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專題01 空間向量綜合應用
一．利用空間向量求線線角
1．（22-23高二上·廣東汕尾·期末）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為的中點，則與所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以D作坐標原點，分別以DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
則，
所以，
設與所成的角的大小為，
則.故選：C
2．（23-24高二上·陜西西安·期中）在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以為坐標原點，向量方向分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
所以，，
所以異面直線與所成角的余弦值等于
.故選：B
3．（23-24高二上·云南昆明·期中）如圖，分別是二面角的兩個半平面內兩點，，，，，若，則異面直線的夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】連接，
在中，由余弦定理得：，
；
在中，由余弦定理得：；
，
，即異面直線夾角的余弦值為.故選：C.
4．（22-23高二上·黑龍江·期中）如圖，在四棱錐中，PD底面，底面為正方形，PD=DC=2，Q為PC上一點，且PQ=3QC，則異面直線AC與BQ所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，所以DP，DC，DA兩兩互相垂直，
以D為原點，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
由，得，，，，，
所以，，
設異面直線AC與BQ所成的角為，則，
又，所以異面直線AC與BQ所成的角為．故選：A．
5．（22-23高二下·江蘇徐州·期中）如圖，在直三棱柱中，是的中點，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．若，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意得，設，則有，
由得，
，
異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.
6．（23-24高二上·湖北·期末）如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，．
（1）求的長．
（2）求異面直線與所成的角的余弦值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
，
所以，即的長為.
（2）
，
又由余弦定理得，
所以設所求異面直線所成角為，.
7．（23-24高二上·上海·期中）（改變）在四面體中，各棱長均相等，、分別是、的中點，且．
（1）求證：、、、四點共面；
（2）求異面直線和所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）因為、分別是、的中點，所以，
由、分別是、上的點，且，可得，
所以，故、、、四點共面；
（2）由題意，在四面體中，設棱長為，
以為空間一組基底，兩兩夾角為，
，
所以
，
所以，
，
所以，
所以直線和所成角的余弦值為.
8．（23-24高二上·安徽合肥·期中）在正方體中，已知為中點，如圖所示．

（1）求證：平面
（2）求異面直線與夾角大小．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）在正方體中，因為，，兩兩垂直，
故以為原點，為，，軸的正方向建立空間直角坐標系如圖：
不妨設正方體的棱長為1，
則，
故，，，
設平面的一個法向量為，
由，得，
令，則，所以．從而，
又平面，所以平面.
（2）設、分別為直線與的方向向量，
則由，，
得，所以，
所以兩異面直線與的夾角的大小為．
二．利用空間向量求線面角
9．（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點P的四等分點，則與平面所成角的正弦值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平面，，
以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，
建立空間直角坐標系，則，..
易知平面的法向量.
設與平面所成角為，
則.故選：C.
10．（23-24高二上·北京·期中）如圖，在正方體中，點是線段上任意一點，則與平面所成角的正弦值不可能是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】以為原點建立空間直角坐標系如圖：設棱長為1，
則，設，
所以，平面的法向量為
，
所以則與平面所成角的正弦值取值范圍為.
對比各選項，C項不可能.故選：C
11．（22-23高二下·江蘇連云港·期中）在正方體中，點，分別是，上的動點，當線段的長最小時，直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，
因為平面，平面，所以，
因為正方形中，，且，平面，
所以⊥平面，
因為點M ，N分別是上的動點，
當點為交點時，⊥，過點作于點，
此時為的公垂線，即線段的長最小，
設正方體邊長為，則，，
因為，所以，
故，解得：，，
過點作于點，同上可知，即，
解得：，，故，
，
又，則，
設平面的法向量為，
則，令，得，
設與平面所成角大小為，
則.故選：B
12．（23-24高二上·廣東佛山·期中）已知平行六面體的各條棱長均為2，且有．
（1）求證：平面：
（2）若是的中點，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）記，
因為平行六面體的各條棱長均為2，，
所以，，
因為，
，
所以，
同理，則，
又平面，所以平面.
（2）因為底面是平行四邊形，且棱長為，
所以底面是菱形，則，
又，平面，所以平面，
即是平面的一個法向量，
因為是的中點，所以，
易知在等邊三角形中，，
而，
則，
，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
13．（23-24高二上·四川成都·期中）如圖，長方體中，底面是邊長為的正方形，側棱，為棱的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成的角．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）是長方體，平面,
平面,,
是邊長為的正方形，側棱，且為棱的中點，
,,,
,,
平面，平面，且，
平面，
平面，平面平面.
