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專題02 排列組合綜合應用
一．數字排列問題
1．（22-23高二下·江蘇揚州·期中）用，，，四個數字組成沒有重復數字的三位偶數，共有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】D
【解析】先排個位數，有2種選擇，再排十位和百位，由種選擇，
根據分步乘法計數原理可得共有個不重復的三位偶數，故選：D
2．（22-23高二下·江蘇揚州·期中）從1，2，3，4，5，6六個數字中，選出一個奇數和兩個偶數，組成一個沒有重復數字的三位數，這樣的三位數共有（ ）
A．9個 B．24個 C．36個 D．54個
【答案】D
【解析】從1，2，3，4，5，6六個數字中，選出一個奇數和兩個偶數，共有種選法，
所以組成一個沒有重復數字的三位數，共有個.故選：D.
3．（22-23高二下·江蘇泰州·期中）（多選）從1，2，3，4，6中任取若干數字組成新的數字，下列說法正確的有（ ）
A．若數字可以重復，則可組成的三位數的個數為125
B．若數字可以重復，則可組成的四位數且為偶數的個數為375
C．若數字不能重復，則可組成的三位數的個數為70
D．若數字不能重復，則可組成的四位數且為偶數的個數為72
【答案】ABD
【解析】A選項：若數字可以重復，則可組成的三位數的個數為，故A正確；
B選項：若數字可以重復，則可組成的四位數且為偶數的個數為，故B正確；
C選項：若數字不能重復，則可組成的三位數的個數為，故C錯；
D選項：若數字不能重復，則可組成的四位數且為偶數的個數為，
故D正確.故選：ABD.
4．（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）（多選）下列正確的是（ ）
A．由數字1，2，3，4能夠組成24個沒有重復數字的三位數
B．由數字1，2，3，4，能夠組成16個沒有重復數字的三位偶數
C．由數字1，2，3，4能夠組成64個三位密碼
D．由數字1，2，3，4能夠組成28個比320大的三位數
【答案】ACD
【解析】由數字1，2，3，4能夠組成沒有重復數字的三位數有個，故A正確；
若三個數是偶數，則個位可以是2，4，則共有沒有重復數字有個，故B錯誤；
數字1，2，3，4能夠組成三位密碼有個，故C正確；
若三位數比320大，則百位是4時，有個，
若百位是3，則十位可以是2，3，4時，個位可以是1，2，3，4，共有個，
則比320大的三位數有個，故D正確．故選：ACD．
5．（22-23高二下·吉林延邊·期中）用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數，則下列說法正確的是 .
（1）可以組成個四位數
（2）可以組成個四位偶數
（3）可以組成個能被3整除的四位數
（4）將組成的四位數按從小到大的順序排成一列，則第85個數為2310
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）先從1,2,3,4,5五個數字中選出1個放在千位上，有種選擇，
再從添上0后的剩余5個數中選出4個，放在百位，十位和個位上，有種選擇，
所以可以組成沒有重復數字的四位數個數為, （1）正確；
（2）分兩種情況，當個位為0時，從1,2,3,4,5五個數中，
選擇3個放在千位，百位和十位上，有中選擇，
當個位不為0時先從2，4中選擇1個放在個位上，有種選擇，
再考慮千位，從除去0外的剩余4個數中，選擇1個放在千位，有種選擇，
再從添上0后的4個數中，選擇2個，和剩余的百位和十位進行全排列，有種選擇，故可
組成沒有重復數字的四位偶數個數為, （2）正確；
（3）能被3整除的四位數，數位上的數字之和要能被3整除，
先從0,1,2,3,4,5六個數中，選出四個數，數字之和能被3整除的有
0,1,2,3；0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5和1,2,4,5；
其中0,1,2,3，先考慮千位，從除去0的三個數中，選出1個，有種選擇，
再考慮剩余的3個數，有種選擇，
故可以組成的沒有重復數字的四位數個數為,
同理0,2,3,4；0，1，3，5；0,3,4,5均可組成沒有重復數字的四位數個數有18個，
1,2,4,5，能組成沒有重復數字的四位數個數為,
所以可以組成個能被3整除的四位數，（3）正確；
（4）若組成的沒有重復數字的四位數千位為1,
此時從剩余的5個數中，選擇3個，分別安排在百位，十位和個位，有個，
若組成的沒有重復數字的四位數千位為2,此時剩余的5個數中，選擇3個，
分別安排在百位，十位和個位，有個，，
故將組成的四位數按從小到大的順序排成一列，則第85個四位數千位為2,
若組成的沒有重復數字的四位數千位為2，百位為0，
此時從剩余的4個數字中選擇2個，放在十位和個位，
組成的沒有重復數字的四位數有個，,
同理可得：若組成的沒有重復數字的四位數千位為2，百位為1，
組成的沒有重復數字的四位數有個，,
故將組成的四位數按從小到大的順序排成一列，則第85個數為2301,（4）錯誤．
6．（22-23高二下·江蘇揚州·期中）用0 1 2 3四個數字組成沒有重復數字的自然數.
