資源簡介

8.4空間點、直線、平面的位置關系
1．了解平面的概念，會用圖形與字母表示平面，能用符號語言描述空間中的點、直線、平面之間的位置關系；
2．借助長方體，直觀認識空間點、直線、平面的位置關系；
3．在認識位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義
一、平面
平面 敘述
平面的表示 ①在立體幾何中，通常以用平行四邊形來表示平面 可寫成平面，平面，平面或平面（對角線）
平面的畫法 ①當平面水平放置時，平行四邊形的銳角一般畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍； ②當平面豎直放置時，平行四邊形的一組對邊通常畫成鉛垂線
圖示
平面的特點 ①平面是平的； ②平面是無限延展的沒有邊界的； ③平面是沒有厚度的。
點、直線、平面的位置關系 ①點與直線（平面）的位置關系只能用“”或“”； ②直線與平面的位置關系只能用“”或“”
二、平面的基本事實
1.基本事實
基本事實 基本事實1 基本事實2 基本事實3
敘述 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
圖示
符號表示 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使 且 l且
作用 確定一個平面或判斷“直線共面”的方法 ①檢驗平面； ②判斷直線在平面內； ③由直線在平面內判斷直線上的點在平面內 ①判定兩平面相交； ②作兩平面相交的交線； ③證明多點共線
2.三個推論：
推論1：經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
三、空間點、直線、平面之間的位置關系
直線與直線 直線與平面 平面與平面
平行關系 圖示
符號 語言 a∥b a∥α
相交關系 圖示
符號 語言
獨有關系 圖示
符號 語言 a，b是異面直線
考點01符號的正確使用
1．用符號表示“點A不在直線上，直線在平面內”，正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根據點、線以及線、面的符號表示，即得答案.
【詳解】由題意用符號表示“點A不在直線上，直線在平面內”，
即，，
故選：A
2．“平面經過直線”用集合符號語言可表示為 ．
【答案】
【分析】根據直線與平面的關系直接得到結果.
【詳解】由題意可知：直線在平面內，
所以符號語言為：，
故答案為：.
3．根據圖，填入相應的符號：
A 平面ABC；
A 平面BCD；
BD 平面ABD．
【答案】
【分析】略
【詳解】略
4．若點在直線上，在平面內，則用符號表示 之間的關系可記作 .
【答案】，，
【分析】根據點、線、面的定義，即可得到答案.
【詳解】點在直線上，在平面內，則，，
故 之間的關系可記作，，.
故答案為：，，
5．用集合符號表示下列語句：
(1)點在直線上，點不在直線上；
(2)平面與平面相交于過點的直線．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】
根據集合的關系及運算表示即可.
【詳解】（1）點在直線上，點不在直線上可表示為：
（2）平面與平面相交于過點的直線可表示為：
考點02空間位置的畫法
6．下列各圖符合立體幾何作圖規范要求的是（　　）
A．直線在平面內 B．平面與平面相交 C．直線與平面相交 D．兩直線異面
【答案】D
【分析】直接根據立體幾何作圖規范要求依次判斷即可.
【詳解】若直線在平面內，應將直線畫在平面內，A錯誤；
平面與平面相交時，兩個平面相交于直線，而不是點，B錯誤；
直線與平面相交，看不到的部分應當畫虛線，C錯誤；
兩直線異面滿足作圖規范.
故選：D
7．（1）用符號語言表示下面的語句，并畫出圖形．
平面與平面交于，平面與平面交于.
（2）將下面用符號語言表示的關系用文字語言予以敘述，并用圖形語言予以表示．
.
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析
【分析】
由題意，根據點、線、平面之間的關系，依次作出圖形，即可求解.
【詳解】
符號語言表示：平面平面，平面平面.
用圖形表示如圖①所示．
(2)文字語言敘述為：點在平面與平面的交線上，直線分別在平面內，
圖形語言表示如圖②所示．

8．用符號和圖形表示下列語句：
(1)，兩點既在平面內，又在平面內，則直線是平面與平面的交線；
(2)兩條相交直線和都在平面內；
(3)直線在平面內，直線在平面外，與相交于一點．
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
【分析】
根據已知點、線、面的位置關系，利用適當的符號表示即可．
【詳解】（1）因為，兩點既在平面內，又在平面內，則直線是平面與平面的交線，
符號表示為：、，，，則.
圖形表示如下：

