資源簡介

復習課 立體幾何初步
學習目標 1.理解單元知識架構，能建構本單元知識體系. 2.用等體積法解決求點到平面的距離問題. 3.用割補法求解不規則幾何體的體積. 4.解決平面圖形有關翻折的證明和計算問題.
學習活動
目標一：理解單元知識架構，建構本單元知識體系. 任務：根據下列問題,回顧本單元知識，建構單元知識框圖. 如何畫出空間幾何體直觀圖？其畫圖步驟有哪些？ 什么是基本幾何體的結構特征？你能用基本幾何體的結構特征解釋身邊物體結構嗎？舉例說明. 如何計算柱、錐、臺、球的表面積和體積？柱、錐、臺體積公式之間有怎樣的聯系？ 平面的三個基本事實是什么？它是如何刻畫平面“平”、“無限延展”的？ 我們應用了哪些思想和方法研究直線與平面的位置關系？其位置關系又有哪些？如何判定？有什么性質？ 【歸納總結】
目標二：用等體積法解決求點到平面的距離問題. 當點到面的距離那條垂線不好作或找時，利用等體積法可以間接求點到面的距離，從而快速解決體積問題，是一種常用數學思維方法. 任務：利用等體積法求下列空間幾何體中點到平面的距離. 如圖，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中點，. （1）求證：平面； （2）求點到平面的距離. 參考答案： 解：（1）連接，交于點，連接， 四邊形為平行四邊形， 為中點，又為中點，， 平面，平面，平面. （2）由（1）知：平面， 點到平面的距離即為點到平面的距離； 三棱柱為直三棱柱,為等邊三角形, ，，， ，， ； ，， ； 設點到平面的距離為， 則，解得：， 點到平面的距離為. 【歸納總結】 用等體積法求點到面的距離： 通常在三棱錐中，轉換底面與頂點，利用等體積求距離． 在用變換頂點求體積時，有時單一靠棱錐四個頂點之間來變換頂點無法達到目的時，還可以利用平行關系(線面平行，面面平行)轉換頂點，如當線面平行時，線上任意一點到平面的距離是相等的，同面面平行也可以變換頂點. 練一練： 在正方體中，E是的中點，若，求點B到平面ACE的距離. 參考答案：如圖，在正方體中，，是的中點， 則，，． ． 設點到平面的距離為， 由，得， 解得． 故點到平面的距離為
目標三：用割補法求解不規則幾何體的體積. 割補法包括分割求和法與補形法： 1.分割求和法：把一個不規則的幾何體分割成幾個規則的幾何體，求出每個規則幾何體的體積，再進行體積求和即可； 2.補形法：當直接求某些幾何體的體積較困難時，可以將它 補成熟悉的幾何體，如正方體、長方體等對稱性比較好的幾何體，以此來求幾何體的體積. 任務：利用割補法求下列幾何體的體積. 如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，，，EF上任意—點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積. 參考答案： （方法一）如圖所示，連接EB，EC， 則該多面體的體積. . ∵，，∴. 連接 AC， 故該多面體的體積. （方法二）如圖所示，設G，H分別為AB，DC的中點，連接EG，EH，GH， 則，，，得三棱柱和四棱錐. 由題意得. 連接BE，BH， 故該多面體的體積. 【歸納總結】 大多數情況下，可以把不規則幾何體分割為三棱錐+四棱錐，多從四棱錐底面對角線或者幾何體表面四邊形對角線處尋找分割的“刀口”.
目標四：解決平面圖形有關翻折的證明和計算問題. 任務：分析下列圖形翻折前后的變化，解決下列問題. 如圖，菱形的對角線與交于點O，點E，F分別在，上，，交于點H，將沿折到的位置． （1）證明：； （2）若： ①證明：平面； ②求五棱錐的體積． 參考答案： （1）證明：由已知得，， 又由得，故， 由此得，，所以． （2）①證明：由得． 由得． 所以． 于是，故． 由（1）知， 又，． 所以平面，于是． 又由，，所以平面． ②又由得． 五邊形的面積， 所以五棱錐體積． 【歸納總結】 解決折疊問題的步驟： （1）確定折疊前后的各量之間的關系，搞清折疊前后的變化量和不變量； （2）在折疊后的圖形中確定線和面的位置關系，明確需要用到的線面； （3）利用判定定義、性質定理、相關公式進行證明和計算. 注：一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關系往往會發生變化，抓住不變量是解決問題的突破口. 練一練： 如圖，在矩形中，點G，H分別在邊AD，CD上，，沿直線將翻折成，使二面角為直角，點E，F分別在線段上，沿直線將四邊形向上折起，使與重合，則線段CF長度是多少？ 參考答案： 設CF=x，因為B與重合，所以， 取的中點O，DH的中點P,連接OP，OD1，OF，BF，， 則 而 ，解得，即，
學習總結
任務：回顧本單元內容，完成下表.
2復習課 立體幾何初步
學習目標 1.理解單元知識架構，能建構本單元知識體系. 2.用等體積法解決求點到平面的距離問題. 3.用割補法求解不規則幾何體的體積. 4.解決平面圖形有關翻折的證明和計算問題.
學習活動
目標一：理解單元知識架構，建構本單元知識體系. 任務：根據下列問題,回顧本單元知識，建構單元知識框圖. 如何畫出空間幾何體直觀圖？其畫圖步驟有哪些？ 什么是基本幾何體的結構特征？你能用基本幾何體的結構特征解釋身邊物體結構嗎？舉例說明. 如何計算柱、錐、臺、球的表面積和體積？柱、錐、臺體積公式之間有怎樣的聯系？ 平面的三個基本事實是什么？它是如何刻畫平面“平”、“無限延展”的？ 我們應用了哪些思想和方法研究直線與平面的位置關系？其位置關系又有哪些？如何判定？有什么性質？ 【歸納總結】
目標二：用等體積法解決求點到平面的距離問題. 當點到面的距離那條垂線不好作或找時，利用等體積法可以間接求點到面的距離，從而快速解決體積問題，是一種常用數學思維方法. 任務：利用等體積法求下列空間幾何體中點到平面的距離. 如圖，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中點，. （1）求證：平面； （2）求點到平面的距離. 【歸納總結】 用等體積法求點到面的距離： 練一練： 在正方體中，E是的中點，若，求點B到平面ACE的距離.
目標三：用割補法求解不規則幾何體的體積. 割補法包括分割求和法與補形法： 1.分割求和法：把一個不規則的幾何體分割成幾個規則的幾何體，求出每個規則幾何體的體積，再進行體積求和即可； 2.補形法：當直接求某些幾何體的體積較困難時，可以將它 補成熟悉的幾何體，如正方體、長方體等對稱性比較好的幾何體，以此來求幾何體的體積. 任務：利用割補法求下列幾何體的體積. 如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，，，EF上任意—點到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積. 【歸納總結】
目標四：解決平面圖形有關翻折的證明和計算問題. 任務：分析下列圖形翻折前后的變化，解決下列問題. 如圖，菱形的對角線與交于點O，點E，F分別在，上，，交于點H，將沿折到的位置． （1）證明：； （2）若： ①證明：平面； ②求五棱錐的體積． 【歸納總結】 解決折疊問題的步驟： 練一練： 如圖，在矩形中，點G，H分別在邊AD，CD上，，沿直線將翻折成，使二面角為直角，點E，F分別在線段上，沿直線將四邊形向上折起，使與重合，則線段CF長度是多少？
學習總結
任務：回顧本單元內容，完成下表.
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