資源簡介

復習課 正、余弦定理的綜合應用
學習目標 1.理解單元知識架構，能建構本單元知識體系. 2.能利用正、余弦定理解三角形. 3.能利用正、余弦定理解決有關三角形的綜合問題. 4.能利用正、余弦定理解決實際應用問題.
學習活動
目標一：理解單元知識架構，能建構本單元知識體系. 任務：根據下列問題回顧本單元知識，建構單元知識框圖. 問題： 1.正、余弦定理是什么？它們是如何推導的？有哪些變形？ 2.正、余弦定理適用于解決什么三角形問題？ 3.利用正、余弦定理解決的實際測量應用有哪些？ 【歸納總結】
目標二：能利用正、余弦定理解三角形. 任務：利用正、余弦定理解下列三角形. 如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，點D在BC邊上，∠ADC＝45°，求AD的長度． 參考答案： 解：在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2， 由余弦定理，得cos C＝＝， ∴sin C＝. 在△ADC中，由正弦定理， 得＝， ∴AD＝×＝. 【歸納總結】 解三角形的一般思路： 分析出所求解三角形中，哪些元素已知，還需要哪些元素，并確定選擇或構造哪些三角形來求解，再利用正余弦定理求解.
目標三：能利用正、余弦定理解決有關三角形的綜合問題. 任務1：利用正、余弦定理判定三角形的形狀. 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀． 參考答案： 解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)] ＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B. 法一：由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin Asin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. 在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， ∴A＝B或A＋B＝. ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理，得 a2b×＝b2a×， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0. 即a＝b或a2＋b2＝c2. ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形． 【歸納總結】 判斷三角形形狀的兩種途徑: 通過正弦定理、余弦定理,化邊為角(如:a=2Rsin A,a2+b2-c2=2abcos C等),利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷； 通過正弦定理、余弦定理,化角為邊,如:sin A=,cos A=等,通過代數恒等變換,求出三條邊之間的關系進行判斷. 任務2：利用正、余弦定理求解三角形邊、角、面積. △ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC的面積的最大值． 參考答案： 解：(1)由正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B. 又A＝π－(B＋C)， ∴sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B， 即sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin Bcos C＋sin Csin B， ∴cos Bsin C＝sin Csin B， ∵sin C≠0， ∴cos B＝sin B且B為三角形內角， ∴B＝. (2)法1：S△ABC＝acsin B＝ac， 由正弦定理知a＝＝×sin A＝2sin A， 同理，c＝2sin C， ∴S△ABC＝×2sin A×2sin C ＝2sin Asin C＝2sin Asin ＝2sin A ＝2(sin Acos A＋sin2A) ＝sin 2A＋1－cos 2A＝sin＋1， ∴當2A－＝，即A＝時，S△ABC有最大值＋1. 法2：由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB，得4=c2+a2-ca， 根據均值不等式得2ca-ca≤ac2+a2-ca=4， ∴，解得ac≤4+2， ∴S△ABC＝ac≤， 化簡得=4+2， ∴S△ABC＝acsin B＝ac=＋1， ∴S△ABC有最大值＋1. 【歸納總結】 1.求解三角形中的邊、角、面積的解題策略： 在已知條件中涉及了三角形的一些邊角關系，由于正弦定理和余弦定理都是關于三角形的邊角關系的等式，通過定理的運用能夠實現邊角互化，在邊角互化時，經常用到三角函數中兩角和與差的公式及倍角公式等． 2.求解三角形面積的取值范圍的解題方法： (1)通過正弦定理，化邊為角，利用三角函數求范圍. (2)通過余弦定理，化角為邊，利用均值不等式求范圍.
目標四：能利用正、余弦定理解決實際應用問題. 任務：利用正、余弦定理解決下列實際問題. 如圖，在一次海上聯合作戰演習中，紅方一艘偵察艇在A處發現在北偏東45°方向，相距12海里的B處水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10海里的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14海里的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇，若要在最短的時間內攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值． 參考答案： 解:如圖，設紅方偵察艇經過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC＝14x海里，BC＝10x海里，∠ABC＝120°. 根據余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得x＝2（舍去） 故AC＝28海里，BC＝20海里． 根據正弦定理得＝， 解得sin α＝＝.故紅方偵察艇所需的時間為2小時，角α的正弦值為. 【歸納總結】 應用解三角形知識解決實際問題四步曲： (1)分析題意，準確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關名詞、術語； (2)根據題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出； (3)將所求問題歸結到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦、余弦定理等有關知識正確求解； (4)檢驗解出的結果是否具有實際意義，對結果進行取舍，得出正確答案．
學習總結
任務：本單元我們收獲了什么？還有哪些疑惑？
2復習課 正、余弦定理的綜合應用
學習目標 1.理解單元知識架構，能建構本單元知識體系. 2.能利用正、余弦定理解三角形. 3.能利用正、余弦定理解決有關三角形的綜合問題. 4.能利用正、余弦定理解決實際應用問題.
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目標一：理解單元知識架構，能建構本單元知識體系. 任務：根據下列問題回顧本單元知識，建構單元知識框圖. 問題： 1.正、余弦定理是什么？它們是如何推導的？有哪些變形？ 2.正、余弦定理適用于解決什么三角形問題？ 3.利用正、余弦定理解決的實際測量應用有哪些？ 【歸納總結】
目標二：能利用正、余弦定理解三角形. 任務：利用正、余弦定理解下列三角形. 如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，點D在BC邊上，∠ADC＝45°，求AD的長度． 【歸納總結】
目標三：能利用正、余弦定理解決有關三角形的綜合問題. 任務1：利用正、余弦定理判定三角形的形狀. 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀． 【歸納總結】 任務2：利用正、余弦定理求解三角形邊、角、面積. △ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B； (2)若b＝2，求△ABC的面積的最大值． 【歸納總結】
目標四：能利用正、余弦定理解決實際應用問題. 任務：利用正、余弦定理解決下列實際問題. 如圖，在一次海上聯合作戰演習中，紅方一艘偵察艇在A處發現在北偏東45°方向，相距12海里的B處水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10海里的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14海里的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇，若要在最短的時間內攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值． 【歸納總結】
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