（2）以點為原點，以、、所在直線分別為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則,,,,，
則,,,
設平面的法向量為，
則，解得：，取，則，
設直線與平面所成角為，
則，
線面角范圍為，，即直線與平面所成角為.
14．（23-24高二上·浙江·期中）如圖，四棱錐中，底面為矩形，，，為的中點．

（1）若，求證：；
（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）證明：因為四邊形為矩形，則，
因為為的中點，則，
又因為，，則為等腰直角三角形，所以，，
同理可證，所以，，即，
因為，，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，.
（2）證明：設的中點為，的中點為，連接、、，
過點在平面內作，垂足為點，
因為，且為的中點，
則為等邊三角形，且，，
因為四邊形為矩形，則且，
因為、分別為、的中點，所以，且，且，
所以，四邊形為矩形，所以，，
所以，二面角的平面角為，則，
因為，則，則，
因為，，，、平面，
所以，平面，
因為平面，則，
因為，，、平面，所以，平面，
以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向
建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、，
則，，，
設平面的法向量為，則，
取，則，所以，，
因此，直線與平面所成角的正弦值為.
15．（23-24高二上·安徽銅陵·期中）如圖，在直三棱柱中，，為棱的中點，，二面角的大小為．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）如圖，連接交于點，連接，顯然是的中點，
因為為的中點，所以為的中位線，，
而平面，平面，所以平面．
（2）設的中點為，連接并延長交于點．
因為，所以，于是有．
因為三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，
而平面平面，所以平面．
因為側面是矩形，所以．
以為原點，分別以直線，，為軸、軸、軸
建立如圖所示的空間直角坐標系．
設，則，，，
于是，．
設平面的法向量為，
則有即令，可得．
易知平面的一個法向量為．
因為二面角的大小為，所以，
即，解得（負值舍去）．
故，，．
設直線與平面所成的角為，
則，即直線與平面所成角的正弦值為．
16．（23-24高二上·江蘇南通·期中）如圖，在直三棱柱中，側面為正方形，，．E，F分別為AC和的中點，D為棱上的點．
（1）證明：；
（2）當時，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）因為直三棱柱中，，所以BA，BC，兩兩垂直，
以點B為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系．
因為側面為正方形，，
E，F分別為AC和的中點，D為棱上的點，
所以，，，，
設，則．
由，得，即．
（2）當時，則，，．
設平面DEF的法向量為，
則由即取．
設直線BF與平面DEF所成角為，
則，
即直線BF與平面DEF所成角的正弦值為．
三．利用空間向量求二面角
17．（22-23高二上·北京·期中）設分別是平面α，β的法向量，則平面α與平面β的夾角是 ．
【答案】
【解析】∵分別是平面α，β的法向量，
∴，
∵平面和平面夾角范圍是，∴平面α與平面β的夾角為．
18．（23-24高二上·新疆阿克蘇·期中）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，點分別為的中點．

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）如圖所示：取中點為,連接，
在中，分別為的中點，
所以為的中位線，所以,,
在正方形中，為中點，所以,,
所以,
所以四邊形為平行四邊形，所以,
又因為：平面，平面，所以平面.
（2）有題意知：兩兩垂直，建立如圖所示：
以為坐標原點，為軸，為軸，為軸的空間直角坐標系,
不妨設，則，
所以，
設平面的法向量為：
則，取，則，
易知平面的一個法向量為：
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.
19．（23-24高二上·北京·期中）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）連接，因為分別為的中點，所以
在三棱柱中，.所以四點共面.
因為分別為的中點，所以.
所以四邊形為平行四邊形.
所以.因為平面平面，
所以平面.
（2）由題設平面，所以.
因為，所以兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標系.
所以.
.
平面的一個法向量是，設平面的法向量為，
則即
令，則.于是，
設二面角的平面角為，
則，由圖可知為銳角，所以.
20．（22-23高二下·浙江溫州·期中）在三棱錐中，，平面，點是棱上的動點，點是棱上的動點，且.
