資源簡介

復數的幾何意義
學習目標 1.理解復數代數表示的幾何意義. 2.理解復數的模，共軛復數的概念. 3.能應用復數的幾何意義、模的知識解決相關問題.
學習活動
目標一：理解復數代數表示的幾何意義. 任務：類比實數的幾何意義，理解復數的幾何意義，能在復平面坐標中表示復數. 問題： 回憶復數相等的充要條件是什么？由此你認為復數由什么唯一確定？ 參考答案：（1）若復數與相等當且僅當且；（2）復數由一個有序數對（a,b）唯一確定. 類比實數與數軸上的點的一一對應關系以及實數有序數對與平面直角坐標系中點的關系，復數在幾何中用什么來表示？ 參考答案：復數z=a+bi是由有序實數對（a，b）唯一確定的，復數也是“二維數”，因此在平面上我們可以建立直角坐標系，用點Z（a，b）來表示復數z=a+bi. 【概念講解】 相關概念：如圖，點Z的橫坐標是 a，縱坐標是 b，復數z＝a＋bi可以用點Z（a,b）表示.這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數. 例如，復平面內的原點(0,0)表示0，實軸上的點（2，0）表示實數2，虛軸上的點（0，-1）表示純虛數-i，點（-2，3）表示-2+3i. 幾何意義：按照這種表示方法，每一個復數，有復平面內唯一的一個點和它對應;反過來，復平面內的每一個點，有唯一的一個復數和它對應.由此可知，復數集C中的數與復平面內的點按如下方式建立了一一對應關系. 這是復數的一種幾何意義. 思考：在平面直角坐標系中，平面向量可以用有序實數對（2,3）來表示，而有序實數對與復平面是一一對應的.如何用平面向量來表示復數z=3+2i？ 參考答案：如圖，設復平面內的點Z表示復數z=3+2i，連接OZ，顯然向量OZ由點Z唯一確定;反過來，點Z也可以由向量OZ唯一確定.因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量建立了如下一一對應關系(實數0與零向量對應)，即 【歸納總結】 如圖，設復平面內的點Z表示復數z＝a＋bi，連接OZ，顯然向量OZ由點Z唯一確定;反過來，點Z也可以由向量OZ唯一確定.因此，復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量建立了如下一一對應關系(實數0與零向量對應)，即 這是復數的另一種幾何意義，為方便起見，我們常把復數z＝a＋bi說成點Z或說成向量OZ. 練一練： 設復數. （1）在復平面內畫出對應的點和向量； 參考答案： 如圖，復數對應的點分別為，對應的向量分別為.
目標二：理解復數的模，共軛復數的概念. 任務1：類比實數絕對值及其幾何意義，向量的模及模長計算公式，推導出復數的模及模長公式. 問題：設復數z＝a＋bi，則什么是復數z的模，如何表示？其模長公式是什么？ 【歸納總結】 向量OZ的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作|z|或|a＋bi|.即，其中. 注：如果b=0，那么z＝a＋bi是一個實數a，它的模就等于|a|（a的絕對值）,這表明復數絕對值是實數絕對值概念的推廣. 練一練： 設復數. （2）求復數的模，并比較它們的模的大小. 參考答案： ，. 所以. 任務2：從數和形的角度理解共軛復數的概念. 問題：觀察前面“練一練”中的復數的實部和虛部，以及其在復平面中的圖象，你有什么發現？ 參考答案： 二者實部相同，虛部相反，且在復平面中圖像關于實軸對稱. 【概念講解】 一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數互為共軛復數.復數z的共軛復數用表示，即如果z＝a＋bi，那么. 顯然，在復平面內，表示兩個共軛復數的點關于實軸對稱；反之，兩個復數的點在復平面內關于實軸對稱，則這兩個復數互為共軛復數. 注意：特別的，任意實數的共軛復數是其本身，實數和它的共軛復數在復平面內所對應的點重合，且在實軸上. 