資源簡介

直線與平面垂直
學習目標 1.理解異面直線所成角的概念. 2.理解直線與平面垂直的定義，理解直線與平面垂直的判定定理. 3.能運用直線與平面垂直的判定定理解決證明垂直問題.
學習活動
導入：如圖，直線l、m所成角是什么？如何定義兩條相交直線所成的角 角在刻畫直線間的關系上有什么作用？ 目標一：掌握異面直線所成角的概念. 任務：觀察實例，探索異面直線所成角的概念. 如圖所示正方體中，AB與B1C1異面，AB與B1D1也異面，你認為這兩種異面有什么區別？ 【新知講解】 思考： (1)異面直線a,b所成的角的大小與“空間中任意一點”所選的位置有關嗎？若無關，說明理由，若有關，思考如何選取“任意一點”更合適？ (2)異面直線所成的角的范圍是什么？空間中兩條直線所成的角的范圍是什么？ (3)當異面直線所成的角是90°時，這兩條直線有怎樣的位置關系？ 【新知講解】 練一練： 如圖所示，空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分別為BC、AD的中點，求EF和AB所成的角． 【歸納總結】 求異面直線所成的角的步驟：
目標二：了解直線與平面垂直的定義，理解直線與平面垂直的判定定理. 任務1：觀察實例，歸納直線與平面垂直的概念. 如圖所示，立著的物體與地面有什么位置關系？舉出其他生活中實例. 思考： (1)如圖,在陽光下觀察垂直于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC. 隨著時間的變化,影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直 (2)你能用簡潔的語言給出直線與平面垂直的定義嗎？ 【新知講解】 1.文字敘述 2.符號表示： 3.圖形表示： 練一練： 如果一條直線與平面內的無數條直線垂直,則這條直線與這個平面 . 任務2：根據直線與平面垂直的定義，探究直線與平面垂直的判定定理. 實例：準備一塊三角形的紙片ABC,過ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD,將翻折后的紙片堅起放置在桌面上（BD,DC與桌面接觸）,如圖所示，折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？為什么？ 思考：如圖所示，m α，n α，m∩n≠ ，如果空間中的直線l滿足l⊥m，那么一定有l⊥α嗎？如果l⊥m且l⊥n呢？根據折紙實例，猜測判定直線與平面垂直的判定方法. 【新知講解】 (1)文字敘述： (2)符號語言： (3)圖形語言： 練一練： 1.下列說法中正確的個數是(　　) ①如果直線l與平面α內的兩條相交直線都垂直，則l⊥α； ②如果直線l與平面α內的任意一條直線垂直，則l⊥α； ③如果直線l不垂直于α，則α內沒有與l垂直的直線； ④如果直線l不垂直于α，則α內也可以有無數條直線與l垂直. A.0 B.1 C.2 D.3
目標三：能運用直線與平面垂直的判定定理解決相關問題. 任務：根據直線與平面垂直的判定定理解決下列問題. 問題：地面上插有一根直桿，將地面看成平面，直借助于繩子與米尺，你能檢測出直桿與地面是否垂直嗎？寫出你的方案并說明理由. 練一練：如圖所示的四棱錐中，已知底面是一個平行四邊形，，且，求證：面 【歸納總結】 直線和平面垂直的判定方法：
學習總結
任務：回答下列問題，回顧本課所學. 1.本節課你學了哪些知識？ 2.直線與平面垂直的定義與判定和前面學過的直線與平面平行的定義與判定在知識結構，思想方法等方面有哪些共同點和不同點？
2直線與平面垂直
學習目標 1.理解異面直線所成角的概念. 2.理解直線與平面垂直的定義，理解直線與平面垂直的判定定理. 3.能運用直線與平面垂直的判定定理解決證明垂直問題.
