，函數有3個零點，
由上，當時，不能確保函數有3個零點，
反之函數有3個零點，由三次函數性質知，必有兩個極值點，，即，
所以“”是“有個零點”的必要而不充分條件.
故選：B
22．（23-24高二上·北京·期中）已知函數，曲線在處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)求函數的定義域及單調區間；
(3)求函數的零點的個數．
【答案】(1)
(2)；遞增區間為，單調遞減區間為,；
(3)1
【分析】（1）求出函數的導數，根據導數的幾何意義列出相應的等式，即可求得答案；
（2）根據函數解析式可求得其定義域；結合（1）的結果，可得函數的導數的表達式，判斷導數的正負，即可求得單調區間；
（3）結合（2）的結論以及零點存在定理，即可判斷函數零點個數.，
【詳解】（1）由函數可知其定義域為，
則，故，，
因為曲線在處的切線方程為，
故，，
解得；
（2）由（1）可知，需滿足，
則其定義域為；
而，
由于，令，解得，
令，解得且，
即的遞增區間為，單調遞減區間為,；
（3）由（2）可知時，取得極大值，
當且x無限趨近于0時，的值趨向于負無窮大，
即在區間內無零點；
當且x無限趨近于0時，的值趨向于正無窮大，
當且x無限趨近于1時，的值趨向于負無窮大，
由此可作出函數的圖象：

結合
，
，
可知在內的零點個數為1.
【點睛】難點點睛：解答本題的難點是判斷函數的零點個數時，要結合函數的單調性以及零點存在定理去判斷，特別是特殊值的選取以及正負判斷，計算比較復雜.
23．（21-22高二下·北京東城·期中）已知函數，.
(1)當時，求函數在點處的切線方程；
(2)求在區間上的最小值；
(3)當時，求函數的零點個數.（只需寫出結論）
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)1
【分析】（1）由題意首先求得切點坐標和切線的斜率，然后計算切線方程即可；
（2）首先求得導函數的解析式，然后分類討論確定函數的最值即可；
（3）結合函數的性質給出函數零點的個數即可.
【詳解】（1）當時，，，
故，，
切線方程為.
（2）由函數的解析式可得，
當時，在區間上恒成立，函數單調遞增，
函數的最小值為，
當時，在區間上恒成立，函數單調遞減，
函數的最小值為，
當時，
在區間上恒成立，函數單調遞減，
在區間上恒成立，函數單調遞增，
函數的最小值為.
綜上可得：當時，函數的最小值為，
當時，函數的最小值為，
當時，函數的最小值為.
（3）當時，函數的零點個數為1個.
證明：①當時，令解得，
即在上只有一個零點；
②當時，由（2）知
在上單調遞減，在上單調遞增，
故，
而，
故在上只有一個零點；
③當時，，
在上單調遞增，且連續不間斷，
且，
故在上只有一個零點，且零點所在區間為.
綜上所述，當時，在上只有一個零點。
24．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若對恒成立，求a的取值范圍；
(3)證明：若在區間上存在唯一零點，則．
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）討論、，結合導數的符號確定單調區間；
（2）由，討論、研究導數符號判斷單調性，進而判斷題設不等式是
否恒成立，即可得參數范圍；
（3）根據（2）結論及零點存在性確定時在上存在唯一零點，由零點性質及區間單調性，應用分析法將問題轉化為證在上恒成立，即可證結論.
【詳解】（1）由題設，
當時，令，則，
若，則，在上遞減；
若，則，在上遞增；
綜上，時的遞減區間為，遞增區間為.
（2）由，
當時，在上恒成立，故在上遞增，則，滿足要求；
當時，由（1）知：在上遞減，在上遞增，而，
所以在上遞減，在上遞增，要使對恒成立，
所以，只需，
令且，則，即遞減，
所以，故在上不存在；
綜上，.
（3）由（2）知：時，在恒有，故不可能有零點；
時，在上遞減，在上遞增，且，
所以上，無零點，即，且趨向于正無窮時趨向正無窮，
所以，在上存在唯一，使，
要證，只需在上恒成立即可，
令，若，則，
令，則，即在上遞增，故，
所以，即在上遞增，故，
所以在上恒成立，得證；
故.