思考： 設，其共軛復數，則 （1）等于什么？ （2）若或且z≠0，你能發現什么特點？ 【歸納總結】 1.兩個共軛復數的模相等，即； 2.若,則z為實數； 3.若且z≠0,則z為純虛數. 目標三：能應用復數的幾何意義、模的知識解決相關問題. 任務：利用復數對應的點的對稱、復數模知識解決下列問題. 問題1：設復數在復平面內對應的點為，對應的向量為；復數在復平面內對應的點為，對應的向量為.已知與關于虛軸對稱，求,并判斷與的大小關系. 參考答案： 由題意知，又因為與關于虛軸對稱，所以，從而有，因此. 又因為所以. 思考：能否再寫出一個負數z3，使得z3對應的向量與的模相等？ 【歸納總結】 復數在復平面上的對應點的點為，復數在復平面內對應的點為： （1）若，關于實軸對稱，則 （2）若，關于虛軸對稱，則 （3）若，關于原點對稱，則 這三種對稱的兩個向量的模相等. 問題2：設復數z在復平面內對應的點為Z，說明當z分別滿足下列條件時，點Z組成的集合是什么圖形，并作圖表示. （1）；（2）. 參考答案： （1）由可知向量的長度等于2,，即點Z到原點的距離始終等于2，因此點Z組成的集合是圓心在原點、半徑為2的圓.如圖（1）所示. （2）不等式等價于不等式組. 又因為滿足的點Z的集合，是圓心在原點、半徑為3的圓及其內部，而滿足的點Z的集合，是圓心在原點、半徑為1的圓的外部，所以滿足條件的點Z組成的集合是一個圓環（包括外邊界但不包括內邊界）.如圖（2）所示.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. 關鍵詞：“復平面”、“復數的幾何意義”、“共軛復數”.
2復數的幾何意義
學習目標 1.理解復數代數表示的幾何意義. 2.理解復數的模，共軛復數的概念. 3.能應用復數的幾何意義、模的知識解決相關問題.
學習活動
目標一：理解復數代數表示的幾何意義. 任務：類比實數的幾何意義，理解復數的幾何意義，能在復平面坐標中表示復數. 問題： 回憶復數相等的充要條件是什么？由此你認為復數由什么唯一確定？ 類比實數與數軸上的點的一一對應關系以及有序實數對與平面直角坐標系中點的關系，復數在幾何中用什么來表示？ 【概念講解】 復平面 思考：在平面直角坐標系中，平面向量可以用有序實數對（2,3）來表示，而有序實數對與復平面是一一對應的.如何用平面向量來表示復數z=3+2i？ 【歸納總結】 練一練： 設復數. （1）在復平面內畫出對應的點和向量；
目標二：理解復數的模，共軛復數的概念. 任務1：類比實數絕對值及其幾何意義，向量的模及模長計算公式，推導出復數的模及模長公式. 問題：設復數z＝a＋bi，則什么是復數z的模，如何表示？其模長公式是什么？ 【歸納總結】 練一練： 設復數. （2）求復數的模，并比較它們的模的大小. 任務2：從數和形的角度理解共軛復數的概念. 問題：觀察前面“練一練”中的復數的實部和虛部，以及其在復平面中的圖象，你有什么發現？ 【概念講解】 共軛復數 思考： 設，其共軛復數，則 （1）等于什么？ （2）若或且z≠0，你能發現什么特點？ 【歸納總結】 目標三：能應用復數的幾何意義、模的知識解決相關問題. 任務：利用復數對應的點的對稱、復數模知識解決下列問題. 問題1：設復數在復平面內對應的點為，對應的向量為；復數在復平面內對應的點為，對應的向量為.已知與關于虛軸對稱，求,并判斷與的大小關系. 思考：能否再寫出一個負數z3，使得z3對應的向量與的模相等？ 【歸納總結】 問題2：設復數z在復平面內對應的點為Z，說明當z分別滿足下列條件時，點Z組成的集合是什么圖形，并作圖表示. （1）；（2）.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. 關鍵詞：“復平面”、“復數的幾何意義”、“共軛復數”.
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