資源簡介

復數的概念
學習目標 1.通過方程的解，體會數系擴充的必要性，理解復數的相關概念及代數表示. 2.理解復數的分類及復數相等的充要條件.
學習活動
導入： 問題1：觀察上述數系擴充過程，說說為什么要進行數系擴充？ 問題2：在上述數系擴充的過程中，它們遵循什么運算律？ 問題3：x2=-1的方程在實數范圍內有解嗎？ 目標一：通過方程的解，體會數系擴充的必要性，理解復數的相關概念及代數表示. 任務：結合方程的解，體會數系擴充的必要性和“規則”，理解復數的相關概念及代數表示. 問題1：觀察下列三次方程的分解因式，你發現它們都有幾個正根？ 因式分解： （1）x3=9x+28→x3-9x-28=0→(x-4)(x2+4x+7)=0； （2）x3=15x+4→x3-15x-4=0→x3-16x+x-4 =4x(x2-16)+(x-4)=(x-4)(x2+4x+1)=0. 問題2：人們早在16世紀就發現，可以通過求根公式求解三次方程x3=px+q（p,q均為正實數）的正根，你能利用它直接計算，求解上述方程的正根嗎？ （1）x3=9x+28；（2）x3=15x+4 問題3：如果規定，將按照類似實數的運算法則進行形式計算，你能解釋嗎？ 【概念講解】 問題4：怎樣表示2與i的和？又該怎樣表示3減去i？5與i的乘積可以怎樣表示？ 思考：2+i;3-i;5i在形式上有什么共同特點？ 【概念講解】 復數： 練一練： 說出下列復數的實部與虛部. -1+2i , 2-3i, 2022 , i , 0 .
目標二：理解復數的分類及復數相等的充要條件. 任務1：了解復數集與實數集的包含關系，知道復數的分類. 【概念講解】 虛數； 純虛數. 練一練： 分別求實數x的取值，使得復數z=(x-2)+(x+3)i （1）是實數；（2）是虛數；（3）是純虛數. 思考：純虛數集、虛數集、實數集、復數集四者的關系是怎樣的？用維恩圖（Venn）如何表示？ 任務2：猜想復數相等的充要條件，能依據復數相等的條件求參數的值. 問題：類比向量坐標相等的概念，猜想復數、如何才能相等？ 【概念講解】 復數相等 練一練： 1.若復數，則x，y的值分別為（ ） A.x=-4,y=-2；B.x=4,y=-2；C.x=-4,y=2；D.x=4,y=2. 2.若復數，則x，y的值分別為（ ）. A.；B.； C.；D..
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. 關鍵詞：“數系擴充的基本規則”、“復數的基本概念”、“兩個復數相等的含義”、“復數的分類”.
2復數的概念
學習目標 1.通過方程的解，體會數系擴充的必要性，理解復數的相關概念及代數表示. 2.理解復數的分類及復數相等的充要條件.
學習活動
導入： 問題1：觀察上述數系擴充過程，說說為什么要進行數系擴充？ 問題2：在上述數系擴充的過程中，它們遵循什么運算律？ 參考答案：擴充后的數集規定的加法運算、乘法運算，與原來數集中規定的加法運算、乘法運算協調一致，且加法和乘法都滿足交換律和結合律，乘法對加法滿足分配律. 問題3：x2=-1的方程在實數范圍內有解嗎？ 目標一：通過方程的解，體會數系擴充的必要性，理解復數的相關概念及代數表示. 任務：結合方程的解，體會數系擴充的必要性和“規則”，理解復數的相關概念及代數表示. 問題1：觀察下列三次方程的分解因式，你發現它們都有幾個正根？ 因式分解： （1）x3=9x+28→x3-9x-28=0→(x-4)(x2+4x+7)=0； （2）x3=15x+4→x3-15x-4=0→x3-16x+x-4 =4x(x2-16)+(x-4)=(x-4)(x2+4x+1)=0. 參考答案：均有唯一的正跟4. 問題2：人們早在16世紀就發現，可以通過求根公式求解三次方程x3=px+q（p,q均為正實數）的正根，你能利用它直接計算，求解上述方程的正根嗎？ （1）x3=9x+28；（2）x3=15x+4 參考答案： （1） （2）由問題1，可知成立，但是不能由公式直接計算得出. 問題3：如果規定，將按照類似實數的運算法則進行形式計算，你能解釋嗎？ 參考答案： 所以可以認為 類似地，可以認為 從而形式上有 【概念講解】 一般地，為了使得方程x2=-1有解,人們規定i的平方等于-1. 即i2=-1，并稱i為虛數單位. 注意：虛數單位i與上述表示的意義是一樣的，但是，為了避免混淆，如不特別聲明，以后我們不再使用類似這樣的表達式.也就是說，在中.還是要求a≥0， 問題4：怎樣表示2與i的和？又該怎樣表示3減去i？5與i的乘積可以怎樣表示？ 參考答案：2+i;3-i;5i 思考：2+i;3-i;5i在形式上有什么共同特點？ 【概念講解】 1.實數與i進行四則運算時，加法、乘法運算律仍然成立： （1）實數a與i的和記作a+i，實數0與i的和為i； （2）實數b與i的積記作bi. 注：實數0與i的積為0，實數1與i的積為i. 2.復數：形如a+bi的數（a,b是實數），復數一般用小寫字母z表示.即z=a+bi(a,b R). 其中a稱為z的實部，b稱為z的虛部，分別記作Re(z)=a, Im(z)=b. 復數全體組成的集合叫復數集，復數集通常用大寫字母C表示，因此C={ z| z=a+bi ,a,b R} 練一練： 說出下列復數的實部與虛部. -1+2i , 2-3i, 2022 , i , 0 .
目標二：理解復數的分類及復數相等的充要條件. 任務1：了解復數集與實數集的包含關系，知道復數的分類. 【概念講解】 對于復數a+bi(a,b∈R）， 當且僅當b=0時，它是實數； 當b≠0時，它叫虛數； 當a=0且b≠0時，它叫做純虛數. 練一練： 分別求實數x的取值，使得復數z=(x-2)+(x+3)i （1）是實數；（2）是虛數；（3）是純虛數. 參考答案： （1）當，即時，復數是實數. （2）當，即時，復數是虛數. （3）當，且，即時，復數是純虛數. 思考：純虛數集、虛數集、實數集、復數集四者的關系是怎樣的？用維恩圖（Venn）如何表示？ 參考答案： 任務2：猜想復數相等的充要條件，能依據復數相等的條件求參數的值. 問題：類比向量坐標相等的概念，猜想復數、如何才能相等？ 【概念講解】 如果兩個復數z1、z2的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復數相等，記作z1=z2 即若在復數集中任取兩個數() 兩個復數相等 注意：一般對兩個復數只能說相等或不相等；不能比較大小,若兩個復數可以比較大小，則這兩個復數必定都是實數。 練一練： 1.若復數，則x，y的值分別為（ ） A.x=-4,y=-2；B.x=4,y=-2；C.x=-4,y=2；D.x=4,y=2. 參考答案： 解：由解得，故答案選B. 2.若復數，則x，y的值分別為（ ）. A.；B.； C.；D.. 參考答案： 解：根據復數等于0的充要條件得： ，解得，故答案選B.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. 關鍵詞：“數系擴充的基本規則”、“復數的基本概念”、“兩個復數相等的含義”、“復數的分類”.
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