資源簡介

課時2 正弦定理
學習目標 1.應用正弦定理解三角形，能根據(jù)正弦定理確定三角形解的個數(shù). 2.掌握正弦定理的推論及變形公式，能應用其進行邊角轉化，解決三角形問題.
學習活動
導入：回顧什么是正弦定理，并說說正弦定理解三角形的適用條件有哪些？它們對應求出的三角形是否唯一確定？ 目標一：應用正弦定理解三角形，能根據(jù)正弦定理確定三角形解的個數(shù). 任務：利用正弦定理解三角形，歸納正弦定理確定三角形個數(shù)的方法. 問題1：已知中，，求及三角形面積. 問題2：判斷滿足條件的是否存在，并說明理由. 問題3：結合問題2、3，思考已知三角形兩邊a、b和其中一邊a的對角A，如何求解三角形？ 【歸納總結】 思考：已知三角形兩邊a、b和其中一邊a的對角A，若A為銳角，三角形解的個數(shù)情況如何？a、b對應有怎樣的關系式？若A為直角、鈍角呢？ 【歸納總結】 練一練： 下列說法正確的是（ ）. A.當b=11, a=20, B=30°，三角形有一解 B.當c=54, b=39, C=120°，三角形有一解 C.當b=26, c=15, C=30°，三角形有一解 D.當a=2,b=6,A=30°，三角形有一解
目標二：掌握正弦定理的推論及變形公式，能應用其進行邊角轉化，解決三角形問題. 任務1：探索正弦定理與外接圓半徑的關系，歸納正弦定理的變形公式. 如圖所示，c是圓O的直徑，R是圓O的半徑，根據(jù)正弦定理，你發(fā)現(xiàn)與半徑R有什么關系？借此，你發(fā)現(xiàn)在任意△ABC中，與半徑R存在什么關系？ 【歸納總結】 任務2：應用正弦定理的有關變形公式解決三角形中的問題. 問題1：△ABC中，，求證△ABC為直角三角形. 【歸納總結】 問題2：如圖所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分線AD與邊BC相交于點D，求證：. 【歸納總結】 練一練： 在△ABC中，若＝，試判斷△ABC的形狀.
學習總結
任務：根據(jù)下列關鍵詞，構建知識導圖. “三角形的解”、“正弦定理的變形”
2課時2 正弦定理
學習目標 1.應用正弦定理解三角形，能根據(jù)正弦定理確定三角形解的個數(shù). 2.掌握正弦定理的推論及變形公式，能應用其進行邊角轉化，解決三角形問題.
學習活動
導入：回顧什么是正弦定理，并說說正弦定理解三角形的適用條件有哪些？它們對應求出的三角形是否唯一確定？ 目標一：應用正弦定理解三角形，能根據(jù)正弦定理確定三角形解的個數(shù). 任務：利用正弦定理解三角形，歸納正弦定理確定三角形個數(shù)的方法. 問題1：已知中，，求及三角形面積. 參考答案：解：由得： 由于，所以或. 當時， 而 所以三角形面積 當時，，不合題意，舍去. 從及大邊對大角看出不可能成立. 問題2：判斷滿足條件的是否存在，并說明理由. 參考答案：解：假設滿足條件的三角形存在，則由可知，又因為，所以這是不可能的，因此不存在這樣的三角形. 問題3：結合問題2、3，思考已知三角形兩邊a、b和其中一邊a的對角A，如何求解三角形？ 【歸納總結】 已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法： 1．先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值． 2．判斷另一邊對角的正弦值的大小： （1）如果正弦值>1，則無解． （2）如果正弦值=1，則一解且為直角， （3）如果正弦值<1，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論解的取舍：根據(jù)內角和或大邊對大角驗證. 思考：已知三角形兩邊a、b和其中一邊a的對角A，若A為銳角，三角形解的個數(shù)情況如何？a、b對應有怎樣的關系式？若A為直角、鈍角呢？ 【歸納總結】三角形解的個數(shù)的判斷： 練一練： 下列說法正確的是（ ）. A.當b=11, a=20, B=30°，三角形有一解 B.當c=54, b=39, C=120°，三角形有一解 C.當b=26, c=15, C=30°，三角形有一解 D.當a=2,b=6,A=30°，三角形有一解 參考答案：選B，A是2解；B是1解；C是2解；D是無解.
目標二：掌握正弦定理的推論及變形公式，能應用其進行邊角轉化，解決三角形問題. 任務1：探索正弦定理與外接圓半徑的關系，歸納正弦定理的變形公式. 如圖所示，c是圓O的直徑，R是圓O的半徑，根據(jù)正弦定理，你發(fā)現(xiàn)與半徑R有什么關系？借此，你發(fā)現(xiàn)在任意△ABC中，與半徑R存在什么關系？ 參考答案： 由圖知,,因為在中，， 所以，在中，， 所以在中有. 又因為在圓O上，不論怎么移動，上述結論都成立， 所以對于任意，都有. 【歸納總結】 1.正弦定理的推論： 2.正弦定理的變形： (1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； (2)sinA＝，sinB＝，sinC＝； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC. (4). 任務2：應用正弦定理的有關變形公式解決三角形中的問題. 問題1：△ABC中，，求證△ABC為直角三角形. 參考答案：證明：因為， 且 又因為，所以, 即，由勾股定理逆定理得△ABC為直角三角形. 【歸納總結】 利用正弦定理判斷三角形形狀的思路： 圍繞三角形的邊角關系，利用正弦定理進行邊角互化: (1)把角轉化為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關系； (2)把邊轉化為角，通過三角變換找出角之間的關系. 問題2：如圖所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分線AD與邊BC相交于點D，求證：. 參考答案： 證明：如圖，設 則由題意可知 在△ABD和△ADC中，分別應用正弦定理，可得 兩式相除，可得. 【歸納總結】 利用正弦定理研究三角形或者四邊形中的邊角問題時，應該先確定需要研究的邊或者角，在哪個三角形中研究，再利用正弦定理，轉化邊角關系，得到等量關系求解. 練一練： 在△ABC中，若＝，試判斷△ABC的形狀. 參考答案： 由＝及正弦定理得＝∴sin2A=sin2B ∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝， 故△ABC為等腰三角形或直角三角形.
學習總結
任務：根據(jù)下列關鍵詞，構建知識導圖. “三角形的解”、“正弦定理的變形”
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