（2）因為兩條相交直線和都在平面內，
符號表示為：，，，
圖形表示如下：

（3）直線在平面內，直線在平面外，與相交于一點，
符號表示為：，，，
圖形表示如下：

9．請給下列各圖補上適當的虛線，使它們能比較直觀地看出是立體圖形．
【答案】作圖見解析
【分析】在立體幾何中，被遮擋直線畫成虛線.
【詳解】解：圖①可看成平面被擋住一部分；圖②可看成三棱錐；圖③可看成是一個正方體，添加虛線即可．
如圖．
考點03證明點（線）共面問題
10． 分別是空間四邊形的邊的中點，則的位置關系是（ ）
A．異面 B．平行
C．相交 D．重合
【答案】C
【分析】根據中位線定理，結合平面的確定方法，可得答案.
【詳解】由題意可作圖如下：
因為分別為的中點，所以同理可得，則，
所以四點共面，則與相交.
故選：C.
11．如圖，已知.求證：直線共面．
【答案】證明見解析
【分析】
由題意，根據點、線、面之間的關系，即可證明.
【詳解】
因為，所以和確定一個平面，
因為，所以.
故.
又，所以和確定一個平面.
同理.
即和既在平面內又在平面內，且與相交，
故平面，重合，即直線共面．
12．如圖所示，在空間四面體中，、分別是、的中點，、分別是、上的點，且，.求證：、、、四點共面；
【答案】證明見解析
【分析】
連接，，利用條件證明即可.
【詳解】
連接，，因為、分別是、的中點，
所以，
又、分別是、上的點，且，，
，，
、、、四點共面.
13．證明兩兩相交而不共點的四條直線在同一平面內．
已知：如圖，直線兩兩相交，且不共點．求證：直線在同一平面內.
【答案】證明見解析
【分析】證明幾條直線共面的依據是公理3及推論和公理1．先證某兩線確定平面，然后證其它直線也在內．
【詳解】圖①中，沒有三條直線交于一點，
因為，所以確定平面，
又因，所以，
所以，
同理可得，
所以直線在同一平面內；
圖②中，三條直線交于一點，
因為又因，所以，
所以，
同理，
所以直線在同一平面內，
綜上所述，所以直線在同一平面內.
14．如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點，證明：四點共面．
【答案】證明見解析
【分析】符合同一原理，可以用同一法證明三點構成一個平面．
【詳解】假設面與棱交于．
平面，平面與其相交，
，
為中點，為中點，
與重合，即四點共面．
考點04證明線共點問題
15．如圖，在正方體中，P，Q分別是棱，的中點，平面平面，則下列結論錯誤的是（ ）
A．過點B
B．不一定過點B
C．的延長線與的延長線的交點在上
D．的延長線與的延長線的交點在上
【答案】B
【分析】
作出輔助線，得到，P，B，Q四點共面，即平面，又平面，所以；作出輔助線，得到平面，平面，故，同理D正確.
【詳解】
連接，，如圖，
因為P，Q分別是棱，的中點，
由勾股定理得，
所以四邊形是菱形，
所以，P，B，Q四點共面，即平面.
又平面，所以，故A結論正確，B結論錯誤.
如圖，延長與的延長線交于點F，延長與的延長線交于點E.
因為平面，所以平面，
因為平面，所以平面，所以，
同理，故C，D正確.
故選：B
16．如圖所示，在正方體中，分別為的中點．求證：三線交于一點．

【答案】證明見解析
【分析】
如圖，連接，可證明四點共面，結合基本事實3即可證明.
【詳解】
連接，

因為為的中點，為的中點，所以且.
又因為且，所以且，
所以四點共面，
設.又平面平面，
所以點為平面與平面的公共點．
又因為平面平面，
所以根據基本事實3,得，
即三線交于一點．
17．平行六面體中，求證：，，，四對角線交于一點．
【答案】證明見解析
【分析】根據平行四邊形的對角線互相平分即可求證.
【詳解】證明：如圖4，且，所以四邊形為平行四邊形，
則對角線與互相平分，將其交點記為O，則是和的中點，
同理平行四邊形的對角線和也互相平分，設中點為，是和的中點，
又且，則四邊形為平行四邊形，故對角線與互相平分
因此O，都是的中點，所以O，必重合為一點，所以四對角線，，，共點于O．
圖4
18．如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且．求證：直線，，相交于一點．
【答案】證明見解析
【分析】
先通過中點以及線段比例關系證明，然后說明與交于一點，結合點在兩個平面內這一特點說明三線共點.
【詳解】
在空間四邊形中，連接，
∵分別為的中點，則，且，
又由，則，且，
故，且，故四邊形為梯形，與交于一點，
設與交于點，如圖，
由于平面，故點在平面內，同理點在平面內，
又∵平面平面，∴點在直線上，
故直線相交于一點．
19．如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，分別為，的中點．

(1)求證：直線、、交于一點；
(2)若，求多面體的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據題意可得四邊形為梯形，再根據平面的性質證明三線交于一點；
（2）根據題意利用割補法求體積.
【詳解】（1）連接、，
因為、分別為、的中點，所以且．
因為是直四棱柱，且底面是正方形，
所以，且，即四邊形是平行四邊形，
所以且，所以，且，
所以四邊形為梯形，所以與交于一點，記為，
即，且平面，平面，
所以平面，平面，
又因為平面平面，則直線，
所以直線、、交于一點.
（2）連接，
由題意可得：.

考點05證明點共線問題
20．如圖，在正方體中，為棱的靠近上的三等分點.設與平面的交點為，則（ ）

A．三點共線，且
B．三點共線，且
C．三點不共線，且
D．三點不共線，且
【答案】B
【分析】
連接，利用公理2可直接證得，并且由三角形相似得比例關系，從而求出結果.
【詳解】
連接連接，，

直線平面平面.
又平面，平面平面直線
∴三點共線.
.
故選：B.
21．如圖所示，在正方體中，分別為上的點且．求證：點三點共線．

【答案】證明見解析
【分析】
由題意可證平面，平面，進而，即可證明.
【詳解】
因為，且平面，所以平面，
同理平面，
從而M在兩個平面的交線上，
因為平面∩平面，所以成立．
所以點三點共線．
22．平面中有和和三直線交于一點，若對應邊所在的直線都相交，則三個交點共線．
【答案】證明見解析
【分析】
根據題意，分和不在同一平面內與在一個平面內討論，結合三棱錐的結構特征，即可證明.
【詳解】
證明：如圖1，先考慮和不在同一平面內，則由條件知，
它們可構成一個三棱錐，而是它的一個截面，
且和的對應邊所在的直線都相交．

