資源簡介

2009年中考數學復習教材回歸知識講解+例題解析+強化訓練
反比例函數在中考中的常見題型
◆知識講解
1．反比例函數的圖像是雙曲線，故也稱雙曲線y=（k≠0）．
2．反比例函數y=（k≠0）的性質
（1）當k>0時函數圖像的兩個分支分別在第一，三象限內在每一象限內，y隨x的增大而減?。?br/> （2）當k<0時函數圖像的兩個分支分別在第二，四象限內在每一象限內，y隨x的增大而增大．
（3）在反比例函數y=中，其解析式變形為xy=k，故要求k的值，也就是求其圖像上一點橫坐標與縱坐標之積，通常將反比例函數圖像上一點的坐標當作某一元二次方程的兩根，運用兩根之積求k的值．
（4）若雙曲線y=圖像上一點（a，b）滿足a，b是方程Z2－4Z－2=0的兩根，求雙曲線的解析式．由根與系數關系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故雙曲線的解析式是y=．
（5）由于反比例函數中自變量x和函數y的值都不能為零，所以圖像和x軸，y軸都沒有交點，但畫圖時要體現出圖像和坐標軸無限貼近的趨勢．
◆例題解析
例1 （2006，上海市）如圖，在直角坐標系中，O為原點，點A在第一象限，它的縱坐標是橫坐標的3倍，反比例函數y=的圖像經過點A，
（1）求點A的坐標；
（2）如果經過點A的一次函數圖像與y軸的正半軸交于點B，且OB=AB，求這個一次函數的解析式．
【分析】（1）用含一個字母a的代數式表示點A的橫坐標，縱坐標，把點A的坐標代入y=可求得a的值，從而得出點A的坐標．
（2）設點B的坐標為（0，m），根據OB=AB，可列出關于m的一個不等式，從而求出點B的坐標，進而求出經過點A，B的直線的解析式．
【解答】（1）由題意，設點A的坐標為（a，3a），a>0．
∵點A在反比例函數y=的圖像上，得3a=，解得a1=2，a2=－2，經檢驗a1=2，a2=－2是原方程的根，但a2=－2不符合題意，舍去．
∴點A的坐標為（2，6）．
（2）由題意，設點B的坐標為（0，m）．
∵m>0，∴m=．
解得m=，經檢驗m=是原方程的根，
∴點B的坐標為（0，）．
設一次函數的解析式為y=kx+．
由于這個一次函數圖像過點A（2，6），
∴6=2k+，得k=．
∴所求一次函數的解析式為y=x+．
例2 如圖，已知Rt△ABC的頂點A是一次函數y=x+m與反比例函數y=的圖像在第一象限內的交點，且S△AOB=3．
（1）該一次函數與反比例函數的解析式是否能完全確定？如能確定，請寫出它們的解析式；如不能確定，請說明理由．
（2）如果線段AC的延長線與反比例函數的圖像的另一支交于D點，過D作DE⊥x軸于E，那么△ODE的面積與△AOB的面積的大小關系能否確定？
（3）請判斷△AOD為何特殊三角形，并證明你的結論．
【分析】△AOB是直角三角形，所以它的面積是兩條直角邊之積的，而反比例函數圖像上任一點的橫坐標，縱坐標之積就是反比例函數中的系數．由題意不難確定m，則所求一次函數，反比例函數的解析式就確定了．
由反比例函數的定義可知，過反比例函數圖像上任一點作x軸，y軸的垂線，該點與兩垂足及原點構成的矩形的面積都是大小相等的．
【解答】（1）設B（x，0），則A（x0，），其中0>0，m>0．
在Rt△ABO中，AB=，OB=x0．
則S△ABO =·x0·=3，即m=6．
所以一次函數的解析式為y=x+6；反比例函數的解析式為y=．
（2）由得x2+6x－6=0，
解得x1=－3+，x2=－3－．
∴A（－3+，3+），D（－3－，3－）．
由反比例函數的定義可知，對反比例函數圖像上任意一點P（x，y），有
y=．即xy=6．
∴S△DEO =│xDyD│=3，即S△DEO =S△ABO．
（3）由A（－3+，3+）和D（－3－，3－）可得AO=4，DO=4，即AO=DO．
由圖可知∠AOD>90°，∴△AOD為鈍角等腰三角形．
【點評】特殊三角形主要指邊的關系和角的關系．通過對直觀圖形的觀察，借助代數運算驗證，便不難判斷．
◆強化訓練
一、填空題
1．（2006，南通）如圖1，直線y=kx（k>0）與雙曲線y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則2x1y2－7x2y1的值等于_______．

圖1 圖2 圖3
2．（2006，重慶）如圖2，矩形AOCB的兩邊OC，OA分別位于x軸，y軸上，點B的坐標為B（－，5），D是AB邊上的一點，將△ADO沿直線OD翻折，使A點恰好落在對角線OB上的點E處，若點E在一反比例函數的圖像上，那么該函數的解析式是______．
3．近視眼鏡的度數y（度）與鏡片焦距x（m）成反比例，已知400度近視眼鏡鏡片的焦距為0.25m，則y與x的函數關系式為_______．
4．若y=中，y與x為反比例函數，則a=______．若圖像經過第二象限內的某點，則a=______．
5．反比例函數y=的圖像上有一點P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的兩個根，則k=_______；點P到原點的距離OP=_______．
6．已知雙曲線xy=1與直線y=－x+無交點，則b的取值范圍是______．
7．反比例函數y=的圖像經過點P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的兩個根，那么點P的坐標是_______．
8．（2008，咸寧）兩個反比例函數y=和y=在第一象限內的圖像如圖3所示，點P在y=的圖像上，PC⊥x軸于點C，交y=的圖像于點A，PD⊥y軸于點D，交y=的圖像于點B，當點P在y=的圖像上運動時，以下結論：
①△ODB與△OCA的面積相等；
②四邊形PAOB的面積不會發生變化；
③PA與PB始終相等
④當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點．
其中一定正確的是_______（把你認為正確結論的序號都填上，少填或錯填不給分）．
二、選擇題
9．（2008，濟南）如圖4所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角頂點A在直線y=x上，其中A點的橫坐標為1，且兩條直角邊AB，AC分別平行于x軸，y軸，若雙曲線y=（k≠0）與△ABC有交點，則k的取值范圍是（ ）
A．1 圖4 圖5 圖6
10．反比例函數y=（k>0）的第一象限內的圖像如圖5所示，P為該圖像上任意一點，PQ垂直于x軸，垂足為Q，設△POQ的面積為S，則S的值與k之間的關系是（ ）
A．S= B．S= C．S=k D．S>k
11．如圖6，已知點A是一次函數y=x的圖像與反比例函數y=的圖像在第一象限內的交點，點B在x軸的負半軸上，且OA=OB，那么△AOB的面積為（ ）
A．2 B． C． D．2
12．函數y=與y=mx－m（m≠0）在同一平面直角坐標系中的圖像可能是（ ）
13．如果不等式mx+n<0的解集是x>4，點（1，n）在雙曲線y=上，那么函數y=（n－1）x+2m的圖像不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．（2006，攀枝花）正比例函數y=2kx與反比例函數y=在同一坐標系中的圖像不可能是（ ）
15．已知P為函數y=的圖像上一點，且P到原點的距離為，則符合條件的P點數為（ ）
A．0個 B．2個 C．4個 D．無數個
16．如圖，A，B是函數y=的圖像上關于原點O對稱的任意兩點，AC平行于y軸，交x軸于點C，BD平行于y軸，交x軸于點D，設四邊形ADBC的面積為S，則（ ）
A．S=1 B．12
三、解答題
17．已知：如圖，反比例函數y=－與一次函數y=－x+2的圖像交于A，B兩點，求：
（1）A，B兩點的坐標； （2）△AOB的面積．
18．（2006，廣州白云區）如圖，已知一次函數y=kx+b的圖像與反比例函數y=－的圖像交于A，B兩點，且點A的橫坐標和點B的縱坐標都是－2，求：
（1）一次函數的解析式； （2）△AOB的面積．
19．已知函數y=的圖像上有一點P（m，n），且m，n是關于x方程x2－4ax+4a2－6a－8=0的兩個實數根，其中a是使方程有實根的最小整數，求函數y=的解析式．
20．（2006，北京市）在平面直角坐標系Oxy中，直線y=－x繞點O順時針旋轉90°得到直線L．直線L與反比例函數y=的圖像的一個交點為A（a，3），試確定反比例函數的解析式．
21．（2008，南通）如圖所示，已知雙曲線y=與直線y=x相交于A，B兩點．第一象限上的點M（m，n）（在A點左側）是雙曲線y=上的動點．過點B作BD∥y軸交x軸于點D．過N（0，－n）作NC∥x軸交雙曲線y=于點E，交BD于點C．
（1）若點D的坐標是（－8，0），求A，B兩點的坐標及k的值；
（2）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式；
（3）設直線AM，BM分別與y軸相交于P，Q兩點，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．
22．如圖，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AD=10，∠A=60°，以CD為弦的弓形弧與AD相切于D，P是AB上的一個動點，可以與B重合但不與A重合，DP交弓形弧于Q．
（1）求證：△CDQ∽△DPA；
（2）設DP=x，CQ=y，試寫出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當DP之長是方程x2－8x－20=0的一根時，求四邊形PBCQ的面積．
答案:
1．20 2．y=－ 3．y= 4．2或－1；－1
5．－2；2 6．0≤b<4 7．（－2，－2）
8．①②④ 9．C 10．B 11．C 12．C 13．B 14．D 15．A 16．C
17．（1）由，解得，
∴A（－2，4），B（4，－2）．
（2）當y=0時，x=2，故y=－x+2與x軸交于M（2，0），∴OM=2．
∴S△AOB=S△AOM +S△BOM =OM·│yA│+OM·│yB│=·2·4+·2·2=4+2=6．
18．（1）y=－x+2 （2）S△AOB =6
19．由△=（－4a）2－4（4a2－6a－8）≥0得a≥－，
又∵a是最小整數，
∴a=－1．
∴二次方程即為x2+4x+2=0，又mn=2，而（m，n）在y=的圖像上，∴n=，∴mn=k，∴k=2，∴y=．
20．依題意得，直線L的解析式為y=x．
∵A（a，3）在直線y=x上，
則a=3．即A（3，3）．
又∵A（3，3）在y=的圖像上，
可求得k=9．
∴反比例函數的解析式為y=．
21．（1）∵D（－8，0），∴B點的橫坐標為－8，代入y=x中，得y=－2．
∴B點坐標為（－8，－2），而A，B兩點關于原點對稱，∴A（8，2）．
從而k=8×2=16．
（2）∵N（0，－n），B是CD的中點，A，B，M，E四點均在雙曲線上，
∴mn=k，B（－2m，－），C（－2m，－n），E（－m，－n）．
S矩形DCNO=2mn=2k，S△DBO=mn=k，S△OEN =mn=k，
∴S四邊形OBCE=S矩形DCNO－S△DBO －S△OEN =k．
∴k=4．
由直線y=x及雙曲線y=，得A（4，1），B（－4，－1），
∴C（－4，－2），M（2，2）．
設直線CM的解析式是y=ax+b，由C，M兩點在這條直線上，得
解得a=b=．
∴直線CM的解析式是y=x+．
（3）如圖所示，分別作AA1⊥x軸，MM1⊥x軸，垂足分別為A1，M1．
設A點的橫坐標為a，則B點的橫坐標為－a，于是p=．
同理q==，
∴p－q=－=－2．
22．（1）證∠CDQ=∠DPA，∠DCQ=∠PDA．
（2）y=（8≤x≤）．
（3）S四邊形PBCQ=48－9．
2009年中考數學復習教材回歸知識講解+例題解析+強化訓練
一元二次方程
◆知識講解
1．一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a，b，c是常數，a≠0）
2．一元二次方程的解法
（1）直接開平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法．一元二次方程的求根公式是
x=（b2－4ac≥0）．
3．二元三項式ax2+bx+c=a（x－x1）（x－x2）．其中x1，x2是關于x的方程ax2+bx+c=0的兩個實數根．
4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2－4ac．當△>0時，方程有兩個不相等的實數根x1=，x2=；當△=0時，方程有兩個相等實數根x1=x2=－；當△<0時，方程沒有實數根．
5．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個實數根為x1，x2，則x1+x2=－，x1x2=．
