資源簡介

復數的乘、除運算
學習目標 1.理解復數除法的本質“分母實數化”，掌握復數的除法運算. 2.會求實系數一元二次方程在復數范圍內的解集.
學習活動
目標一：理解復數除法的本質“分母實數化”，掌握復數的除法運算. 任務：根據乘法是除法的逆運算，推導除法的運算法則. 【新知講解】 兩復數相除的定義： 復數除法運算的兩個性質： 問題： 1.設實數滿足(a+bi)(1+2i)=1，利用方程組求的值， 2.除了利用乘法求解外，由除法可得a+bi=，由問題1得a+bi的一般式為，如何把化成一般式？ 思考：嘗試推導出復數，且的除法法則，由此，你發現復數的除法可以看成是什么過程？ 【歸納總結】 練一練：求的值.
目標二：會求實系數一元二次方程在復數范圍內的解集. 任務：利用復數的乘法求下列方程的根，歸納復數范圍內的根的求解公式. 問題1：我們知道，虛數單位i是方程的一個解，還有其他復數是這個方程的解嗎？如果實數a>0,那么方程在復數范圍內的解集是什么？ 問題2：在復數范圍內求方程的解集. 思考：在復數范圍內，方程（其中,且）的根是什么？由此你發現一元二次方程在復數集的根的情況如何？ 【歸納總結】 練一練： 在復數范圍內解方程：.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “除法運算”、“復數集內實系數一元二次方程求根公式”.
2復數的乘、除運算
學習目標 1.理解復數除法的本質“分母實數化”，掌握復數的除法運算. 2.會求實系數一元二次方程在復數范圍內的解集.
學習活動
目標一：理解復數除法的本質“分母實數化”，掌握復數的除法運算. 任務：根據乘法是除法的逆運算，推導除法的運算法則. 【新知講解】兩復數相除的定義： 如果復數 則滿足的復數稱為除以的商，并記作：（或） 其中，稱為被除數，稱為除數. 復數除法運算的兩個性質： 利用復數除法的定義，可以證明當為非零復數時，有 問題： 1.設實數滿足(a+bi)(1+2i)=1，利用方程組求的值， 參考答案： 根據復數乘法有 所以解得 2.除了利用乘法求解外，由除法可得a+bi=，由問題1得a+bi的一般式為，如何把化成一般式？ 參考答案： 為了求出的值，我們將上述等式右邊看成一個分式，這樣一來就只要想辦法把變成一個實數即可,注意到 因此，=== 思考：嘗試推導出復數，且的除法法則，由此，你發現復數的除法可以看成是什么過程？ 【歸納總結】 1.一般的給定復數稱為的倒數，的商也可以看成與的倒數之積， 2.復數除法的一般計算公式為： . 上面這種方法稱為“分母實數化”. 3.規定（其中z≠0，n是正整數）. 練一練：求的值. 參考答案： 解：
目標二：會求實系數一元二次方程在復數范圍內的解集. 任務：利用復數的乘法求下列方程的根，歸納復數范圍內的根的求解公式. 問題1：我們知道，虛數單位i是方程的一個解，還有其他復數是這個方程的解嗎？如果實數a>0,那么方程在復數范圍內的解集是什么？ 參考答案： 因為，所以在復數內的解集為， 類似的，當a>0時，可得，所以方程在復數范圍內的解集為 問題2：在復數范圍內求方程的解集. 參考答案： 因為， 所以原方程可以化為， 從而可知或， 因此或， 所求解集為. 思考：在復數范圍內，方程（其中,且）的根是什么？由此你發現一元二次方程在復數集的根的情況如何？ 參考答案： 將的二次項系數化為1，得. 配方，得，即. 由，知，可得. 所以原方程的根為. 【歸納總結】 當a，b，c∈R且a≠0時，關于x的方程稱為實系數一元二次方程，這個方程在復數范圍內總是有解的，而且 (1)當Δ＝b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根： (2)當Δ＝b2－4ac＝0時，方程有兩個相等的實數根： (3)當Δ＝b2－4ac＜0時，方程有兩個互為共軛的虛數根： . 注：. 練一練： 在復數范圍內解方程：. 參考答案：解：由題可知，又因為，所以.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “除法運算”、“復數集內實系數一元二次方程求根公式”.
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