設與交于點，則平面平面，
∴點必落在平面與平面的交線上，
同理，與的交點，與的交點都落在平面與平面的交線上，
∴三對應邊的交點共線．只要選取適當的投影方向，
便得到一個如圖2所示的圖形（投影圖），從而原問題獲證．

23．如圖所示，在平面外，三邊AB，AC，BC所在直線分別交平面于P，Q，R三點．求證：P，Q，R三點在同一直線上．
【答案】證明見解析
【分析】
根據平面的性質分析可知點P，Q，R均在平面ABC與平面的交線上，即可得結果.
【詳解】由，可知點，
且平面ABC，可知點平面ABC，又，
所以點P在平面ABC與平面的交線上，
同理可得：點Q，R均在平面ABC與平面的交線上，
所以P，Q，R三點共線．
24．已知三邊所在直線分別與平面α交于三點，求證：三點共線．
【答案】證明見解析
【分析】根據平面的基本性質即可求證.
【詳解】∵是不在同一直線上的三點
∴過有一個平面
又,且，所以，
設，則
同理可證：，
所以三點共線

考點06空間兩條直線位置關系的判定
25．下列命題中，真命題的個數是（　　）
① 分別在兩個平面內的兩條直線是異面直線；
② 和兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條；
③ 和兩條異面直線都相交的兩條直線必定異面；
④ 與同一條直線都異面的兩條直線也是異面直線．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】略
26．如圖所示，正方體中，是線段上的動點（包含端點），則下列哪條棱所在直線與直線始終異面（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據點運動到線段端點、中點位置可判斷ABD，根據異面直線的判定可判斷C.
【詳解】當運動到點時，與直線相交，故A錯誤；
當運動到點時，與直線相交，故B錯誤；
因為與在同一平面上，,平面，
所以由異面直線判定定理知，直線與直線始終異面，故C正確；
當運動到點中點時，，此時與直線共面，故D錯誤；
故選：C
27．如圖，在正方體中，M、N分別為棱、的中點，有以下四個結論：①直線AM與是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與是異面直線；④直線AM與是異面直線．其中正確的結論為（ ）
A．③④ B．①② C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】
根據異面直線的定義逐一判斷.
【詳解】
∵A、M、三點共面，且在平面，但平面，，
∴直線AM與是異面直線，故①錯誤；
因為平面，平面，但平面，，
所以直線AM與BN也是異面直線，故②錯誤；
因為平面，平面，但平面，，
所以直線BN與是異面直線，故③正確；
因為平面，平面，但平面，，
所以直線AM與是異面直線，故④正確．
故選：A．
28．（多選）已知正方體中，M為的中點，則下列直線中與直線是異面直線的有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
根據空間直線的位置關系，結合異面直線的判定定理，一一判斷各選項，即得答案.
【詳解】
由題意可知M為的中點，故，，
故，與均為相交直線，A，B錯誤；
平面，平面直線，
故與直線為異面直線，同理可說明與直線為異面直線，C，D正確，
故選：CD
29．如圖，已知E，F分別為三棱錐的棱的中點，則直線與的位置關系是 （填“平行”，“異面”，“相交”）．
【答案】異面
【分析】
假設共面推出矛盾.
【詳解】假設直線共面，平面，
由，則平面，
同理，平面，故共面，
這與是三棱錐矛盾，故假設錯誤，故直線異面.
故答案為：異面.
30．如圖所示，在正方體中，點為邊上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是 .
①②③④
【答案】②
【分析】根據異面直線的定義一一判定即可.
【詳解】由正方體的性質易知當為的中點時，此時，
而，所以共面，則、在平面上，故①不符題意；
因為，即共面，易知平面，而平面， ，，
故與異面，故②符合題意；
當重合時，易知，則四邊形是平行四邊形，
則此時，故③不符合題意；
當重合時，顯然，相交，故④不符合題意.
故答案為：②
考點07直線與平面的位置關系
31．直線a，b是異面直線，是不在a，b上的點，則下列結論成立的是（ ）
A．過A有且只有一個平面平行于a，b B．過至少有一個平面平行于a，b
C．過有無數個平面平行于a，b D．過且平行于a，b的平面可能不存在
【答案】D
【分析】
根據異面直線的位置關系，結合已知找到一個反例：共面，即可判斷各項正誤.
【詳解】如：且異面，均在面內時，如下圖示，

