資源簡介

專題7-3 離散型隨機變量的均值與方差（數字特征）
【題型1】求離散型隨機變量的均值（期望）
【題型2】 均值的性質
【題型3】由離散型隨機變量的均值求參數
【題型4】求離散型隨機變量的方差、標準差
【題型5】方差的性質
【題型6】方差的期望表示*
【題型7】求兩點分布的均值與方差
【題型8】離散型隨機變量的綜合問題
【題型1】求離散型隨機變量的均值（期望）
離散型隨機變量的均值
(1)定義
一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 xn
P
則稱為離散型隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱期望，它反映了隨機變量取值的平均水平.
(2)對均值(期望)的理解
求離散型隨機變量的期望應注意：
①期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.
②是一個實數，由X的分布列唯一確定，即作為隨機變量，X是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述X取值的平均狀態.
③均值與隨機變量有相同的單位.
某日A，B兩個沿海城市受臺風襲擊的概率相同，已知A市或B市至少有一個受臺風襲擊的概率為0.36，若用X表示這一天受臺風襲擊的城市個數，則E(X)＝(　　 )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【答案】D
【分析】由對立事件與獨立事件的概率公式求出 ,由題意知，分別求出相應的概率能求出.
【詳解】設兩市受臺風襲擊的概率均為，
則市或市都不受臺風襲擊的概率為
，解得或 (舍去)，
，
,
,故選D.
（高二下·山東濱州·期中）已知隨機變量X的分布列如下所示，則（ ）
X 0 2 4
P m
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先由概率和為1，列方程求出，然后利用期望公式求解即可
【詳解】由題意得，解得，
所以
某射手射擊一次所得環數X的分布列如下表：
X 7 8 9 10
P 0.1 0.4 0.3 0.2
現該射手進行兩次射擊，以兩次射擊中所得最高環數作為他的成績，記為，則______.
【答案】9.1
【詳解】X的取值范圍為，且，
，
，
.
所以分布列為
7 8 9 10
P 0.01 0.24 0.39 0.36
（高二下·浙江嘉興·期中）不透明的盒子中有個球，其中個綠球，個紅球，這個小球除顏色外完全相同，每次不放回的從中取出個球，取出紅球即停. 記為此過程中取到的綠球的個數.
(1)求；(2)寫出隨機變量的分布列，并求.
【答案】(1)，(2)分布列見解析，
【分析】（1）表示第一、二次抽取的都是綠球，第三次抽取紅球，結合獨立事件的概率乘法公式可求得的值；
（2）分析可知，的可能取值有、、、、，求出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值.
【詳解】（1）解：表示第一、二次抽取的都是綠球，第三次抽取紅球，
所以，.
（2）解：由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、、，
，，，
，，
所以，隨機變量的分布列如下表所示：
所以，.
【鞏固練習1】已知離散型隨機變量的概率分布列如下表：則數學期望等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用概率和為1計算出的概率，結合期望公式計算即可.
【詳解】結合表格可知，
即，解得：，
所以.
【鞏固練習2】（高二下·湖南衡陽·期中）一袋中裝有編號分別為1，2，3，4的4個球，現從中隨機取出2個球，用表示取出球的最大編號，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】由題意隨機變量X所有可能取值為2，3，4，然后求出各自對應的概率，即可求出X的分布列，再計算期望即可.
【詳解】由題意隨機變量X所有可能取值為2，3，4.
且，，.
因此X的分布列為：
X 2 3 4
P
則
【鞏固練習3】（高二下·福建漳州·期中）某市衛生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號分別為1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所轄的，，三個區市民接種，每個區均能從中任選一個批號的疫苗接種，則三個區市民接種的疫苗批號中恰好有兩個區相同的概率是 ；記，，三個區選擇的疫苗批號的中位數為，則的期望是 .
【答案】
【分析】根據題意，利用古典概型的概率計算公式，求得三個區注射的疫苗批號恰好有兩個區相同的概率；再由三個區選擇的疫苗批號的中位數為的所有可能值為，求得相應的概率，結合期望的公式，即可求解.