（1）當時，求證：；
（2）當的長最小時，求二面角的余弦值
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）在平面內過點作，使得點與點在同側，
平面，平面，平面，
，，則兩兩互相垂直.
以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，；
由得：，，
為等腰直角三角形，；
同理可得：為等腰直角三角形，
當時，，，分別是中點，
，，，，
，.
（2）由（1）可得：，，，為等腰直角三角形；
，，
則；
當時，最小，分別是中點，
，，
，，，，
設平面的法向量為，
則，令，解得：，，；
設平面的法向量，
則，令，解得：，，；
，
由圖形可知：二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.
21．（23-24高二上·云南玉溪·期中）將沿它的中位線折起，使頂點到達點的位置，且，得到如圖所示的四棱錐，若，，為的中點．
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【解析】（1）證明：因為為的中位線，所以，
因為，所以，，又，所以平面.
（2）由（1）因為平面，平面，
所以平面平面．取的中點，連接，
因為，所以．
又平面平面，所以平面，且．
以為原點，分別以，的方向為，軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，．
所以，，，．
設是平面的法向量，可得，
令，得，
設是平面的法向量，可得，
令， 得．
設平面與平面的夾角為，則
所以平面與平面的余弦值為．
22．（23-24高二上·山東淄博·期中）如圖，在正四棱錐中，，，分別是的中點.
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面的夾角.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）證明：取的中點，連
分別是的中點，且
又是的中點，且，且
則四邊形 是平行四邊形，
又，平面
（2）連接，設，
如圖：分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，
在正四棱錐中，底面為正方形，，所以，
又因為，所以.
設平面的一個法向量為，
則，即，
令，得
又平面的一個法向量為.
，所以平面與平面的夾角為
23．（23-24高二上·廣東東莞·期中）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，四邊形是菱形，，是的中點，平面平面．
（1）若是線段的中點，求證：平面；
（2）若是線段的一點（如圖），且，二面角的余弦值為，求的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）2
【解析】（1）連接，
因為為正三角形且是的中點，所以.
因為平面平面，且平面平面，平面，
所以平面.
因為平面，所以.
因為四邊形是菱形，所以.
又，所以.
因為平面，平面，且，
所以平面．
（2）連接，
因為四邊形是菱形，所以，.
又，所以為等邊三角形.
又是的中點，所以.
平面平面，平面平面，平面，
所以，面.
以為原點，所在直線為軸、所在直線為軸、所在直線為軸，
如圖建立直角坐標系．設，則，，，
所以，，，.
又，所以.
設面法向量為，
因為，，
所以，即，取，得.
設，則，，
由得，，
即，即，則，
則，.
設為面法向量，
則，所以有，即，
取可得，.
由已知可得，解得或5．
因為二面角為銳二面角，所以由圖可知，．
24．（23-24高二上·黑龍江雞西·期中）如圖，直三棱柱內接于高為的圓柱中，已知，，，為的中點.
（1）求圓柱的表面積；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因為，，所以，
所以底面圓的半徑，所以圓柱的側面積為，
又圓柱的底面積為，所以圓柱的表面積.
（2）由（1）及題意知可以為坐標原點，正方向為軸，
可建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，則，，
設平面的一個法向量，
則，令，解得：，，得；
又因為軸平面，所以是平面的一個法向量，
所以，
由圖形可知：二面角為銳二面角，
所以二面角的余弦值為.
四．利用空間向量求空間距離
25．（22-23高二上·廣東江門·期中）平面的一個法向量，在內，則到的距離為（ ）
A．10 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】，
則點到平面的距離.故選：D
26．（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習）在空間直角坐標系中，已知 ，則點 到直線 的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，.故選：A.
27．（23-24高二上·安徽淮北·期中）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）求點到面的距離．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）∵平面平面，平面平面，
，平面，∴平面.
又平面，所以平面平面.
（2）以為原點，，，分別為軸、軸、軸的正方向
建立如圖所示的空間直角坐標系.
則，，，，，.
∵為的中點，∴，
則，，，，
∵，∴，
又，∴，
又，，平面，∴平面.
所以為平面的法向量，
則點到面的距離.
28．（23-24高二上·江蘇無錫·期中）在棱長為3的正方體中，為線段靠近的三等分點.為線段靠近的三等分點，則直線到平面的距離為 .