此時，將平移至與相交，則與所在平面即為，

若要過點作與平行的平面，則過點可以作另一個平面與平行，而，
顯然有矛盾，故上述情況不可能有過點A的平面同時平行于a，b，故A、B、C錯，D對；
故選：D
32．若，且，則 （填數學符號）
【答案】
【分析】根據點線、點面位置關系，結合平面的基本性質即可得答案.
【詳解】由且，即.
故答案為：
33．已知空間直線和平面，則“直線在平面外”是“直線∥平面”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
【答案】B
【分析】結合線面位置關系，根據充分必要條件定義判斷．
【詳解】直線在平面外，包括直線與平面平行和相交，不充分，但直線∥平面，一定有直線在平面外，必要的，因此是必要不充分條件．
故選：B．
34．在長方體所有的表面所在的平面中，與直線平行的平面有 ．
【答案】平面
【分析】畫出該幾何體，根據線面關系即可判斷得出結論.
【詳解】如圖，長方體所有的表面所在的平面中，與直線平行的平面為平面；
故答案為：平面.
35．若直線l上有兩點到平面α的距離相等，則直線l與平面α的關系是 ．
【答案】相交或平行或
【分析】根據兩點在平面同側，兩點在平面異側，兩點都在平面上，分別進行討論，由此能求出結果．
【詳解】解：直線上有兩點到平面的距離相等，
如果兩點在平面同側，則，
如果兩點在平面異側，則與相交，
如果兩點都在平面上，則．
故答案為：相交、平行或．
36．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1和BB1的中點，則下列直線與平面的位置關系是什么？
（1）AM所在的直線與平面ABCD；
（2）CN所在的直線與平面ABCD；
（3）AM所在的直線與平面CDD1C1；
（4）CN所在的直線與平面A1B1C1D1.
【答案】（1）相交；（2）相交；（3）平行；（4）相交.
【分析】根據線面位置關系的定義可判斷.
【詳解】（1）平面ABCD，平面ABCD，AM所在的直線與平面ABCD相交.
（2）平面ABCD，平面ABCD，CN所在的直線與平面ABCD相交.
（3）因為在正方體中，平面平面CDD1C1,平面,所以AM所在的直線與平面CDD1C1平行.
（4）因為CN所在的直線與平面ABCD相交，平面平面，所以CN所在的直線與平面A1B1C1D1相交.
考點08平面與平面的位置關系
37．平面與平面相交于直線l，點A、B在平面上，點C在平面上但不在直線l上，直線AB與直線l相交于點D．設A、B、C三點確定的平面為，則與的交線是（ ）
A．直線AC B．直線AB C．直線CD D．直線BC
【答案】C
【分析】根據已知得既在平面上又在平面可得答案.
【詳解】因為直線AB與直線l相交于點D，，所以平面，
又點C在平面上，所以平面，
因為平面，點在直線AB上，所以平面，
又平面，所以平面，
所以與的交線是直線.
故選：C.
38．在四棱臺中，平面與平面的位置關系是（ ）
A．相交 B．平行
C．不確定 D．異面
【答案】A
【分析】根據棱臺的定義即可得出結果.
【詳解】解：如圖所示，由棱臺的定義可知，平面與平面一定相交.
故選：A.
39．下列說法中，錯誤的是（ ）
A．平行于同一直線的兩個平面平行
B．平行于同一平面的兩個平面平行
C．一個平面與兩個平行平面相交，交線平行
D．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交
【答案】A
【分析】根據空間線面間的位置關系判斷．
【詳解】平行于同一直線兩個平面可能平行，也可能相交，A錯；
平行于同一平面的兩個平面平行，B正確；
由面面平行的性質定理知一個平面與兩個平行平面相交，交線平行，一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交，CD正確．
故選：A．
40．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，下列判斷正確的是（ ）
A．平面平面 B．
C．平面 D．與相交
【答案】A
【分析】將正方體的平面展開圖復原為幾何圖形，進而判斷選項的正誤即可.
【詳解】解：將正方體的平面展開圖復原為幾何圖形，
選項A，如圖可知，且平面，平面，
，且平面，平面，所以平面平面，故正確.
選項B，如圖，可知與為異面直線，不平行，故錯誤.
選項C，如圖可知平面與會相交，并不平行，故錯誤.
選項D，如圖可知與為異面直線，不相交，故錯誤.
故選：A.
【點睛】本題考查空間中直線與直線，直線與平面，平面與平面的關系，考查空間想象能力，屬于基礎題.
41．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中判斷下列位置關系：
（1）AD1所在直線與平面BCC1的位置關系是 ；
（2）平面A1BC1與平面ABCD的位置關系是 ．
【答案】 平行 相交
【分析】（1）所在直線與平面的位置關系是平行．可得四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質和線面平行的判定定理即可得到；
（2）平面與平面的位置關系是相交．由平面與平面有一個交點，由公理2即可得到．
【詳解】解：（1）AD1所在的直線與平面BCC1沒有公共點，所以平行；
（2）平面A1BC1與平面ABCD有公共點B，故相交．
故答案為：平行；相交.
42．如圖所示，在正方體中M，N分別是和的中點，則下列直線、平面間的位置關系是什么？

(1)AM所在的直線與CN所在的直線的位置關系；
(2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關系；
(3)AM所在的直線與平面的位置關系；
(4)平面ABCD與平面的位置關系.
【答案】(1)異面
(2)相交
(3)平行
(4)相交
【分析】
根據正方體的幾何結構特征，結合線面位置關系的判定與性質，逐項判定，即可求解.
【詳解】（1）解：因為平面，平面，平面，且直線，
所以直線與為異面直線.
（2）解：因為平面，且平面，所以與平面相交于點，
即直線平面，即直線與平面相交.
（3）解：在正方體中，可得平面平面，
因為平面，所以平面.
（4）解：在正方體中，可得平面平面，即兩平面相交.
基礎過關練
1．若點A在平面內，直線l在平面內，點A不在直線l上，下列用集合表示這些語句的描述中，正確的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【分析】
根據點線面的關系結合元素和集合、集合與集合的關系直接寫出即可.
【詳解】因為直線和平面都是由點形成的，
所以根據元素與集合的關系知，點A在平面內表示為，點A不在直線l上表示為，
根據集合與集合的關系知，直線l在平面內可表示為.
故選：B
2．三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據空間中平面位置關系逐項判斷即可.
【詳解】對于A，三個平面將空間分成4個部分，不合題意；
對于B，三個平面將空間分成6個部分，不合題意；
對于C，三個平面將空間分成7個部分，符合題意；
對于D，三個平面將空間分成8個部分，不合題意.
故選：C
3．已知α，β是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是（ ）
A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，則A∈l
B．若A，B，C是平面α內不共線三點，A∈β，B∈β，則C β
C．若A∈α且B∈α，則直線AB α
D．若直線a α，直線b β，則a與b為異面直線
【答案】D
【詳解】
由根據A∈α且B∈β，則A是平面α和平面β的公共點，又α∩β＝l，由基本事實3可得A∈l，故A中命題正確；由基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面，又A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，則C β，故B中命題正確；由基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內，故C中命題正確；由于平面α和平面β位置不確定，則直線a與直線b位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故D中命題錯誤．
4．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，分別在，CD上，且則下面幾個說法中正確的個數是（ ）

