資源簡介

直線與平面垂直
學習目標 1.掌握直線與平面垂直的性質定理，并能運用其解決相關問題.? 2.理解直線與平面所成角的概念. 3.靈活運用直線與平面垂直的判定定理和性質定理處理空間垂直問題．
學習活動
目標一：掌握直線與平面垂直的性質定理，并能運用其解決相關問題.? 任務：觀察長方體，猜想并證明直線與平面垂直的性質定理. 問題1：觀察長方體ABCD—A1B1C1D1中，各棱與底面ABCD的位置關系和棱與棱之間的位置關系，思考如果直線l垂直于一個平面，直線m與直線平行，那么直線與平面是否垂直？猜測結果，并說明理由. 參考答案： 猜想：如果兩條平行直線中，有一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面． 證明：要證明這個結論，只要證明且時，能夠推出即可,事實上，設直線為平面內的任意兩條相交直線，如圖所示，則由可知， 又因為，根據空間中兩條直線互相垂直的定義知： 所以根據線面垂直的判定定理得 問題2：如圖，已知直線l、m和平面α，如果l⊥α，m⊥α，那么直線l、m具有怎樣的位置關系？猜想結果并說明理由. 參考答案：平行. 證明：如圖所示，，設 假設直線不與直線平行，則過點O可作直線與平行，由線面垂直得性質定理可知。 因為，所以與能確定一個平面，記為，設 由可知 這樣一來，在平面內，過點O有兩條不同的直線都與直線a垂直，這是不可能的。 因此假設不成立，即 【新知講解】 直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行（簡記：線面垂直 線線平行）. 符號語言： 圖形語言： 思考： 1.過一點有幾條直線與已知平面垂直？ 2.在a⊥α的條件下，如果平面α外的直線b與直線a垂直，你能得到什么結論 3.在a⊥α的條件下，如果平面β與平面α平行，你又能得到什么結論 【歸納總結】 直線與平面垂直的其他性質： (1)過空間中的一點，有且只有一條直線與已知平面垂直. (2)如果平面外一條直線垂直于該平面的一條垂線，那么這條直線平行于這個平面，即 ，如圖： (3)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也和另外一個平面垂直，即 ，如圖：. 練一練： 如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC，求證：MN∥AD1. 參考答案： 證明：因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因為CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因為A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
目標二：理解直線與平面所成角的概念. 任務：閱讀材料，回答問題. 斜拉橋又稱斜張橋,是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁,是由承壓的塔、受拉的索和承彎的梁體組合起來的一種結構體系.其可看作是拉索代替支墩的多跨彈性支承連續梁.其可使梁體內彎矩減小,降低建筑高度,減輕了結構重量,節省了材料.斜拉橋由索塔、主梁、斜拉索組成. 問題： (1)拉索所在直線與橋面都是相交關系，其傾斜程度相同嗎 (2)能用角來表示直線與平面相交時不同的傾斜程度嗎 (3)直線與平面所成的角是空間角，能和異面直線所成角一樣把空間角轉化為平面角嗎 參考答案：（1）不同；（2）能（3）能 【新知講解】 1.斜線：與平面α相交，但不和平面α垂直，圖中直線PA. 2.斜足：斜線和平面的交點，圖中點A. 3.射影：過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO. 4.直線與平面所成的角： ①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角. ②規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是0°的角. 所以直線與平面所成角θ取值范圍：0° ≤ θ ≤ 90°. 練一練： 如圖所示,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,則直線PB與平面ABC所成的角等于（ ）. A.60° 　　　　B.45° 　　　　C.30° 　　　　D.120° 參考答案：B　 因為PA⊥平面ABC,所以斜線PB在平面ABC上的射影為AB,所以∠PBA即為直線PB與平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直線PB與平面ABC所成的角等于45°. 思考：結合上面實例，說說如何求解直線與平面所成的角？ 【歸納總結】 求斜線與平面所成角的步驟： (1)作圖：作(或找)出斜線在平面內的射影，作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關，才能便于計算. (2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角. (3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.