6．以x1，x2為根的一元二次方程可寫成x2－（x1+x2）x+x1x2=0．
7．使用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2－4ac解題的前提是二次項系數a≠0．
8．若x1，x2是關于x的方程ax2+bx+c=0的兩根，則ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0．反之，若ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1≠x2，則x1，x2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根．
9．一元二次方程的應用
列一元二次方程解應用問題的步驟和解法與前面講過的列方程解應用題的方法步驟相同，但在解題中心須注意所求出的方程的解一定要使實際問題有意義，凡不滿足實際問題的解（雖然是原方程的解）一定要舍去．
◆例題解析
例1 （2006，四川綿陽）若0是關于x的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0的解，求實數m的值，并討論此方程解的情況．
【分析】這是一道確定待定系數m的一元二次方程，又討論方程解的情況的優秀考題，需要考生具備分類討論的思維能力．
【解答】由題知：（m－2）×02+3×0+m2+2m－8=0，∴m2+2m－8=0．
利用求根公式可解得m1=2，或m2=－4．
當m=2時，原方程為3x=0，此時方程只有一個解，x=0．
當m=－4時，原方程可化為2x2－x=0，解得x1=0，x2=．
例2 （2006，北京海淀）已知下列n（n為正整數）個關于x的一元二次方程：
x2－1=0 （1）
x2+x－2=0 （2）
x2+2x－3=0 （3）
……
x2+（n－1）x－n=0 （n）
（1）請解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）；
（2）請你指出這n個方程的根具有什么共同特點，寫出一條即可．
【分析】由具體到一般進行探究．
【解答】（1）<1>（x+1）（x－1）=0，所以x1=－1，x2=1．
<2>（x+2）（x－1）=0，所以x1=－2，x2=1．
<3>（x+3）（x－1）=0，所以x1=－3，x2=1．
……
（x+n）（x－1）=0，所以x1=－n，x2=1．
（2）比如：共同特點是：都有一個根為1；都有一個根為負整數；兩個根都是整數根等．
【點評】本例從教材要求的基本知識出發，探索具有某種特點的方程的解題規律及方程根與系數之間的關系，注重了對學生觀察、類比及聯想等數學思想方法的考查．
例3 （2005，黃岡市）張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵片的四個角各剪去一個邊長為1m的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15m3的無蓋長方體運輸箱．且此長方體運輸箱底面的長比寬多2m，現已知購買這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？
【分析】首先化無形為有形，畫出示意圖，分清底面、側面，底面的長與寬和長方體的高各用什么數或式子表示，然后利用體積相等列出方程求解．
【解答】設這種運輸箱底部寬為xm，則長為（x+2）m，依題意，
有x（x+2）×1=15化簡，得x2+2x－15=0．
∴x1=－5（舍去） x2=2．
所求鐵皮的面積為：（3+2）（5+2）m2=35m2．
所購矩形鐵皮所需金額為：35×20元=700元．
答：張大頻購回這張矩形鐵皮花了700元錢．
【點評】畫出示意圖是解題的關鍵．另外本題所采用的是間接設未知數的方法．若直接設出購買鐵皮所需金額就困難了．
◆強化訓練
一、填空題
1．方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化為一般形式為______，其中a=____，b=____，c=____．
2．方程（x－1）2=2的解是_______．
3．關于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一個根為零，則m的值等于_____．
4．配方：x2－6x+_____=（x－____）2；x2－x+______=（x－_____）2．
5．方程（x－1）（x+2）（x－3）=0的根是_______．
6．關于x的一元二次方程x2+mx+n=0的兩個根為x1=1，x2=－2，則x2+mx+n分解因式的結果是______．
7．若關于x的方程x2+px+1=0的一個實數根的倒數恰好是它本身，則p的值是____．
8．兩個連續整數的積為210，則這兩個數分別是_____．
9．若一個三角形的三邊長均滿足方程x2－6x+8=0，則此三角形的周長為_____．
10．如果a，b，c為互不相等的實數，且滿足關系式b2+c2=2a2+16a+14與bc=a2－4a－5，那么a的取值范圍是______．
二、選擇題
11．關于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一個根為2，則a的值是（ ）
A．1 B． C．－ D．±
12．若關于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常數項為0，則m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
13．關于x的一元二次方程x2－（k+1）x+k－2=0的根的情況是（ ）
A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法判斷
14．已知關于x的方程x2－（2k－1）x+k2=0有兩個不相等的實數根，那么k的最大整數值是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
15．方程mx2－4x+1=0的根（ ）
A． B． C． D．以上都不對
16．關于x的一元二次方程x2－3x+k=0有實數根，則k的取值范圍是（ ）
A．k< B．k> C．k≤ D．k≥
17．方程組的解是，那么方程x2+ax+b=0 （ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．有兩個根為2和3
18．若a，b是方程x2+2x－2002=0的兩個不相等的實數根，則a2+3a+b的值是（ ）
A．－2002 B．2002 C．2001 D．2000
三、解答題
19．解方程：
（1）x2－6x+9=（5－2x）2 （2）x2－4x+1=0
20．（2008，貴陽）汽車產業的發展，有效促進我國現代化建設，某汽車銷售公司2005年盈利1500萬元，到2007年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增長率相同．
（1）該公司2006年盈利多少萬元？
（2）若該公司盈利的年增長率繼續保持不變，預計2008年盈利多少萬元？
21．如果方程ax2－bx－6=0與方程ax2+2bx－15=0有一個公共根是3，求a，b的值，并求方程的另一個根．
22．（2008，南京）某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2：1，在溫室內沿前側內墻保留3m寬的空地，其他三側內墻各保留1m寬的通道．當矩形溫室的長與寬各為多少時，蔬菜種植區域的面積是288m2？
23．（2005，黃岡市）黃岡百貨商店服裝柜在銷售中發現：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”國際兒童節，商場決定采取適當的降價措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存，經市場調查發現，如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？
24．（2006，山東棗莊）近年來，由于受國際石油市場的影響，汽油價格不斷上漲，請你根據圖所示的信息，幫小明計算今年5月份汽油的價格．
25．（2006，重慶）機械加工需用油進行潤滑以減小摩擦，某企業加工一臺大型機械設備潤滑用油量為90kg，用油的重復利用率為60%，按此計算，加工一臺大型機械設備的實際耗油量為36kg．為了建設節約型社會，減少油耗，該企業的甲、乙兩個車間都組織了人員為減少實際耗油量進行攻關．
（1）甲車間通過技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量下降到70kg，用油的重復利用率仍然為60%，問甲車間技術革新后，加工一臺大型機械設備的實際耗油量是多少千克？
（2）乙車間通過技術革新后，不僅降低了潤滑用油量，同時也提高了用油的重復利用率，并且發現在技術革新前的基礎上，潤滑用油量每減少1kg，用油的重復利用率將增加1．6%，這樣乙車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量下降到12kg．問乙車間技術革新后，加工一臺大型機械設備的潤滑用油量是多少千克？用油的重復利用率是多少？
答案
1．5x2－x－3=0 5 －1 －3 2．x1=1+，x2=1－ 3．－3
4．9 3 5．x1=1，x2=－2，x3=3 6．（x－1）（x+2） 7．p=±2
8．14，15或－15，－14 9．6，12，10 10．a>－1
11．D 12．B 13．B 14．C 15．B 16．C 17．C 18．D
19．（1）x1=，x2=2
（2）x2－4x+1=0，x2－4x+4－4+1=0
∴（x－2）2=3，x－2=±
∴x1=2+，x2=2－．
20．（1）設每年盈利的年增長率為x，
根據題意得1500（1+x）2=2160．
解得x1=0.2，x2=－2.2（不合題意，舍去）
∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．
答：2006年該公司盈利1800萬元．
（2）2160（1+0.2）=2592．
答：預計2008年該公司盈利2592萬元．
21．方程①的另外一根是－2，方程②的另外一根是－5．
22．解法一：設矩形溫室的寬為xm，則長為2xm，根據題意，得
（x－2）·（2x－4）=288．
解這個方程，得x1=－10（不合題意，舍去），x2=14．
所以x=14，2x=2×14=28．
答：當矩形溫室的長為28m，寬為14m時，蔬菜種植區域的面積是288m2．
解法二：設矩形溫室的長為xm，則寬為xm．
根據題意，得（x－2）·（x－4）=288．
解這個方程，得x1=－20（不合題意，舍去），x2=28．
所以x=28×x=×28=14．
答：當矩形溫室的長為28m，寬為14m時，蔬菜種植區域的面積是288m2．
23．設每件童裝應降價x元，由題意，得（40－x）（20+2x）=1200，整理，得x2－30x+200=0，（x－10）（x－20）=0，∴x－10=0或x－20=0，解得x1=10，x2=20，因要盡快減少庫存，故x應取20．
24．設今年5月份汽油價格為x元/升，則去年5月份的汽油價格為（x－1．8）元/升．根據題意，得－=18.75，整理得x2－1.8x－14.4=0，解這個方程，得x1=4.8，x2=－3．經檢驗兩根都為原方程的根，但x2=－3不符合實際意義，故舍去．
答：今年5月份的汽油價格為4.8元/升．
25．（1）由題意，得70×（1－60%）=70×40%kg=28kg．
（2）設乙車間加工一臺大型機械設備潤滑用油量為xkg．
由題意，得x[1－（90－x）×1.6%－60%]=12．
整理，得x2－65x－750=0，解得：x1=75，x2=－10（舍去）．
（90－75）×1.6%+60%=84%．
答：（1）技術革新后，甲車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量是28kg．
（2）技術革新后，乙車間加工一臺大型機械設備潤滑用油量為75kg，用油的重復利用率為84%．
2009年中考數學復習教材回歸知識講解+例題解析+強化訓練
二元一次方程組
◆知識講解
1．二元一次方程組的有關概念
二元一次方程：含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程．
二元一次方程的解集：適合一個二元一次方程的每一對未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解．對于任何一個二元一次方程，令其中一個未知數取任意一個值，都能求出與它對應的另一個未知數的值．因此，任何一個二元一次方程都有無數多個解．由這些解組成的集合，叫做這個二元一次方程的解集．