【詳解】設三個區注射的疫苗批號恰好有兩個區相同記為事件，則；
再設三個區選擇的疫苗批號的中位數為，則的所有可能值為，
可得，
，
，
所以的數學期望為.
【題型2】 均值的性質
若離散型隨機變量X的均值為E(X)，Y=aX+b，其中a,b為常數，則Y也是一個離散型隨機變量，且
.
特別地，當時，；當時，；當時，.
已知隨機變量X的分布列表如下表，且隨機變量，則Y的期望是（ ）
X -1 0 1
m
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由隨機變量X的分布列求出m，求出，由，得，由此能求出結果．
【詳解】由隨機變量X的分布列得：，解得，
，，
．
已知隨機變量滿足，則（ ）
A．或4 B．2 C．3 D．4
【分析】根據均值的性質可得，則即為，解方程求得答案.
【詳解】因為，所以，
解得或（舍去）
【鞏固練習1】已知的分布列為：
設則的值為
A． B． C． D．5
【答案】A
【詳解】由題意可知E（η）＝﹣101．
∵，所以＝E（3η﹣2）＝3E（η）﹣23．
【鞏固練習2】設離散型隨機變量X可能取的值為1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，則a＋b＝__.
【答案】
【詳解】依題意得，且概率和，解得.
【鞏固練習3】已知隨機變量X的分布列如下表所示
x 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 b 0.2 0.1
則的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先求出b的值，再利用期望定義求出，再進一步求出.
【詳解】由題得，
所以
所以.
【題型3】由離散型隨機變量的均值求參數
根據分布列的性質以及期望公式即可求出參數
若隨機變量的分布列如下表，且， 則表中的值為_______.
【答案】
【解析】根據概率之和為求得的值，然后利用隨機變量的數學期望值可求出實數的值.
【詳解】由于概率之和為，則，
，解得.
已知X的分布列為
X ﹣1 0 1
P
且Y＝aX+3，E（Y），則a為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】先求出（﹣1）01．再由Y＝aX+3得．
∴a（）+3，解得a＝2．
（高二下·江蘇鎮江·期末）已知隨機變量滿足，其中，若，則 ， ．
【答案】
【詳解】由，
可得，，，
所以，則，
又，則.
【鞏固練習1】設離散型隨機變量可能的取值為1，2，3，4，，若的均值 ，則等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】將，2，3，4代入的表達式，利用概率之和為1列方程，利用期望值列出第二個方程，聯立方程組，可求解得的值.
【詳解】依題意可的的分布列為：
1 2 3 4
依題意得，解得，，故.
【鞏固練習2】某項上機考試的規則是：每位學員最多可上機考試3次，一旦通過，則停止考試；否則一直到3次上機考試結束為止.某學員一次上機考試通過的概率為，考試次數為X，若X的數學期望，則p的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根據獨立重復實驗的概率計算方法求出隨機變量X的分布列，根據數學期望的公式即可計算p的范圍.
【詳解】考試次數的所有可能取值為1，2，3，
，，，
∴，
即，解得或，又，故．
【鞏固練習3】已知隨機變量X，Y滿足，Y的期望，X的分布列為：
X 0 1
P a b
則a，b的值分別為（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根據期望的性質可求得，再根據期望公式及概率之和為1，列出方程組，解之即可得解.
【詳解】解：因為，
所以，則有，解得.
【題型4】求離散型隨機變量的方差、標準差
離散型隨機變量的方差、標準差
(1)定義
設離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 xi xn
P p1 p2 pi pn
則稱D(X)=+++=為隨機變量X的方差，并稱為隨機變量X的標準差，記為(X).
(2)意義
隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中，方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.
（高二·遼寧遼陽·期末）小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先找出X的取值可能，計算每種可能的概率后結合方差定義計算即可得.
【詳解】由題意可知，X的取值可能為，，，
因為，
，
，
所以，
故．
（高二·廣東廣州·期末）隨機變量有3個不同的取值，且其分布列如下：
0 1
則的值為 ．
【答案】
【分析】根據給定表格，求出的分布列，再利用方差的定義計算即得.
【詳解】依題意，的取值為0，1，且，，
則的期望，
所以的方差.