目標三：靈活運用直線與平面垂直的判定定理和性質定理處理空間垂直問題. 任務：運用直線與平面垂直的有關定理解決下列問題. 例1.如圖所示，三棱錐中，，且，，求三棱錐的體積。 參考答案：分析：為了求出這個三棱錐的體積，關鍵是作出三棱錐的高，也就是找到S在底面的射影 解：設S在底面的射影為O， 則由，由，即O為的外心，又因為是直角三角形，所以O是線段AC的中點 因為 所以，又因為是直角三角形，從而 因此所求體積為：. 【歸納總結】 利用線面垂直，可以找出點到平面的距離，從而求出一般幾何體的高，進而得到幾何體的體積等. 注：可以利用點到平面的距離來求出直線與平面的距離以及兩平行平面之間的距離. 例2.如圖所示，已知AB是平面的一條垂線，AC是平面的一條斜線，，求證： 參考答案： 證明：因為，所以 又因為且，所以 面ABC 而且面ABC，所以 【歸納總結】 三垂線定理：平面內垂直于射影的直線也垂直于斜線，平面內垂直于斜線的直線也垂直于射影.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.直線與平面垂直的性質定理內容是什么？是如何證明的？ 2.如何求直線與平面所成角？
2直線與平面垂直
學習目標 1.掌握直線與平面垂直的性質定理，并能運用其解決相關問題.? 2.理解直線與平面所成角的概念. 3.靈活運用直線與平面垂直的判定定理和性質定理處理空間垂直問題．
學習活動
目標一：掌握直線與平面垂直的性質定理，并能運用其解決相關問題.? 任務：觀察長方體，猜想并證明直線與平面垂直的性質定理. 問題1：觀察長方體ABCD—A1B1C1D1中，各棱與底面ABCD的位置關系和棱與棱之間的位置關系，思考如果直線l垂直于一個平面，直線m與直線平行，那么直線與平面是否垂直？猜測結果，并說明理由. 問題2：如圖，已知直線l、m和平面α，如果l⊥α，m⊥α，那么直線l、m具有怎樣的位置關系？猜想結果并說明理由. 【新知講解】 直線與平面垂直的性質定理： 符號語言： 圖形語言： 思考： 1.過一點有幾條直線與已知平面垂直？ 2.在a⊥α的條件下，如果平面α外的直線b與直線a垂直，你能得到什么結論 3.在a⊥α的條件下，如果平面β與平面α平行，你又能得到什么結論 【歸納總結】 練一練： 如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC，求證：MN∥AD1.
目標二：理解直線與平面所成角的概念. 任務：閱讀材料，回答問題. 斜拉橋又稱斜張橋,是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁,是由承壓的塔、受拉的索和承彎的梁體組合起來的一種結構體系.其可看作是拉索代替支墩的多跨彈性支承連續梁.其可使梁體內彎矩減小,降低建筑高度,減輕了結構重量,節省了材料.斜拉橋由索塔、主梁、斜拉索組成. 問題： (1)拉索所在直線與橋面都是相交關系，其傾斜程度相同嗎 (2)能用角來表示直線與平面相交時不同的傾斜程度嗎 (3)直線與平面所成的角是空間角，能和異面直線所成角一樣把空間角轉化為平面角嗎 【新知講解】 1.斜線： 2.斜足： 3.射影： 4.直線與平面所成的角： 練一練： 如圖所示,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,則直線PB與平面ABC所成的角等于（ ）. A.60° 　　　　B.45° 　　　　C.30° 　　　　D.120° 思考：結合上面實例，說說如何求解直線與平面所成的角？ 【歸納總結】 求斜線與平面所成角的步驟：
目標三：靈活運用直線與平面垂直的判定定理和性質定理處理空間垂直問題. 例1.如圖所示，三棱錐中，，且，，求三棱錐的體積. 【歸納總結】 例2.如圖所示，已知AB是平面的一條垂線，AC是平面的一條斜線，，求證： 【歸納總結】 三垂線定理：
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任務：回答下列問題，構建知識導圖. 1.直線與平面垂直的性質定理內容是什么？是如何證明的？ 2.如何求直線與平面所成角？
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