【點睛】關鍵點點睛：第三問，通過討論確定在某一單調區間上存在唯一零點的a的范圍后，應用分析法證恒成立即可.
25．（22-23高二下·北京通州·期中）已知函數．
(1)求的零點；
(2)設，．
（ⅰ）若在區間上存在零點，求a的取值范圍；
（ⅱ）當時，若在區間上的最小值是0，求a的值．
【答案】(1)零點是0；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）a的值為．
【分析】（1）由即可求解零點；
（2）（ⅰ）對求導，再對分類討論，判斷函數的單調性，結合零點存在性定理即可求解的范圍；
（ⅱ）對分類討論，求出的最小值，從而可得的值．
【詳解】（1）因為，
令，即，
解得，
所以的零點是0；
（2）（ⅰ）因為，所以，所以，
①當時，．所以在區間上單調遞增．
所以．
所以在區間上不存在零點，不符合題意．
②當時，令，即，得．
若，即時，．所以．
所以在區間上單調遞增．
又，所以在區間上不存在零點，不符合題意．
若，即時，令，得；令，得．
所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．
因為，所以存在，使得．
當，．
所以存在，使得．
由零點存在性定理，存在，使得．
所以在區間上存在零點．
綜上所述，a的取值范圍是；
（ⅱ）當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．
所以當時，取得極小值，也是最小值．
①當，即時，在區間上單調遞增．
所以在區間上最小值為．
所以．
所以．
②當，即時，在區間上單調遞減．
所以在區間上最小值為．
所以．
所以，不符合題意．
③當，即時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．
所以在區間上最小值為．
所以，即．
令，
所以．
所以在區間上單調遞減．
因為，
所以在區間上無零點．
所以當時，方程無解，不符合題意．
綜上所述，a的值為．
【點睛】方法點睛：函數零點的求解與判斷方法：
(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間上是連續不斷的曲線，且，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點．
(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
26．（22-23高二下·北京·期中）已知函數，其中且.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)求函數的單調區間；
(3)若函數沒有零點，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)
【分析】（1）利用導數的幾何意義求切線方程；
（2）首先求函數的導數，分，和三種情況，討論函數的單調性；
（3）根據（2）的結果，由單調性確定函數的最值，根據函數無零點，確定的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，所以，
因此切線的斜率，
又因為，所以切點為，
所以切線方程為,即.
（2）因為的定義域為，，
①當時，令，解得，
因為，所以
當x變化時，、變化情況如下表：
x
+ 0 -
↗ 極大值 ↘
所以時，的單調增區間為，單調減區間為
②當時，的定義域為，
因為，，所以，
所以在定義域上單調遞減，
所以時，沒有單調增區間，單調減區間為，
③當時，的定義域為，
令，解得，
因為，所以，
當x變化時，、變化情況如下表：
x
+ 0 -
↗ 極大值 ↘
所以時，的單調增區間為，單調減區間為，
綜上所述，時，的單調增區間為，單調減區間為，
時，沒有單調增區間，單調減區間為，
時，的單調增區間為，單調減區間為；
（3）由第（2）問的結論知，
①當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以，
因為，所以，所以，因此；
所以當時，函數沒有零點，符合題意；
②當時，在定義域上單調遞減，
，，
下面證明：
構造函數，因為，
當時，，
所以在上單調遞減，所以，
即，
因為在定義域上單調遞減，，，
因此當時，函數恰好有1個零點，不符合題意；
③當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
所以，注意到且，
所以要使函數沒有零點，必須有，解得；
又因為，所以；
即：當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
，
故函數沒有零點，符合題意；
綜上所述，實數a的取值范圍為.
【點睛】關鍵點睛：本題考查導數與函數性質，零點問題的綜合應用，本題第二問，不僅要考慮討論，同時還需注意定義域的變化，第三問的關鍵在第二問討論的基礎上，也需分情況討論函數的最值，由函數無零點，證明不等關系.
27．（21-22高二下·北京·期中）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)若在上有且只有一個零點，求在上的最大值與最小值的和．
【答案】(1)答案見解析；
(2).
【分析】（1）先對函數求導，對分類討論，即可得出函數單調性；
（2）由（1）可得函數極值點，根據函數有且只有一個零點可判斷零點即為極小值點，據此求出，再由函數單調性求出函數最大值與最小值即可得解.