①E，F，G，H四點共面；②③若直線EG與直線FH交于點P，則P，A，C三點共線．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
推導出，，從而，由此能證明E，F，G，H四點共面；，從而直線EG與直線FH必相交，設交點為P，證明P點在直線上．
【詳解】如圖所示，

E，F分別為AB，AD的中點，∴，，
分別在，CD上，且，∴，，
∴，則E，F，G，H四點共面，說法①正確；
∵，四邊形是梯形，不成立，說法②錯誤；
若直線與直線交于點P，則由，平面，得平面，
同理平面，又平面平面，
∴則P，A，C三點共線，說法③正確；
說法中正確的有2 個.
故選：C
5．（多選）如圖，在正方體中，、、、、、分別是棱、、、、、的中點，則下列結論錯誤的是（ ）

A．直線和平行，和相交
B．直線和平行，和相交
C．直線和相交，和異面
D．直線和異面，和異面
【答案】ACD
【分析】
利用平行線的傳遞性可判斷出直線和平行，利用三角形全等可證得和相交，由異面直線的定義可判斷出和異面，即可得出合適的選項.
【詳解】如下圖所示：

因為、分別為、的中點，則，同理可證，
在正方體中，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，所以，，
延長交直線于點，
因為，則，
又因為，，所以，，所以，，
延長交的延長線于點，同理可證，
因為，所以，，即點、重合，
所以，、相交，
由異面直線的定義結合圖形可知，、異面，故B對，ACD均錯.
故選：ACD.
6．（多選）以下四個命題中，正確的命題是（ ）
A．不共面的四點中，其中任意三點不共線
B．若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面
C．若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于P，Q，R，則P，Q，R三點共線
D．依次首尾相接的四條線段必共面
【答案】AC
【分析】利用反證法證明選項A判斷正確；舉特例否定選項B；利用基本事實證明選項C判斷正確；舉特例否定選項D.
【詳解】對于A，用反證法證明：假設四個點中，有三個點共線，
第四個點不在這條直線上，則根據基本事實的推論：一條直線和直線外一點
確定一個平面，可知這四個點共面，與已知矛盾，故A正確；
對于B，如圖，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，
但A，B，C，D，E不共面，故B錯誤；

對于C，因為，平面ABC，所以P在平面與平面ABC的交線上，
同理，Q，R也在兩平面的交線上，故P，Q，R三點共線，故C正確；
對于D，如圖，a，b，c，d四條線段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D錯誤.

故選：AC.
7．已知，為不重合的兩個平面，A，B，M，N為空間中不同的四個點，a為直線，則下列推理正確的是 .（填序號）①，，，；②，，，；③，.
【答案】①②
【分析】利用基本事實即可判定①②判斷正確；利用基本事實即可否定③.
【詳解】對于①，，，，，
由基本事實：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，
那么這條直線在這個平面內，可知，故①正確；
對于②，由，，可知，
同理，，所以，故②正確；
對于③，若，，則，
由基本事實：如果兩個不重合的平面有一個公共點，
那么它們有且只有一條過該點的公共直線，
可知是經過點A的一條直線而不是點A，故③不正確.
故答案為：①②
8．在正方體中，點是棱的中點，則直線與直線的位置關系是 ．
【答案】異面
【分析】由題意畫出圖形，利用反證法以及點面之間的位置關系即可得解.
【詳解】如圖所示：
由題意在正方體中，點是棱的中點，則直線與直線的位置關系是異面，理由如下：
若直線與直線共面，則四點共面，
而三點唯一確定平面，
但平面，產生矛盾，故假設不成立，
綜上所述，直線與直線的位置關系是異面.
故答案為：異面.
9．在空間四邊形的邊，，，上分別取點，，，，如果，相交于一點，那么一定在直線 上.
【答案】BD
【解析】根據題意，可得直線、分別是平面、平面內的直線，因此、的交點必定在平面和平面的交線上．而平面交平面于，由此即可得到點在直線
【詳解】點、分別在、上，而、是平面內的直線
平面，平面，可得直線平面，
點、分別在、上，而、是平面內的直線，
平面，平面，可得直線平面，
因此，直線與的公共點在平面與平面的交線上，
平面平面，
點直線．
故答案為：．
10．用符號表示下列語句，并畫出相應的圖形．
(1)點A在平面外，但點B在平面內；
(2)直線既在平面內，又在平面內．
【答案】(1)圖形見解析
(2)圖形見解析
【分析】
按照要求，畫出圖形即可.
【詳解】（1）
（2）
11．如圖，在空間四邊形中，、分別是、的中點，，分別在，上，且.