二元一次方程組及其解：兩個二元一次方程合在一起就組成了一個二元一次方程組．一般地，能使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解．
2．二元一次方程組的解法
代入消元法：在二元一次方程組中選取一個適當的方程，將一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，消去一個未知數得到一元一次方程，求出這個未知數的值，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法．
加減消元法：兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相差，從而消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種求二元一次方程組的解的方法叫做加減消元法，簡稱加減法．
3．二元一次方程組的應用
對于含有多個未知數的問題，利用列方程組來解，一般比列一元一次方程解題容易得多．列方程組解應用問題有以下幾個步驟：
（1）選定幾個未知數；
（2）依據已知條件列出與未知數的個數相等的獨立方程，組成方程組；
（3）解方程組，得到方程組的解；
（4）檢驗求得未知數的值是否符合題意，符合題意即為應用題的解．
◆例題解析
例1 已知是方程組的解，求（m+n）的值．
【分析】由方程組的解的定義可知，同時滿足方程組中的兩個方程，將代入兩個方程，分別解二元一次方程，即得m和n的值，從而求出代數式的值．
【解答】把x=2，y=1代入方程組中，得
由①得m=－1，由②得n=0．
所以當m=－1，n=0時，（m+n）=（－1+0）=－1．
【點評】如果是方程組的解，那么它們就能滿足這個方程組中的每一個方程．
例2 （2008，長沙市）“5．12”汶川大地震后，災區急需大量帳篷．某服裝廠原有4條成衣生產線和5條童裝生產，工廠決定轉產，計劃用3天時間趕制1000頂帳篷支援災區．若啟用1條成衣生產線和2條童裝生產線，一天可以生產帳篷105頂；若啟用2條成衣生產線和3條童裝生產線，一天可以生產帳篷178頂．
（1）每條成衣生產線和童裝生產線平均每天生產帳篷各多少頂？
（2）工廠滿負荷全面轉產，是否可以如期完成任務？如果你是廠長，你會怎樣體現你的社會責任感？
【解答】（1）設每條成衣生產線和童裝生產線平均每天生產帳篷各x，y頂，則
解得：x=41；y=32
答：每條成衣生產線平均每天生產帳篷41頂，每條童裝生產線平均每天生產帳篷32頂．
（2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工廠滿負荷全面轉產，也不能如期完成任務．
可以從加班生產，改進技術等方面進一步挖掘生產潛力，或者動員其他廠家支援等，想法盡早完成生產任務，為災區人民多做貢獻．
例3 （2006，海南）某商場正在熱銷2008年北京奧運會吉祥物“福娃”和徽章兩種奧運商品，根據下圖提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的價格各是多少元？
【分析】本題以圖文形式提供了部分信息，主要考查學生運用二元一次方程組解決實際問題的能力．
【解答】設一盒“福娃”玩具和一枚徽章的價格分別為x元和y元．依題意，得解這個方程組，得
故一盒“福娃”玩具的價格為125元，一枚徽章的價格為10元．
例4 （2004，昆明市）為滿足用水量不斷增長的需求，昆明市最近新建甲，乙，丙三個水廠，這三個水廠的日供水量共計11.8萬m3，其中乙水廠的日供水量是甲水廠日供水量的3倍，丙水廠的日供水量比甲水廠日供水量的一半還多1萬m3．
（1）求這三個水廠的日供水量各是多少萬立方米？
（2）在修建甲水廠的輸水管道的工程中要運走600t土石，運輸公司派出A型，B型兩種載重汽車，A型汽車6輛，B型汽車4輛，分別運5次，可把土石運完；或者A型汽車3輛，B型汽車6輛，分別運5次，也可把土石運完，那么每輛A型汽車，每輛B型汽車每次運土石各多少噸？（每輛汽車運土石都以準載重量滿載）
【分析】（1）可設甲水廠的日供水量是x萬m3，則乙水廠的日供水量是3x萬m3，丙水廠的日供水量是（x+1）萬m3，由三個水廠的日供水量總和為11.8萬m3，可列方程x+3x+x+1=11.8；
（2）設每輛A型汽車每次運土石xt，B型車每輛每次運土石yt，依題意可列方程組解方程后可求解．
【解答】（1）設甲水廠的供水量是x萬m3，則乙水廠的日供水量是3x萬m3，丙水廠的日供水量是（x+1）萬m3．
由題意得：x+3x+x+1=11.8，解得x=2.4．
則3x=7.2，x+1=2.2．
答：甲水廠日供水量是2.4萬m3，乙水廠日供水量是7.2萬m3，丙水廠日供水量是2.2萬m3．
（2）設每輛A型汽車每次運土石xt，每輛B型汽車每次運土石yt，由題意得：
????∴
答：每輛A型汽車每次運土石10t，每輛B型汽車每次運土石15t．
【點評】本例系統地考查了一元一次方程和二元一次方程組這兩個重要內容，在同一背景下提供不同的動作方案是近年中考應用題的發展方法．
◆強化訓練
一、填空題
1．若2xm+n－1－3ym－n－3+5=0是關于x，y的二元一次方程，則m=_____，n=_____．
2．在式子3m+5n－k中，當m=－2，n=1時，它的值為1；當m=2，n=－3時，它的值是_____．
3．若方程組的解是，則a+b=_______．
4．已知方程組的解x，y，其和x+y=1，則k_____．
5．已知x，y，t滿足方程組，則x和y之間應滿足的關系式是_______．
6．（2008，宜賓）若方程組的解是，那么│a－b│=_____．
7．某營業員昨天賣出7件襯衫和4條褲子共460元，今天又賣出9件襯衫和6條褲子共660元，則每件襯衫售價為_______，每條褲子售價為_______．
8．（2004，泰州市）為了有效地使用電力資源，我市供電部門最近進行居民峰谷用電試點，每天8：00至21：00用電每千瓦時0.55元（“峰電”價），21：00至次日8：00用電每千瓦時0.30元（“谷電”價），王老師家使用“峰谷”電后，五月份用電量為300kW·h，付電費115元，則王老師家該月使用“峰電”______kW·h．
二、選擇題
9．二元一次方程3x+2y=15在自然數范圍內的解的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
10．已知是方程組的解，則a+b的值等于（ ）
A．1 B．5 C．1或5 D．0
11．已知│2x－y－3│+（2x+y+11）2=0，則（ ）
A． B． C． D．
12．在解方程組時，一同學把c看錯而得到，正確的解應是，那么a，b，c的值是（ ）
A．不能確定 B．a=4，b=5，c=－2
C．a，b不能確定，c=－2 D．a=4，b=7，c=2
13．（2008，河北）如圖4－2所示的兩架天平保持平衡，且每塊巧克力的質量相等，每個果凍的質量也相等，則一塊巧克力的質量是（ ）
　　　　　　　　　　
A．20g B．25g C．15g D．30g
14．4輛板車和5輛卡車一次能運27t貨，10輛板車和3輛卡車一次能運20t貨，設每輛板車每次可運xt貨，每輛卡車每次能運yt貨，則可列方程組（ ）
A． B．
C． D．
15．七年級某班有男女同學若干人，女同學因故走了14名，這時男女同學之比為5：3，后來男同學又走了22名，這時男女同學人數相同，那么最初的女同學有（ ）
A．39名 B．43名 C．47名 D．55名
16．某校初三（2）班40名同學為“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情況如下表：
捐款/元
1
2
3
4
人數
6
7
表格中捐款2元和3元的人數不小心被墨水污染已看不清楚．
若設捐款2元的有x名同學，捐款3元的有y名同學，根據題意，可得方程組．（ ）
A． B．
C． D．
17．甲，乙兩人分別從兩地同時出發，若相向而行，則ah相遇；若同向而行，則bh甲追 上乙，那么甲的速度是乙的速度為（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
18．學校總務處和教務處各領了同樣數量的信封和信箋，總務處每發一封信都只用一張信箋，教務處每發出一封信都用3張信箋，結果，總務處用掉了所有的信封，但余下50張信箋，而教務處用掉所有的信箋但余下50個信封，則兩處各領的信箋張數，信封個數分別為（ ）
A．150，100 B．125，75 C．120，70 D．100，150
三、解答題
19．解下列方程組：
（1）（2008，天津市） （2）（2005，南充市）
20．（2008，山東省）為迎接2008年奧運會，某工藝廠準備生產奧運會標志“中國印”和奧運會吉祥物“福娃”．該廠主要用甲、乙兩種原料，已知生產一套奧運會標志需要甲原料和乙原料分別為4盒和3盒，生產一套奧運會吉祥物需要甲原料和乙原料分別為5盒和10盒．該廠購進甲、乙原料的量分別為20000盒和30000盒，如果所進原料全部用完，求該廠能生產奧運會標志和奧運會吉祥物各多少套？
21．（2008，重慶市）為支持四川抗震救災，重慶市A，B，C三地現在分別有賑災物資00t，100t，80t，需要全部運往四川重災地區的D，E兩縣．根據災區的情況，這批賑災物資運往D縣的數量比運往E縣的數量的2倍少20t．
（1）求這批賑災物資運往D，E兩縣的數量各是多少？
（2）若要求C地運往D縣的賑災物資為60t，A地運往D縣的賑災物資為xt（x為整數），B地運往D縣的賑災物資數量小于A地運往D縣的賑災物資數量的2倍，其余的賑災物資全部運往E縣，且B地運往E縣的賑災物資數量不超過25t．則A，B兩地的賑災物資運往D，E兩縣的方案有幾種？請你寫出具體的運送方案：
（3）已知A，B，C三地的賑災物資運往D，E兩縣的費用如表所示：
A地
B地
C地
運往D縣的費用/（元/t）
220
200
200
運往E縣的費用/（元/t）
250
220
210
為及時將這批賑災物資運往D，E兩縣，某公司主動承擔運送這批賑災物資的總費用，在（2）問的要求下，該公司承擔運送這批賑災物資的總費用最多是多少？
22．（2003，常州市）甲、乙兩班學生到集市上購買蘋果，蘋果的價格如下表所示．甲班分兩次共購買蘋果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班則一次購買蘋果70kg．
購蘋果數
不超過30kg
30kg以下但
不超過50kg
50kg
以上
每千克價格
3元
2.5元
2元
（1）乙班比甲班少付出多少元？
（2）甲班第一次，第二次分別購買蘋果多少千克？
答案
1．3；－1 2．－7 3．8 4．k= 5．15y－x=6 6．1 7．20元 80元 8．100
9．C 10．C 11．D 12．B 13．A 14．C 15．C 16．A 17．C 18．A
19．（1）由②得y=2x－1 ③
把③代入①得：3x+5（2x－1）=8
即x=1
把x=1代入③得y=1
∴原方程組的解為
（2）化簡方程組，得
④代入⑤，得y=－3．
將y=－3代入，得x=1
故原方程組的解是：
20．設生產奧運會標志x套，生產奧運會吉祥物y套，根據題意，得
①×2－②得：5x=10000．
∴x=2000．
把x=2000代入①得：5y=12000．
∴y=2400．
答：該廠能生產奧運會標志2000套，生產奧運會吉祥物2400套．
21．（1）設這批賑災物資運往D縣的數量為a（t），運往E縣的數量為b（t）．
由題意，得
解得
答：這批賑災物資運往D縣的數量為180t，運往E縣的數量為100t．
（2）由題意，得
解得 即40 ∵x為整數，∴x的取值為41，42，43，44，45．
則這批賑災物資的運送方案有五種．
具體的運送方案是：
方案一：A地的賑災物資運往D縣41t，運往E縣59t；B地的賑災物資運往D縣79t，運往E縣21t．
方案二：A地的賑災物資運往D縣42t，運往E縣58t；B地的賑災物資運往D縣78t，運往E縣22t．
方案三：A地的賑災物資運往D縣43t，運往E縣57t；B地的賑災物資運往D縣77t，運往E縣23t．
方案四：A地的賑災物資運往D縣44t，運往E縣56t；B地的賑災物資運往D縣76t，運往E縣24t．
方案五：A地的賑災物資運往D縣45t，運往E縣55t；B地的賑災物資運往D縣75t，運往E縣25t．
（3）設運送這批賑災物資的總費用為w元，由題意，得
w=220x+250（100－x）+200（120－x）+220（x－20）+200×60+210×20=－10x+60800．
因為w隨x的增大而減小，且40 所以，當x=41時，w有最大值，則該公司承擔運送這批賑災物資的總費用最多為：
w=60390（元）．
22．（1）乙班共付出70×2=140（元），乙班比甲班少付出189－140=49（元）．
（2）設甲班第一次買蘋果xkg，第二次買蘋果ykg（x ①當x≤30時，則y>30（否則，x+y≤60<70）．