學習活動
導入：如圖，直線l、m所成角是什么？如何定義兩條相交直線所成的角 角在刻畫直線間的關系上有什么作用？ 參考答案： 兩條相交直線所成的角的大小，指的是它們相交所得到的不大于直角的角的大小.角能刻畫直線間的相對傾斜程度. 目標一：掌握異面直線所成角的概念. 任務：觀察實例，探索異面直線所成角的概念. 如圖所示正方體中，AB與B1C1異面，AB與B1D1也異面，你認為這兩種異面有什么區別？ 【新知講解】 定義：一般地，如果a，b是空間中的兩條異面直線，過空間中任意一點，分別作與a，b平行或重合的直線a′，b′，則a′與b′所成角的大小，稱為異面直線a與b所成角的大小． 思考： (1)異面直線a,b所成的角的大小與“空間中任意一點”所選的位置有關嗎？若無關，說明理由，若有關，思考如何選取“任意一點”更合適？ (2)異面直線所成的角的范圍是什么？空間中兩條直線所成的角的范圍是什么？ (3)當異面直線所成的角是90°時，這兩條直線有怎樣的位置關系？ 【新知講解】 (2)異面直線所成角θ的取值范圍：0°<θ≤90°. (3)規定：空間中兩條平行直線所成角的大小為0°. 空間中兩條直線l，m所成角的大小為90°時，稱l與m互相垂直，記作l⊥m. 若a∥b且b⊥c，則一定有a⊥c. (4)空間兩條直線所成角θ的取值范圍：0°≤θ≤90°. 練一練： 如圖所示，空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分別為BC、AD的中點，求EF和AB所成的角． 參考答案： 解：如圖所示，取BD的中點G，連接EG、FG. ∵E、F分別為BC、AD的中點，AB＝CD， ∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB． ∴∠GFE就是EF與AB所成的角，EG＝GF. ∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°. ∴△EFG為等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°， ∴EF和AB所成的角是45°. 【歸納總結】 求異面直線所成的角的步驟： (1)作角：作出異面直線所成的角，可通過多種方法平移產生，主要有三種方法： ①直接平移法(可利用圖中已有的平行線，如平行四邊形)； ②中位線平移法； ③補形平移法(在已知圖形中，補作一個相同的幾何體，以便找到平行線). (2)證角：證明作出的平面角就是異面直線所成的角。 (3)求角：把作出的兩條異面直線所成的角作為三角形的一個內角，解這個三角形。
目標二：了解直線與平面垂直的定義，理解直線與平面垂直的判定定理. 任務1：觀察實例，歸納直線與平面垂直的概念. 如圖所示，立著的物體與地面有什么位置關系？舉出其他生活中實例. 思考： (1)如圖,在陽光下觀察垂直于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC. 隨著時間的變化,影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直 (2)你能用簡潔的語言給出直線與平面垂直的定義嗎？ 【新知講解】 1.文字敘述：如果直線l與平面α內過它們公共點的所有直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直． 2.符號表示：l⊥a m α，l⊥m. 3.圖形表示： 注意：如圖所示，畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直. 練一練： 如果一條直線與平面內的無數條直線垂直,則這條直線與這個平面 . 參考答案：平行或相交或在平面內 如果一條直線與平面內的無數條直線垂直,這條直線與這個平面不一定垂直,此時該直線與這個平面可能平行,可能相交,也可能在平面內. 任務2：根據直線與平面垂直的定義，探究直線與平面垂直的判定定理. 實例：準備一塊三角形的紙片ABC,過ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD,將翻折后的紙片堅起放置在桌面上（BD,DC與桌面接觸）,如圖所示，折痕AD與桌面垂直嗎？如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？為什么？ 容易發現，AD所在直線與桌面所在平面α垂直(如下圖)的充要條件是折痕AD是BC邊上的高。這時，由于翻折之后垂直關系不變，所以直線AD與平面α內的兩條相交直線BD、DC都垂直.如圖： 思考：如圖所示，m α，n α，m∩n≠ ，如果空間中的直線l滿足l⊥m，那么一定有l⊥α嗎？如果l⊥m且l⊥n呢？根據折紙實例，猜測判定直線與平面垂直的判定方法. 【新知講解】 (1)文字敘述：如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． (2)符號語言：如果m α，n α，m∩n≠ ，l⊥m，l⊥n，則l⊥α. (3)圖形語言： 練一練： 1.下列說法中正確的個數是(　　) ①如果直線l與平面α內的兩條相交直線都垂直，則l⊥α； ②如果直線l與平面α內的任意一條直線垂直，則l⊥α； ③如果直線l不垂直于α，則α內沒有與l垂直的直線； ④如果直線l不垂直于α，則α內也可以有無數條直線與l垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 參考答案：D ③如果直線l不垂直于α，則α內沒有與l垂直的直線，不正確，可能在α有無數條直線與直線l垂直；其他都正確.
目標三：能運用直線與平面垂直的判定定理解決相關問題. 任務：根據直線與平面垂直的判定定理解決下列問題. 問題：地面上插有一根直桿，將地面看成平面，直借助于繩子與米尺，你能檢測出直桿與地面是否垂直嗎？寫出你的方案并說明理由. 參考答案： 分析：根據線面垂直的判定定理，只需檢測直桿是否與地面上的兩條相交直線垂直即可，又因為利用米尺可以量長度，所以可以借助勾股定理來檢測。 解：方案——如圖所示，將繩子的一端固定在直桿的A處，并使得，截取繩子的長度，使得繩長為，拉緊繩子，并把它不固定的那端放在地面上與B不共線的兩點C，D處，測量BC與BD的長度，如果它們的長度都是0.6m，那么直桿就和地面垂直。 理由——這是因為在中，如果，那么 所以 即 同理可知時，有 又因為三點不共線，所以面，即直桿與地面垂直。 練一練：如圖所示的四棱錐中，已知底面是一個平行四邊形，，且，求證：面 參考答案： 證明：由已知可得為的中點 在中，因為， 所以由等腰三角形三線合一可知； 同理， 又因為，所以面 【歸納總結】 直線和平面垂直的判定方法： 1.利用線面垂直的定義； 2.利用線面垂直的判定定理.
學習總結
任務：回答下列問題，回顧本課所學. 1.本節課你學了哪些知識？ 2.直線與平面垂直的定義與判定和前面學過的直線與平面平行的定義與判定在知識結構，思想方法等方面有哪些共同點和不同點？
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