【詳解】（1），
當時，，∴在R上是單調增函數.
當，此時，當或時，，時，，
在和上單調遞增，在上單調遞減.
當時，，當或，，，，
在和上單調遞增，在上單調遞減.
綜上，當時，在R上是單調增函數，
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，
當時，在和上單調遞增，在上單調遞減.
（2）由（1）知，當時，在上單調遞增，又，
所以此時在內無零點，不滿足題意；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
又在內有且只有一個零點，所以，得，
所以,則，
當時，，單調遞增，當時,，單調遞減.
則，則，
所以在上的最大值與最小值的和為.
28．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函數，其中．
(1)當時，求函數的極小值；
(2)求函數的單調區間；
(3)證明：當時，函數有且僅有一個零點．
【答案】(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求導，求出函數的單調區間，再根據極小值的定義即可得解；
（2）求導，再分，和三種情況討論，即可得解；
（3）由（2）得當時，在上單調遞增，在上單調遞減，則函數的極大值為，再利用導數證明極大值即可得證.
【詳解】（1）當時，，
，
當或時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以函數的極小值為；
（2），
令，得，
當時，，則函數在上單調遞增，
當時，或時，，時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，或時，，時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
綜上所述，當時，的單調增區間為，無單調減區間；
當時，的單調增區間為，減區間為；
當時，的單調增區間為，減區間為；
（3）由（2）得當時，
在上單調遞增，在上單調遞減，
則函數的極大值為，
極小值為，
令，則，
所以在上單調遞增，
所以，
所以當時，，
又當時，，當時，，
如圖，作出函數的大致圖象，
由圖可得函數有且僅有一個零點．
【點睛】方法點睛：利用導數求解函數單調區間的基本步驟：
（1）求函數的定義域；
（2）求導數；
（3）解不等式，并與定義域取交集得到的區間為函數的單調增區間；解不等式，并與定義域取交集得到的區間為函數的單調減區間.
29．（22-23高三上·北京通州·期中）已知函數設，若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先把函數零點問題轉化成兩個函數圖象有交點問題，再畫出圖象，結合導函數求出兩個函數有一個交點時實數的值，再結合圖象分析有兩個交點時實數的取值范圍.
【詳解】因為函數有兩個零點，所以函數的圖象與函數的圖象有兩個不同的交點.
函數恒過定點,，如圖所示，兩個函數圖象已經有一個交點.
時，，其導函數，當直線與函數相切時，只有一個交點，此時，解得，則當時，有兩個交點.
時，，其導函數，當直線與函數相切時，只有一個交點，此時，解得，則當時，有兩個交點.
綜上，要使函數有兩個零點，則實數的取值范圍是.
故選：D.
30．（22-23高二下·北京順義·期中）已知函數，.
(1)求的單調區間；
(2)若有兩個零點，求的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）先對函數求導，結合導數與單調性關系對進行分類討論可求；
（2）結合（1）中函數的單調性，再由函數零點判定定理可求.
【詳解】（1）函數的定義域為，
導函數，
當時，恒成立，在定義域上單調遞增；
當時，令，解得，
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減，
綜上所述，當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
（2）由（1）得，當時，在定義域上單調遞增，不可能有兩個零點，不符合題意；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
當時，，時，，
若函數有兩個零點，則，解得，
故的取值范圍為
【點睛】關鍵點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．
31．（22-23高二下·北京東城·期中）已知函數．
(1)設；
①求單調區間；
②試問有極大值還是極小值？并求出該極值．
(2)若在上恰有兩個零點，求的取值范圍．
【答案】(1)①在上單調遞增，在上單調遞減；②有極大值，無極小值
(2)
【分析】（1）①求導，然后解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間；②根據函數的單調性
即可求解極值問題．
（2）由題意，轉化為方程有兩個解，即直線與函數，有兩個交點，構造，求導得到其單調性，數形結合，即可求出的取值范圍．
【詳解】（1）當時，，，
則，
令，得，令，得，
在上單調遞增，在上單調遞減；
結合當時，函數有極大值，無極小值．
（2）因為函數在上恰有兩個零點，
所以方程在上有兩個解，
即在上有兩個解，
記，，
則直線與函數，有兩個交點，
則，
記，
則，
令，得，令，得，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
令得，又，，
所以當時，，，函數單調遞增，
當時，，，函數單調遞減，
又，，，
如圖，

由圖知，要使直線與函數，
有兩個交點，則，
所以函數在上恰有兩個零點時，的取值范圍為．
【點睛】方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；
（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.