(1)求證：；
(2)設與交于點，求證：三點共線.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】
（1）由中位線性質和線段成比例即可得證.
（2）利用兩個平面內的公共點在兩個平面的交線上，即可得證.
【詳解】（1）、分別是、的中點，
，
，，
.
（2）因為，
，平面，
所以平面，同理平面.
所以是平面與平面的公共點，
又平面平面，
所以，所以三點共線
12．任意畫一個三棱柱，分別找出一些所在直線相交、平行、異面的棱．
【答案】答案見解析
【分析】根據相交平行以及異面的定義即可求解.
【詳解】如圖：在三棱柱中，

相交的棱有,或者等，
平行的棱有,或者等，
異面的棱有與，與，與等.
能力提升練
1．在空間中，下列說法正確的是（ ）
A．一個點運動一定形成直線 B．直線平行移動形成平面或曲面
C．直線繞定點運動形成錐面 D．矩形上各點沿同一方向移動形成長方體
【答案】B
【分析】A選項，考慮點可以隨意運動；B選項，考慮直線沿一個固定方向平移或非固定方向平移；C選項，可形成平面或錐面；D選項，考慮移動方向垂直矩形所在平面和不垂直于矩形所在平面兩種情況.
【詳解】A選項，點運動可形成曲線，故A錯誤；
B選項，直線沿固定方向平移形成平面，非固定方向平移形成曲面，故B正確；
C選項，直線繞定點運動形成錐面或平面，故C錯誤；
D選項，矩形上各點沿同一方向移動，若移動方向與矩形所在平面垂直形成長方體，若移動方向不與矩形所在平面垂直形成非長方體的四棱柱，故D錯誤.
故選：B
2．在長方體中，直線與平面的交點為為線段的中點，則下列結論錯誤的是（ ）
A．三點共線 B．四點異不共面
C．四點共面 D．四點共面
【答案】C
【分析】
由長方體性質易知四點共面且是異面直線, 再根據 與 、面 、 面 的位置關系知 在面 與面 的交線上, 同理判斷 , 即可判斷各選項的正誤.
【詳解】
因為 ,
則四點共面.
因為 ,
則 平面 ,
又 平面 ,
則點 在平面 與平面的交線上,
同理, 也在平面 與平面 的交線上,
所以三點共線;
從而 四點共面,都在平面 內，
而點B不在平面 內，
所以四點不共面，故選項B正確；
三點均在平面內，
而點A不在平面內，
所以直線AO與平面相交且點O是交點，
所以點M不在平面內，
即 四點不共面，
故選項C錯誤；
，且，
所以為平行四邊形，
所以共面，
所以四點共面，
故選項D正確.
故選: C.
3．已知空間互不重合的三條直線，，.則“，，在同一平面內”是“，， 兩兩平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】根據空間直線和平面的位置關系，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.
【詳解】若，，在同一平面內，則，，在可能平行也可能相交，故充分性不成立；
若，， 兩兩平行，則，， 不一定在同一平面內，故必要性不成立；
所以“，，在同一平面內”是“，， 兩兩平行”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用空間中直線和平面的位置關系作出判斷是解決本題的關鍵.
4．（多選）設P表示一個點，a、b表示兩條直線，、表示兩個平面，下列說法正確的是（　　）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，，則
D．若，，，則
解：
當時，，，但，故A錯；
當時，B錯；
如圖，∵，，∴，
∴由直線和點確定唯一平面，
又，由與確定唯一平面，但經過直線和點，
∴與重合，∴，故C正確；

兩個平面的公共點必在其交線上，故D正確．
故選：CD
5．直線、，直線、，點，點，點，點，若直線直線，則點必在直線 上．
解：由，，，、，故，，
同理，，故，

由，，則，，故，同理可得，
又直線直線，故，即，
所以必在的交線上.
故答案為：
6．已知點是平面外的兩點,則過點與平行的平面有 個.
解：當兩點在平面兩側時,不存在這樣的平面與平行;
當兩點在平面同側時,若直線面,則存在一個平面與平面平行;若兩點在平面同側時,直線與平面不平行,不存在這樣的平面.
故答案為:或
【點睛】本題考查了點與面、面與面的位置關系,需要注意分類討論,在不同情況下可能出現的情況不同,尤其是在同側的情況.
7．判斷下列各命題的正誤，畫出正確命題的圖形，并用符號表示：
(1)兩個平面有三個公共點，它們一定重合；
(2)空間中，相交于同一點的三直線在同一平面內；
(3)兩條直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b可能是異面直線，也可能是相交直線；
(4)正方體中，點O是的中點，直線交平面于點M，則A，M，O三點共線，并且A，O，C，M四點共面．
解：（1）
對于（1）：如圖三個公共點在一條直線上，平面與平面相交不重合，故（1）不正確；
（2）對于（2）：正方體中從點出發的三條棱不在同一個平面內，故（2）不正確；
（3）對于（3），若則確定一個平面，且與直線的交點都在此平面內，則共面，與是異面直線矛盾，
故直線可能是異面直線，也可能是相交直線,
圖形可以取或.故（3）正確；

（4）對于（4），平面平面，
因為直線交平面于點，
所以，即三點共線，
因為三點共線，直線和直線外一點可以確定一個平面，
所以A，O，C，M四點共面，故（4）正確.
8．如圖，在正方體中，E，F分別是上的點，且.

(1)證明：四點共面；
(2)設，證明：A，O，D三點共線.
解：（1）證明：如圖，連接.