【答案】/
【解析】如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，
則，
所以，所以，
而平面，平面，故平面，
所以直線到平面的距離即為點到平面的距離.
又，，
設平面的法向量為，
故，即，取，則，
又，故點到平面的距離為.
29．（23-24高二上·新疆阿克蘇·期中）如圖，在長方體中，為線段的中點，為線段的中點．
（1）求點到直線的距離；
（2）求點到平面的距離．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）建立如圖所示：空間直角坐標系，則
所以,
所以點到直線的距離.
（2）,
設平面的法向量為：，
則，取，則，
所以點到平面的距離為.
30．（23-24高二上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，四面體中，，，，E為的中點．
（1）證明：⊥平面；
（2）設，，，點F在上，若與平面所成角的正弦值為，求點F到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）證明：因為，E為的中點，所以，
在和中，，
所以，所以，
又E為AC的中點，所以，
又平面BDE，，所以⊥平面.
（2）由（1）可知⊥平面，且，
所以以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則， ，
所以，
設面的一個法向量為，
則， ，取，則所以，
又，，
設，，所以，
設與平面所成的角為θ，
因為，
所以，解得，
由點到平面的距離公式得
31．（23-24高二上·廣東江門·期中）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，M為BC的中點．
（1）求證：平面；
（2）求點D到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）證明：因為底面，平面，
因為，
因為四邊形為矩形，所以，所以兩兩垂直，
以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
因為，，
所以，
因為M為BC的中點，所以，
所以，
所以，，
所以，，所以，
因為，平面，所以平面；
（2）設平面的法向量為，
因為，
所以，令，則，
因為，所以點D到平面的距離.
32．（23-24高二上·廣東湛江·期中）如圖，在底面為梯形的四棱錐中，底面，.
（1）證明：平面.
（2）延長至點，使得，求點到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）證明：因為，所以.
因為底面，所以，
因為，平面，所以平面，
又，所以平面.
（2）以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，
.
設平面的法向量為，
則，即令，得.
因為，所以點到平面的距離.
五．利用空間向量求最值范圍
33．（20-21高二·全國·單元測試）如圖，在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC1的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以D為原點，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,，，，,
設(x，y，z)，,，則(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，
＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，
令x＝1，則y＝-，∴u＝(1,-,0)，
∴異面直線D1E與CC1的距離為d＝，
∵P在D1E上運動，∴P到直線CC1的距離的最小值為d＝.故選：A.
34．（23-24高二上·浙江臺州·期中）在長方體中，，，E，F，G分別是棱，BC，的中點，M是平面ABCD內一動點，若直線與平面EFG平行，則的最小值為（ ）

A． B．9 C． D．
【答案】C
【解析】如圖，分別以、、方向為、、軸建立空間直角坐標系
可得：，，，，，，
，，，
設平面的法向量，
則，得，
解得：，，，即.
由于直線與平面平行，則，得：，即：.
，，
，
，
可知：由于，當時，取得最小值，最小值為.故選：C
35．（22-23高二上·江西吉水·期末）如圖，在五面體ABCDE中，正三角形ABC的邊長為1，平面，，且．設CE與平面ABE所成的角為，，若，則k的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】如圖，建立空間直角坐標系，
則，，，，則，
取AB的中點M，則，連接CM，則，
又平面，因為平面ABC，所以，
又因為，所以，則平面ABE的一個法向量為．
由題意知，
又由，可得：，
結合可得：，所以k的最大值為.故選：C．
36．（23-24高二上·陜西寶雞·階段練習）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F分別是側棱，上的動點，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為，則線段BE的長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依題意，，，兩兩互相垂直，
以A為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系.
設，（，，且m，n不同時為0），
則，，，所以，.
設平面AEF的一個法向量為，
則，
令，得，則，
顯然為平面ABC的一個法向量.
