資源簡(jiǎn)介

平面的基本事實(shí)與推論
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解平面的基本事實(shí)與推論，能用圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言描述三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論. 2.能運(yùn)用平面基本事實(shí)與推論解決相關(guān)問(wèn)題.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：了解平面的基本事實(shí)與推論，能用圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言描述三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論. 任務(wù)1：通過(guò)觀察實(shí)例，思考問(wèn)題，體會(huì)平面的基本事實(shí). 問(wèn)題1：觀察如圖的凳子，把凳子看成一個(gè)平面，思考：
（1）如果把一個(gè)平面固定在空間中，至少需要固定幾個(gè)點(diǎn)？ （2）有多少個(gè)平面能通過(guò)空間中指定的一點(diǎn)？有多少平面能通過(guò)空間中指定的兩點(diǎn)？ 【新知講解】 平面基本事實(shí)1： 問(wèn)題2：如圖，是一長(zhǎng)排掛鉤，在墻上釘這個(gè)掛鉤時(shí)，我們只需釘幾個(gè)釘子？由此，思考直線上至少已知幾個(gè)點(diǎn)在某平面內(nèi)時(shí)，就能確保直線在該平面內(nèi)？ 【新知講解】 平面基本事實(shí)2： 問(wèn)題3：當(dāng)用裁紙刀裁紙時(shí)，可以認(rèn)為刀鋒是在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的. （1）裁紙刀裁出的是什么樣的痕跡？ （2）兩個(gè)平面相交時(shí)，公共點(diǎn)具有什么特點(diǎn)？ 【新知講解】 平面基本事實(shí)3： 練一練： 下列命題正確的是（ ） A.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面 C.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面 D.四邊形確定一個(gè)平面 任務(wù)2：根據(jù)平面的基本事實(shí)，探究平面的其他性質(zhì). 【新知講解】 推論1： 推論2： 推論3： 思考：如何利用平面基本事實(shí)證明以上3個(gè)推論？ 練一練： 用符號(hào)表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形. （1）點(diǎn)A在平面α內(nèi)但在平面β外； （2）直線a經(jīng)過(guò)平面α內(nèi)一點(diǎn)A，α外一點(diǎn)B； （3）直線a在平面α內(nèi)，也在平面β內(nèi)；
目標(biāo)二：能運(yùn)用平面基本事實(shí)與推論解決相關(guān)問(wèn)題. 任務(wù)：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決下列證明問(wèn)題. 問(wèn)題1：證明：兩兩相交且不過(guò)同一個(gè)點(diǎn)的3條直線必在同一個(gè)平面內(nèi). 【歸納總結(jié)】 問(wèn)題2：如圖所示的正方體中，E是棱上的一點(diǎn)，試說(shuō)明3點(diǎn)確定的平面與平面相交，并畫(huà)出這兩個(gè)平面的交線. 【歸納總結(jié)】 確定兩平面交線的方法： 練一練： 如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是四面體A－BCD的棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)． 求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回憶本課所學(xué)，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖.