故答案為：
【鞏固練習1】（高二下·山東濰坊·期末）隨機變量的分布列是
2 4
P a b
若，則 ．
【答案】
【分析】根據概率之和等于1及求得，然后再利用方差公式即可求得答案.
【詳解】解：，即，
又因，所以，
所以.
【鞏固練習2】若離散型隨機變量的分布列為
0 1
則的方差 .
【答案】
【分析】根據分布列的性質求出參數的值，在根據期望、方差公式計算可得.
【詳解】由，解得或（舍去）.
的分布列為
，則.
【鞏固練習3】（高二下·山東淄博·期末）隨機變量X的分布列為：
X 1 2 3
P
則 ．
【答案】
【分析】利用概率之和為1算出，然后利用期望和方差的計算公式進行計算即可.
【詳解】由概率之和為1可得，
，
【鞏固練習4】（浙江杭州·期末）在一次隨機試驗中，事件發生的概率為，事件發生的次數為，則期望 ，方差的最大值為 ．
【答案】
【詳解】記事件發生的次數為可能的值為
期望
方差
故期望，方差的最大值為
【題型5】方差的性質
若離散型隨機變量X的方差為，，其中a,b為常數，則Y也是一個離散型隨機變量，且.
若數據的平均數為，方差為，則的平均數和方差分別為（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用期望、方差性質求新數據的期望、方差.
【詳解】由期望、方差的性質知：，
離散型隨機變量的分布列為，，2，3，…，6，其期望為，若，則 .
【答案】
【分析】根據方差的定義求得，然后利用方差性質求解即可.
【詳解】由題意及方差定義知，所以.
【鞏固練習1】若隨機變量的分布列如表，且，則的值為（ ）
0 2
A．9.2 B．5 C．4 D．1
【分析】由概率之和等于1得出，求出方差，并由方差性質求解即可.
【詳解】由題意可得：，解得，因為，所以，
解得．所以．
所以．
【鞏固練習2】已知隨機變量X滿足，，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【分析】根據期望和方差公式，即可判斷選項.
【詳解】，得，
，.
【鞏固練習3】設，若隨機變量的分布列如下表：
－1 0 2
P a 2a 3a
則下列方差中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用期望和方差的計算公式及其方差的性質分別求解即可.
【詳解】由題意，得，則，
所以，，
所以，，
所以，，
即最大
【題型6】方差的期望表示*
利用數學期望計算方差非常簡便，尤其是樣本數較多的情形。
（高二下·安徽黃山·期末）隨機變量的分布列如下表，則 .
0 1 2
0.4 0.2
【答案】20
【分析】由概率和為1求出a，先求出和，進而求出.
【詳解】由，所以，，
（2023高二·安徽）一離散型隨機變量的分布列為：
0 1 2 3
0.1
其中為變數，為正常數，且當時方差有最大值，則的值為 ．
【答案】0.1
【分析】由題意得再利用期望、方差的性質計算可得答案.
【詳解】由題意得，，
，
當時有最大值，此時，解得．
【鞏固練習1】（浙江·期中）將2名科學家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學家之間的航天員人數，則 ， ．
【答案】 1 1
【分析】根據題意可得的所有可能取值為0，1，2，3，求出對應的概率，進而求出和，根據計算即可.
【詳解】解：的所有可能取值為0，1，2，3．
；
；
；
．
得，
所以，
所以．
【鞏固練習2】（高二下·吉林長春·期中）若p為非負實數，隨機變量X的分布列為下表，則的最大值是 ．
X 0 1 2
P
【答案】1
【分析】根據所給的分布列，寫出關于概率p的不等式組，解出p的范圍，寫出期望和方差的表示式，根據p的范圍，求出最值.
【詳解】，，
，，
，
當時，.
【題型7】求兩點分布的均值與方差
一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么________．
【答案】
【解析】先求出，再由隨機變量的線性關系的期望性質，即可求解.
【詳解】，
（多選）已知隨機變量服從兩點分布，且，若，則下列判斷不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用兩點分布的期望與方差公式求解即可.
【詳解】依題意，得，，服從兩點分布，
所以，，，，
因為，則，，
所以，，，
所以，，，
，即，
所以ACD錯誤，B正確.