依題意有或者
解之，得 或者（不合題意，舍去）
②若3050，
當y>50，x+y>80>70，不合題意．
當30 ③若x>50，y>x，則x+y>70，不合題意．
故甲班第一次買蘋果28kg，第二次買蘋果42kg．
2009年中考數學復習教材回歸知識講解+例題解析+強化訓練
二次函數
◆知識講解
①一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數且a≠0），那么y叫做x的二次函數，它是關于自變量的二次式，二次項系數必須是非零實數時才是二次函數，這也是判斷函數是不是二次函數的重要依據．
②當b=c=0時，二次函數y=ax2是最簡單的二次函數．
③二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的三種表達形式分別為：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道圖像上的三個點的坐標才能得出此解析式；頂點式：y=a（x－h）2+k，通常要知道頂點坐標或對稱軸才能求出此解析式；交點式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知道圖像與x軸的兩個交點坐標x1，x2才能求出此解析式；對于y=ax2+bx+c而言，其頂點坐標為（－，）．對于y=a（x－h）2+k而言其頂點坐標為（h，k），由于二次函數的圖像為拋物線，因此關鍵要抓住拋物線的三要素：開口方向，對稱軸，頂點．
④二次函數y=ax2+bx+c的對稱軸為x=－，最值為，（k>0時為最小值，k<0時為最大值）．由此可知y=ax2的頂點在坐標原點上，且y軸為對稱軸即x=0．
⑤拋物線的平移主要是移動頂點的位置，將y=ax2沿著y軸（上“＋”，下“－”）平移k（k>0）個單位得到函數y=ax2±k，將y=ax2沿著x軸（右“－”，左“＋”）平移h（h>0）個單位得到y=a（x±h）2．在平移之前先將函數解析式化為頂點式，再來平移，若沿y軸平移則直接在解析式的常數項后進行加減（上加下減），若沿x軸平移則直接在含x的括號內進行加減（右減左加）．
⑥在畫二次函數的圖像拋物線的時候應抓住以下五點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點．
⑦拋物線y=ax2+bx+c的圖像位置及性質與a，b，c的作用：a的正負決定了開口方向，當a>0時，開口向上，在對稱軸x=－的左側，y隨x的增大而減小；在對稱軸x=－的右側，y隨x的增大而增大，此時y有最小值為y=，頂點（－，）為最低點；當a<0時，開口向下，在對稱軸x=－的左側，y隨x的增大而增大，在對稱軸x=－的右側，y隨x的增大而增大，此時y有最大值為y=，頂點（－，）為最高點．│a│的大小決定了開口的寬窄，│a│越大，開口越小，圖像兩邊越靠近y軸，│a│越小，開口越大，圖像兩邊越靠近x軸；a，b的符號共同決定了對稱軸的位置，當b=0時，對稱軸x=0，即對稱軸為y軸，當a，b同號時，對稱軸x=－<0，即對稱軸在y軸左側，垂直于x軸負半軸，當a，b異號時，對稱軸x=－>0，即對稱軸在y軸右側，垂直于x軸正半軸；c的符號決定了拋物線與y軸交點的位置，c=0時，拋物線經過原點，c>0時，與y軸交于正半軸；c<0時，與y軸交于負半軸，以上a，b，c的符號與圖像的位置是共同作用的，也可以互相推出．
◆例題解析
例1 已知：二次函數為y=x2－x+m，（1）寫出它的圖像的開口方向，對稱軸及頂點坐標；（2）m為何值時，頂點在x軸上方，（3）若拋物線與y軸交于A，過A作AB∥x軸交拋物線于另一點B，當S△AOB=4時，求此二次函數的解析式．
【分析】（1）用配方法可以達到目的；（2）頂點在x軸的上方，即頂點的縱坐標為正；（3）AB∥x軸，A，B兩點的縱坐標是相等的，從而可求出m的值．
【解答】（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次項系數a=1>0，∴開口向上，
又∵y=x2－x+m=[x2－x+（）2]－ +m=（x－）2+
∴對稱軸是直線x=，頂點坐標為（，）．
（2）∵頂點在x軸上方，
∴頂點的縱坐標大于0，即>0
∴m>
∴m>時，頂點在x軸上方．
（3）令x=0，則y=m．
即拋物線y=x2－x+m與y軸交點的坐標是A（0，m）．
∵AB∥x軸
∴B點的縱坐標為m．
當x2－x+m=m時，解得x1=0，x2=1．
∴A（0，m），B（1，m）
在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│．
∵S△AOB =OA·AB=4．
∴│m│·1=4，∴m=±8
故所求二次函數的解析式為y=x2－x+8或y=x2－x－8．
【點評】正確理解并掌握二次函數中常數a，b，c的符號與函數性質及位置的關系是解答本題的關鍵之處．
例2 （2006，重慶市）已知：m，n是方程x2－6x+5=0的兩個實數根，且m （1）求這個拋物線的解析式；
（2）設（1）中的拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標和△BCD的面積；
（3）P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出P點的坐標．
【分析】（1）解方程求出m，n的值．
用待定系數法求出b，c的值．
（2）過D作x軸的垂線交x軸于點M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面積，用割補法可求出△BCD的面積．
（3）PH與BC的交點設為E點，則點E有兩種可能：
①EH=EP， ②EH=EP．
【解答】（1）解方程x2－6x+5=0，
得x1=5，x2=1．
由m 所以點A，B的坐標分別為A（1，0），B（0，5）．將A（1，0），B（0，5）的坐標分別代入y=－x2+bx+c，
得 解這個方程組，得
所以拋物線的解析式為y=－x2－4x+5．
（2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0．
解這個方程，得x1=－5，x2=1．
所以點C的坐標為（－5，0），由頂點坐標公式計算，得點D（－2，9）．
過D作x軸的垂線交x軸于M，如圖所示．
則S△DMC=×9×（5－2）=．
S梯形MDBO=×2×（9+5）=14，
S△BDC =×5×5=．
所以S△BCD =S梯形MDBO+S△DMC －S△BOC =14+－=15．
（3）設P點的坐標為（a，0）
因為線段BC過B，C兩點，所以BC所在的直線方程為y=x+5．
那么，PH與直線BC的交點坐標為E（a，a+5），PH與拋物線y=－x2+4x+5的交點坐標為H（a，－a2－4a+5）．
由題意，得①EH=EP，即
（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）．
解這個方程，得a=－或a=－5（舍去）．
②EH=EP，得
（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5）．
解這個方程，得a=－或a=－5（舍去）．
P點的坐標為（－，0）或（－，0）．
例3 （2006，山東棗莊）已知關于x的二次函數y=x2－mx+與y=x2－mx－，這兩個二次函數的圖像中的一條與x軸交于A，B兩個不同的點．
（1）試判斷哪個二次函數的圖像經過A，B兩點；
（2）若A點坐標為（－1，0），試求B點坐標；
（3）在（2）的條件下，對于經過A，B兩點的二次函數，當x取何值時，y的值隨x值的增大而減小？
【解答】（1）對于關于x的二次函數y=x2－mx+．
由于b2－4ac=（－m）－4×1×=－m2－2<0，
所以此函數的圖像與x軸沒有交點．
對于關于x的二次函數y=x2－mx－．
由于b2－4ac=（－m）2－4×1×=3m2+4>0，
所以此函數的圖像與x軸有兩個不同的交點．
故圖像經過A，B兩點的二次函數為y=x2－mx－．
（2）將A（－1，0）代入y=x2－mx－．
得1+m－=0．
整理，得m2－2m=0．
解得m=0或m=2．
當m=0時，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0．
解這個方程，得x1=－1，x2=1．
此時，點B的坐標是B（1，0）．
當m=2時，y=x2－2x－3．令y=0，得x2－2x－3=0．
解這個方程，得x1=1，x2=3．
此時，點B的坐標是B（3，0）．
（3）當m=0時，二次函數為y=x2－1，此函數的圖像開口向上，對稱軸為x=0，
所以當x<0時，函數值y隨x的增大而減?。?br/> 當m=2時，二次函數為y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函數的圖像開口向上，對稱軸為x=1，所以當x<1時，函數值y隨x的增大而減?。?br/> 【點評】本題是一道關于二次函數與方程、不等式有關知識的綜合題，但它仍然是反映函數圖像上點的坐標與函數解析式間的關系，抓住問題的實質，靈活運用所學知識，這類綜合題并不難解決．
◆強化訓練
一、填空題
1．（2006，大連）右圖是二次函數y1=ax2+bx+c和一次函數y2=mx+n的圖像，觀察圖像寫出y2≥y1時，x的取值范圍_______．
2．（2005，山東省）已知拋物線y=a2+bx+c經過點A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），則該拋物線上縱坐標為－8的另一點的坐標是_______．
3．已知二次函數y=－x2+2x+c2的對稱軸和x軸相交于點（m，0），則m的值為______．
4．（2005，溫州市）若二次函數y=x2－4x+c的圖像與x軸沒有交點，其中c為整數，則c=_______（只要求寫出一個）．
5．（2005，黑龍江省）已知拋物線y=ax2+bx+c經過點（1，2）與（－1，4），則a+c的值是______．
6．甲，乙兩人進行羽毛球比賽，甲發出一十分關鍵的球，出手點為P，羽毛球飛行的水平距離s（m）與其距地面高度h（m）之間的關系式為h=－s2+s+．如下左圖所示，已知球網AB距原點5m，乙（用線段CD表示）扣球的最大高度為m，設乙的起跳點C的橫坐標為m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導致接球失敗，則m的取值范圍是______．

7．（2005，甘肅省）二次函數y=x2－2x－3與x軸兩交點之間的距離為______．
8．（2008，甘肅慶陽）蘭州市“安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房子的價格y（元/m2）隨樓層數x（樓）的變化而變化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知點（x，y）都在一個二次函數的圖像上（如上右圖），則6樓房子的價格為_____元/m2．
二、選擇題
9．（2008，長沙）二次函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，則下列關系式不正確的是（ ）
A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0

(第9題) (第12題) (第15題)
10．（2008，威海）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖像過點A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若點M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函數y=ax2+bx+c的圖像上，則下列結論中正確的是（ ）
A．y111．（2005，山西?。佄锞€y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=2，且經過點P（3，0），則a+b+c的值為（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
12．如圖所示，拋物線的函數表達式是（ ）
A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+2
13．（2008，山西）拋物線y=－2x2－4x－5經過平移得到y=－2x2，平移方法是（ ）
A．向左平移1個單位，再向下平移3個單位
B．向左平移1個單位，再向上平移3個單位
C．向右平移1個單位，再向下平移3個單位
D．向右平移1個單位，再向上平移3個單位