利用導數研究方程的根
32．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知關于x的方程．當時，方程的實數根為 ．若方程在內有兩個不等的實數根，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】第一空：化簡方程轉化為的零點問題，利用導數判斷其單調性即可；
第二空：化簡方程為函數與函數在上有兩個交點，結合直線的斜率與圖象即可得到結果.
【詳解】當時，原方程
令，易知在上單調遞增，在上單調遞減，又，故只有一個根；
問題轉化為：函數與函數在上有兩個交點，
顯然是其中一個交點，
又由上知時只有一個交點，不符要求；
顯然時兩函數只有一個交點，不符要求；
當時，更平緩，由圖象可得其與在存在一個交點，符合要求；
當，更陡峭，由圖象可得當時兩函數交點橫坐標超過，符合要求；
故
故答案為：；
33．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函數，則方程的解的個數為 .
【答案】3
【分析】分區間計算方程，根據方程的跟的數量即可判斷解的個數.
【詳解】當時，，令可得或，
解得或，
因為，所以當時，的解有2個；
當時，，令可得，
設，則，令，解得，
故在單調遞增，單調遞減，
其中，在無零點，
，在有一個零點，
即當時，的解有1個；
綜上方程的解的個數為：3.
故答案為：3.
34．（22-23高二下·北京房山·期中）設函數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若已知，且的圖象與相切，求b的值；
(3)在（2）的條件下，的圖象與有三個公共點，求m的取值范圍（不寫過程）．
【答案】(1)單調遞增區間為和，單調遞減區間為
(2)3
(3)
【分析】（1）代入的值，求出的解析式，求出函數的導數，即可求出函數的單調區間；
（2）求出函數的導數，設出求出方程，得到關于的方程，解出即可；
（3）問題轉化為，求出函數的單調性和極值，寫出的范圍即可．
【詳解】（1）當時，，則，
當或時，；當時，，
所以f(x)的單調遞增區間為和，單調遞減區間為．
（2）因，
則，
設函數與直線相切的切點是，
因為，所以，
所以有，
可得，
又，相減得，
所以，所以，
解得：；
（3）時，，
的圖象與有三個公共點，即方程有三個實數根，
設函數，則，
時，或；時，，
在和上單調遞增，在上單調遞減，
時取極大值，時取極小值，
所以的取值范圍為．
【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．
35．（22-23高二下·北京大興·期中）已知函數．
(1)求的極值；
(2)比較的大小，并畫出的大致圖像；
(3)若關于的方程有實數解，直接寫出實數的取值范圍．
【答案】(1)極小值，無極大值
(2)，作圖見解析
(3)
【分析】
（1）求導，分析導函數的符號，得出單調性和極值；
（2）利用（1）中的單調性和指數函數的符號進行判斷；
（3）結合（2）的圖像，將方程解的個數轉化為圖像的交點的個數
【詳解】（1）
的定義域為，，
于是時，單調遞增；
時，單調遞減，
又，則在處取到極小值，無極大值.
（2）
由（1）知，在區間上單調遞減．故．
又因為當時，，故，所以．
因為，所以．結合（1）中的單調性，大致圖像如下：
（3）的解的個數可以看成和直線在同一坐標系下圖像交點的個數，
由（2）的圖像知，當的取值不小于最小值即可，即
36．（22-23高二下·北京·期中）已知函數.
(1)求的單調區間；
(2)求在區間上的最大值和最小值.
(3)若方程有三個根，寫出k的取值范圍（無需解答過程）.
【答案】(1)增區間為和，減區間為
(2)，
(3)
【分析】
（1）利用導數求出函數單調區間；
（2）根據函數的增減性確定函數的最值；
（3）由函數圖象的變化情況，結合函數的極值得出結論.
【詳解】（1）,
令可得或，
令可得，
故函數的增區間為和，減區間為.
（2）由（1）知，上遞增，在遞減，
故當時，，
又，故.
（3）由（1）（2）知函數在上遞增，在上遞減，在上遞增，且極大值為，極小值為，
若方程有三個根，即與圖象有3個交點，
故k的取值范圍為.