因為平面與平面所成角的大小為，
所以，
即，得，
所以，所以當時，m取得最大值，最大值為.故選：B
37．（22-23高二上·廣東深圳·期中）如圖，在四棱錐中，平面，已知是四邊形內部一點（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖以A為坐標原點建立空間直角坐標系，
由二面角的平面角大小為30°，可知Q的軌跡是過點D的一條直線，
又Q是四邊形ABCD內部一點（包括邊界），
則Q的軌跡是過點D的一條線段，
設Q的軌跡與y軸的交點坐標為，
由題意可知，，，
所以，，，
易知平面APD的一個法向量為，
設平面PDG的法向量為，
則，即，令，得，，
所以是平面PDG的一個法向量，
則二面角的平面角的余弦值為，
解得或（舍去），
所以Q在DG上運動，故面積的最大值是.故選：A．
38．（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖，在四棱錐中，已知：平面，，，，已知是四邊形內部一點（包括邊界），且二面角的平面角大小為，若點是中點，則四棱錐體積的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為平面且，
所以以為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
，
因為已知是四邊形內部一點，所以設，
其中且（即點在平面內部），
則，
因為平面平面，所以平面的法向量為，
又因為，
設平面的法向量為，
則，即，
由題易得，令，則，所以，
因為二面角的平面角大小為，
所以，
即，解得①，
因為點是中點，所以到平面的距離為，
所以要使得四棱錐體積的最大，
則，即要取到最大值，
由①知時，
此時點不在四邊形內部，矛盾，
故當時體積取到最大值，此時，
所以，故選：D
39．（22-23高二下·江蘇常州·期中）如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與△BCD均為等腰直角三角形，且，，點P在線段AB（不含端點）上運動．若線段CD（不含端點）上存在點Q，使異面直線PQ與AC所成的角為30°，則線段AP的長度的取值范圍為
【答案】
【解析】平面平面，△BAC與△BCD均為等腰直角三角形，BC中點為O，連接OA，
則，平面，平面平面，則平面，
又，，
以C為原點，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，
設， ，
，
∵異面直線PQ與AC成30°的角，
∴ ，
解得，
線段PA長的取值范圍是.
40．（22-23高二下·江蘇徐州·期中）如圖，圓臺的下底面圓的直徑為，圓臺的上底面圓的直徑為，是弧上一點，且.
（1）求證：；
（2）若點是線段上一動點，求直線與平面所成角的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】（1）取的中點為，連結，
，，，
又是以為直徑的圓上一點，，
，平面，平面，，
平面，平面，，
又，為的中點，，
，平面，平面，平面，
在圓臺中，平面，
，又因為在圓臺中，圓圓，
，所以四邊形為平行四邊形，
且，
在中，為的中點，為中點，
，又，，
又，.
（2）如圖以為正交基底建立空間直角坐標系，
，
，，
設，則，，
設平面的法向量為，
，取，，
設直線與平面所成角為，
則
，
令，，，，
令，，
因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，
，，，則，
所以的取值范圍為，
即，又，所以，
所以直線與平面所成角的取值范圍.
六．利用空間向量探究動點問題
41．（23-24高二上·北京順義·期中）如圖，在正方體中，點是線段的中點，點是線段上的動點，下列結論中錯誤的是（ ）
A．對于任意的點，均有
B．存在點，使得平面
C．存在點，使得與所成角是
D．不存在點，使得與平面的所成角是
【答案】D
【解析】設正方體棱長為，如圖所示建立空間直角坐標系，
則,
設，
則，，
所以，故A正確；
易知平面的一個法向量為，
則，即點是線段的中點時，
滿足平面，故B正確；
由上可知，
所以當，
即時，使得與所成角是，故C正確；
由上可知，設平面的一個法向量為，
則有，令，即，
若與平面的所成角是，
則有，
即存在點，使得與平面的所成角是，故D錯誤.故選：D
42．（23-24高二上·山東淄博·期中）（多選）如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個動點E，F（E在F的左邊）且，下列說法錯誤的是（ ）
A．當E，F運動時，存在點E，F使得
B．當E，F運動時，存在點E，F使得
C．當E運動時，二面角最小值為
D．當E，F運動時，二面角的余弦值為定值．
【答案】ABD
【解析】以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，
對于A，則，
由于，設則，
則，
所以E，F運動時，不存在點E，F使得，A錯誤;
對B，若，則四點共面，與與是異面直線矛盾，B錯誤;
對C，設平面的法向量為. 又,
,令，可得，
平面的法向量可取為，故，
因為，所以函數在單調遞減，
所以，所以，
所以當時，有最大值為，
設二面角的平面角為，所以有最大值為，
即二面角的最小值為，C正確;
對于D，連接，平面即為平面,平面即為平面，
取平面的法向量為.
