資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第10章 相交線、平行線與平移 學案
【學習目標】
1.理解相交線、垂線的概念與性質.
2.熟練運用平行線的性質與判定進行相關的計算與推理.
3.掌握平移的概念與性質，會進行平移作圖.
【學法指導】
1.自主學習，建立本章知識結構體系.
2.合作探究，提高應用知識解決問題的能力.
【自主學習】
1.請整理出本章知識結構圖.
2.本章的主要內容有哪些？學習的關鍵、重點分別在哪些地方？
示例：本章主要學習了相交線和平行線，其中兩條直線被第三條直線所截形成的八個角及其相互關系是重點內容，同樣作為重要內容的還有平行線的判定和性質。
本章對于幾何來講其地位是十分重要的，要養成初步的幾何推理能力,構建幾何模型比如平行線的鉛筆型、M型，而對三角形的三條重要線段的學習,同時結合三角形的內角和知識相結合,就能把一些稍微綜合性的題結合在一起,形成三角形內角平分線及內角與外角平分線形成的角與三角形第三個角的關系等等的模型圖。
【合作學習，課內探究】
對點練習1
給出下列說法：①棱柱的上、下底面的形狀相同；②相等的角是對頂角；③若，則點B為線段的中點；④一個角的補角一定大于這個角．其中正確說法的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
解：①棱柱的上、下底面的形狀相同，故說法正確；
②對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，故說法錯誤；
③當點A、B、C在一條直線上，若，則點B為線段的中點，故說法錯誤；
④鈍角的補角小于這個角，則一個角的補角不一定大于這個角，故說法錯誤．
綜上可知，正確說法的個數有1個，
故選：A
對點練習2
如圖，直線相交于點O，，，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查對頂角，垂線的定義，角的和差關系，根據對頂角相等可得，進而可得，根據可得，則．
【詳解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故選：A．
對點練習3
如圖，，，分別是，的平分線，，試探究與的位置關系并說明理由．
請完善下列解題過程．
解：與的位置關系是___________．
，分別是，的平分線（已知），
___________，
___________（ ）．
（已知），
___________．
又（已知），
（ ），
（ ）．
【答案】；；；角平分線的定義；；等量代換；；內錯角相等，兩直線平行
【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關鍵．根據角平分線的定義以及已知條件得出，即可得出．
【詳解】與的位置關系是．
，分別是，的平分線（已知），
，（角平分線的定義）．
（已知），
．
又（已知），
（等量代換），
（內錯角相等，兩直線平行）．
對點練習4
如圖，已知，一條直線分別交、于點E、F，，，點Q在上，連接．
(1)已知，直接寫出的度數；
(2)求證：平分．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題考查角平分線定義，垂線，平行線的性質．
（1）由平行線的性質得到，而，得到，求出，由垂直的定義得到，即可求出；
（2）由（1）知，，由余角的性質推出，即可證明平分．
【詳解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）證明：由（1）知，
∴
∴，
∴平分．
對點練習5
如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，的頂點均在小正方形的頂點上．
(1)把先向右移動5個單位長度，再向下移動3個單位長度得到，畫出（其中點A的對應點為，點B的對應點為，點C的對應點為）；
(2)連接，，判定與的位置關系，并寫出的面積．
【答案】(1)見解析
(2)，7
【分析】本題考查作圖—平移變換、三角形的面積：
（1）根據平移的性質作圖即可．
（2）根據平移的性質可知；利用割補法求三角形的面積即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
（2）解：由平移可知，．
的面積為．
易錯題辨析
1. 如圖所示，有下列五種說法：①和是同位角；②和是內錯角；③和是同旁內角；④和是同位角；⑤和是同旁內角；其中正確的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】D
【分析】本題考查了同位角、 內錯角以及同旁內角的定義，根據內錯角、 同位角以及同旁內角的定義尋找出各角之間的關系， 再比照五種說法判斷對錯， 即可得出結論 ．
【詳解】解： 根據內錯角、 同位角以及同旁內角的定義分析五種說法 ．
①和是同位角， 即①正確；
②和是內錯角， 即②正確；
③和是內錯角， 即③不正確；
④和是同位角， 即④正確；
⑤和是同旁內角， 即⑤正確 ．
故選：D．
2. 在下列實例中，屬于平移過程的有（ ）
①時針運行的過程；②電梯上升的過程；③地球自轉的過程；④小汽車在平直的公路行駛．
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【分析】本題考查了平移，運用平移的定義即可判斷即可，解題的關鍵是熟記平移是指在平面內，將一個圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動，這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動．
【詳解】時針運轉過程，屬于旋轉；
電梯上升過程，屬于平移；
地球自轉過程，屬于旋轉；
火車直線行駛的過程，屬于平移；
則平移過程的有個，
故選：．
典例講解
例1 如圖，于，點是上任意一點，于，且，．試求的度數．
【答案】
【分析】本題考查了平行線的判定和性質，解答此題的關鍵是注意平行線的性質和判定定理的綜合運用．由，則，則，從而證得，即可得到．
【詳解】解：，
又
例2 畫圖并填空：如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都為1，在方格紙內將經過一次平移后得到，圖中標出了點B的對應點，請利用網格點和直尺畫圖或計算：

