資源簡(jiǎn)介

祖暅原理與幾何體的體積
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解祖暅原理的內(nèi)容，掌握利用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式. 2.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式，能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
導(dǎo)入： 同一摞書(shū)，當(dāng)改變擺放書(shū)的形式時(shí)， （1）它們的幾何特征有何異同？ （2）這些幾何體的體積是否相等？ 目標(biāo)一：了解祖暅原理的內(nèi)容，掌握利用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式. 閱讀下列關(guān)于祖暅的簡(jiǎn)介，說(shuō)說(shuō)你對(duì)簡(jiǎn)介中提到的祖暅原理的理解. 祖暅簡(jiǎn)介： 祖暅,字景爍，祖沖之之子，范陽(yáng)郡薊縣人（今河北省淶源縣人），南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家。 祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了體積的計(jì)算原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”。“勢(shì)”是立體的高，“冪”是截面積。意思是等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等. 祖暅應(yīng)用這個(gè)原理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式,該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年。祖暅?zhǔn)俏覈?guó)古代最偉大的數(shù)學(xué)家之一。 【新知講解】 1．祖暅原理：冪勢(shì)既同，則積不容異. 2．含義：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，如果被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等．如圖所示． 下列三個(gè)條件缺一不可，否則結(jié)論不成立： (1)兩個(gè)幾何體夾在兩個(gè)平行平面之間； (2)被平行于兩個(gè)平行平面的任意一個(gè)平面所截； (3)截得的兩個(gè)截面面積總相等. 注：兩個(gè)幾何體可以是任意形狀的. 任務(wù)1：掌握利用祖暅原理推導(dǎo)柱體的體積公式. 棱柱與圓柱統(tǒng)稱(chēng)為柱體.如圖，下面是底面積都等于S，高都等于h的任意棱柱，圓柱和長(zhǎng)方體，你能用祖暅原理推導(dǎo)柱體的體積公式嗎？ 【歸納總結(jié)】 1.等底面積、等高的兩個(gè)柱體，體積相等. 2.體積公式：如果柱體的底面積為S，高為h，則柱體的體積計(jì)算公式為V柱體＝Sh. 任務(wù)2：掌握利用祖暅原理推導(dǎo)錐體的體積公式. 問(wèn)題1：棱錐和圓錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體，如圖，下面是底面積都等于S，高都等于h的任意棱錐和圓錐，它們的體積相等嗎？說(shuō)明理由. 參考答案： 如圖所示， 當(dāng)錐體被平行于底面的平面所截時(shí)，得到的截面與底面相似，即 而且相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比， 因此截面與底面的面積之比：， 從而由祖暅原理可知，等底面積、等高的兩個(gè)錐體，體積相等. 問(wèn)題2：如圖所示，將底面積為S，高為h的直三棱柱分割成如下3個(gè)三棱錐，所得到的3個(gè)三棱錐的體積之間有什么關(guān)系？由此能得到三棱錐的體積計(jì)算公式嗎？ 【歸納總結(jié)】 1.等底面積、等高的兩個(gè)錐體，體積相等. 2.體積公式：如果錐體的底面積為S，高為h，則錐體的體積計(jì)算公式為V錐體＝Sh. 練一練：如圖所示，長(zhǎng)方體中，求棱錐的體積和長(zhǎng)方體的體積之比. 參考答案： 解：已知的長(zhǎng)方體可以看成直棱柱， 設(shè)它的底面面積為S，高為h,則長(zhǎng)方體的體積為： 因?yàn)槔忮F可以看成棱錐， 且的面積為，棱錐的高為h, 所以 因此所求體積比為. 任務(wù)3：利用四棱臺(tái)模型，推導(dǎo)臺(tái)體的體積公式. 棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體，因?yàn)榕_(tái)體可以看成錐體截去一個(gè)小錐體得到，所以臺(tái)體的體積可以通過(guò)計(jì)算錐體的體積之差來(lái)得到. 問(wèn)題：已知四棱臺(tái)上下底面面積分別為，而且高為，求這個(gè)棱臺(tái)的體積. 參考答案： 解：如圖所示， 將四棱臺(tái)看成從棱錐中截去所得到的，且設(shè)兩個(gè)棱錐的高分別為與 由已知有： 再由，因此可得： 從而可知棱臺(tái)的體積為： 【歸納總結(jié)】 1.臺(tái)體(棱臺(tái)與圓臺(tái))的體積：如果臺(tái)體的上、下底面面積分別為S、，高為h，則臺(tái)體的體積計(jì)算公式為V臺(tái)體＝()h. 思考：柱體、錐體、臺(tái)體的體積有什么關(guān)系？ 2.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系： 練一練： 中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,將頂部為一線段，下底為一矩形的擬柱體稱(chēng)之為芻甍(méng)，如圖幾何體為芻甍，已知面是邊長(zhǎng)為3的正方形，，與面的距離為2，則該多面體的體積為 A． B． C． D． 