2平面的基本事實(shí)與推論
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解平面的基本事實(shí)與推論，能用圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言描述三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論. 2.能運(yùn)用平面基本事實(shí)與推論解決相關(guān)問(wèn)題.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
目標(biāo)一：了解平面的基本事實(shí)與推論，能用圖形、文字、符號(hào)三種語(yǔ)言描述三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論. 任務(wù)1：通過(guò)觀察實(shí)例，思考問(wèn)題，體會(huì)平面的基本事實(shí). 問(wèn)題1：觀察如圖的凳子，把凳子看成一個(gè)平面，思考：
（1）如果把一個(gè)平面固定在空間中，至少需要固定幾個(gè)點(diǎn)？ 參考答案：三個(gè)點(diǎn)
（2）有多少個(gè)平面能通過(guò)空間中指定的一點(diǎn)？有多少平面能通過(guò)空間中指定的兩點(diǎn)？ 參考答案：無(wú)數(shù)個(gè)、無(wú)數(shù)個(gè). 【新知講解】 平面基本事實(shí)1： 文字表示：經(jīng)過(guò)不在一條直線上的3個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面. 符號(hào)表示：A，B，C三點(diǎn)不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 圖形表示： 可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成“不共線的3點(diǎn)確定一個(gè)平面” 注： (1)“有且只有一個(gè)”的含義：“有”說(shuō)明對(duì)象存在；“只有一個(gè)”說(shuō)明對(duì)象是唯一的. (2)過(guò)不共線的3點(diǎn)A，B，C的平面，通常記作平面ABC，用圖像直觀地表示平面時(shí)，為了增加立體感，習(xí)慣上講平面用平行四邊形表示. 作用：①確定平面的依據(jù)；②判定點(diǎn)、線共面 問(wèn)題2：如圖，是一長(zhǎng)排掛鉤，在墻上釘這個(gè)掛鉤時(shí)，我們只需釘幾個(gè)釘子？由此，思考直線上至少已知幾個(gè)點(diǎn)在某平面內(nèi)時(shí)，就能確保直線在該平面內(nèi)？ 【新知講解】 平面基本事實(shí)2： 文字表示：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi). 符號(hào)表示：A∈α，B∈α AB α 圖形表示： 注意：直線和平面是數(shù)學(xué)上的概念，具有較強(qiáng)的抽象性，直線是沒(méi)有粗細(xì)，無(wú)限延伸的，平面是沒(méi)有厚度，無(wú)限延伸的. 作用： ①判定直線是否在平面內(nèi)； ②判斷一個(gè)面是否是平面：如果一個(gè)面內(nèi)的任意兩點(diǎn)所確定的直線都在這個(gè)平面內(nèi)，那么這個(gè)面就是平面。 例如，球面不是一個(gè)平面，因?yàn)榍蛎嫔先我鈨牲c(diǎn)所確定的直線中，只有兩個(gè)點(diǎn)在球面上. 問(wèn)題3：當(dāng)用裁紙刀裁紙時(shí)，可以認(rèn)為刀鋒是在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的. （1）裁紙刀裁出的是什么樣的痕跡？ （2）兩個(gè)平面相交時(shí)，公共點(diǎn)具有什么特點(diǎn)？ 參考答案：（1）直線（2）共線 【新知講解】 平面基本事實(shí)3： 文字表示：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線 符號(hào)表示：P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l 圖形表示： 注： (1)基本事實(shí)3說(shuō)明，兩個(gè)不重合的平面，只要有一個(gè)公共點(diǎn)，就一定有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，而且這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)能構(gòu)成一條直線，這條直線通常也稱為兩個(gè)平面的交線，如圖所示，有； (2)在畫(huà)兩個(gè)平面相交時(shí)，其中一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮住的部分應(yīng)該畫(huà)出虛線或不畫(huà)，這樣可使畫(huà)出的圖形立體感更強(qiáng)一些，如圖所示. 作用：①判定兩個(gè)平面是否相交；②判定多點(diǎn)共線、多線共點(diǎn). 練一練： 下列命題正確的是（ ） A.經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B.經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面 C.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面 D.四邊形確定一個(gè)平面 參考答案：C 任務(wù)2：根據(jù)平面的基本事實(shí)，探究平面的其他性質(zhì). 【新知講解】 推論1： 文字表示：經(jīng)過(guò)一條直線與直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，可以簡(jiǎn)記為：“直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面”. 