在正方體中，，所以，
又，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
，所以四點共面；
（2）證明：由，，又平面，平面，
同理平面ABCD，又平面平面，
，即A，O，D三點共線.8.4空間點、直線、平面的位置關系
1．了解平面的概念，會用圖形與字母表示平面，能用符號語言描述空間中的點、直線、平面之間的位置關系；
2．借助長方體，直觀認識空間點、直線、平面的位置關系；
3．在認識位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義
一、平面
平面 敘述
平面的表示 ①在立體幾何中，通常以用平行四邊形來表示平面 可寫成平面，平面，平面或平面（對角線）
平面的畫法 ①當平面水平放置時，平行四邊形的銳角一般畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍； ②當平面豎直放置時，平行四邊形的一組對邊通常畫成鉛垂線
圖示
平面的特點 ①平面是平的； ②平面是無限延展的沒有邊界的； ③平面是沒有厚度的。
點、直線、平面的位置關系 ①點與直線（平面）的位置關系只能用“”或“”； ②直線與平面的位置關系只能用“”或“”
二、平面的基本事實
1.基本事實
基本事實 基本事實1 基本事實2 基本事實3
敘述 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面 如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線
圖示
符號表示 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使 且 l且
作用 確定一個平面或判斷“直線共面”的方法 ①檢驗平面； ②判斷直線在平面內； ③由直線在平面內判斷直線上的點在平面內 ①判定兩平面相交； ②作兩平面相交的交線； ③證明多點共線
2.三個推論：
推論1：經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．
推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面．
推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面．
三、空間點、直線、平面之間的位置關系
直線與直線 直線與平面 平面與平面
平行關系 圖示
符號 語言 a∥b a∥α
相交關系 圖示
符號 語言
獨有關系 圖示
符號 語言 a，b是異面直線
考點01符號的正確使用
1．用符號表示“點A不在直線上，直線在平面內”，正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．“平面經過直線”用集合符號語言可表示為 ．
3．根據圖，填入相應的符號：
A 平面ABC；
A 平面BCD；
BD 平面ABD．
4．若點在直線上，在平面內，則用符號表示 之間的關系可記作 .
5．用集合符號表示下列語句：
(1)點在直線上，點不在直線上；
(2)平面與平面相交于過點的直線．
考點02空間位置的畫法
6．下列各圖符合立體幾何作圖規范要求的是（　　）
A．直線在平面內 B．平面與平面相交 C．直線與平面相交 D．兩直線異面
7．（1）用符號語言表示下面的語句，并畫出圖形．
平面與平面交于，平面與平面交于.
（2）將下面用符號語言表示的關系用文字語言予以敘述，并用圖形語言予以表示．
.
8．用符號和圖形表示下列語句：
(1)，兩點既在平面內，又在平面內，則直線是平面與平面的交線；
(2)兩條相交直線和都在平面內；
(3)直線在平面內，直線在平面外，與相交于一點．
9．請給下列各圖補上適當的虛線，使它們能比較直觀地看出是立體圖形．
考點03證明點（線）共面問題
10． 分別是空間四邊形的邊的中點，則的位置關系是（ ）
A．異面 B．平行
C．相交 D．重合
11．如圖，已知.求證：直線共面．
12．如圖所示，在空間四面體中，、分別是、的中點，、分別是、上的點，且，.求證：、、、四點共面；
13．證明兩兩相交而不共點的四條直線在同一平面內．
已知：如圖，直線兩兩相交，且不共點．求證：直線在同一平面內.
14．如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點，證明：四點共面．
考點04證明線共點問題
15．如圖，在正方體中，P，Q分別是棱，的中點，平面平面，則下列結論錯誤的是（ ）
A．過點B
B．不一定過點B
C．的延長線與的延長線的交點在上
D．的延長線與的延長線的交點在上
16．如圖所示，在正方體中，分別為的中點．求證：三線交于一點．

17．平行六面體中，求證：，，，四對角線交于一點．
18．如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且．求證：直線，，相交于一點．
19．如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，分別為，的中點．