14．（2005，包頭市）已知二次函數y=x2+bx+3，當x=－1時，y取得最小值，則這個二次函數圖像的頂點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．（2006，諸暨）拋物線y=ax2+2ax+a2+2的一部分圖像如圖所示，那么該拋物線在y軸右側與x軸交點的坐標是（ ）
A．（，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）
16．（2008，泰安）在同一直角坐標系中，函數y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常數，且m≠0）的圖像可能是（ ）
三、解答題
17．（2006，浙江舟山）如圖所示，已知拋物線y=ax2+4ax+t（a>0）交x軸A，B兩點，交y軸于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點E，點B的坐標為（－1，0）．
（1）求拋物線的對稱軸及點A的坐標；
（2）過點C作x軸的平行線交拋物線的對稱軸于點P，你能判斷四邊形ABCP是什么四邊形？并證明你的結論；
（3）連接CA與拋物線的對稱軸交于點D，當∠APD=∠ACP時，求拋物線的解析式．
18．（2006，重慶）如圖所示，m，n是方程x2－6x+5=0的兩個實數根，且m （1）求這個拋物線的解析式；
（2）設（1）中拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標和△BCD的面積；
（3）P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于點H，若直線BC把△PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出點P的坐標．
19．（2006，太原市）某地計劃開鑿一條單向行駛（從正中通過）的隧道，其截面是拋物線拱形ACB，而且能通過最寬3m，最高3.5m的廂式貨車．按規定，機動車通過隧道時車身距隧道壁的水平距離和鉛直距離最小都是0.5m．為設計這條能使上述廂式貨車恰好完全通過的隧道，在圖紙上以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線拱形的表達式，隧道的跨度AB和拱高OC．
20．（2005，河南?。┮阎粋€二次函數的圖像過如圖所示三點．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）平行于x軸的直線L的解析式為y=，拋物線與x軸交于A，B兩點．在拋物線的對稱軸上找點P，使BP的長等于直線L與x軸間的距離．求點P的坐標．
21．（2005，吉林省）如圖5－76所示，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標為（－1，0），點C（0，5），D（1，8）在拋物線上，M為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；（2）求△MCB的面積．
22．（2005，長春市）如圖所示，過y軸上一點A（0，1）作AC平行于x軸，交拋物線y=x2（x≥0）于點B，交拋物線y=x2（x≥0）于點C；過點C作CD平行于y軸，交拋物線y=x2于點D；過點D作DE平行于x軸，交拋物線y=x2于點E．
（1）求AB：BC；
（2）判斷O，B，E三點是否在同一直線上？如果在，寫出直線解析式；如果不在，請說明理由．
答案
1．－2≤x≤1 2．（1，－8） 3．1 4．答案不唯一（略） 5．3
6．514．B 15．B 16．D
17．（1）對稱軸是直線x=2，A點坐標為（－3，0）
（2）四邊形ABCP是平行四邊形
（3）∵△ADE∽△CDP，∴=
∵△ADE∽△PAE，∴12=·t，∴t=
將B（－1，0）代入y=ax2+4ax+t得t=3a，a=
∴拋物線解析式為y=x2+x+2．
18．（1）y=－x2－4x+5
（2）C（－5，0），D（－2，9） S△BCD=15
（3）設P（a，0），∵BC所在直線方程為y=x+5．
∴PH與直線BC的交點坐標為E（a，a+5）．
PH與拋物線y=－x2－4x+5的交點坐標為H（a，－a2－4a+5）．
①若EH=EP．則（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5），則a=－或a=－5（舍）
②若EH=EP，則（－a2－4a+5）－（a+5）=（a+5），則a=－或a=－5（舍）
∴P（－，0）或（－，0）．
19．如圖所示，由條件可得拋物線上兩點的坐標分別為M（，4），N（2，），
設拋物線的表達式為y=ax2+c，則
解這個方程組，得
∴y=－x2+，當x=0時，y=，
∴C（0，），OC=．
當y=0時，－x2+=0，解得x=±．
∴A（－，0），B（，0），AB=．
所以，拋物線拱形的表達式為y=－x2+．
隧道的跨度AB為m，拱高OC為m．
20．（1）設二次函數的解析式為y=ax2+bx+c．
根據題意，得 ，解得
即y=－x2+6x－3=－（x－3）2+6．
∴拋物線的對稱軸為直線x=3．
（2）解得點B（3+，0）．
設點P的坐標為（3，y），如圖，
由勾股定理，得BP2=BC2+PC2，
即BP2=（3+－3）2+y2=y2+6．
∵L與x軸的距離是，
∴y2+6=（）2，解y=±．
∴所求點P為（3，）或（3，－）．
21．（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，根據題意得，解得
∴所求拋物線的解析式為y=－x2+4x+5．
（2）∵C點坐標為（0，5），∴OC=5，令y=0．
則－x2+4x+5=0，解得x1=－1，x2=5．
∴B點坐標為（5，0），∴OB=5．
∵y=－x2+4x+5=－（x－2）2+9，
∴頂點M的坐標為（2，9）．
過點M作MN⊥AB于點N，則ON=2，MN=9．
∴S△MCB=S梯形OCMN+S△BNM －S△OBC =×（5+9）×2+×9×（5－2）－×5×5=15．
22．（1）∵A（0，1）．
∴B點縱坐標為1，1=x2，x≥0，x=1，B（1，1），AB=1．
C點縱坐標為1，1=x2，x2=4，x≥0，x=2．
C（2，1），BC=1，∴AB：BC=1：1．
（2）D點的橫坐標為2，D在y=x2上，則D（2，4）．
E點的縱坐標為4，E在y=x2，則E（4，4）．
過O（0，0），B（1，1）的直線解析式為y=x．
E（4，4）在這條直線上，所以O，B，E三點在同一條直線上，并且直線解析式為y=x．
2009年中考數學復習教材回歸知識講解+例題解析+強化訓練
變量與函數
◆知識講解
①在某一變化過程中，可以取不同數值的值叫做變量．數值保持不變的量叫常量．常量和變量是相對的，判斷常量和變量的前提是“在某一變化的過程中”，同一量在不同的變化過程中可以為常量也可以為變量，這是根據問題的條件而定的．常量和變量并一定都是量，也可以是常數或變數．②在某一變化的過程中有兩個變量x與y，如果對于x在取值范圍內取的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么說x是自變量，y是x的函數，函數不是數，它是指某一變化過程中兩個變量之間的關系．③自變量的取值必須使含自變量的代數式有意義．自變量的取值范圍可以是無限的也可以是有限的．可以是幾個數，也可以是單獨的一個數，表示實際問題時，自變量的取值必須使實際問題有意義．④對于自變量在取值范圍內取一個確定的值，函數都有唯一確定的值與之對應，這個對應值叫做函數的一個函數值．函數由一個解析式表示時，求函數的值，就是求代數式的值，函數的值是唯一確定的，但對應的自變量的值可以是多個．函數值的取值范圍是隨自變量的取值范圍的變化而變化的．⑤函數的三種表示法：解析法、列表法、圖像法．這三種表示法各具特色，在應用時，通常將這三種方法結合在一起運用，其中畫函數圖像的一般步驟為：列表、描點、連線．
◆例題解析
例1 觀察右圖，回答下列問題：
（1）自變量x的取值范圍；
（2）函數y的取值范圍；
（3）當x取何值時，
y的值最小，并寫出這個最小值；
（4）當x取何值時，y的值最大，
并寫出這個最大值；
（5）當x=0或－5時，y的值；
（6）當y=0和2時，x的值；
（7）當y隨x的增大而增大時，x的取值范圍；
（8）當y隨x的增大而減小時，x的取值范圍．
【分析】由于函數圖像與自變量x、函數y的取值有關，因此圖像能反映出x、y的取值范圍，從左到右，x的值逐漸增大，因此，觀察圖像應從左到右，這時若圖像逐漸升高，則y的值逐漸增大，若圖像逐漸下降，則y的值逐漸變?。?br/> 【解答】（1）由圖像可知：圖像左端端點橫坐標為－5，右端端點橫坐標為5，且5用了空心點，所以自變量x的取值范圍為－5≤x<5；
（2）由于圖像最低點的縱坐標為－3，最高點的縱坐標4，所以－3≤y<4；
（3）由于圖像最低點坐標為（－3，－3），所以當x=－3時，y有最小值為－3；
（4）由于圖像最高點坐標為（2，4），所以當x=2時，y有最大值為4；
（5）因為圖像過點（0，2）與點（－5，0），所以當x=0時，y=2；當x=－5時，y=0；
（6）由圖像可知，圖像與x軸有兩個交點，它們的橫坐標為－5和－1，
故當y=0時，x=－5或－1；同理當y=2時，x=0或4；
（7）圖像從點（－3，－3）到點（2，4）是逐漸升高的，
因此當－3≤x≤2時，y隨x的增大而增大；
（8）圖像從點（－5，0）到點（－3，－3）及從點（2，4）到點（5，0）是逐漸降低的，因此當－5≤x≤－3或2≤x<5時，y隨x的增大而減少．
【點評】雖然圖像法表示函數形象直觀，但有時卻不精細，所以利用圖像觀察得出的數值往往有時精確，有時近似，這因題而異．根據函數的圖像求函數的某些值，探討函數y隨自變量x變化的規律，是數形結合的具體表現．
例2 如圖所示表示玲玲騎自行車離家的距離與時間的關系，她9點離開家，15點回到家，請根據圖像回答下列問題：
（1）玲玲到達離家最遠的地方是什么時間？離家多遠？
（2）她何時開始第一次休息？休息多長時間？
（3）第一次休息時，離家多遠？
（4）11：00到12：00她騎了多少千米？
（5）她在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度各是多少？
（6）她在何時至何時停止前進并休息用午餐？
（7）她在停止前進后返回，騎了多少千米？
（8）返回時的平均速度是多少？
【分析】小玲騎自行車離家的距離是時間的函數，從圖像中線段CD和EF與橫軸平行，表明這兩段時間她在休息，通過讀圖可分別求解各問題．
【解答】（1）由圖像知，玲玲到達離家最遠的地方是12點，離家30km；
（2）由線段CD平行于橫軸知，10：30開始休息，休息半個小時；
（3）第一次休息時離家17km；
（4）從縱坐標看出，11：00到12：00，她騎了13km（30－17=13）；
（5）由圖像知，9：00～10：00共走了10km，速度為10km/h，10：00～10：30共走了7km，速度為14km/h；
（6）她在12：00～13：00時停止前進并休息用午餐；
（7）她在停止前進后返回，騎了30km回到家（離家0km）；
（8）返回時的路程為30km，時間為2h，故返回時的平均速度為15km/h．
【點評】如圖a所示，表示速度v與時間t的函數圖像中，①表示物體從0開始加速運動，②代表物體勻速運動，③代表物體減速運動到停止．如圖b所示，表示路程s與時間t的函數圖像中，①代表物體勻速運動，②代表物體停止，③代表物體反向運動直至回到原地．
(a) (b)
◆強化訓練
一、填空題
1．如果水的流速是am/min（一定量），那么每分鐘的進水量Q（m3）與所選擇的水管直徑D（m）之間的函數關系式是________，其自變量是_______．
2．（2006，南通）在函數y=中，自變量x的取值范圍是________．
3．三角形的面積是12，三角形底邊長y是高x的函數，在平面直角坐標系中，它的圖像只能在第______象限．
4．設點P（3，m），Q（n，2）在函數y=x+b的圖像上，則m+n=______．
5．若點（，－）在反比例函數y=（k≠0）的圖像上，則k=______．
6．某地鐵自行車存車處在某星期日的車量為4000輛次，其中變速車存車費是每輛一次0.30元，普通車存車費是每輛一次0.20元，若普通車存車數為x輛次，存車費總收入y（元）與x的函數關系式是___________________．
7．題目中的圖是用棋子擺成的“上”字：
如果按照以上規律繼續擺下去，那么通過觀察發現：第n個“上”字的棋子數S與n之間的關系式為_______________．
8．（2006，蘇州）下列函數中，自變量x的取值范圍是x>2的函數是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
二、選擇題