(1)在給定方格紙中畫出平移后的；
(2)畫出邊上的中線及高線；
(3)在上述平移中，邊所掃過的面積為 ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)31
【分析】本題考查作圖﹣平移變換，三角形的高，中線，平行四邊形的面積等知識，解題的關鍵是掌握平移變換的性質．
（1）利用平移變換的性質分別作出A，B，C的對應點即可．
（2）根據三角形的高，中線的定義作出圖形即可．
（3）邊所掃過的面積可以看成矩形面積減去周圍四個三角形面積即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．

（2）解：如圖，線段即為所求．
（3）解：在上述平移中，邊所掃過的面積為，
故答案為：31．
課堂練習
1.如圖，點O在直線上，．若，則的大小為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了幾何圖形中角度的計算，首先根據鄰補角的性質求出，然后利用角的和差求解即可．正確掌握圖形找中各角度的關系是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
2.下列說法正確的是（ ）．
A．垂線段就是與已知直線相交的線段
B．垂線段就是垂直于已知直線的線段
C．垂線段就是一條豎起來的線段
D．過直線外一點向已知直線作垂線，這一點到垂足之間的線段叫垂線段
【答案】D
【解析】略
3．P為直線m外一點，A，B，C為直線m上三點，，則點P到直線m的距離（　　）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
【答案】D
【分析】本題主要考查了點到直線的距離，熟知垂線段最短是解題的關鍵，根據垂線段最短和點到直線的距離的定義得出即可．
【詳解】解：根據垂線段最短得出點P到直線m的距離是不大于，
故選D．
4.如圖，下列結論正確的是（ ）
A．與是對頂角 B．與是同位角 C．與是同旁內角 D．與是同旁內角
【答案】D
【分析】本題考查同位角同旁內角、對頂角，根據同位角、同旁內角、對頂角的定義進行判斷，熟練掌握各角的定義是解題的關鍵．
【詳解】A、與是對頂角，故本選項錯誤，不符合題意；
B、與是同位角，故本選項錯誤，不符合題意；
C、與沒有處在兩條被截線之間，故本選項錯誤，不符合題意；
D、與是同旁內角；故本選項正確，符合題意；
故選：D．
5.如圖，下列條件中，不能判斷的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了平行線的判定，結合圖形分析兩角的位置關系，根據平行線的判定方法逐項判斷即可，解題的關鍵是熟練掌握兩直線平行的判定方法．
【詳解】、由，根據內錯角相等，兩直線平行，可以判斷，不符合題意；
、由，根據同位角相等，兩直線平行，可以判斷，不符合題意；
、由，根據同旁內角互補，兩直線平行，可以判斷，不符合題意；
、由，不可以判斷，符合題意；
故選：．
6.如圖，直線a，b被直線c所截，若，，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查平行線性質，根據平行線性質得到內錯角的大小，結合鄰補角互補即可得到答案；
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
故選：D．
7.生活中經常見到一些美麗的圖案，這些圖案有許多是由基本圖形平移組成的，如下列圖形中，只能用其中一部分平移而得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平移的性質可知，平移只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小．從而得到平移圖形對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等，對應圖形全等．
【詳解】解：A、是圖形旋轉所得，故A錯誤；
B、圖形的形狀和大小不變，符合平移性質，故B正確；
C、是圖形旋轉所得，故C錯誤；
D、最后一個形狀不同，故D錯誤．
故選：B．
【點睛】本題考查了圖形的平移，解題的關鍵是熟練掌握平移的性質．
8.如圖，直線a、b相交于點O，將量角器的中心與點O重合，則 ．
【答案】/75度
【分析】此題考查了對頂角、鄰補角，弄清各自的性質是解本題的關鍵．根據題意結合圖形，求出所求角度數即可．
【詳解】解：根據題意得：，
故答案為：．
9.如圖，P是直線l外一點，A、B、C三點在直線l上，且于點B，，則點A到直線PC的距離是線段 的長．

【答案】/
【分析】本題考查了點到直線的距離，根據“從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離”即可得到答案．
【詳解】解：，
，
點A到直線PC的距離是線段的長，
故答案為：．
10.如圖，與成同位角的角的個數為a，與成內錯角的角的個數為b，則a與b的大小關系是 ．