(1)求證：直線、、交于一點；
(2)若，求多面體的體積．
考點05證明點共線問題
20．如圖，在正方體中，為棱的靠近上的三等分點.設與平面的交點為，則（ ）

A．三點共線，且
B．三點共線，且
C．三點不共線，且
D．三點不共線，且
21．如圖所示，在正方體中，分別為上的點且．求證：點三點共線．

22．平面中有和和三直線交于一點，若對應邊所在的直線都相交，則三個交點共線．
23．如圖所示，在平面外，三邊AB，AC，BC所在直線分別交平面于P，Q，R三點．求證：P，Q，R三點在同一直線上．
24．已知三邊所在直線分別與平面α交于三點，求證：三點共線．
考點06空間兩條直線位置關系的判定
25．下列命題中，真命題的個數是（　　）
① 分別在兩個平面內的兩條直線是異面直線；
② 和兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條；
③ 和兩條異面直線都相交的兩條直線必定異面；
④ 與同一條直線都異面的兩條直線也是異面直線．
A．0 B．1 C．2 D．3
26．如圖所示，正方體中，是線段上的動點（包含端點），則下列哪條棱所在直線與直線始終異面（ ）
A． B．
C． D．
27．如圖，在正方體中，M、N分別為棱、的中點，有以下四個結論：①直線AM與是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與是異面直線；④直線AM與是異面直線．其中正確的結論為（ ）
A．③④ B．①② C．①③ D．②④
28．（多選）已知正方體中，M為的中點，則下列直線中與直線是異面直線的有
（ ）
A． B． C． D．
29．如圖，已知E，F分別為三棱錐的棱的中點，則直線與的位置關系是 （填“平行”，“異面”，“相交”）．
30．如圖所示，在正方體中，點為邊上的動點，則下列直線中，始終與直線異面的是 .
①②③④
考點07直線與平面的位置關系
31．直線a，b是異面直線，是不在a，b上的點，則下列結論成立的是（ ）
A．過A有且只有一個平面平行于a，b B．過至少有一個平面平行于a，b
C．過有無數個平面平行于a，b D．過且平行于a，b的平面可能不存在
32．若，且，則 （填數學符號）
33．已知空間直線和平面，則“直線在平面外”是“直線∥平面”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
34．在長方體所有的表面所在的平面中，與直線平行的平面有 ．
35．若直線l上有兩點到平面α的距離相等，則直線l與平面α的關系是 ．
36．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1和BB1的中點，則下列直線與平面的位置關系是什么？
（1）AM所在的直線與平面ABCD；
（2）CN所在的直線與平面ABCD；
（3）AM所在的直線與平面CDD1C1；
（4）CN所在的直線與平面A1B1C1D1.
考點08平面與平面的位置關系
37．平面與平面相交于直線l，點A、B在平面上，點C在平面上但不在直線l上，直線AB與直線l相交于點D．設A、B、C三點確定的平面為，則與的交線是（ ）
A．直線AC B．直線AB C．直線CD D．直線BC
38．在四棱臺中，平面與平面的位置關系是（ ）
A．相交 B．平行
C．不確定 D．異面
39．下列說法中，錯誤的是（ ）
A．平行于同一直線的兩個平面平行
B．平行于同一平面的兩個平面平行
C．一個平面與兩個平行平面相交，交線平行
D．一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交
40．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，下列判斷正確的是（ ）
A．平面平面 B．
C．平面 D．與相交
41．如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中判斷下列位置關系：
（1）AD1所在直線與平面BCC1的位置關系是 ；
（2）平面A1BC1與平面ABCD的位置關系是 ．
42．如圖所示，在正方體中M，N分別是和的中點，則下列直線、平面間的位置關系是什么？

(1)AM所在的直線與CN所在的直線的位置關系；
(2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關系；
(3)AM所在的直線與平面的位置關系；
(4)平面ABCD與平面的位置關系.
基礎過關練
1．若點A在平面內，直線l在平面內，點A不在直線l上，下列用集合表示這些語句的描述中，正確的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
2．三個平面將空間分成7個部分的示意圖是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知α，β是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是（ ）
A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，則A∈l
B．若A，B，C是平面α內不共線三點，A∈β，B∈β，則C β
C．若A∈α且B∈α，則直線AB α
D．若直線a α，直線b β，則a與b為異面直線
4．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，分別在，CD上，且則下面幾個說法中正確的個數是（ ）

①E，F，G，H四點共面；②③若直線EG與直線FH交于點P，則P，A，C三點共線．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（多選）如圖，在正方體中，、、、、、分別是棱、、、、、的中點，則下列結論錯誤的是（ ）

A．直線和平行，和相交
B．直線和平行，和相交
C．直線和相交，和異面
D．直線和異面，和異面
6．（多選）以下四個命題中，正確的命題是（ ）
A．不共面的四點中，其中任意三點不共線
B．若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面
C．若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于P，Q，R，則P，Q，R三點共線
D．依次首尾相接的四條線段必共面
7．已知，為不重合的兩個平面，A，B，M，N為空間中不同的四個點，a為直線，則下列推理正確的是 .（填序號）①，，，；②，，，；③，.
8．在正方體中，點是棱的中點，則直線與直線的位置關系是 ．
9．在空間四邊形的邊，，，上分別取點，，，，如果，相交于一點，那么一定在直線 上.
10．用符號表示下列語句，并畫出相應的圖形．
(1)點A在平面外，但點B在平面內；
(2)直線既在平面內，又在平面內．
11．如圖，在空間四邊形中，、分別是、的中點，，分別在，上，且.

(1)求證：；
(2)設與交于點，求證：三點共線.
12．任意畫一個三棱柱，分別找出一些所在直線相交、平行、異面的棱．
能力提升練
1．在空間中，下列說法正確的是（ ）
A．一個點運動一定形成直線 B．直線平行移動形成平面或曲面
C．直線繞定點運動形成錐面 D．矩形上各點沿同一方向移動形成長方體
2．在長方體中，直線與平面的交點為為線段的中點，則下列結論錯誤
的是（ ）
A．三點共線 B．四點異不共面
C．四點共面 D．四點共面
3．已知空間互不重合的三條直線，，.則“，，在同一平面內”是“，， 兩兩平行”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（多選）設P表示一個點，a、b表示兩條直線，、表示兩個平面，下列說法正確的是（　　）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，，，則
D．若，，，則
5．直線、，直線、，點，點，點，點，若直線直線，則點必在直線 上．
6．已知點是平面外的兩點,則過點與平行的平面有 個.
7．判斷下列各命題的正誤，畫出正確命題的圖形，并用符號表示：
(1)兩個平面有三個公共點，它們一定重合；
(2)空間中，相交于同一點的三直線在同一平面內；
(3)兩條直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b可能是異面直線，也可能是相交直線；
(4)正方體中，點O是的中點，直線交平面于點M，則A，M，O三點共線，并且A，O，C，M四點共面．
8．如圖，在正方體中，E，F分別是上的點，且.

(1)證明：四點共面；
(2)設，證明：A，O，D三點共線.

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