9．（2006，泰州）在物理實驗課上，小明用彈簧秤將鐵塊A懸于盛有水的水槽中（右圖），然后勻速向上提起，直至鐵塊完全露出水面一定高度，則能反映彈簧秤的讀數y（N）與鐵塊被提起的高度x（cm）之間的函數關系的大致圖像是（ ）

A B C D
10．汽車由北京駛往相距120km的天津，平均速度是30km/h，則汽車距天津的路程s（km）與行駛時間t（h）的函數關系式及自變量t的取值范圍是（ ）
A．s=120－30t（0≤t≤4） B．s=30t（0≤t≤4）
C．s=120－30t（t>0） D．s=30t（t=4）
11．下列關于變量x，y的關系式中：①5x－2y=1；②y=│3x│；③x－y=2，其中表示y 是x的函數的是（ ）
A．② B．②③ C．①② D．①②③
12．（2008，金華）三軍受命，我解放軍各部奮力抗戰在貨物救災一線，現有甲，乙兩支解放軍小分隊將救災貨物送往重災小鎮，甲隊先出發，從部隊基地到該小鎮只有唯一通道，且路程為24km，下圖是他們行走的路程關于時間的函數圖像，四位同學觀察此函數圖像得到有關信息，其中正確的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．某班同學在探究彈簧的長度跟外力的變化關系時，實驗記錄得到的數據如下表：
砝碼的質量x/g
0
50
100
150
200
250
300
400
500
指針位置y/cm
2
3
4
5
6
7
7.5
7.5
7.5
則y關于x的函數圖像是（ ）
14．小明根據鄰居家的故事寫了一首小詩：“兒子學成今日返，老父早早到車站，兒子到后細端詳，父子高興把家還．”如果用縱軸y表示父親與兒子行進中離家的距離，用橫軸x表示父親離家的時間，那么下面的圖像與上述詩的含義大致吻合的是（ ）
15．某人騎車外出所行的路程s（km）與時間t（h）的函數關系如圖所示，現有下列四種說法：
①第3h中的速度比第1h中的速度快；
②第3h中的速度比第1h中的速度慢；
③第3h后已停止前進；④第3h后保持勻速前進．
其中說法正確的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①④ D．②④
16．（2008，鹽城）如圖所示，A，B，C，D為⊙O的四等分點，動點P從圓心O出發，沿O─C─D─O路線做勻速運動，設運動時間為t（s），∠APB=y（°），則下列圖像中表示y與t之間函數關系最恰當的是（ ）

三、解答題
17．如圖所示，周長為24的凸五邊形ABCDE被對角線BE分為等腰△ABE及矩形BCDE，且AE=DE，設AB的長為x，CD的長為y，求y與x之間的函數關系式，寫出自變量的取值范圍．
18．（2008，長沙）在平面直角坐標系中，一動點P（x，y）從M（1，0）出發，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四點組成的正方形邊線（圖①）按一定方向運動．圖②是P點運動的路程s（個單位）與運動時間t（秒）之間的函數圖像，圖③是P點的縱坐標y與P點運動的路程s之間的函數圖像的一部分．
（1）s與t之間的函數關系式是________；
（2）與圖5－26③相對應的P點的運動路徑是：______；P點出發____秒首次到達點B；
（3）寫出當3≤s≤8時，y與s之間的函數關系式，并在圖③中補全函數圖像．
19．（2006，棗莊）如圖所示，在△ABC中，AB=AC=1，點D，E在直線BC上運動．設BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，試確定y與x之間的函數關系式；
（2）如果∠BAC=，∠DAE=，當、滿足怎樣的關系時，（1）中的y與x之間的函數關系式還成立？試說明理由．
20．A市和B市有兩條路可走，一輛最多可載19人的依維柯汽車在這條公路行駛時的有關數據如下表所示：
路程/km
耗油量（L/100km）
票價/（元/人）
過路費/（元/輛）
油價/（元/L）
第一條路
60
14
16
20
2.9
第二條路
64
10
12
5
2.9
如果用y1（元），y2（元）表示從A市到B市分別走兩條路時司機的收入，僅就其中數據求出y1，y2與載客人數x（人）之間的函數表示式．
21．（2005，吉林?。┬∶魇堋稙貘f喝水》故事的啟發，利用量筒和體積相同的小球進行了如下操作：
請根據圖中給出的信息，解答下列問題：
（1）放入一個小球量筒中水面升高_______cm；
（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）與小球個數x（個）之間的一次函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）
（3）量筒中至少放入幾個小球時有水溢出？
22．觀察圖中小黑點的擺入規律，并按照這樣的規律繼續擺放，記第n個圖中小黑點的個數為y．
解答下列問題：
（1）填表：
n
1
2
3
4
5
6
7
…
y
1
3
7
13
…
（2）當n=8時，y=_______；
（3）根據上表中的數據，把n作為橫坐標，把y作為縱坐標，在圖5－30的平面直角坐標系中描出相應的各點（n，y），其中1≤n≤5；
（4）請你猜一猜上述各點會在某一函數的圖象上嗎？如果在某一函數的圖像上，請寫出該函數的解析式．
答案:
1．Q=aD2，D 2．x>5 3．一 4．5 5．－3
6．y=－0.10x+1200（0≤x≤4000）
7．S=4n+2（n>0且為整數）
8．C 9．C 10．A 11．C 12．D 13．B 14．C 15．A 16．C
17．y=24－4x，418．（1）設s=kt，知（2，1）在圖像上，把（2，1）代入解析式得k=，
∴s與t的函數關系式為s=t（t≥0）．
（2）M→D→A→N 10
（3）當3≤s<5，即P從A到B時，y=4－s；
當5≤s<7，即P從B到C時，y=－1；
當7≤s≤8，即P從C到M時，y=s－8．
補全圖像如圖所示．
19．（1）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°
∵∠ABC=∠ACB=75°
∴∠ABD=∠ACE=105°．
∵∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°
∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC
∴即，∴y=．
（2）當、滿足關系式－=90°時，函數關系式y=成立．
理由如下：要使y=即成立，則需且只需△ADB∽△EAC，
由于∠ABD=∠ECA，故只需∠ADB=∠EAC，
又∠ADB+∠BAD=∠ABC=90°－，∠EAC+∠BAD=－，
只需90°－=－，∴－=90°．
20．由題意可知：司機收入=客人付票款－耗油費－過路費．耗油費=油價×耗油量，
則y1=16x－20－2.9××60，即y=16x－44.36，同理y2=12x－23.56（021．（1）2．
（2）設y=kx+b，把（0，30），（3，36）代入得：
解得 即y=2x+30．
（3）由2x+30>49，得x>9.5．
即至少放入10個小球時有水溢出．
22．（1）n=5時y=21，n=6時y=31，n=7時y=43．
（2）n=8時y=57．
（3）根據題設要求可把點（1，1），（2，3），（3，7），（4，13），（5，21）五個點在圖中直觀地表示出來．
（4）在y=n2－n+1上．
2009年中考數學復習教材回歸知識講解+例題解析+強化訓練
平面直角坐標系
◆知識講解
①坐標平面內的點與有序實數對一一對應；
②點P（a，b）到x軸的距離為│b│，到y軸距離為│a│，到原點距離為；
③各象限內點的坐標的符號特征：P（a，b），P在第一象限a>0且b>0，
P在第二象限a<0，b>0，P在第三象限a<0，b<0，P在第四象限a>0，b<0；
④點P（a，b）：若點P在x軸上a為任意實數，b=0；
P在y軸上a=0，b為任意實數；P在一，三象限坐標軸夾角平分線上a=0；
P在二，四象限坐標軸夾角平分線上a=－b；
⑤A（x1，y1），B（x1，y2）：A，B關于x軸對稱x1=x2，y1=－y2；
A、B關于的y軸對稱 x1=－x2，y1=y2；
A，B關于原點對稱x1=－x2，y1=－y2；AB∥x軸y1=y2且x1≠x2；
AB∥y軸x1=x2且y1≠y2（A，B表示兩個不同的點）．
◆例題解析
例1 已知點A（a，－5），B（8，b）根據下列要求，確定a，b的值．
（1）A，B兩點關于y軸對稱；（2）A，B兩點關于原點對稱；
（3）AB∥x軸；（4）A，B兩點在一，三象限兩坐標軸夾角的平分線上．
【分析】（1）兩點關于y軸對稱時，它們的橫坐標互為相反數，而縱坐標相同；
（2）兩點關于原點對稱時，兩點的橫縱坐標都互為相反數；
（3）兩點連線平行于x軸時，這兩點縱坐標相同（但橫坐標不同）；
（4）當兩點位于一，三象限兩坐標軸夾角的平分線上時，每個點的橫縱坐標相同．
【解答】（1）當點A（a，－5），B（8，b）關于y軸對稱時有：
（2）當點A（a，－5），B（8，b）關于原點對稱時有
（3）當AB∥x軸時，有
（4）當A，B兩點位于一，三象限兩坐標軸夾角平分線上時有：
xA=yB且xA=yB即a=－5，b=8．
【點評】運用對稱點的坐標之間的關系是解答本題的關鍵．
例2 如圖所示，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別是
（0，6），（－8，0），求Rt△ABO的內心的坐標．
【分析】本題考查勾股定理，直角三角形內心的概念，運用內心到兩坐標軸的距離，結合實際圖形，確定內心的坐標．
【解答】∵A（0，6），B（－8，0），∴OA=6，OB=8，
在Rt△ABO中，AB2=OA2+OB2=62+82=100，∴AB=10（負值舍去）．
設Rt△ABO內切圓的半徑為r，
則由S△ABO=×6×8=24，S△ABO =r（AB+OA+OB）=12r，知r=2，
而內心在第二象限，∴內心的坐標為（－2，2）．
【點評】運用數形結合并借助面積是解答本題的關鍵．
◆強化訓練
一、填空題
1．（2006，諸暨）已知A，B，C，D點的坐標如圖1所示，E是圖中兩條虛線的交點，若△ABC和△ADE相似，則E點的坐標為_______．

圖1 圖2 圖3
2．已知點A（m2+1，n2－2）與點B（2m，4n+6）關于原點對稱，則A關于x軸的對稱點的坐標為_____，B關于y軸的對稱點的坐標為______．
3．（2006，蘇州）在圖2的直角坐標系中，△ABC的頂點都在網格點上，其中，A點坐標為（2，－1），則△ABC的面積為_______平方單位．
4．在直角坐標系中，已知點A（－5，0），B（－5，－5），∠OAB=90°，有直角三角形與Rt△ABO全等并以BA為公共邊，則這個三角形未知頂點的坐標是_______．
5．已知m為整數，且點（12－4m，19－3m）在第二象限，則m2+2005的值為______．
6．如圖3所示，在直角坐標系中，右邊的圖案是由左邊的圖案經過平移得到的．左圖案中左右眼睛的坐標分別是（－4，2），（－2，2），右圖案中左眼的坐標是（3，4），則右圖案中右眼的坐標是_______．
7．（2006，紹興）如圖4所示，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續翻轉2006次，點P依次落在點P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，則P2006的橫坐標x2006=_______．
圖4 圖5 圖6
8．（2008，濰坊）如圖5所示，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A的坐標為（，1），若將△OAB逆時針旋轉60°后，B到到達B′點，則B′點的坐標是_______．
二、選擇題
9．（2008，貴陽）對任意實數x，點P（x，x2－2x）一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．圖6是中國象棋棋盤的一部分，若在點（1，－1）上，在點（3，－1）上，則在點（ ）
A．（－1，1） B．（－1，2） C．（－2，1） D．（－2，2）
11．已知平面直角坐標系上的三個點O（0，0），A（－1，1），B（－1，0），將△ABO繞點O按順時針方向旋轉135°，則點A，B的對應點A，B的坐標分別是（ ）
A．（，），（，） B．（，0），（，）
C．（0，），（，） D．（，），（，）
12．已知點A（2a+3b，－2）和點B（8，3a+2b）關于x軸對稱，那么a+b=（ ）
A．2 B．－2 C．0 D．4
13．若點A（－2，n）在x軸上，則點B（n－1，n+1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．如圖7所示，在平面直角坐標系中，ABCD的頂點A，B，D的坐標分別是（0，0），（5，0），（2，3），則頂點C的坐標是（ ）