【鞏固練習1】已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么 ．
【答案】
【解析】先求出，再由隨機變量的線性關系的期望性質，即可求解.
【詳解】，
故答案為：
【鞏固練習2】（高二·廣西桂林·期末）一位足球運動員在有人防守的情況下，射門命中的概率，用隨機變量表示他一次射門的命中次數，則 ．
【答案】
【分析】先求出期望，借助期望求方差.
【詳解】由題知，一次射門命中次數為0次或1次，
,
因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3，
【鞏固練習3】（多選）若隨機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】首先寫出兩點分布，再根據期望和方差公式求，，再根據，，計算期望和方差.
【詳解】因為隨機變量服從兩點分布，且，所以，
，所以，故A正確；
，故B正確；
，故C正確；
，故D不正確.
【題型8】離散型隨機變量的綜合問題
（高二下·廣東廣州·期末）猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名．某嘉賓參加猜歌名節目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲歌名的概率及猜對時獲得相應的公益基金分別是：猜對歌曲A的概率為0.8，可獲公益基金1千元；猜對歌曲的概率為0.5，可獲公益基金2千元；猜對歌曲的概率為0.5，可獲公益基金3千元．規則如下：按照的順序猜，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，記嘉賓獲得的公益基金總額為千元，則（ ）
A．
B．
C．
D．獲得公益基金的期望值與猜歌順序無關
【答案】BC
【分析】確定X的取值，求得每個值對應概率，可判斷A；繼而可求得期望和方差，根據期望和方差的性質可判斷B，C；再求出按照的順序猜時的期望值，比較可判斷D.
【詳解】由題意，可分別用表示猜對三首歌曲歌名的的事件，則相互獨立，
按照的順序猜，則X的取值可能為，
則，，
，，
則，
，
故，，
由此可知A錯誤；B正確，C正確；
假設按照的順序猜，設Y表示此時獲得的公益基金總額
則，，
，，
則，
與按照的順序猜的期望值不同，故D錯誤
甲、乙兩人進行投籃比賽，分輪次進行，每輪比賽甲、乙各投籃一次．比賽規定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都
投中或都未投中，甲、乙均得0分．當甲、乙兩人累計得分的差值大于或等于4分時，就停止比賽，分數多的獲勝：4輪比賽后，若甲、乙兩人累計得分的差值小于4分也停止比賽，分數多的獲勝，分數相同則平局、甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.5和0.6，且互不影響．一輪比賽中甲的得分記為X．
(1)求X的分布列；
(2)求甲、乙兩人最終平局的概率；
(3)記甲、乙一共進行了Y輪比賽，求Y的分布列及期望．
【答案】(1)分布列見解析
(2)
(3)分布列見解析，期望為
【分析】（1）X的所有可能取值為－1，0，1，求出相應的概率列出分布列即可；
（2）因為甲、乙兩人最終平局，所以甲、乙一定進行了四輪比賽分三種情況：①四輪比賽中甲、乙均得0分；②四輪比賽中有兩輪甲、乙均得0分，另兩輪，甲、乙各得1分；③四輪比賽中甲、乙各得2分，且前兩輪甲、乙各得1分；再分別求出每一種情況的概率相加即可；
（3）Y的所有可能取值為2，3，4，求出對應的概率列出分布列即可.
【詳解】（1）依題意，
X的所有可能取值為－1，0，1．
，
，
，
所以X的分布列為
X －1 0 1
P 0.3 0.5 0.2
（2）因為甲、乙兩人最終平局，所以甲、乙一定進行了四輪比賽分三種情況：
①四輪比賽中甲、乙均得0分，其概率為．
②四輪比賽中有兩輪甲、乙均得0分，另兩輪，甲、乙各得1分，
其概率為．
③四輪比賽中甲、乙各得2分，且前兩輪甲、乙各得1分，
其概率為．
故甲、乙兩人最終平局的概率為．
（3）Y的所有可能取值為2，3，4．
，
，
，
所以Y的分布列為
Y 2 3 4
P 0.13 0.13 0.74
．
，，，四人進行羽毛球單打循環練習賽，其中每局有兩人比賽，每局比賽結束時，負的一方下場，第1局由，對賽，接下來按照，的順序上場第2局、第3局（來替換負的那個人），每次負的人其上場順序排到另外2個等待上場的人之后（即排到最后一個），需要再等2局（即下場后的第3局）才能參加下一場練習賽.設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果相互獨立.