設平面的法向量為，
，令，則，
設二面角的平面角為，則，
觀察可知二面角的平面角為為銳角，所以，D錯誤；故選:ABD.
43．（23-24高二上·寧夏·期中）在直角梯形中，，，，如圖①把沿翻折，使得平面平面（如圖②）．

（1）求證：；
（2）在線段上是否存在點，使得與平面所成的角為60°？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，，理由見解析.
【解析】（1）由題設，若為中點，連接，則，
由面面，面面，面，則面，
而面，故，
又，，則，且，
所以，故，所以，
，面，則面，
又面，所以.
（2）過作，由（1）知：，且面，
所以可構建如下圖示的空間直角坐標系，則，
設且，則，且，
若是面的一個法向量，則，
令，則，又與平面所成的角為60°，
所以，
整理得，可得或（舍），即，
而，則，，即，故.

44．（23-24高二上·四川綿陽·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，點為的中點.
（1）求證：平面；
（2）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在求出的長.
【解析】（1）取的中點,連接
∵,∴是等腰三角形，
∵點為 的中點.
∴., , ∵,
可得四邊形是平行四邊形，∴,
又∵平面平面，∴. 平面;
（2）取中點為，連接，則有,因為所以
因為平面平面，交線為,
平面，所以平面，
且平面，所以,
且在等腰三角形中，，
所以以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
假設上存在一點，設
則
設平面的一個法向量為，
則，取則，所以，
設直線與平面所成的角為，則，
即，
整理得，，解得或（舍去），
故得到的長為.
45．（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點，是邊長為1的等邊三角形，且.
（1）求直線和平面所成角的正弦值；
（2）在棱上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，并求出的值.
【答案】（1）；（2）存在，
【解析】（1）分別取CB、CD的中點為F、G，連結OF、OG，
∵為的中點，是邊長為1的等邊三角形，
∴是直角三角形，，，，
∵CB、CD的中點為F、G， ∴，，，
∵，為的中點，∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，是三棱錐底面的高，是直角三角形
∵，∴，
以O點為坐標原點，分別以OF、OG、OA所在的直線為軸，
如圖建立空間直角坐標系，
則,,,,，，，
∴，，，
設是平面的一個法向量，
則，即，
令，則，，，，
，
∴直線和平面所成角的正弦值等于；
（2）在棱上存在點，使二面角的大小為.
設
由（1）知，，
，
是平面的一個法向量，
設是平面的一個法向量，則，
即，
取，，，
∵二面角的大小為，
∴，即，
整理得，，解得，或（舍去），
所以，，，
所以，在棱上存在點，使二面角的大小為，.
46．（22-23高二下·江蘇南京·期中）如圖，已知在三棱柱中，，，，，平面平面.
（1）求與所成角的余弦值；
（2）在棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求 出的值，若不存在，說明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且．
【解析】（1）因為，，，，
所以，所以，，，
以為軸，平面內，過與垂直的直線為軸，為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
，，
，
所以與所成角的余弦值是；
（2）假設存在點滿足題意，設（，則，
，，
設平面的一個法向量是，
則，取，則，，
，
設平面的一個法向量是，
則，取，則，，即，
，解得或（舍去），
由圖可知當，二面角是鈍二面角，滿足題意，此時．
47．（23-24高二上·福建三明·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.
（1）求證：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）棱上是否存在點，它與點到平面的距離相等，若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，且
【解析】（1）證明：因為平面平面，且平面平面，
因為，且平面，所以平面.
因為平面，所以.
（2）在中，因為，，，
所以，所以.
又因為平面，以點為坐標原點，
、、的方向分別為、、的正方向
建立如下圖所示的空間直角坐標系，
所以，、、、、，
則，，
易知平面的一個法向量為.
設平面的一個法向量為，
則，取，則.
則，
即平面與平面夾角的余弦值為.
（3）因為、到平面的距離相等，且、在平面的同側，則有平面.
因為點在棱，所以，其中，
因為，則，所以.
又因為平面，為平面的一個法向量，
所以，即，所以.
所以，所以.
