資源簡介

復數的三角形式及其運算
學習目標 1.理解復數乘、除運算的三角形式及其幾何意義. 2.能應用復數乘、除運算的三角形式及其幾何意義解決相關問題.
學習活動
目標一：理解復數乘、除運算的三角形式及其幾何意義. 任務1：類比復數乘法運算，探究復數三角形式的乘法運算及其幾何意義. 問題1：設z1＝r1(cos θ1+isin θ1)，z2＝r2(cos θ2+isin θ2)，在復平面內作出z1、z2，試求出z1z2，并用文字語言來表述復數乘法的三角表示公式. 參考答案： z1z2＝r1（cos θ1+isin θ1）×r2（cos θ2+isin θ2） ＝r1r2［（cos θ1cos θ2-sin θ1sin θ2）+i（sin θ1cos θ2+cos θ1sin θ2）］ ＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］， 【歸納總結】 復數三角形式的乘法法則： 即兩復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和（簡記為：模數相乘，幅角相加）. 問題2：由復數乘法運算的三角表示，結合上述圖像，思考討論在復數平面內，復數乘法運算的三角表示有什么幾何意義？ 【歸納總結】 復數乘法的幾何意義： 設對應的向量分別為，將繞點O按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點O按順時針方向旋轉角），再把的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是積. 上述兩個復數三角形式的乘法及其幾何意義，可以推廣到有限個復數的三角形式相乘.特別地，如果，則： 練一練：計算，說說這兩個復數相乘的幾何意義. 參考答案：×＝＝. 因為,所以一個復數與i相乘,從向量角度,相當于把此復數對應向量繞原點沿逆時針方向旋轉，如圖所示. 任務2：類比復數三角形式的乘法運算及其幾何意義，探究復數三角形式的除法運算及其幾何意義. 問題1：如果非零復數的三角形式為：，利用兩個共軛復數在復平面內對應的點關于x軸對稱，寫出的三角形式，并寫出的值. 參考答案： 若非零復數，則是的一個輻角， 因此， 而且 【歸納總結】 一般地，如果非零復數，那么是的一個輻角，因此 ， 問題2：已知，根據，你發現的三角表示是怎樣的？ 參考答案： 由得即 問題3：復數,試求出，并用文字語言來表述復數除法的三角表示公式. 參考答案： 【歸納總結】 復數三角形式的除法法則： 即兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差（簡記為：模數相除，幅角相減）. 思考：由復數除法運算的三角表示，討論在復數平面內，復數除法運算的三角表示有什么幾何意義？ 【歸納總結】 復數除法的幾何意義： 設對應的向量分別為，將繞原點O旋轉（當時，按順時針方向旋轉角，當時，按逆時針方向旋轉角），再將的模變為原來的倍，如果所得向量為則對應的復數為. 注：任意一個復數除以i，從向量角度來說，就相當于把這個復數對應的向量繞原點沿順時針方向旋轉，如圖所示.
目標二：能應用復數乘、除運算的三角形式及其幾何意義解決相關問題. 任務：應用復數乘除運算的三角形式解決下列問題. 問題1：求的值. 參考答案： 解：因為 ， 所以 問題2：如圖，已知平面內并列的三個相等的正方形，利用復數證明： 參考答案： 證明：假設每個正方形的邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標系，確定復平面， 由平行線內錯角相等知分別等于的輻角主值, 因此應該的一個輻角， 又因為，而， 所以存在整數，使得， 由于都是銳角，于是，從而.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “復數乘、除法三角形式”、“復數乘、除法幾何意義”.
2復數的三角形式及其運算
學習目標 1.理解復數乘、除運算的三角形式及其幾何意義. 2.能應用復數乘、除運算的三角形式及其幾何意義解決相關問題.
學習活動
目標一：理解復數乘、除運算的三角形式及其幾何意義. 任務1：類比復數乘法運算，探究復數三角形式的乘法運算及其幾何意義. 問題1：設z1＝r1(cos θ1+isin θ1)，z2＝r2(cos θ2+isin θ2)，在復平面內作出z1、z2，試求出z1z2，并用文字語言來表述復數乘法的三角表示公式. 【歸納總結】 練一練：計算，說說這兩個復數相乘的幾何意義. 任務2：類比復數三角形式的乘法運算及其幾何意義，探究復數三角形式的除法運算及其幾何意義. 問題1：如果非零復數的三角形式為：，利用兩個共軛復數在復平面內對應的點關于x軸對稱，寫出的三角形式，并寫出的值. 【歸納總結】 問題2：已知，根據，你發現的三角表示是怎樣的？ 問題3：復數,試求出，并用文字語言來表述復數除法的三角表示公式. 【歸納總結】 思考：由復數除法運算的三角表示，討論在復數平面內，復數除法運算的三角表示有什么幾何意義？ 【歸納總結】
目標二：能應用復數乘、除運算的三角形式及其幾何意義解決相關問題. 任務：應用復數乘除運算的三角形式解決下列問題. 問題1：求的值. 問題2：如圖，已知平面內并列的三個相等的正方形，利用復數證明：
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “復數乘、除法三角形式”、“復數乘、除法幾何意義”.
2

展開更多......

收起↑