(1)求前4局都不下場的概率；
(2)用表示前局中獲勝的次數，求的分布列和數學期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據前4局A都不下場，由前4局A都獲勝求解；
（2）由的所有可能取值為0，1，2，3，4，分別求得其概率，列出分布列，再求期望.
【詳解】（1）前4局都不下場說明前4局都獲勝，
故前局都不下場的概率
（2）依題意的所有可能取值為0，1，2，3，4，
其中，表示第1局輸，第4局是上場，且輸，則；
表示第1局輸，第4局是上場，且贏或第1局贏，且第2局輸，
則；
表示第1局贏，且第2局贏，第3局輸，
則；
表示第1局贏，且第2局贏，第3局贏，第4局輸，
則；
表示第1局贏，且第2局贏，第3局贏，第4局贏，
則
所以的分布列為
0 1 2 3 4
故的數學期望為
【鞏固練習1】（高二下·福建廈門·期中）甲乙兩名運動員進行五局三勝制的乒乓球比賽，先贏3局的運動員獲勝，并結束比賽，設各局比賽的結果相互獨立，每局比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為，設為結束比賽所需要的局數，隨機變量X的數學期望是 .
【答案】
【分析】先分析的所有取值，再求出，，，列出分布列，再利用期望公式求解即可．
【詳解】由題意可知的所有取值可能為：3，4，5，
包含甲贏前三局和乙贏前三局兩種情況，
則；
包含甲贏前三局中的兩局和第四局和乙贏前三局中的兩局和第四局兩種情況，
則，
，
則的分布列如下：
3 4 5
則
【鞏固練習2】2023年3月的體壇屬于“冰上運動”，速滑世錦賽、短道速滑世錦賽、花滑世錦賽將在荷蘭、韓國、日本相繼舉行．中國隊的“冰上飛將”們將在北京冬奧會后再度出擊，向獎牌和金牌發起沖擊．據了解，甲、乙、丙三支隊伍將會參加2023年3月10日~12日在首爾舉行的短道速滑世錦賽5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力賽分為預賽、半決賽和決賽，只有預賽、半
決賽都獲勝才能進入決賽．已知甲隊在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；乙隊在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；丙隊在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為p和，其中．
(1)甲、乙、丙三隊中，誰進入決賽的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三隊中恰有兩對進入決賽的概率為，求p的值；
(3)在（2）的條件下，設甲、乙、丙三隊中進入決賽的隊伍數為，求的分布列
【答案】(1)乙；
(2)；
(3)分布列見解析.
【分析】（1）根據概率乘法公式，結合配方法進行求解即可；
（2）根據概率的加法公式和乘法公式進行求解即可；
（3）根據概率的乘法公式進行求解即可.
【詳解】（1）甲隊進入決賽的概率為，
乙隊進入決賽的概率為，
丙隊進入決賽的概率為，因為，
所以，顯然乙隊進入決賽的概率最大，所以乙進入決賽的可能性最大；
（2）因為甲、乙、丙三隊中恰有兩對進入決賽的概率為，所以有，
解得，或，因為，所以；
（3）由題意可知：甲、乙、丙三隊進入決賽的概率分別為、、，
的可能取值為、、、，
，
，，
，
所以的分布列為：
0 1 2 3
【鞏固練習3】某校體育節組織定點投籃比賽，每位參賽選手共有3次投籃機會．統計數據顯示，每位選手投籃投進與否滿足：若第次投進的概率為，當第次投進時，第次也投進的概率保持不變，當第次沒能投進時，第次能投進的概率為．
(1)若選手甲第1次投進的概率為，求選手甲至少投進一次的概率；
(2)設選手乙第1次投進的概率為，每投進1球得1分，投不進得0分，求選手得分的分布列與數學期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，期望
【分析】（1）記選手甲第次投進為事件，未投進為事件，利用概率的乘法公式求解即可；
（2）的取值可為，分別求出對于的概率，然后再求期望.