48．（23-24高二上·四川雅安·期中）如圖，在正方體中，分別是的中點．
（1）用空間向量法證明：平面；
（2）在直線上是否存在點，使得平面？若存在，請指出的位置；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，在的延長線上，且
【解析】（1）證明：以為原點，所在的直線分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，
．
設平面的法向量為，
則取，則，得，
平面．
（2）存在點，使得平面，在的延長線上，且．
由題意得，
設，則，
平面，得．專題01 空間向量綜合應用
一．利用空間向量求線線角
1．（22-23高二上·廣東汕尾·期末）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為的中點，則與所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·陜西西安·期中）在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·云南昆明·期中）如圖，分別是二面角的兩個半平面內兩點，，，，，若，則異面直線的夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高二上·黑龍江·期中）如圖，在四棱錐中，PD底面，底面為正方形，PD=DC=2，Q為PC上一點，且PQ=3QC，則異面直線AC與BQ所成的角為（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二下·江蘇徐州·期中）如圖，在直三棱柱中，是的中點，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．若，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·湖北·期末）如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，．
（1）求的長．
（2）求異面直線與所成的角的余弦值．
7．（23-24高二上·上海·期中）（改變）在四面體中，各棱長均相等，、分別是、的中點，且．
（1）求證：、、、四點共面；
（2）求異面直線和所成角的余弦值．
8．（23-24高二上·安徽合肥·期中）在正方體中，已知為中點，如圖所示．
（1）求證：平面
（2）求異面直線與夾角大小．
二．利用空間向量求線面角
9．（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在四棱錐中，平面，，，，已知Q是棱上靠近點P的四等分點，則與平面所成角的正弦值為（ ）．
A． B． C． D．
10．（23-24高二上·北京·期中）如圖，在正方體中，點是線段上任意一點，則與平面所成角的正弦值不可能是（ ）
A． B． C． D．1
11．（22-23高二下·江蘇連云港·期中）在正方體中，點，分別是，上的動點，當線段的長最小時，直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高二上·廣東佛山·期中）已知平行六面體的各條棱長均為2，且有．
（1）求證：平面：
（2）若是的中點，求直線與平面所成角的正弦值．
13．（23-24高二上·四川成都·期中）如圖，長方體中，底面是邊長為的正方形，側棱，為棱的中點．
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成的角．
14．（23-24高二上·浙江·期中）如圖，四棱錐中，底面為矩形，，，為的中點．

（1）若，求證：；
（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．
15．（23-24高二上·安徽銅陵·期中）如圖，在直三棱柱中，，為棱的中點，，二面角的大小為．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
16．（23-24高二上·江蘇南通·期中）如圖，在直三棱柱中，側面為正方形，，．E，F分別為AC和的中點，D為棱上的點．
（1）證明：；
（2）當時，求直線BF與平面DEF所成角的正弦值．
三．利用空間向量求二面角
17．（22-23高二上·北京·期中）設分別是平面α，β的法向量，則平面α與平面β的夾角是 ．
18．（23-24高二上·新疆阿克蘇·期中）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，點分別為的中點．

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；
19．（23-24高二上·北京·期中）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點
（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．（22-23高二下·浙江溫州·期中）在三棱錐中，，平面，點是棱上的動點，點是棱上的動點，且.
（1）當時，求證：；
（2）當的長最小時，求二面角的余弦值
21．（23-24高二上·云南玉溪·期中）將沿它的中位線折起，使頂點到達點的位置，且，得到如圖所示的四棱錐，若，，為的中點．
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
22．（23-24高二上·山東淄博·期中）如圖，在正四棱錐中，，，分別是的中點.
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面的夾角.
23．（23-24高二上·廣東東莞·期中）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，四邊形是菱形，，是的中點，平面平面．
（1）若是線段的中點，求證：平面；
（2）若是線段的一點（如圖），且，二面角的余弦值為，求的值．
24．（23-24高二上·黑龍江雞西·期中）如圖，直三棱柱內接于高為的圓柱中，已知，，，為的中點.
（1）求圓柱的表面積；
（2）求二面角的余弦值.
四．利用空間向量求空間距離
25．（22-23高二上·廣東江門·期中）平面的一個法向量，在內，則到的距離為（ ）
A．10 B．3 C． D．
26．（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習）在空間直角坐標系中，已知 ，則點 到直線 的距離是（ ）
A． B． C． D．
27．（23-24高二上·安徽淮北·期中）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點．
（1）求證：平面平面；
（2）求點到面的距離．
28．（23-24高二上·江蘇無錫·期中）在棱長為3的正方體中，為線段靠近的三等分點.為線段靠近的三等分點，則直線到平面的距離為 .