（1）其中三位數偶數有多少個？
（2）把這些數從小到大排成一個數列，1230是這個數列的第幾項？
【答案】（1）10個；（2）第35項.
【解析】（1）三位數是偶數有個位是0和個位是2兩種情況，
其中個位是0有種；個位是2有種.
所以三位數偶數共有個.
（2）1位自然數有個；2位自然數有個；
3位自然數有個；
4位自然數中小于1230的有1023，1032，1203共3個；
所以1230是此數列的第項.
7．（22-23高二下·山西晉中·期中）從0-9這10個數字取出3個數字，試問：
（1）能組成多少個沒有重復數字的三位數？
（2）能組成多少個沒有重復數字的三位數奇數？
【答案】（1）648；（2）320；
【解析】（1）由題意，第一類，不含0：個；
第二類，個位數字是0：個；
第三類，十位數字是0：個；
根據分類計數原理，能組成個沒有重復數字的三位數；
（2）由題意，第一類：個位數字是1時，百位不能為0，個；
第二類: 個位數字是3時，百位不能為0，個；
第三類: 個位數字是5時，百位不能為0，個；
第四類: 個位數字是7時，百位不能為0，個；
第五類: 個位數字是9時，百位不能為0，個；
根據分類計數原理，能組成個沒有重復數字的三位數奇數.
8．（22-23高二下·江蘇徐州·期中）用0，1，2，3，4這五個數字組成沒有重復數字的五位數
（1）在組成的五位數中，所有偶數有多少個？
（2）在組成的五位數中，大于31000的數有多少個？
（3）在組成的五位數中，數字2和數字4不相鄰的數有多少個？
【答案】（1）60；（2）42；（3）60
【解析】（1）根據題意，當末位是0共有個，當末位是2或4共有個,
所以共有偶數為個.
（2）由題意，萬位是4共有個，萬位為3千位為2或4共有個，
萬位為3千位為1共有個，
所以大于31000的數共有個.
（3）先排0,1,3,第一種：0排在三個數的第一位，共有個；
第二種0不排在三個數的第一位，共有個
所以數字2和4不相鄰的數共有個.
二．隊列排序問題
9．（23-24高三上·黑龍江雞西·期末）2023年杭州亞運會期間，甲 乙 丙3名運動員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰 丙不排在兩端，則不同的排法種數有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
【答案】B
【解析】把甲乙捆綁成一個元素，則題設中的7個元素變為6個元素，
先排除去丙的5個元素，共有種排法，
再在中間的4個空隙中，插入丙，共有種插法，
所以甲與乙相鄰 丙不排在兩端，則不同的排法種數有種.故選：B.
10．（22-23高二下·江蘇揚州·期中）在學校元旦文藝晚會上，有三對教師夫婦參加表演節目，要求每人只能參加一個單項表演節目.按節目組節目編排要求，男教師的節目不能相鄰，且夫妻教師的節目也不能相鄰，則該6名教師表演的節目的不同編排順序共有（ ）種.
