資源簡介

余弦定理與正弦定理的應用
學習目標 能應用正、余弦定理解決平面內不便到達的兩點之間的距離問題. 能應用正、余弦定理解決運動變化過程中蘊含的解三角形問題.
學習活動
目標一：能應用正、余弦定理解決平面內不便到達的兩點之間的距離問題. 任務：利用正、余弦定理解決下列情景中的距離問題. 情景：如圖所示，A，B是某沼澤地上不便到達的兩點，C，D是可到達的兩點，已知A，B，C，D這4點都在水平面上，而且已經測得 ，求AB的長. 【歸納總結】 練一練： 如圖，某景區欲在兩山頂A，C之間建纜車,需要測量兩山頂間的距離,已知山高,，在水平面上E處測得山頂A的仰角為，山頂C的仰角為，，則兩山頂A，C之間的距離為( ). A． B． C． D． 目標二：能應用正、余弦定理解決運動變化過程中蘊含的解三角形問題. 任務：閱讀情景材料，利用正、余弦定理解決情景中的問題. 情景：如圖所示，在某海濱城市A附近的海面出現臺風活動，據監測，目前臺風中心位于城市A的東偏南方向，距城市A 300km的海面點P處，并以的速度向西偏北方向移動。如果臺風影響的范圍是以臺風中心為圓心的圓形區域，半徑為，將問題涉及范圍內的地球表面看出平面，判斷城市A是否會受到上述臺風的影響，如果會，求出受影響的時間，如果不會，說明理由. 練一練： 一艘輪船按照北偏東方向，以18海里/時的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東方向上，經過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（ ） A．6海里 B．12海里 C．6或12海里 D．海里 思考：結合上述任務及上一課時的任務，小組討論如何利用正余弦定理解決實際問題，其步驟是怎樣的？ 【歸納總結】
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 正、余弦定理的實際應用有哪些？ 正、余弦定理解決實際問題的步驟是怎樣的？
2余弦定理與正弦定理的應用
學習目標 能應用正、余弦定理解決平面內不便到達的兩點之間的距離問題. 能應用正、余弦定理解決運動變化過程中蘊含的解三角形問題.
學習活動
目標一：能應用正、余弦定理解決平面內不便到達的兩點之間的距離問題. 任務：利用正、余弦定理解決下列情景中的距離問題. 情景：如圖所示，A，B是某沼澤地上不便到達的兩點，C，D是可到達的兩點，已知A，B，C，D這4點都在水平面上，而且已經測得 ，求AB的長. 參考答案： 解：因為A，B，C，D4點在水平面上，所以 因此，所以在中， 在中，因為 由正弦定理可得： 因此 在中，由余弦定理可知 從而 【歸納總結】 1.解決三角形中與距離有關的問題的關鍵是轉化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應用正、余弦定理來解決． 2.測量兩個不可到達的點之間的距離：一般是把求距離問題轉化為應用余弦定理求三角形的邊長問題，然后把求未知的另外兩條邊長問題轉化為只有一點不能到達的兩點距離測量問題，運用正弦定理解決． 練一練： 如圖，某景區欲在兩山頂A，C之間建纜車,需要測量兩山頂間的距離,已知山高,，在水平面上E處測得山頂A的仰角為，山頂C的仰角為，，則兩山頂A，C之間的距離為( ). A． B． C． D． 參考答案：A ， , 在中，由余弦定理得 ；即兩山頂A，C之間的距離為． 目標二：能應用正、余弦定理解決運動變化過程中蘊含的解三角形問題. 任務：閱讀情景材料，利用正、余弦定理解決情景中的問題. 情景：如圖所示，在某海濱城市A附近的海面出現臺風活動，據監測，目前臺風中心位于城市A的東偏南方向，距城市A 300km的海面點P處，并以的速度向西偏北方向移動。如果臺風影響的范圍是以臺風中心為圓心的圓形區域，半徑為，將問題涉及范圍內的地球表面看出平面，判斷城市A是否會受到上述臺風的影響，如果會，求出受影響的時間，如果不會，說明理由. 參考答案： 解：城市與臺風中心間距離小于等于臺風半徑，便受影響；影響時間為臺風經過城市的時間差. 設臺風中心x h后到達位置Q,
在△AQP中,P=30°,AP=300km,PQ=20x km,由余弦定理得
AQ2=AP2+PQ2-2AP×PQ×cos P.
當AQ≤100km時，城市A受到臺風影響，代入化筒得
x2-15x+150≤0,解得5≤x≤10.
即城市A會受到影響，受影響時間為10-5=5(h). 練一練： 一艘輪船按照北偏東方向，以18海里/時的速度直線航行，一座燈塔原來在輪船的南偏東方向上，經過20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為海里，則燈塔與輪船原來的距離為（ ） A．6海里 B．12海里 C．6或12海里 D．海里 參考答案：A 解：記輪船最初位置為，燈塔位置為，分鐘后輪船位置為，如下圖所示： 由題意得，，，則，即， 解得：，即燈塔與輪船原來的距離為海里. 思考：結合上述任務及上一課時的任務，小組討論如何利用正余弦定理解決實際問題，其步驟是怎樣的？ 【歸納總結】 （1）準確理解題意，分清已知與所求； （2）依題意畫出示意圖； （3）分析與問題有關的三角形； （4）運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形,逐步求解問題的答案； （5）回歸實際問題，作出解答.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 正、余弦定理的實際應用有哪些？ 正、余弦定理解決實際問題的步驟是怎樣的？
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