資源簡介

旋轉體
學習目標 1.會從集合和旋轉的角度定義球，理解球的相關概念、結構特征，會作旋轉體的軸截面，并利用軸截面解決問題. 2.掌握球的表面積公式，能解決與球有關的表面積問題.
學習活動
目標一：會從集合和旋轉的角度定義球，理解球的相關概念、結構特征，會作旋轉體的軸截面，并利用軸截面解決問題. 任務1：觀察圖形，探索球的定義. 日常生活中的很多物體都可以抽象成球面，如圖所示， （1）圓可以看成平面上到定點的距離等于定長的點的集合，類比圓，球面上的點有怎樣的性質？ （2）球面可以通過什么圖形旋轉得到？ 參考答案：（1）球面可以看成空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合；（2）半圓 【新知講解】 1.球的定義： 一個半圓繞著以它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面稱為球面；球面圍成的幾何體，稱為球． 2.球的相關概念 形成球面的半圓的圓心稱為球的球心，連接球面上一點和球心的線段稱為球的半徑，連接球面上兩點且通過球心的線段稱為球的直徑． 3.球的表示方法：用表示它的球心的字母來表示，如球O. 4.球面可以看成空間中到一個定點的距離等于定長的點的集合． 練一練： 1．球的任意兩條直徑不一定具有的性質是(　　) A．相交 B．平分 C．垂直 D．都經過球心 參考答案：C 球的任意兩條直徑不一定垂直． 任務2：觀察圖形，探索球的結構特征，會作旋轉體的軸截面，并利用軸截面解決問題. 問題： 當用刀去切一個球形的西瓜時（如圖所示），所得到的截面是什么形狀？ 一般地，如果用一個平面與球面相截，所得交線的形狀是怎樣的？ 參考答案：(1)圓面；(2)圓 如圖，用一個平面α去截半徑為R的球O，截得的圓面的圓心為O′，OO′與平面α有什么位置關系？若OO′＝d，O′P的長等于多少？ 參考答案：垂直、O′P= 【新知講解】 球的截面性質： 1.用任意平面截球所得的截面是一個圓面，球心和截面圓圓心的連線與這個截面垂直.如圖. 2.如果用R和r分別表示球的半徑和截面圓的半徑，d表示球心到截面的距離，則R2=r2+d2，即球的半徑、截面圓的半徑和球心到截面的距離組成一個直角三角形，有關球的計算問題，常歸結為解這個直角三角形. (1)球面被經過球心的平面截得的圓稱為球的大圓．此時，大圓的半徑等于球的半徑R; (2)球面被不經過球心的平面截得的圓稱為球的小圓,則小圓的半徑＝; (3)當把地球看成一個球時，經線就是球面從北極到南極的半個大圓；赤道是一個大圓，其余的緯線都是小圓。經度（取值區間為）與緯度（取值區間為），如圖所示. 例1.把地球看成一個半徑為6370Km的球，已知我國首都北京靠近北緯，求北緯緯線的長度（ 結果精確到1Km） 參考答案：解：作出截面圖，如圖所示，設A是北緯圈上的一點，AK是北緯圈的半徑，O為球心，所以。 設北緯的緯線長為，因為，所以 【歸納總結】 球的軸截面圖形，球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離所構成的直角三角形是把空間問題轉化為平面問題的主要方法． 練一練： 某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為，如圖所示，則該地球儀的半徑是（ ）cm. A.12 B. C. D. 參考答案：C 如圖所示， 由題意知，北緯30°所在小圓的周長為， 則該小圓的半徑，其中， 所以該地球儀的半徑.故選C.