A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）

圖7 圖8
15．（2008，濟南）已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖8所示，將△ABC向右平移6個單位，則平移后A的坐標是（ ）
A．（－2，1） B．（2，1） C．（2，－1） D．（－2，－1）
16．在平面直角坐標系中，O是坐標原點，已知A點的坐標為（1，1），請你在坐標軸上找出點B，使△AOB為等腰三角形，則符合條件的點B共有（ ）
A．6個 B．7個 C．8個 D．9個
三、解答題
17．（2008，河南）如圖所示，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（10，0），點B的坐標為（8，0），點C，D在以OA為直徑的半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點C的坐標．
18．（2006，晉江）如圖所示，在直角坐標系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點A在原點，AB=3，AD=5，矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向做勻速運動．同時點P從A點出發以每秒1個單位長度沿A─B─C─D的路線做勻速運動．當P點運動到D點時停止運動，矩形ABCD也隨之停止運動．
（1）求P點從A點運動到D點所需的時間；
（2）設P點運動時間為t（s）；
①當t=5時，求出點P的坐標；
②若△OAP的面積為S，試求出S與t之間的函數關系式（并寫出相應的自變量t的取值范圍）．
19．（2006，泰州）將一矩形紙片OABC放在直角坐標系中，O為原點，C在x軸上，OA=6，OC=10．
（1）如圖所示，在OA上取一點E，將△EOC沿EC折疊，使O點落在AB邊上的D點，求E點的坐標；
（2）如圖所示，將矩形變為矩形OA′B′C′，在OA′，OC′邊上選擇取適當的點E′，F′，將△E′OF沿E′F折疊，使O點落在A′B′邊上的D′點，過D′作D′G∥A′O交E′F于T點，交OC′于G點，求證：TG=A′E′．
（3）在圖的條件下，設T（x，y）：
①探求：y與x之間的函數關系式；②指出變量x的取值范圍．
20．（2005，南京市）如果將點P繞定點M旋轉180°后與點Q重合，那么稱點P與點Q關于點M對稱，定點M叫做對稱中心．此時，點M是線段PQ的中點．如圖5－14所示，在直角坐標系，△ABO的頂點A，B，O的坐標分別為（1，0），（0，1），（0，0）．點列P1，P2，P3，…中的相鄰兩點都關于△ABO的一個頂點對稱，點P1與點P2關于點A對稱，點P2與點P3關于點B對稱，點P3與點P4關于點O對稱，點P4與點P5關于點A對稱，點P5與點P6關于點B對稱，點P6與點P7關于點O對稱，…，對稱中心分別是A，B，O，A，B，O，…，且這些對稱中心依次循環．已知P1的坐標是（1，1），試寫出點P2，P7，P100的坐標．
21．（2005，沈陽市）如圖所示，在方格紙（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）中，我們稱每個小正方形的頂點為格點，以格點為頂點的圖形稱為格點圖形．如圖中的△ABC稱為格點△ABC．
（1）如果A，D兩點的坐標分別是（1，1）和（0，－1），請你在方格紙中建立平面直角坐標系，并直接寫出點B，點C的坐標；
（2）請根據你所學過的平移，旋轉或軸對稱等知識，說明圖中“格點四邊形圖案”是如何通過“格點△ABC圖案”變換得到的．
22．（2005，蘇州市）如圖a所示，平面直角坐標系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標原點，A點坐標為（10，0），C點坐標為（0，6），D是BC邊上的動點（與點B，C不重合），現將△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB邊上選取適當的點E，將△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直線DG，DF重合．
（1）如圖b所示，若翻折后點F落在OA邊上，求點D，E的坐標；
（2）設D（a，6），E（10，b），求b關于a的關系式．
(a) (b)
答案
1．（4，－3）
2．由m2+1+2m=0，且2m<1，m<0，得m=－1，n2－2+4n+6=0得n=－2即A（2，2），B（－2，－2），∴A關于x軸對稱點為（2，－2），B關于y軸對稱點為（2，－2）．
3．5
4．畫圖并討論得未知點坐標為（0，－5），（－10，0），（－10，－5）．
5．由已知得12－4m<0，19－3m>0，∴36．（5，4） 7．2006 8．（，） 9．C 10．D 11．B
12．由已知得2a+3b=8，3a+2b=2解得a=－2，b=4，∴a+b=2，故選A．
13．B 14．C 15．B 16．C
17．如圖所示，∵四邊形OCDB是平行四邊形，B（8，0）．
∴CD∥OA，CD=OB=8．
過點M作MF⊥CD于點F，
則CF=CD=4．
過點C作CE⊥OA于點E．
∵A（10，0），∴OA=10，OM=5．
∴OE=OM－ME=OM－CF=5－4=1．
連接MC，則MC=OA=5．
∴在Rt△CMF中，MF==3．
∴點C的坐標為（1，3）．
18．（1）P點從A點運動到D點所需的時間為（3+5+3）÷1s=11s
（2）①當t=5時，P點從A點運動到BC上，此時OA=10，AB+BP=5，∴BP=2，
過點P作PE⊥AD于點E，則PE=AB=3，AE=BP=2，∴OD=OA+AE=10+2=12，
∴點P的坐標為（12，3）；
②分三種情況：當0∴S=×2t×t=t2．
當3∴S=×2t×3=3t．
當8 ∴DP=（AB+BC+CD）－（AB+BC+CP）=11－t
∴S=×2t×（11－t）=－t2+11t．
19．（1）設OE=a，∵△EOC≌△EDC
∴OE=DE=a，OC=CD=10．
又AE=6－a．在Rt△DBC中，
DB==8
∴AD=10－8=2．
在Rt△DAE中，AE2+AD2=DE2．
即（6－a）2+22=a2，∴a=，∴E（0，）
（2）連接OT，∵△E′OF≌△E′D′F
∴∠FE′D′=∠FE′O，E′D=E′O
又∵E′T=E′T，∴△E′DT≌△E′OT
∴∠E′D′T=∠E′O′T
∵∠E′D′T+∠E′D′A′=∠E′OT+∠TOG=90°
∴∠E′D′A′=∠TOG
又∵A′D′∥OG，A′O∥D′G
∠A′OC′=90°=∠D′GO=∠OA′D′
∴四邊形A′DGO為矩形，∴A′D′=OG
∴△A′E′D′≌△OTG，∴A′E′=TG
（3）①由（2）知：A′E′=TG=y，OG=A′D′=x, E′O=E′D′=6－y．
在Rt△E′A′D′中，x2+y2=（6－y）2
∴y=－x2+3
②在（1）的情況下，x取得最大值x=A′E′=6－=．
在E′點與A′點重合時，x取得最小值，x=6．
∴≤x≤6
20．P2的坐標是（1，－1），P7的坐標是（1，1），P100的坐標是（－1，－3），先找出規律，再寫出P100的坐標．
21．（1）如圖所示．B（－1，－1），C（3，－1）．
（2）把“格點△ABC圖案”向右平移10個單位長度，再向上平移5個單位長度后，再以點P（11，4）為旋轉中心，按順時針方向旋轉180°，即得到“格點四邊形圖案”．
22．（1）由已知得DF=OF=OC=CD=6
∴D（6，6），又OA=10．
∴DB=4，故DG=GE=EB=DB=4．
∴EA=2，即E（10，2）．
（2）由題設可知∠CDO=∠ODF，∠BDE=∠GDE，
∵∠CDO+∠ODF+∠BDE+∠GDE=180°，
∴∠CDO+∠BDE=90°，
∵∠COD+∠CDO=90°，
∴∠COD=∠BDE，
又∵∠OCD=∠DBE=90°
∴△COD∽△BDE
∴，又BE=6－b，BD=10－a
∴，即b=a2－a+6．
2009年中考數學復習教材回歸知識講解+例題解析+強化訓練
統計與概率
◆知識講解
1．統計初步的有關概念
總體：所要考查對象的全體叫總體；個體：總體中每一個考查對象．
樣本：從總體中所抽取的一部分個體叫總體的一個樣本．
樣本容量：樣本中個體的數目．
樣本平均數：樣本中所有個體的平均數叫樣本平均數．
總體平均數：總體中所有個體的平均數叫做總體平均數．
2．統計學中的基本思想就是用樣本對總體進行估計、推斷，用樣本的平均水平、波動情況、分布規律等特征估計總體的平均水平、波動情況和分析規律．
3．概率初步的有關概念
（1）必然事件是指一定能發生的事件，或者說發生的可能性是100%；
（2）不可能事件是指一定不能發生的事件；
（3）隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件；
（4）隨機事件的可能性
一般地，隨機事件發生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同．
（5）概率
一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發生的頻率會穩定在某個常數P附近，那么這個常數P就叫做事件A的概率，記為P（A）=P．
（6）可能性與概率的關系
事件發生的可能性越大，它的概率越接近于1，反之事件發生的可能性越小，則它的概率越接近0．（圖6-30）
（7）古典概率
一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率為P（A）=．
（8）幾何圖形的概率
概率的大小與面積的大小有關，事件發生的概率等于此事件所有可能結果所組成圖形的面積除以所有可能結果組成圖形的面積．
◆例題解析
例1 北京2008奧運會吉祥物是“貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮”．現將三張分別印有“歡歡、迎迎、妮妮”這三個吉祥物圖案的卡片（卡片的形狀大小一樣，質地相同）放入盒子，如圖6-31所示．
（1）小玲從盒子中任取一張，取到印有“歡歡”圖案的卡片的概率是多少？
（2）小玲從盒子中取出一張卡片，記下名字后放回，再從盒子中取出第二張卡片，記下名字．用列表或畫樹狀圖列出小玲取到的卡片的所有可能情況，并求出小玲兩次都取到印有“歡歡”圖案的卡片的概率．
【分析】小玲第一次摸出“歡歡”的概率是P（歡歡）＝，小玲第二次摸出“歡歡”的概率應注意摸的過程中是將已摸出的“歡歡”卡片又放回去了，這樣“歡歡可能出現的次數”及“所有可能的結果數”不變，所求概率應是第一次和第二次所摸“歡歡”的概率之積．
【解析】（1）小玲取到印有“歡歡”圖案的卡片的概率是．
（2）小玲第一次取出一張卡片的概率為，由于題中要求記下名字后放回，這時盒子里的卡片仍有三張，因此小玲第二次取出相同卡片的概率仍為，這樣小玲兩次都取到印有“歡歡”圖案的卡片的概率為×＝，用列表法表示為：
歡歡
迎迎
妮妮
歡歡
（歡歡，歡歡）
（迎迎，歡歡）
（妮妮，歡歡）
迎迎
（歡歡，迎迎）
（迎迎，迎迎）
（妮妮，迎迎）
妮妮
（歡歡，）妮妮
（迎迎，妮妮）
（妮妮，妮妮）
【點評】求隨機事件的概率的關鍵是確定所有可能的結果數和可能出現的結果數．當這兩個“結果數”直接確定有困難時，可用列舉法來解．同時取到“歡歡”的卡片的概率等于先后取到“歡歡”卡片概率的乘積，解這類題要注意“取到后放回”與“取到后不再放回”的不同．前者每次取到的所有可能的結果數與可能出現的結果數都不發生變化，而后者每次取到的所有可能的結果數與可能出現的結果數都會發生變化．
例2 四張撲克牌的牌面如圖6-32a所示，將撲克牌洗勻后，如圖6-32b背面朝上放置在桌面上．
（1）若隨機抽取一張撲克牌，則牌面數字恰好為5的概率是______；
（2）規定游戲規則如下：若同時隨機抽取兩張撲克牌，抽到兩張牌的牌面數字之和是偶數為勝；反之，則為負．你認為這個游戲是否公平？請說明理由．
【分析】本題以游戲是否公平為背影，考查概率知識，出題思路新穎，為近幾年中考試題中的一大特點．
【解答】（1）
（2）不公平．
隨機抽取兩張撲克牌，結果如下（2，4），（2，5），（2，5）
所以P（和為偶數）=．
P（和為奇數）=．
所以游戲不公平．
【點評】本題以游戲是否公平為載體，考查了學生對概率知識的掌握情況．
◆強化訓練
一、填空題
1．如果甲邀請乙玩一個同時拋擲兩枚硬幣的游戲，游戲的規則如下：同時拋出兩個正面，乙得1分；拋出其他結果，甲得1分．誰先累積到10分，誰就獲勝．你認為______（填“甲”或“乙”）獲勝的可能性更大．
2．某班有49位學生，其中有23位女生．在一次活動中，班上每一位學生的名字都各自寫在一張小紙條上，放入一盒中攪勻．如果老師閉上眼睛從盒中隨機抽出一張紙條，那么抽到寫有女生名字紙條的概率是______．