29．（23-24高二上·新疆阿克蘇·期中）如圖，在長方體中，為線段的中點，為線段的中點．
（1）求點到直線的距離；
（2）求點到平面的距離．
30．（23-24高二上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，四面體中，，，，E為的中點．
（1）證明：⊥平面；
（2）設，，，點F在上，若與平面所成角的正弦值為，求點F到平面的距離.
31．（23-24高二上·廣東江門·期中）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，M為BC的中點．
（1）求證：平面；
（2）求點D到平面的距離．
32．（23-24高二上·廣東湛江·期中）如圖，在底面為梯形的四棱錐中，底面，.
（1）證明：平面.
（2）延長至點，使得，求點到平面的距離.
五．利用空間向量求最值范圍
33．（20-21高二·全國·單元測試）如圖，在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上，點P到直線CC1的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
34．（23-24高二上·浙江臺州·期中）在長方體中，，，E，F，G分別是棱，BC，的中點，M是平面ABCD內一動點，若直線與平面EFG平行，則的最小值為（ ）

A． B．9 C． D．
35．（22-23高二上·江西吉水·期末）如圖，在五面體ABCDE中，正三角形ABC的邊長為1，平面，，且．設CE與平面ABE所成的角為，，若，則k的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．
36．（23-24高二上·陜西寶雞·階段練習）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F分別是側棱，上的動點，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為，則線段BE的長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
37．（22-23高二上·廣東深圳·期中）如圖，在四棱錐中，平面，已知是四邊形內部一點（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的最大值是（ ）
A． B． C． D．
38．（23-24高二上·湖北武漢·期中）如圖，在四棱錐中，已知：平面，，，，已知是四邊形內部一點（包括邊界），且二面角的平面角大小為，若點是中點，則四棱錐體積的最大值是（ ）

A． B． C． D．
39．（22-23高二下·江蘇常州·期中）如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與△BCD均為等腰直角三角形，且，，點P在線段AB（不含端點）上運動．若線段CD（不含端點）上存在點Q，使異面直線PQ與AC所成的角為30°，則線段AP的長度的取值范圍為
40．（22-23高二下·江蘇徐州·期中）如圖，圓臺的下底面圓的直徑為，圓臺的上底面圓的直徑為，是弧上一點，且.
（1）求證：；
（2）若點是線段上一動點，求直線與平面所成角的取值范圍.
六．利用空間向量探究動點問題
41．（23-24高二上·北京順義·期中）如圖，在正方體中，點是線段的中點，點是線段上的動點，下列結論中錯誤的是（ ）
A．對于任意的點，均有
B．存在點，使得平面
C．存在點，使得與所成角是
D．不存在點，使得與平面的所成角是
42．（23-24高二上·山東淄博·期中）（多選）如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個動點E，F（E在F的左邊）且，下列說法錯誤的是（ ）
A．當E，F運動時，存在點E，F使得
B．當E，F運動時，存在點E，F使得
C．當E運動時，二面角最小值為
D．當E，F運動時，二面角的余弦值為定值．
43．（23-24高二上·寧夏·期中）在直角梯形中，，，，如圖①把沿翻折，使得平面平面（如圖②）．

（1）求證：；
（2）在線段上是否存在點，使得與平面所成的角為60°？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
44．（23-24高二上·四川綿陽·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，點為的中點.
（1）求證：平面；
（2）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由.
45．（23-24高二上·廣東惠州·期中）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點，是邊長為1的等邊三角形，且.
（1）求直線和平面所成角的正弦值；
（2）在棱上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，并求出的值.
46．（22-23高二下·江蘇南京·期中）如圖，已知在三棱柱中，，，，，平面平面.
（1）求與所成角的余弦值；
（2）在棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求 出的值，若不存在，說明理由．
47．（23-24高二上·福建三明·期中）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.
（1）求證：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值；
（3）棱上是否存在點，它與點到平面的距離相等，若存在，求線段的長；若不存在，說明理由.
48．（23-24高二上·四川雅安·期中）如圖，在正方體中，分別是的中點．
（1）用空間向量法證明：平面；
（2）在直線上是否存在點，使得平面？若存在，請指出的位置；若不存在，請說明理由．

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