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
【答案】B
【解析】把6個節目按照先后出場順序依次記為編號1，2，3，4，5，6，
則3名男教師只有共4種位置安排，
由于夫妻教師的節目又不能相鄰，可得以上4種安排的每種安排里，3名女教師的安排均是1種，
故該6名教師的節目不同的編排順序共有．故選：B．
11．（22-23高二下·浙江嘉興·期中）（多選）要從候選的位男同學、位女同學中選出位同學站成一排主持“慶祝‘五四’青年節”文藝匯演，要求至少要有位男同學，若兩位男生均被選上，則這兩位男同學站位不能相鄰，那么（ ）
A．若位男同學同時被選中，則不同的站位方式有種
B．若位男同學中恰有一位被選中，則不同的站位方式有種
C．若女同學乙不能站兩邊，則不同的站位方式有種
D．若男同學甲必須被選中，則不同的站位方式有種
【答案】AD
【解析】對于A選項，若位男同學同時被選中，且這兩位男同學站位不能相鄰，
只需從位女同學中選出位女同學，先排女同學的位置，
然后將位男同學插入位女同學所形成的個空位中的個空位，
所以，不同的站位方式種數為種，A對；
對于B選項，若位男同學中恰有一位被選中，則只需從位女同學中選出位女同學，
然后將選出的位同學排序即可，則不同的站位方式種數為種，B錯；
對于C選項，若只有一位男同學被選中，女同學乙未被選中，
則不同的站位方式種數為種，
若只有一位男同學被選中，女同學乙被選中，則女同學乙只能站中間，
不同的站位方式種數為種，
若兩位男同學都被選中，女同學乙未被選中，則需從除乙以外的位女同學中選擇位，
然后將位男同學插入位女同學所形成的個空位中的個空位，
則不同的站位方式種數為種，
若兩位男同學都被選中，女同學乙被選中，則女同學乙只能站中間，則還需選擇位女同學，
則不同的站位方式種數為種，
綜上所述，不同的站位方式種數為種，C錯；
對于D選項，若男同學甲必須被選中，另一位男同學未被選中，
則只需從位女同學中選出位女同學，則不同的站位方式種數為種，
若兩位男同學都被選中，由A選項可知，不同的站位方式種數為種，
綜上所述，不同的站位方式種數為種，D對.故選：AD.
12．（23-24高二上·湖北武漢·期中）（多選）傳承紅色文化，宣揚愛國精神，東湖中學國旗隊在高一年級招收新成員，現有小明、小紅、小華等6名同學新入方陣參加隊列訓練，則下列說法正確的是（ ）
A．6名同學站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則不同的站法種數為120種
B．6名同學站成一排，小明、小紅兩人相鄰，則不同的排法種數為240種
C．6名同學站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，則不同的排法種數為480種
D．6名同學平均分成三組到進行三種不同的隊列訓練（每種訓練必須有人參加），則有540種不同的安排方法
【答案】ABC
【解析】A：可用倍縮法，6名同學站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，
則有種，故A正確；
B：小明、小紅兩人相鄰共有種排法，
將兩人插空到其余四人全排列中共有種，故B正確；
C：6人站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，先將除小明、小紅外的4人進行全排列，
有種排法，
再將小明、小紅兩人插空，有種排法，則共有種不同的排法，故C正確；
D：6名同學平均分成三組到進行三種不同的隊列訓練（每種訓練必須有人參加），
則有種，故D錯誤；故選：ABC
13．（22-23高二下·江蘇南通·期中）（多選）在樹人中學舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎.現將獲得一等獎的學生排成一排合影，則（ ）
A．3名男生排在一起，有6種不同排法 B．2名女生排在一起，有48種不同排法
C．3名男生均不相鄰，有12種不同排法 D．女生不站在兩端，有108種不同排法
【答案】BC
【解析】由題意得：對于選項A：3名男生排在一起，
先讓3個男生全排后再作為一個整體和2個女生做一個全排，共有種，A錯誤；
對于選項B：2名女生排在一起，先讓2個女生全排后再作為一個整體和3個男生做一個全排，
共有種，B正確；
對于選項C：3名男生均不相鄰，先讓3個男生全排后，中間留出兩個空位讓女生進行插空，
共有種，C正確；
對于選項D：女生不站在兩端，先從三個男生種選出兩個進行全排后放在兩端，共有種，
然后將剩下的3人進行全排后放中間，共有種，D錯誤.故選：BC
14．（23-24高二上·重慶北碚·期中）五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、角、羽三音階不全相鄰，則可排成不同的音序種數是 ．
【答案】84
【解析】先考慮五個音階任意排列，有種情況，
再減去宮、角、羽三音階都相鄰的情況，
把宮、角、羽三音階看做一個一個整體，則一共變成3個元素，有種情況，
而宮、角、羽三音階又可以任意排列，有種情況，
所以一共的音序有種.
15．（22-23高二下·河南·期中）有4名男生，4名女生，全排成一行，求下列情形的排法種數．
（1）甲、乙兩人必須排在兩端；
（2）男女相間．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）先排甲、乙，有種排法，再排其余6人，所以共有（種）排法.