目標二：掌握球的表面積公式，能解決與球有關的表面積問題. 任務：應用球的表面積公式解決與球有關的表面積問題 我們知道，如果一個圓的半徑為，那么它的周長為2，它的面積為，如果球的半徑為R，你能猜出球的面表面積與中哪一個成正比嗎？ 【新知講解】 如果設球的半徑為R，那么球的表面積為S＝4πR2 例2.已知一個長方體的8個頂點都在一個球面上，且長方體的棱長為3，4，5，求球的表面積. （1）你能畫出合適的圖形來表示上述題目中的關系嗎？ （2）如圖所示是一個長方體，你能在空間中找出一點，使它到長方體的8個頂點的距離都相等嗎？ 參考答案：解：由題設可知，長方體的體對角線的中的就是球心，又因為： 所以所求的球的表面積為： 練一練： 1.已知一個正方體的棱長為2. (1)正方體的八個頂點均在同一球面上，求此球的表面積． (2)一個球與正方體的各面都相切，求此球的表面積. 參考答案： (1)正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面，如圖， 所以正方體的外接球直徑等于正方體的對角線長，即2R＝，∴R＝.∴球的表面積S＝4π×()2＝12π. (2)正方體的內切球球心是正方體的中心，切點是六個面(正方形)的中心，經過四個切點及球心作截面，如圖， 所以球的直徑是正方體的棱長，即2R＝2，∴R＝1， ∴球的表面積S＝4π×12＝4π. 【歸納總結】 與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖． (1)一般要過球心及多面體中的特殊點或線作截面，將空間問題轉化為平面問題，從而尋找幾何體各元素之間的關系. (2)長方體、正方體與球切、接的常用結論： ①長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則 ②正方體的棱長為a，則正方體的外接球的半徑，正方體的內切球的半徑為，球與正方體的各棱相切，則球的半徑為.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “球”、“球截面”、“球的表面積”
2旋轉體
學習目標 1.會從集合和旋轉的角度定義球，理解球的相關概念、結構特征，會作旋轉體的軸截面，并利用軸截面解決問題. 2.掌握球的表面積公式，能解決與球有關的表面積問題.
學習活動
目標一：會從集合和旋轉的角度定義球，理解球的相關概念、結構特征，會作旋轉體的軸截面，并利用軸截面解決問題. 任務1：觀察圖形，探索球的定義. 日常生活中的很多物體都可以抽象成球面，如圖所示， （1）圓可以看成平面上到定點的距離等于定長的點的集合，類比圓，球面上的點有怎樣的性質？ （2）球面可以通過什么圖形旋轉得到？ 【新知講解】 1.球的定義： 2.球的相關概念 3.球的表示方法： 練一練： 1．球的任意兩條直徑不一定具有的性質是(　　) A．相交 B．平分 C．垂直 D．都經過球心 任務2：觀察圖形，探索球的結構特征，會作旋轉體的軸截面，并利用軸截面解決問題. 問題： 當用刀去切一個球形的西瓜時（如圖所示），所得到的截面是什么形狀？ 一般地，如果用一個平面與球面相截，所得交線的形狀是怎樣的？ 如圖，用一個平面α去截半徑為R的球O，截得的圓面的圓心為O′，OO′與平面α有什么位置關系？若OO′＝d，O′P的長等于多少？ 【新知講解】 球的截面性質： 例1.把地球看成一個半徑為6370Km的球，已知我國首都北京靠近北緯，求北緯緯線的長度（ 結果精確到1Km） 【歸納總結】 練一練： 某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為，如圖所示，則該地球儀的半徑是（ ）cm. A.12 B. C. D.
目標二：掌握球的表面積公式，能解決與球有關的表面積問題. 任務：應用球的表面積公式解決與球有關的表面積問題 我們知道，如果一個圓的半徑為，那么它的周長為2，它的面積為，如果球的半徑為R，你能猜出球的面表面積與中哪一個成正比嗎？ 【新知講解】 例2.已知一個長方體的8個頂點都在一個球面上，且長方體的棱長為3，4，5，求球的表面積. （1）你能畫出合適的圖形來表示上述題目中的關系嗎？ （2）如圖所示是一個長方體，你能在空間中找出一點，使它到長方體的8個頂點的距離都相等嗎？ 練一練： 1.已知一個正方體的棱長為2. (1)正方體的八個頂點均在同一球面上，求此球的表面積． (2)一個球與正方體的各面都相切，求此球的表面積. 【歸納總結】
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “球”、“球截面”、“球的表面積”
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