【詳解】（1）記選手甲第次投進為事件，未投進為事件，
則選手甲至少投進一次這一事件的概率為，
因為，
所以；
（2）選手乙得分的取值可為，
記選手乙第次投進為事件，
根據題意，3次都投進的概率依次為，
，
，
，
，
所以的分布列為
.
【鞏固練習4】拋擲甲、乙兩枚質地均勻的骰子，所得的點數分別為a，b，記的取值為隨機變量X，其中表示不超過的最大整數.
(1)求在的條件下，的概率；
(2)求X的分布列及其數學期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）利用列舉法結合條件概率公式即可得解；
（2）寫出隨機變量的所有可能取值，求出對應概率，即可得出分布列，再根據期望公式求期望即可.
【詳解】（1）記拋擲骰子的樣本點為，
則樣本空間為，
則，
記事件“”，記事件“”，
則，且，
又
，
則，
所以，
即在的條件下，的概率為；
（2）所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6.
，，，
，，，，
所以的分布列為：
0 1 2 3 4 5 6
所以.專題7-3 離散型隨機變量的均值與方差（數字特征）
【題型1】求離散型隨機變量的均值（期望）
【題型2】 均值的性質
【題型3】由離散型隨機變量的均值求參數
【題型4】求離散型隨機變量的方差、標準差
【題型5】方差的性質
【題型6】方差的期望表示*
【題型7】求兩點分布的均值與方差
【題型8】離散型隨機變量的綜合問題
【題型1】求離散型隨機變量的均值（期望）
離散型隨機變量的均值
(1)定義
一般地，若離散型隨機變量X的分布列如下表所示：
X x1 x2 xn
P
則稱為離散型隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱期望，它反映了隨機變量取值的平均水平.
(2)對均值(期望)的理解
求離散型隨機變量的期望應注意：
①期望是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均.
②是一個實數，由X的分布列唯一確定，即作為隨機變量，X是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述X取值的平均狀態.
③均值與隨機變量有相同的單位.
某日A，B兩個沿海城市受臺風襲擊的概率相同，已知A市或B市至少有一個受臺風襲擊的概率為0.36，若用X表示這一天受臺風襲擊的城市個數，則E(X)＝(　　 )
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
（高二下·山東濱州·期中）已知隨機變量X的分布列如下所示，則（ ）
X 0 2 4
P m
A．2 B．3 C．4 D．5
某射手射擊一次所得環數X的分布列如下表：
X 7 8 9 10
P 0.1 0.4 0.3 0.2
現該射手進行兩次射擊，以兩次射擊中所得最高環數作為他的成績，記為，則______.
（高二下·浙江嘉興·期中）不透明的盒子中有個球，其中個綠球，個紅球，這個小球除顏色外完全相同，每次不放回的從中取出個球，取出紅球即停. 記為此過程中取到的綠球的個數.
(1)求；(2)寫出隨機變量的分布列，并求.
【鞏固練習1】已知離散型隨機變量的概率分布列如下表：則數學期望等于（ ）
A． B． C． D．
【鞏固練習2】（高二下·湖南衡陽·期中）一袋中裝有編號分別為1，2，3，4的4個球，現從中隨機取出2個球，用表示取出球的最大編號，則（ ）
A．2 B．3 C． D．
【鞏固練習3】（高二下·福建漳州·期中）某市衛生防疫部門為了控制某種病毒的傳染，提供了批號分別為1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所轄的，，三個區市民接種，每個區均能從中任選一個批號的疫苗接種，則三個區市民接種的疫苗批號中恰好有兩個區相同的概率是 ；記，，三個區選擇的疫苗批號的中位數為，則的期望是 .
【題型2】 均值的性質
若離散型隨機變量X的均值為E(X)，Y=aX+b，其中a,b為常數，則Y也是一個離散型隨機變量，且
.
特別地，當時，；當時，；當時，.