37．（21-22高二下·北京海淀·期中）如圖，過原點斜率為k的直線與曲線交于兩點，,
①k的取值范圍是．
②．
③當時，先減后增且恒為負．
以上結論中所有正確結論的序號是（　　）

A．① B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【分析】對于①，構造，，求導，結合函數有兩個不同的零點，得到，并求出的單調性和極值，最值情況，由得到①正確；對于②，在①的基礎上，得到，從而得到②錯誤；對于③，由①②，結合圖象得到③正確.
【詳解】對于①，令，，則，
由已知有兩個不同的零點，
當時，恒成立，故在上單調遞減，
不滿足有兩個不同的零點，舍去；
則，
令得，令得，
∴在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得極小值，也是最小值，
又時，，時，，
∴只需，則，故①正確；

對于②，由①可知，∴，故②錯誤；
對于③，結合圖象可知，當時，先減后增且恒為負，故③正確．
∴所有正確結論的序號是①③．
故選：C
【點睛】對于求不等式成立時的參數范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數法, 使不等式一端是含有參數的式子，另一端是一個區間上具體的函數，通過對具體函數的研究確定含參式子滿足的
條件.二是討論分析法，根據參數取值情況分類討論，三是數形結合法，將不等式轉化為兩個函數，通過兩個函數圖像確定條件.
38．（23-24高三上·北京·期中）關于函數，下列說法正確的是（ ）
A．是偶函數 B．0是的極值點
C．在上有且僅有1個零點 D．的值域是
【答案】C
【分析】利用偶函數的定義判斷A，根據極值點定義判斷B，根據函數的單調性判斷C，取特殊值判斷D.
【詳解】的定義域為，關于原點對稱，
又，
所以函數是奇函數，故A錯誤；
，，當時，當時，故不是函數的極值點，故B錯誤；
由B知，當時，單調遞增，又，所以在上有且僅有1個零點，故C正確；
當時，，故D錯誤.
故選：C
39．（23-24高三上·北京·期中）已知函數，是常數.
(1)求函數的圖象在點處的切線的方程；
(2)證明函數的圖象在直線的下方；
(3)討論函數零點的個數.
【答案】(1)
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）利用導數的幾何意義求出的方程；
（2）兩函數作差構造新函數，利用導數求最值，可證結論；
（3）把函數零點的個數看作兩個函數的公共點的個數，結合圖象討論可得解.
【詳解】（1）因為，，
所以，，，
所以函數在點處的切線的方程為，
即.
（2）證明：令，其中；
，令得.
當時，，為增函數；當時，，為減函數；
所以有最大值，即時，，
所以函數的圖象在直線的下方.
（3）令，即，
由（1）知，當時，直線與曲線相切于點，
此時只有一個零點；
作圖象，直線恒過.
當時，直線與的圖象有且只有一個交點，即只有一個零點；
當時，直線與的圖象有兩個交點，即有兩個零點；
當時，直線與的圖象沒有交點，即無零點.
綜上可知，當時，無零點；當或時，有且僅有一個零點；
當時，有兩個零點.
40．（23-24高三上·北京·期中）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論函數的單調性；
(3)當時，設，若有兩個不同的零點，求參數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)答案見解析；
(3).
【分析】
（1）利用導數的幾何意義求切線方程；
（2）由題設，討論、，結合對應的定義域及其導數符號判斷單調性；
（3）問題化為在在有兩個不同根，利用導數研究右側的值域范圍，即可得參數范圍.
【詳解】（1）由題設，則，故，，
所以在點處的切線方程為，即.
（2）由，
當，定義域為，此時，故，即在上遞減；
當，定義域為，
若，則，在上遞增；
若，則，在上遞減；
（3）由題設，，故在有兩個不同零點，
所以在在有兩個不同根，
令，則，
在，則，在上遞減，
在，則，在上遞增，且，
趨向于0或時都趨向于，故只需，滿足題設.
41．（23-24高三上·北京·期中）已知函數.
(1)當時，求的極值；
(2)當時，求在上的最小值；
(3)若在上存在零點，求的取值范圍.
【答案】(1)極大值為，沒有極小值.