3．小明的書包里裝有外觀完全相同的8本作業本，其中語文作業本3本，數學作業本3本，英語作業本2本．小明從書包中隨機抽出一本作業本是數學作業本的概率是______．
4．按下面的要求，分別舉出一個生活中的例子：
（1）隨機事件：___________；（2）不可能事件：________；（3）必然事件：_______．
5．一個水庫養了某種魚10萬條，從中捕撈了20條，稱得重量如下（單位：kg）：1.15 1.04 1.11 1.07 1.10 1.32 1.．25 1.19 1.15 1.21 1.18 1.14 1.09 1.25 1.21 1.29 1.16 1.24 1.12 1.16，這組樣本的平均數是______，估計水庫里這種魚的總重量是_______萬kg．
6．一個口袋中有3個黑球和若干個白球，在不允許將球倒出來數的前提下，小明為估計其中的白球數，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機摸出一球，記下顏色……不斷重復上述過程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根據上述數據，小明可估計口袋中的白球大約有_______．
7．小玲家的魚塘里養了2000條鰱魚，現準備打撈出售．為了估計魚塘中鰱魚的總質量，從魚塘中捕撈了3次進行統計，得到的數據如下表：
魚的條數
平均每條魚的質量
第一次捕撈
20
1.6kg
第二次捕撈
10
2.2kg
第三次捕撈
10
1.8kg
那么，魚塘中鰱魚的總質量約是______kg．
8．2004年4月25日，我市舉行龍巖冠豸山機場首航儀式，利用這一契機，推出“冠豸山綠色之旅”等多項旅游項目．“五一”這天，對連城八家旅行社中部分游客的年齡（年齡取整數）進行了抽樣統計，經整理后分成六組，并繪制成頻率分布直方圖．已知從左到右依次為1～6小時的頻率分別是0.08，0.20，0.32，0.24，0.12，0.04，第1小時的頻數為8，請結合圖形回答下列問題：
（1）這次抽樣的樣本容量是_____；
（2）樣本中年齡的中位數落在第______小組內；
（3）“五一”這天，若到連城冠豸山的游客約有5000人，請你用學過的統計知識去估計20.5～50.5年齡段的游客約有______人．
二、選擇題
9．現有A，B兩枚均勻的小立方體，立方體的每個面上分別標有數學1，2，3，4，5，6．用小莉擲A立方體朝上的數字為x，小明擲B立方體朝上的數字為y來確定點P（x，y），那么它們各擲一次所確定的點P落在已知拋物線y=-x2+4x上的概率為（ ）
A． B． C． D．
10．一個均勻的立方體六個面上分別標有數1，2，3，4，5，6．如圖是這個立方體表面的展開圖．拋擲這個立方體，則朝上一面上的數恰好等于朝下一面上的數的概率是（ ）
A． B． C． D．

(第10題) (第11題) (第12題)
11．（2005，蘇州市）如圖的轉盤被劃分成六個相同大小的扇形，并分別標上1，2，3，4，5，6這六個數字，指針停在每個扇形的可能性相等．四位同學各自發表了下述見解：
甲：如果指針前三次都停在了3號扇形，下次就一定不會停在3號扇形；
乙：只要指針連續轉六次，一定會有一次停在6號扇形；
丙：指針停在奇數號扇形的概率與停在偶數號扇形的概率相等；
?。哼\氣好的時候，只要在轉動前默默想好讓指針停在6號扇形，指針停在6號扇形的可能性就會加大．
其中，你認為正確的見解有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
12．如圖所示，圖中的兩個轉盤分別被均勻地分成5個和4個扇形，每個扇形上都標有數字，同時自由轉動兩個轉盤，轉盤停止后，指針都落在奇數上的概率是（ ）
A． B． C． D．
13．有一對酷愛運動的年輕夫婦給他們12個月大的嬰兒拼排3塊分別寫有“20”，“08”和“北京”的字塊，如果嬰兒能夠排成“2008北京”或者“北京2008”，則他們就給嬰兒獎勵，假設該嬰兒能將字塊模著正排，那么這個嬰兒能得到獎勵的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．在一個不透明的口袋中裝有若干個只有顏色不同的球，如果口袋中裝有4個紅球，且摸出紅球的概率為，那么袋中共有球的個數為（ ）
A．12個 B．9個 C．7個 D．6個
15．（2008，徐州）如圖所示，小明隨意向水平放置的大正方形內部區域拋一個小球，則小球停在小正方形內部（陰影）區域的概率為（ ）
A． B． C． D．
16．中央電視臺“幸運52”欄目中的“百寶箱”互動環節，是一種競猜游戲，游戲規則如下：在20個商標中，有5個商標牌的背面注明了一定的獎金額，其余商標的背面是一張苦臉，若翻到它就不得獎．參加這個游戲的觀眾有三次翻牌的機會．某觀眾前兩次翻牌均得若干獎金，如果翻過的牌不能再翻，那么這位觀眾第三次翻牌獲獎的概率是（ ）
A． B． C． D．
三、解答題
17．甲、乙兩隊進行拔河比賽，裁判員讓兩隊隊員用“石頭、剪子、布”的方式選擇場地位置．規則是：石頭勝剪子，剪子勝布，布勝石頭，手勢相同再決勝負．請你說明裁判員的這種作法對甲、乙雙方是否公平，為什么？（用樹狀圖或列表法解答）
18．如圖所示，口袋中有5張完全相同的卡片，分別寫有1cm，2cm，3cm，4cm和5cm，口袋外有2張卡片，分別寫有4cm和5cm．現隨機從袋內取出一張卡片，與口袋外兩張卡片放在一起，以卡片上的數量分別作為三條線段的長度，回答下列問題：
（1）求這三條線段能構成三角形的概率；
（2）求這三條線段能構成直角三角形的概率；
（3）求這三條線段能構成等腰三角形的概率．
19．（2008，荊門）小敏的爸爸買了某項體育比賽的一張門票，她和哥哥兩人都很想去觀看，可門票只有一張，讀九年級的哥哥想了一個辦法，拿了8張撲克牌，將數字為2，3，5，9的四張牌給小敏，將數字為4，6，7，9的四張牌留給自己，如圖6-39所示，并按如下游戲規則進行：小敏和哥哥從各自的四張牌中隨機抽出一張，然后將抽出的兩張撲克牌數字相加，如果和為偶數，則小敏去；如果和為奇數，則哥哥去．
（1）請用畫樹狀圖或列表的方法求小敏去看比賽的概率．
（2）哥哥設計的游戲規則公平嗎？若公平，請說明理由；若不公平，請你設計一種公平的游戲規則．
20．有兩個可以自由轉動的均勻轉盤A，B，分別被分成4等份，3等份，并在每份內均標有數字，如圖6-40所示，丁洋和王倩同學用這兩個轉盤做游戲，游戲規則如下：
①分別轉動轉盤A和B；②兩個轉盤停止后，將兩個指針所指份內的數字相加（如果指針恰好停在等分線上，那么重轉一次，直到指針指向某一份為止）；③如果和為0，丁洋獲勝，否則王倩獲勝．
（1）用列表法（或樹狀圖）求丁洋獲勝的概率；
（2）你認為這個游戲對雙方公平嗎？請說明理由．
21．一張圓桌旁有四個座位，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機坐到其他三個座位上，求A與B不相鄰而坐的概率．
22．（2008，煙臺）如圖所示，甲轉盤被分成3個面積相等的扇形，乙轉盤被分成4個面積相等的扇形，每一個扇形都標有相應的數字．同時轉動兩個轉盤，當轉盤停止后，設甲轉盤中指針所指區域內的數字為x，乙轉盤中指針所指區域內的數字為y（當指針指在邊界線上時，重轉一次，直到指針指向一個區域為止）．
（1）請你用畫樹狀圖或列表格的方法，求出點（x，y）落在第二象限內的概率；
（2）直接寫出點（x，y）落在函數y=-圖像上的概率．
23．有四張背面相同的紙牌A，B，C，D，其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，小華將這4張紙牌背面朝上洗勻后摸出一張，放回洗勻后再摸出一張．
（1）用樹狀圖（或列表法）表示兩次摸牌所有可能出現的結果（紙牌可用A，B，C，D表示）；
（2）求摸出兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的紙牌的概率．
24．如圖，甲轉盤被分成3個面積相等的扇形，乙轉盤被分成2個面積相等的扇形．小夏和小秋利用它們來做決定獲勝與否的游戲．規定小夏轉甲盤一次，小秋轉乙盤一次為一次游戲（當指針指在邊界線上時視為無郊，重轉）．
（1）小夏說：“如果兩個指針所指區域內的數之和為6或7，則我獲勝；否則你獲勝”．按小夏設計的規則，請你寫出兩人獲勝的可能性分別是多少？
（2）請你對小夏和小秋玩的這種游戲設計一種公平的游戲規則，并有一種合適的方法（例如：樹狀圖，列表）說明其公平性．
答案
1．甲 2． 3．
4．（1）袋子里裝有2個白球，2個紅球，摸出一個球是紅球 （2）袋子里裝有5個紅球，摸出一個球是白球 （3）袋子里裝有5個紅球，摸出一個球是紅球
5．1.17kg 11.7 6．12 7．3600
8．（1）8÷0.08=100 （2）3
（3）5000×（0.20+0.32+0.24）=3800（人）
9．B（點撥：點P的坐標共有36種可能，其中能落在拋物線y=-x2+4x上的共有3種可能，其概率為=，故選B．）
10．A 11．A 12．C 13．C 14．A 15．C 16．B
17．裁判員的這種作法對甲，乙雙方是公平的．理由：用列表法得出所有可能的結果如下：
石頭
剪子
布
石頭
（石頭，石頭）
（石頭，剪子）
（石頭，布）
剪子
（剪子，石頭）
（剪子，剪子）
（剪子，布）
布
（布，石頭）
（布，剪子）
（布，布）
根據表格得，P（甲獲勝）==，
P（乙獲勝）==，
∵P（甲獲勝）=P（乙獲勝），
∴裁判員這種作法對甲，乙雙方是公平的．
18．（1）P（構成三角形）=；
（2）P（構成直角三角形）=；
（3）P（構成等腰三角形）=．
19．（1）根據題意，我們可畫出如圖所示的樹形圖：
或者，根據題意，我們也可以列出下表：
2
3
5
9
4
（4，2）
（4，3）
（4，5）
（4，9）
6
（6，2）
（6，3）
（6，5）
（6，9）
7
（7，2）
（7，3）
（7，5）
（7，9）
8
（8，3）
（8，3）
（8，5）
（8，9）
從樹形圖（表）中可以看出，所有可能出現的結果共有16種，這些結果出現的可能性相等．而和為偶數的結果共有6種，所以小敏去看比賽的概率P（和為偶數）==．
（2）哥哥去看比賽的概率P（和為奇數）=1-=，因為<，所以哥哥設計的游戲規則不公平．
如果規定點數之和小于等于10時小敏（或哥哥）去，點數之和大于等于11時哥哥（或小敏）去，則兩人去看比賽的概率都為時，那么游戲規則就是公平的．
或者，如果將8張牌中的2，3，4，5四張牌給小敏，而余下的6，7，8，9四張牌給哥哥，則和為偶數或奇數的概率為，那么游戲規則也是公平的．（只要滿足兩人手中點數為偶數（或奇數）的牌的張數相等即可）
20．（1）每次游戲可能出現的所有結果列表如下：
0
-1
-2
0
（0，0）
（0，-1）
（0，-2）
1
（1，0）
（1，-1）
（1，-2）
2
（2，0）
（2，-1）
（2，-2）
3
（3，0）
（3，-1）
（3，-2）
根據表格，共有12種可能的結果，其中和為0的有三種：（0，0），（1，-1），（2，-2），
∴丁洋獲勝的概率為P==．
（2）這個游戲不公平．
∵丁洋獲勝的概率為，王倩獲勝的概率為．
∴≠，
∴游戲對雙方不公平．
21．由于A的位置已確定，B，C，D隨機而坐的情況共6種，6種情況出現的可能性相同，其中A與B不相鄰而坐的情況共有2種，所以所求的概率為P==．
22．（1）根據題意，畫出樹狀圖如圖所示：
由上圖可知，點（x，y）的坐標共有12種等可能的結果：
（1，-1），（1，-），（1，-），（1，2），（-2，-1），（-2，-），（-2，），（-2，2），（3，-1），（3，-），（3，），（3，2），其中點（x，y）落在第二象限的共有2種．（-2，），（-2，2）．所以P（點（x，y）落在第二象限）==．
或根據題意，畫表格：
1
-2
3
-1
（1，-1）
（-2，-1）
（3，-1）
-
（1，-）
（-2，-）
（3，-）
（1，）
（-2，）
（3，）
2
（1，2）
（-2，2）
（3，2）
由表格可知共有12種結果，其中點（x，y）落在第二象限的有2種．
所以P（點（x，y）落在第二象限）==．
（2）P（點x，y）落在y=-圖像上）==．
23．（1）如圖所示．
（2）兩次摸牌所有可能結果數m=16，兩次都是中心對稱圖形的可能結果數n=4，P（兩次都是中心對稱圖形）==．
24．（1）數字之和為6或7的可能性為．
所以小夏獲勝的可能性為，小秋獲勝的可能性為．
（2）公平的游戲規則為：數字之和為偶數，小夏獲勝；數字之和為奇數，小秋獲勝．
理由如下：
小夏轉得的數
小秋轉得的數
兩數的和為：
∴數字之和為偶數的可能性為，數字之和為奇數的可能性為，對于雙方是公平的．
（還有其他設計方法，只要公平，合理即得滿分）．

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