符號(hào)表示：A l 存在唯一的平面α，使A∈α，且l α 圖形表示： 推論2： 文字表示：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面，可以簡(jiǎn)記為：“兩相交直線確定一個(gè)平面”. 符號(hào)表示：l∩m＝A 存在唯一的平面α，使l α，且m α 圖形表示： 注：三角形是平面圖形，因此三角形的性質(zhì)及解三角形等結(jié)論可以在空間中繼續(xù)應(yīng)用. 推論3： 文字表示：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面，可以簡(jiǎn)記為：“兩條平行直線確定一個(gè)平面”. 符號(hào)表示：l∥m 存在唯一的平面α，使l α，且m α 圖形表示： 注：平行四邊形，梯形是平面圖形，因此平行四邊形，梯形的性質(zhì)及判定等結(jié)論在空間中仍然成立. 思考：如何利用平面基本事實(shí)證明以上3個(gè)推論？ 參考答案： 推論1的證明：如圖所示，在直線l上取兩點(diǎn)A，B，因?yàn)镃 l，所以A，B，C 3點(diǎn)不共線. 由基本事實(shí)1可知，A，B，C確定一個(gè)平面，記為α. 由基本事實(shí)2以及A∈α，B∈α可知l α. 因此平面α經(jīng)過(guò)直線l和點(diǎn)A.即一條直線和這條直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面. 推論2的證明：如圖所示直線BC和直線AC相交與C. 由基本事實(shí)1可知A，B，C確定一個(gè)平面，記為α，由基本事實(shí)2以及A∈α,C∈α, 可得直線AC α，同理直線BC α， 推論3的證明：如圖所示，已知兩條平行線中一條直線上的點(diǎn)A和另一條直線上的點(diǎn)B，C. 根據(jù)直線平行的定義，這兩條平行線在同一平面內(nèi)， 又因?yàn)檫@個(gè)平面含有不共線的三點(diǎn)A，B，C， 由平面的基本事實(shí)1可知，這個(gè)平面是確定的. 練一練： 用符號(hào)表示下列語(yǔ)句，并畫(huà)出圖形. （1）點(diǎn)A在平面α內(nèi)但在平面β外； （2）直線a經(jīng)過(guò)平面α內(nèi)一點(diǎn)A，α外一點(diǎn)B； （3）直線a在平面α內(nèi)，也在平面β內(nèi)； 參考答案： （1） (如圖①) （2） (如圖②) （3）α∩β＝a (如圖③)
目標(biāo)二：能運(yùn)用平面基本事實(shí)與推論解決相關(guān)問(wèn)題. 任務(wù)：運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決下列證明問(wèn)題. 問(wèn)題1：證明：兩兩相交且不過(guò)同一個(gè)點(diǎn)的3條直線必在同一個(gè)平面內(nèi). 參考答案： 法1：證明：設(shè)直線兩兩相交，交點(diǎn)分別是 顯然，3點(diǎn)不共線，因此它們能確定一個(gè)平面. 因?yàn)?那么直線 同理 即直線都在平面內(nèi). 法2： 設(shè)直線AB,BC,AC兩兩相交，交點(diǎn)、分別為A,B,C 因?yàn)锳B∩AC=A,所以AB,AC確定一個(gè)平面α 因?yàn)锳B∩BC=B,所以AB,BC確定一個(gè)平面β 因?yàn)锳∈AB,AB α，所以A∈α 因?yàn)锳∈AB,AB β，所以A∈β 同理可證B∈α，B∈β,C∈α，C∈β. 所以不共線三點(diǎn)A,B,C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi) 平面α和β重合，即AB,BC,AC都在同一平面內(nèi). 【歸納總結(jié)】 證明點(diǎn)、線共面的常用方法： (1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”； (2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面β,再證平面α與β重合，即用“同一法”； (3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，即用“反證法”. 問(wèn)題2：如圖所示的正方體中，E是棱上的一點(diǎn)，試說(shuō)明3點(diǎn)確定的平面與平面相交，并畫(huà)出這兩個(gè)平面的交線. 參考答案： 解：因?yàn)槊?，面ABCD 所以面，即面與面相交。 延長(zhǎng)與，設(shè)它們相交于F，如圖所示，則： 直線，直線面， 直線，直線面， 則面面，從而為面與面的交線，如圖所示. 【歸納總結(jié)】 確定兩平面交線的方法： 畫(huà)兩個(gè)平面的交線只需兩個(gè)公共點(diǎn)即可確定，作圖時(shí)應(yīng)充分利用幾何體本身提供的線面、面面平行等條件，可以更快地確定交線的位置. 另外，畫(huà)幾何體的截面，關(guān)鍵是畫(huà)截面與幾何體各面的交線，轉(zhuǎn)化為畫(huà)兩個(gè)平面的交線問(wèn)題. 練一練： 如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是四面體A－BCD的棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)． 求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面． 參考答案： 證明：在△ABD中，∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，∴EH∥BD． 同理FG∥BD，則EH∥FG.故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回憶本課所學(xué)，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖.
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