參考答案：C 不妨設(shè)面BCF，如圖所示， ， 連接BE，CE，則多面體ABCDEF的體積為： V＝V四棱錐E﹣ABCD+V三棱錐E﹣BCF ＝×32×2+××3×2×2＝6+2=8． 【歸納總結(jié)】 常用的求幾何體體積的方法： (1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算 (2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過(guò)轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高，使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等. (3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)下列關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖. “祖暅原理”、“柱體、錐體、臺(tái)體的體積”
2祖暅原理與幾何體的體積
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解祖暅原理的內(nèi)容，掌握利用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式. 2.掌握柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式，能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
導(dǎo)入： 同一摞書(shū)，當(dāng)改變擺放書(shū)的形式時(shí)， （1）它們的幾何特征有何異同？ （2）這些幾何體的體積是否相等？ 目標(biāo)一：了解祖暅原理的內(nèi)容，掌握利用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式. 閱讀下列關(guān)于祖暅的簡(jiǎn)介，說(shuō)說(shuō)你對(duì)簡(jiǎn)介中提到的祖暅原理的理解. 祖暅簡(jiǎn)介： 祖暅,字景爍，祖沖之之子，范陽(yáng)郡薊縣人（今河北省淶源縣人），南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家。 祖暅在數(shù)學(xué)上有突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了體積的計(jì)算原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”。“勢(shì)”是立體的高，“冪”是截面積。意思是等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等. 祖暅應(yīng)用這個(gè)原理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式,該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)現(xiàn)，比祖暅晚一千一百多年。祖暅?zhǔn)俏覈?guó)古代最偉大的數(shù)學(xué)家之一。 【新知講解】 1．祖暅原理： 2．含義： 任務(wù)1：掌握利用祖暅原理推導(dǎo)柱體的體積公式. 棱柱與圓柱統(tǒng)稱(chēng)為柱體.如圖，下面是底面積都等于S，高都等于h的任意棱柱，圓柱和長(zhǎng)方體，你能用祖暅原理推導(dǎo)柱體的體積公式嗎？ 【歸納總結(jié)】 任務(wù)2：掌握利用祖暅原理推導(dǎo)錐體的體積公式. 問(wèn)題1：棱錐和圓錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體，如圖，下面是底面積都等于S，高都等于h的任意棱錐和圓錐，它們的體積相等嗎？說(shuō)明理由. 問(wèn)題2：如圖所示，將底面積為S，高為h的直三棱柱分割成如下3個(gè)三棱錐，所得到的3個(gè)三棱錐的體積之間有什么關(guān)系？由此能得到三棱錐的體積計(jì)算公式嗎？ 【歸納總結(jié)】 練一練：如圖所示，長(zhǎng)方體中，求棱錐的體積和長(zhǎng)方體的體積之比. 任務(wù)3：利用四棱臺(tái)模型，推導(dǎo)臺(tái)體的體積公式. 棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體，因?yàn)榕_(tái)體可以看成錐體截去一個(gè)小錐體得到，所以臺(tái)體的體積可以通過(guò)計(jì)算錐體的體積之差來(lái)得到. 問(wèn)題：已知四棱臺(tái)上下底面面積分別為，而且高為，求這個(gè)棱臺(tái)的體積. 【歸納總結(jié)】 1.臺(tái)體(棱臺(tái)與圓臺(tái))的體積： 思考：柱體、錐體、臺(tái)體的體積有什么關(guān)系？ 2.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系： 練一練： 中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,將頂部為一線段，下底為一矩形的擬柱體稱(chēng)之為芻甍(méng)，如圖幾何體為芻甍，已知面是邊長(zhǎng)為3的正方形，，與面的距離為2，則該多面體的體積為 A． B． C． D． 【歸納總結(jié)】 常用的求幾何體體積的方法：
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)下列關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖. “祖暅原理”、“柱體、錐體、臺(tái)體的體積”
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