(2)0
(3)
【分析】
（1）利用導函數求函數的極值；
（2）根據導函數求函數的最值；
（3）根據的導數，對進行分類，結合函數的單調性和極值可得的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，定義域：，，
令，則，變化時，，的變化情況如下表：
0
單調遞增 極大值 單調遞減
則的極大值為：，沒有極小值；
（2）當時，，定義域：，
，
令，定義域：，，
則在上是增函數，則，所以，
即在上是增函數，則.
（3），定義域：，
，
令，定義域：，，
（1）當時，，則在上是減函數，則，
當時，，則在上是減函數，，不合題意；
當時，，，則存在，使，即，
變化時，，的變化情況如下表：
0
單調遞增 極大值 單調遞減
則，只需，即；
（2）當時，由（1）知在上是增函數，，不合題意；
（3）當時，在上是增函數，在上是增函數，
則在上是增函數，，不合題意，
綜上所述，的取值范圍是.
42．（22-23高三上·北京朝陽·期中）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數在處取得極小值，求的值，并說明理由.
(3)若存在正實數，使得對任意的，都有，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由導數的幾何意義即可求解；
（2）由導數與極值的關系即可求解；
（3）根據導函數的初始值，結合導函數的圖象的連續性，進行分類討論研究，即可得到實數的取值范圍.
【詳解】（1）因為，則，，
故，所以曲線在點處的切線方程為
（2）由（1）知，
函數在處取得極小值，所以 ，此時，
所以，
設，則
因在上單調遞增，在上單調遞增，
所以在上單調遞增，
所以在上單調遞增，
又，
所以當時，，當時，，
即 在上單調遞減，在上單調遞增，
所以在處取得極小值，滿足題意，
故，
（3）因為，則，，
當，即，由函數圖象的連續性可知，
必存在正實數，使得對任意的，，
此時單調遞增，從而，不符合題意；
當，即，由函數圖象的連續性可知，
必存在正實數，使得對任意的，，
對應單調遞減，從而，符合題意；
當時，，，
設，在上恒為正，
所以在上單調遞增，
所以在上，在上單調遞增，
從而，不合題意；
綜上，的范圍是
43．（23-24高三上·北京豐臺·期中）已知函數，．
(1)當時，求函數的最大值；
(2)若關于的不等式恒成立，求實數的值．
【答案】(1)0
(2)1
【分析】（1）直接對函數求導，利用導數與函數單調性間的關系，求出函數的單調區間，即可求出結果；
（2）利用（1）中函數，對求導，得到，再對進行分類討論，求出相應的單調區間，再結合題設條件即可求出結果.
【詳解】（1）當時，函數，
易知，，，
當，，當，，
即在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，
故最大值為.
（2）令
則，
當時，由，即，得到，顯然不合題意，故，
由，得到，故
當時，時，，時，，
即時，函數在區間單調遞增，在區間上單調遞減，
又，，所以，當時，，即，故時，不滿足恒成立，
由（1）知當時，恒成立，即恒成立，
當時，時，，時，，
即時，函數在區間單調遞增，在區間上單調遞減，
又，，所以，當時，，即，故時，不滿足恒成立，
當，恒成立，即在區間上單調遞增，
又，所以，當時，，即，故時，不滿足恒成立，
綜上所述，實數的值為.
44．（22-23高三上·北京海淀·期中）已知函數，且．
(1)求的值；
(2)求的單調區間；
(3)設實數滿足：存在，使直線是曲線的切線，且對恒成立，求的最大值．
【答案】(1)
(2)增區間，減區間
(3)
【分析】（1）根據已知條件列方程組，從而求得.
（2）利用導數求得的單調區間.
（3）結合的圖象、切線以及不等式恒成立求得的最大值.
【詳解】（1）依題意，，解得.
（2）由（1）得，，
當時，，
所以在區間上單調遞增，
在區間上單調遞減.
（3）由（2）得，
所以的圖象在處的切線方程為，此時.
同時，，因此在時恒成立，
直線是曲線的切線，則，
結合圖象可知，當時，不恒成立.
當時，，恒成立.
當時，，因此，所以的最大值為.
【點睛】求解函數單調區間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計算導數；（3）求出
的根；（4）用的根將的定義域分成若干個區間，考查這若干個區間內的符號，進而確定的單調區間：，則在對應區間上是增函數，對應區間為增區間；，則在對應區間上是減函數，對應區間為減區間.