已知隨機變量X的分布列表如下表，且隨機變量，則Y的期望是（ ）
X -1 0 1
m
A． B． C． D．
已知隨機變量滿足，則（ ）
A．或4 B．2 C．3 D．4
【鞏固練習1】已知的分布列為：
設則的值為
A． B． C． D．5
【鞏固練習2】設離散型隨機變量X可能取的值為1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，則a＋b＝__.
【鞏固練習3】已知隨機變量X的分布列如下表所示
x 1 2 3 4 5
P 0.1 0.2 b 0.2 0.1
則的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【題型3】由離散型隨機變量的均值求參數
根據分布列的性質以及期望公式即可求出參數
若隨機變量的分布列如下表，且， 則表中的值為_______.
已知X的分布列為
X ﹣1 0 1
P
且Y＝aX+3，E（Y），則a為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（高二下·江蘇鎮江·期末）已知隨機變量滿足，其中，若，則 ， ．
【鞏固練習1】設離散型隨機變量可能的取值為1，2，3，4，，若的均值 ，則等于（ ）
A． B． C． D．
【鞏固練習2】某項上機考試的規則是：每位學員最多可上機考試3次，一旦通過，則停止考試；否則一直到3次上機考試結束為止.某學員一次上機考試通過的概率為，考試次數為X，若X的數學期望，則p的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【鞏固練習3】已知隨機變量X，Y滿足，Y的期望，X的分布列為：
X 0 1
P a b
則a，b的值分別為（ ）
A． B．
C． D．
【題型4】求離散型隨機變量的方差、標準差
離散型隨機變量的方差、標準差
(1)定義
設離散型隨機變量X的分布列為
X x1 x2 xi xn
P p1 p2 pi pn
則稱D(X)=+++=為隨機變量X的方差，并稱為隨機變量X的標準差，記為(X).
(2)意義
隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機變量取值的離散程度.方差或標準差越小，隨機變量的取值越集中，方差或標準差越大，隨機變量的取值越分散.
（高二·遼寧遼陽·期末）小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（ ）
A． B． C． D．
（高二·廣東廣州·期末）隨機變量有3個不同的取值，且其分布列如下：
0 1
則的值為 ．
【鞏固練習1】（高二下·山東濰坊·期末）隨機變量的分布列是
2 4
P a b
若，則 ．
【鞏固練習2】若離散型隨機變量的分布列為
0 1
則的方差 .
【鞏固練習3】（高二下·山東淄博·期末）隨機變量X的分布列為：
X 1 2 3
P
則 ．
【鞏固練習4】（浙江杭州·期末）在一次隨機試驗中，事件發生的概率為，事件發生的次數為，則期望 ，方差的最大值為 ．
【題型5】方差的性質
若離散型隨機變量X的方差為，，其中a,b為常數，則Y也是一個離散型隨機變量，且.
若數據的平均數為，方差為，則的平均數和方差分別為（ ）
A． B． C． D．
離散型隨機變量的分布列為，，2，3，…，6，其期望為，若，則 .
【鞏固練習1】若隨機變量的分布列如表，且，則的值為（ ）
0 2
A．9.2 B．5 C．4 D．1
【鞏固練習2】已知隨機變量X滿足，，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【鞏固練習3】設，若隨機變量的分布列如下表：
－1 0 2
P a 2a 3a
則下列方差中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【題型6】方差的期望表示*
利用數學期望計算方差非常簡便，尤其是樣本數較多的情形。
（高二下·安徽黃山·期末）隨機變量的分布列如下表，則 .
0 1 2
0.4 0.2
（2023高二·安徽）一離散型隨機變量的分布列為：
0 1 2 3
0.1
其中為變數，為正常數，且當時方差有最大值，則的值為 ．
【鞏固練習1】（浙江·期中）將2名科學家和3名航天員從左到右排成一排合影留念，用表示兩名科學家之間的航天員人數，則 ， ．
【鞏固練習2】（高二下·吉林長春·期中）若p為非負實數，隨機變量X的分布列為下表，則的最大值是 ．
X 0 1 2
P
【題型7】求兩點分布的均值與方差
一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.