（2）先排4名男生有種方法，男生之間包括兩端共有5個空，
由于要男女相間，故再將4名女生插空，空出男生最左側或最右側的位置，
有種方法，故共有（種）排法.
16．（23-24高二上·陜西漢中·階段練習）電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴酷環境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰第一階段戰役的勝利，著名的“松骨峰戰斗”在該電影中就有場景.現有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結果）
（1）女生必須坐在一起的坐法有多少種？
（2）女生互不相鄰的坐法有多少種？
（3）甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？
【答案】（1）576；（2）144；（3）960
【解析】（1）先將4名女生排在一起，有種排法，
將排好的女生視為一個整體，再與3名男生進行排列，共有種排法，
由分步乘法計數原理，共有種排法；
（2）先將3名男生排好，共有種排法，
在這3名男生中間以及兩邊的4個空位中插入4名女生，共有種排法，
再由分步乘法計數原理，共有種排法；
（3）先將甲乙丙以外的其余4人排好，共有種排法，
由于甲乙相鄰，則有種排法，
最后將排好的甲乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空隙中，共有種排法，
由分步計數原理，共有種排法.
三．幾何涂色問題
17．（22-23高二下·江蘇南京·期中）如圖，用4種不同的顏色給圖中四塊區域涂色，若相鄰的區域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】區域同色的方法數為
區域不同色的方法數為，
總的方法數為．故選：C．
18．（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．360 C．480 D．600
【答案】C
【解析】將區域標號，如下圖所示：
因為②③④兩兩相鄰，依次用不同的顏色涂色，則有種不同的涂色方法，
若①與④的顏色相同，則有1種不同的涂色方法；
若①與④的顏色不相同，則有3種不同的涂色方法；
所以共有種不同的涂色方法.故選：C.
19．（22-23高二下·河北唐山·期中）如圖，某城區的一個街心花園共有五個區域，中心區域⑤是代表城市特點的標志性塑像，要求在周圍①②③④四個區域內種植鮮花，現有四個品種的鮮花供選擇，要求每個區域只種一個品種且相鄰區域所種品種不同，則不同的種植方法共有（ ）

A．48種 B．60種 C．84種 D．108種
【答案】C
【解析】由題意可知：四個區域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分以下三類：
當種植的鮮花為兩種時：①和③相同，②和④相同，共有種種植方法；
當種植鮮花為三種時：①和③相同或②和④相同，此時共有種種植方法；
當種植鮮花為四種時：四個區域各種一種，此時共有種種植方法，
綜上：則不同的種植方法的種數為種，故選：C.
20．（23-24高二·遼寧沈陽·月考）如圖所示，將四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法種數為（ ）

A．120 B．96 C．72 D．48
【答案】C
【解析】由題意知，與任意一點均不同色.
只用3種顏色，即同色，且同色，此時不同染色方法的種數為；
用4種顏色，此時可能同色，而不同色或同色，而不同色.
若同色，而不同色，此時不同染色方法的種數為；
若同色，而不同色，此時不同染色方法的種數為.
根據分類加法計數原理可得，不同染色方法的種數為.故選：C.
21．（22-23高二下·山東菏澤·期中）如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（ ）
A．360種 B．264種 C．192種 D．144種
【答案】B
【解析】如圖，
若4種顏色都用到，先給A、B、C三點涂色，有種涂法，
再給D、E、F涂色，因為D、E、F中必有一點用到第4種顏色，有種涂法，
另外兩點用到A、B、C三點所用顏色中的兩種，有種涂法，
由乘法原理得種．
若只用3種顏色，先給A、B、C三點涂色，有種涂法，
再給D、E、F涂色，因為D點與A點不同色，有種涂法，
若D點與B點同色，則F與C、D不同色，有種涂法，此時E有種涂法；
若D點與C點同色，則E與B、D不同色，有種涂法，此時F有種涂法.
由乘法原理得種．
所以，不同的涂色方法共有種．故選：B
22．（22-23高二下·河北邯鄲·期中）某社區計劃在該小區內如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區域布置的花卉種類不同，且每個區域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有 .

【答案】540
【解析】如圖：給5塊不同的區域標上字母，
可先在A中布置花卉，有5種不同的布置方案，
再在B中布置花卉，有4種不同的布置方案，
再在D中布置花卉，有3種不同的布置方案，
若區域B，E布置同種花卉，則C有3種不同的布置方案，
若區域B，E布置不同的花卉，則E有2種不同的布置方案，C有3種不同的布置方案，
故不同的布置方案有種.