45．（23-24高三上·北京昌平·期中）已知，其中.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，求函數的極值；
(3)若對于恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)極小值為，無極大值.
(3)
【分析】（1）由導數的幾何意義得出切線方程；
（2）利用導函數求出函數的單調性，進而得出極值；
（3）將不等式恒成立轉化成函數的最小值恒成立問題，化簡整理可得，構造函數并求得其最大值即可得出的最大值.
【詳解】（1）當時，，.
即曲線在點處的切線方程為.
（2）當時，，則；
令，則，即在上單調遞增；
又易知，所以當時，，當時，；
即函數在上單調遞減，在上單調遞增；
即函數的極小值為，無極大值.
（3）對于恒成立，可得在恒成立；
令，則，又，
由可解得，
易知當時，，當時，；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
因此在處取得極小值，
也是最小值為；
易知，所以可得，
令，則，
因此當時，；當時，；
所以在上單調遞增，在上單調遞減；
即，即.
故的最大值為.
【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題，一般情況下將不等式化簡變形并通過構造函數求得函數在定義域內的最值，再根據題意求解即可得出結論.專題04 導數的綜合應用5種常考題型歸類
利用導數證明不等式
1．（22-23高二下·北京·期中）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求證：.
2．（21-22高二下·北京·期中）已知函數.
(1)討論函數的單調性；
(2)當時，記函數的最小值為，求證：.
3．（21-22高二下·北京·期中）已知函數
(1)若在上單調遞增，求實數a的取值范圍.
(2)若，求證：當時，
4．（22-23高二下·北京東城·期中）已知函數．
(1)時，求函數在處的切線方程；
(2)討論函數的單調性；
(3)證明不等式恒成立．
5．（23-24高三上·北京通州·期中）已知函數，，.
(1)求的值；
(2)求在區間上的最大值；
(3)當時，求證：對任意，恒有成立.
6．（23-24高三上·北京·期中）已知函數．
(1)求函數的單調區間；
(2)已知m，n是正整數，且，證明．
7．（22-23高二下·北京大興·期中）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)設，求證：當時，；
(3)對任意的，判斷與的大小關系，并證明結論．
8．（22-23高二下·北京大興·期中）已知函數，．
(1)若曲線在點處的切線方程為，求的值；
(2)設函數，證明：的圖象在的圖象的上方．
利用導數研究不等式恒成立問題
9．（22-23高一下·北京·期中）已知函數，其中.
(1)若曲線在點處的切線是軸，求的值；
(2)當時，求證：；
(3)若對，恒成立，求的取值范圍.
10．（21-22高二下·北京·期中）已知函數．
(1)求證：
(2)設，若在區間內恒成立，求k的最小值．
11．（22-23高三上·北京順義·期中）已知函數.
(1)當時，求的單調增區間；
(2)當時，求證：在上是增函數；
(3)求證：當時，對任意，.
12．（23-24高三上·北京·期中）已知函數，曲線在點處的切線為．
(1)求的方程；
(2)判斷曲線與直線的公共點個數，并證明；
(3)若，令，求證：對任意的，都有成立．
13．（22-23高三上·北京朝陽·期中）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若在區間上恒成立，求的取值范圍；
(3)試比較與的大小，并說明理由．
14．（23-24高三上·北京通州·期中）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求的極值；
(3)若對于任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍.
15．（23-24高三上·北京·期中）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求函數的零點個數；
(3)若對于任意，恒成立，求的取值范圍．
16．（23-24高三上·北京·期中）已知函數.
(1)若，求曲線在點處的切線；
(2)討論的單調性；
(3)當時，若對任意實數，恒成立，求的取值范圍.
利用導數研究能成立問題
17．（21-22高二下·北京·期中）已知，若在區間上存在，使得成立，則實數a的取值范圍是 ．
18．（21-22高二下·北京·期中）已知函數，若存在，使得成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
19．（22-23高二下·北京·期中）已知函數．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)求的極值；
(3)若存在，，使得，求的取值范圍．
20．（22-23高二下·北京·期中）已知函數，.
(1)求的單調區間；
(2)若存在（是常數，）使不等式成立，求實數a的取值范圍.