【答案】
【分析】根據圖形分析的同位角及內錯角，即可解答．
【詳解】解：與成同位角的角是，故，
與成內錯角的角的是和，故，
∴
故答案為：．
【點睛】此題考查了同位角及內錯角，正確理解定義及同位角及內錯角的特征是解題的關鍵．
11.如圖，直線a，b都與直線c相交，下列命題中，能判斷的條件是 （把你認為正確的序號填在橫線上）．
①；②；③；④．

【答案】①②③④
【分析】根據平行線的判定逐項判斷即可．
【詳解】解：①由，根據同位角相等兩直線平行可判斷；
②由，根據內錯角相等兩直線平行可判斷；
③∵，，
∴，根據同位角相等兩直線平行可判斷；
④∵，，，
∴，根據同旁內角互補兩直線平行可判斷；
故答案為：①②③④．
【點睛】本題主要考查了平行線的判定，熟知同位角相等兩直線平行；內錯角相等兩直線平行；同旁內角互補兩直線平行是解題的關鍵．
12.如圖，已知，直角三角板的直角頂點在直線a上，若，則等于 ．
【答案】/50度
【分析】本題考查的是平行線的性質以及垂線的定義的運用．先利用余角的性質求得，再根據“兩直線平行，內錯角相等”可求得的度數．
【詳解】解：如圖，
∵直角三角板的直角頂點在直線a上，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
13.如圖，將一個周長為12厘米的三角形沿平移后得到三角形，連結，已知四邊形的周長為22厘米，那么平移的距離是 厘米．
【答案】5
【分析】本題主要考查平移的性質，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵；由平移可知，然后根據三角形的周長及四邊形的周長可進行求解．
【詳解】解：由平移可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴厘米，
∴平移的距離是5厘米；
故答案為：5．
能力拓展
13.已知一條筆直的公路兩側有、、三個村莊．
(1)畫出村莊、之間距離最短的路線；
(2)加油站D在村莊B、C所在直線與公路L的交點處，畫出加油站的位置D；
(3)畫出村莊到公路的最短路線，畫圖依據是：______，測量答題卡上______（精確到），如果示意圖與實際距離的比例尺為，通過你的測量和計算，在實際中村莊到公路的距離是：______．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析；垂線段最短；，
【分析】（1）根據兩點之間線段最短，連接即可，
（2）兩條直線的交點就是加油站的位置，
（3）依據點到直線的所有線段中，垂線段最短，和比例尺的意義可得．
【詳解】（1）如圖所示．根據兩點之間線段最短，連接，
（2）如圖所示．線與公路的交點，即為加油站，
（3）如圖所示．
作圖依據：垂線段最短．
過點作交點為
測量，．
示意圖與實際距離的比例尺是
：實際距離：
實際距離
在實際中村莊到公路的最短線路為．
【點睛】本題考查了兩條直線的交點，垂線段最短，以及過直線外一點作已知直線的垂線，以及比例尺，解題的關鍵是掌握兩點之間線段最短，以及垂線段最短．
14.已知，直線，．
(1)如圖1，點在上，與交于點，若，則 ______；
(2)如圖2，點在與之間，與交于點，與交于點，且的平分線與的平分線交于點．
①若，求（用含的式子表示）；
②求的度數．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質，添加適當的輔助線，是解此題的關鍵．
（1）根據平行線的性質和互余解答即可；
（2）①過作，連接，利用平行線的性質解答即可；②過作，利用平行線的性質解答即可．
【詳解】（1）解：，，
，
，
，
故答案為：；
（2）解：①如圖，過作，連接，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如圖，過作，
，
，
，
，，
，
過作，
，
，
，，
平分，平分，
，，
．
15.如圖是由小正方形組成的5×7網格，每個小正方形邊長為1，頂點叫做格點，畫圖過程用虛線表示．
(1)在圖（1）中，畫出平移后的圖形．點A、B、C平移后的對應點分別是；
(2)平移掃過的面積是______；
(3)在圖（2）中，過點C畫出的平行線l，則在此網格內l上有______個格點（C點除外）．
【答案】(1)見解析
(2)9
(3)2
【分析】本題考查平移的性質．
（1）根據平移的規則，畫出即可；
（2）分割法求平移掃過的面積即可；
（3）根據題意，畫出直線，確定l上的格點個數即可；
熟練掌握平移的性質，是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）由題意，平移掃過的面積為：；
故答案為：9；
（3）如圖所示，直線l即為所求，
由圖可知，直線上除了格點有2個格點；
故答案為：2．
學習反思
通過這節課的學習，你有哪些收獲？你還有什么疑惑？
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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第10章 相交線、平行線與平移 學案
【學習目標】
1.理解相交線、垂線的概念與性質.
2.熟練運用平行線的性質與判定進行相關的計算與推理.
3.掌握平移的概念與性質，會進行平移作圖.
【學法指導】
1.自主學習，建立本章知識結構體系.
2.合作探究，提高應用知識解決問題的能力.
【自主學習】
1.請整理出本章知識結構圖.
2.本章的主要內容有哪些？學習的關鍵、重點分別在哪些地方？
【合作學習，課內探究】
對點練習1
給出下列說法：①棱柱的上、下底面的形狀相同；②相等的角是對頂角；③若，則點B為線段的中點；④一個角的補角一定大于這個角．其中正確說法的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
對點練習2
如圖，直線相交于點O，，，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
對點練習3
如圖，，，分別是，的平分線，，試探究與的位置關系并說明理由．
請完善下列解題過程．
解：與的位置關系是___________．
，分別是，的平分線（已知），
___________，
___________（ ）．
（已知），
___________．
又（已知），
（ ），
（ ）．
對點練習4
如圖，已知，一條直線分別交、于點E、F，，，點Q在上，連接．
(1)已知，直接寫出的度數；
(2)求證：平分．
對點練習5
如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長都為1，的頂點均在小正方形的頂點上．
(1)把先向右移動5個單位長度，再向下移動3個單位長度得到，畫出（其中點A的對應點為，點B的對應點為，點C的對應點為）；
(2)連接，，判定與的位置關系，并寫出的面積．
易錯題辨析
1. 如圖所示，有下列五種說法：①和是同位角；②和是內錯角；③和是同旁內角；④和是同位角；⑤和是同旁內角；其中正確的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
2. 在下列實例中，屬于平移過程的有（ ）
①時針運行的過程；②電梯上升的過程；③地球自轉的過程；④小汽車在平直的公路行駛．
A．個 B．個 C．個 D．個
典例講解
例1 如圖，于，點是上任意一點，于，且，．試求的度數．
例2 畫圖并填空：如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都為1，在方格紙內將經過一次平移后得到，圖中標出了點B的對應點，請利用網格點和直尺畫圖或計算：