已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么________．
（多選）已知隨機變量服從兩點分布，且，若，則下列判斷不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【鞏固練習1】已知隨機變量服從兩點分布，且，設，那么 ．
【鞏固練習2】（高二·廣西桂林·期末）一位足球運動員在有人防守的情況下，射門命中的概率，用隨機變量表示他一次射門的命中次數，則 ．
【鞏固練習3】（多選）若隨機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【題型8】離散型隨機變量的綜合問題
（高二下·廣東廣州·期末）猜歌名游戲是根據歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名．某嘉賓參加猜歌名節目，猜對每首歌曲的歌名相互獨立，猜對三首歌曲歌名的概率及猜對時獲得相應的公益基金分別是：猜對歌曲A的概率為0.8，可獲公益基金1千元；猜對歌曲的概率為0.5，可獲公益基金2千元；猜對歌曲的概率為0.5，可獲公益基金3千元．規則如下：按照的順序猜，只有猜對當前歌曲的歌名才有資格猜下一首，記嘉賓獲得的公益基金總額為千元，則（ ）
A． B．
C． D．獲得公益基金的期望值與猜歌順序無關
甲、乙兩人進行投籃比賽，分輪次進行，每輪比賽甲、乙各投籃一次．比賽規定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．當甲、乙兩人累計得分的差值大于或等于4分時，就停止比賽，分數多的獲勝：4輪比賽后，若甲、乙兩人累計得分的差值小于4分也停止比賽，分數多的獲勝，分數相同則平局、甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.5和0.6，且互不影響．一輪比賽中甲的得分記為X．
(1)求X的分布列；(2)求甲、乙兩人最終平局的概率；
(3)記甲、乙一共進行了Y輪比賽，求Y的分布列及期望．
，，，四人進行羽毛球單打循環練習賽，其中每局有兩人比賽，每局比賽結束時，負的一方下場，第1局由，對賽，接下來按照，的順序上場第2局、第3局（來替換負的那個人），每次負的人其上場順序排到另外2個等待上場的人之后（即排到最后一個），需要再等2局（即下場后的第3局）才能參加下一場練習賽.設各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結果相互獨立.
(1)求前4局都不下場的概率；(2)用表示前局中獲勝的次數，求的分布列和數學期望.
【鞏固練習1】（高二下·福建廈門·期中）甲乙兩名運動員進行五局三勝制的乒乓球比賽，先贏3局的運動員獲勝，并結束比賽，設各局比賽的結果相互獨立，每局比賽甲贏的概率為，乙贏的概率為，設為結束比賽所需要的局數，隨機變量X的數學期望是 .
【鞏固練習2】2023年3月的體壇屬于“冰上運動”，速滑世錦賽、短道速滑世錦賽、花滑世錦賽將在荷蘭、韓國、日本相繼舉行．中國隊的“冰上飛將”們將在北京冬奧會后再度出擊，向獎牌和金牌發起沖擊．據了解，甲、乙、丙三支隊伍將會參加2023年3月10日~12日在首爾舉行的短道速滑世錦賽5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力賽分為預賽、半決賽和決賽，只有預賽、半決賽都獲勝才能進入決賽．已知甲隊在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；乙隊在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；丙隊在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為p和，其中．
(1)甲、乙、丙三隊中，誰進入決賽的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三隊中恰有兩對進入決賽的概率為，求p的值；
(3)在（2）的條件下，設甲、乙、丙三隊中進入決賽的隊伍數為，求的分布列
【鞏固練習3】某校體育節組織定點投籃比賽，每位參賽選手共有3次投籃機會．統計數據顯示，每位選手投籃投進與否滿足：若第次投進的概率為，當第次投進時，第次也投進的概率保持不變，當第次沒能投進時，第次能投進的概率為．
(1)若選手甲第1次投進的概率為，求選手甲至少投進一次的概率；
(2)設選手乙第1次投進的概率為，每投進1球得1分，投不進得0分，求選手得分的分布列與數學期望．
【鞏固練習4】拋擲甲、乙兩枚質地均勻的骰子，所得的點數分別為a，b，記的取值為隨機變量X，其中表示不超過的最大整數.
(1)求在的條件下，的概率；(2)求X的分布列及其數學期望.

展開更多......

收起↑