利用導數研究函數的零點
21．（20-21高二下·北京·期中）設函數，則“”是“有個零點”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
22．（23-24高二上·北京·期中）已知函數，曲線在處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)求函數的定義域及單調區間；
(3)求函數的零點的個數．
23．（21-22高二下·北京東城·期中）已知函數，.
(1)當時，求函數在點處的切線方程；
(2)求在區間上的最小值；
(3)當時，求函數的零點個數.（只需寫出結論）
24．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若對恒成立，求a的取值范圍；
(3)證明：若在區間上存在唯一零點，則．
25．（22-23高二下·北京通州·期中）已知函數．
(1)求的零點；
(2)設，．
（ⅰ）若在區間上存在零點，求a的取值范圍；
（ⅱ）當時，若在區間上的最小值是0，求a的值．
26．（22-23高二下·北京·期中）已知函數，其中且.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)求函數的單調區間；
(3)若函數沒有零點，求實數a的取值范圍.
27．（21-22高二下·北京·期中）已知函數．
(1)討論的單調性；
(2)若在上有且只有一個零點，求在上的最大值與最小值的和．
28．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函數，其中．
(1)當時，求函數的極小值；
(2)求函數的單調區間；
(3)證明：當時，函數有且僅有一個零點．
29．（22-23高三上·北京通州·期中）已知函數設，若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
30．（22-23高二下·北京順義·期中）已知函數，.
(1)求的單調區間；
(2)若有兩個零點，求的取值范圍.
31．（22-23高二下·北京東城·期中）已知函數．
(1)設；
①求單調區間；
②試問有極大值還是極小值？并求出該極值．
(2)若在上恰有兩個零點，求的取值范圍．
利用導數研究方程的根
32．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知關于x的方程．當時，方程的實數根為 ．若方程在內有兩個不等的實數根，則a的取值范圍是 ．
33．（22-23高二下·北京海淀·期中）已知函數，則方程的解的個數
為 .
34．（22-23高二下·北京房山·期中）設函數．
(1)當時，求的單調區間；
(2)若已知，且的圖象與相切，求b的值；
(3)在（2）的條件下，的圖象與有三個公共點，求m的取值范圍（不寫過程）．
35．（22-23高二下·北京大興·期中）已知函數．
(1)求的極值；
(2)比較的大小，并畫出的大致圖像；
(3)若關于的方程有實數解，直接寫出實數的取值范圍．
36．（22-23高二下·北京·期中）已知函數.
(1)求的單調區間；
(2)求在區間上的最大值和最小值.
(3)若方程有三個根，寫出k的取值范圍（無需解答過程）.
37．（21-22高二下·北京海淀·期中）如圖，過原點斜率為k的直線與曲線交于兩點，,
①k的取值范圍是．
②．
③當時，先減后增且恒為負．
以上結論中所有正確結論的序號是（　　）

A．① B．①② C．①③ D．②③
38．（23-24高三上·北京·期中）關于函數，下列說法正確的是（ ）
A．是偶函數 B．0是的極值點
C．在上有且僅有1個零點 D．的值域是
39．（23-24高三上·北京·期中）已知函數，是常數.
(1)求函數的圖象在點處的切線的方程；
(2)證明函數的圖象在直線的下方；
(3)討論函數零點的個數.
40．（23-24高三上·北京·期中）已知函數.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)討論函數的單調性；
(3)當時，設，若有兩個不同的零點，求參數的取值范圍.
41．（23-24高三上·北京·期中）已知函數.
(1)當時，求的極值；
(2)當時，求在上的最小值；
(3)若在上存在零點，求的取值范圍.
42．（22-23高三上·北京朝陽·期中）已知函數.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)若函數在處取得極小值，求的值，并說明理由.
(3)若存在正實數，使得對任意的，都有，求的取值范圍.
43．（23-24高三上·北京豐臺·期中）已知函數，．
(1)當時，求函數的最大值；
(2)若關于的不等式恒成立，求實數的值．
44．（22-23高三上·北京海淀·期中）已知函數，且．
(1)求的值；
(2)求的單調區間；
(3)設實數滿足：存在，使直線是曲線的切線，且對恒成立，求的最大值．
45．（23-24高三上·北京昌平·期中）已知，其中.
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當時，求函數的極值；
(3)若對于恒成立，求的最大值.

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