(1)在給定方格紙中畫出平移后的；
(2)畫出邊上的中線及高線；
(3)在上述平移中，邊所掃過的面積為 ．
課堂練習
1.如圖，點O在直線上，．若，則的大小為（　　）
A． B． C． D．
2.下列說法正確的是（ ）．
A．垂線段就是與已知直線相交的線段
B．垂線段就是垂直于已知直線的線段
C．垂線段就是一條豎起來的線段
D．過直線外一點向已知直線作垂線，這一點到垂足之間的線段叫垂線段
3．P為直線m外一點，A，B，C為直線m上三點，，則點P到直線m的距離（　　）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
4.如圖，下列結論正確的是（ ）
與是對頂角 B．與是同位角
C．與是同旁內角 D．與是同旁內角
5.如圖，下列條件中，不能判斷的是（ ）
A． B． C． D．
6.如圖，直線a，b被直線c所截，若，，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
7.生活中經常見到一些美麗的圖案，這些圖案有許多是由基本圖形平移組成的，如下列圖形中，只能用其中一部分平移而得到的是（　　）
A． B．
C． D．
8.如圖，直線a、b相交于點O，將量角器的中心與點O重合，則 ．
9.如圖，P是直線l外一點，A、B、C三點在直線l上，且于點B，，則點A到直線PC的距離是線段 的長．

10.如圖，與成同位角的角的個數為a，與成內錯角的角的個數為b，則a與b的大小關系是 ．

11.如圖，直線a，b都與直線c相交，下列命題中，能判斷的條件是 （把你認為正確的序號填在橫線上）．
①；②；③；④．

12.如圖，已知，直角三角板的直角頂點在直線a上，若，則等于 ．
13.如圖，將一個周長為12厘米的三角形沿平移后得到三角形，連結，已知四邊形的周長為22厘米，那么平移的距離是 厘米．
能力拓展
13.已知一條筆直的公路兩側有、、三個村莊．
(1)畫出村莊、之間距離最短的路線；
(2)加油站D在村莊B、C所在直線與公路L的交點處，畫出加油站的位置D；
(3)畫出村莊到公路的最短路線，畫圖依據是：______，測量答題卡上______（精確到），如果示意圖與實際距離的比例尺為，通過你的測量和計算，在實際中村莊到公路的距離是：______．
14.已知，直線，．
(1)如圖1，點在上，與交于點，若，則 ______；
(2)如圖2，點在與之間，與交于點，與交于點，且的平分線與的平分線交于點．
①若，求（用含的式子表示）；
②求的度數．
15.如圖是由小正方形組成的5×7網格，每個小正方形邊長為1，頂點叫做格點，畫圖過程用虛線表示．
(1)在圖（1）中，畫出平移后的圖形．點A、B、C平移后的對應點分別是；
(2)平移掃過的面積是______；
(3)在圖（2）中，過點C畫出的平行線l，則在此網格內l上有______個格點（C點除外）．
學習反思
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