23．（22-23高二下·江蘇徐州·期中）如圖是一個由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形，現在用四種顏色給這四個直角三角形和一個小正方形區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方法有 種.
【答案】
【解析】如圖所示，把5個區域，分為①②③④⑤，
當①③或②④中，恰有一個處同色時，此時用4中顏色涂色，共有種涂法；
當①與③同色，且②與④同色時，此時用你3中顏色涂色，共有種涂法，
由分類計數原理，可得共有中不同的涂色方法.
24．（2024·全國·模擬預測）中國古建筑聞名于世，源遠流長.如圖1所示的五脊殿是中國傳統建筑中的一種屋頂形式，該屋頂的結構示意圖可近似地看作如圖2所示的五面體.現裝修工人準備用四種不同形狀的風鈴裝飾五脊殿的六個頂點，要求E，F處用同一種形狀的風鈴，其它每條棱的兩個頂點掛不同形狀的風鈴，則不同的裝飾方案共有 種.
【答案】72
【解析】①使用3種形狀風鈴，只能同，同，同.此時共有：種掛法，
②使用4種形狀風鈴，此時有兩種情況；
1）同，不同：直接將4種風鈴掛到四個點上，全排列有：種，
2）不同，同：此時與1）相同，共有種，
綜上，共有24+24+24=72種.
四．分組分配問題
25．（22-23高二下·貴州黔西·期中）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等6名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數為（ ）
A．24 B．20 C．18 D．12
【答案】B
【解析】小明和小李必須安裝不同的吉祥物，
則有種情況，根據題設條件，剩余4人分兩組，有兩種情況：
一組1人，一組3人，有種情況；或每組各2人，有種情況，
然后分配到參與兩個吉祥物的安裝，有，故選：B．
26．（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）2023年3月5號是毛澤東主席提出“向雷鋒同志學習”60周年紀念日，某志愿者服務隊在該日安排4位志愿者到兩所敬老院開展志愿服務活動，要求每所敬老院至少安排1人，每個志愿者都要參加活動，則不同的分配方法數是（ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
【答案】C
【解析】將4名志愿者分配到兩所敬老院，則由以下兩種分配方案：
①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，則有種，
②兩所敬老院各安排兩名志愿者，則有種，
故共有種方案，故選：C
27．（22-23高二下·陜西榆林·期中）中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設空間站要安排甲、乙等名航天員開展實驗，三個實驗艙每個至少一人至多三人，則不同的安排方法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】A
【解析】6名航天員安排三艙，三艙中每個艙至少一人至多三人，
可分兩種情況考慮：
第一種：分人數為的三組，共有種；
第二種：分人數為的三組，共有種；
所以不同的安排方法共有種，故選：A.
28．（22-23高二下·河南許昌·期中）為了提高命題質量，命題組指派5名教師對數學卷的選擇題，填空題和解答題這3種題進行改編，則每種題型至少至少指派1名教師的不同分派方法種數為（ ）
A．144 B．120 C．150 D．180
【答案】C
【解析】5名老師分為的情況時：共有；
5名老師分為的情況時：共有，
故共有種不同的分派方法.故選：C.
29．（22-23高二下·河南·期中）將5名實習教師分配到某校高二年級的甲、乙、丙3個班級實習，要求每個班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有（　　）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】D
【解析】根據題意，去甲班實習的教師可以是1人或2人.
有1人去甲班時，因為不去甲班，可從另外4人中選1人去甲班，有種選法，
再選2人去乙班，有種選法，剩下2人去丙班，有種方法，
這是分3步完成的，故有種方案；
有2人去甲班時，因為不去甲班，可從另外4人中選2人去甲班，有種選法，
再剩余3人分配到2個班的分法有種方法，
所以這類辦法有種.
故不同的分配方案有:.故選：D
30．（23-24高二上·江西南昌·期中）現有4名同學報名參加3個不同的課后服務小組，每人只能報一個小組，若每個小組至少要有1人參加，則共有 種不同的安排方法.
【答案】
【解析】第一步，將4名同學隨機分成三組，每組至少一人的分法為，
第二步，將三組全排列有，所以共有種不同的安排方法.
31．（22-23高二下·吉林延邊·期中）有5名學生志愿者到3個小區參加疫情防控常態化宣傳活動，每名學生只去1個小區，每個小區至少安排1名學生，則不同的安排方法為 .
【答案】150
【解析】若分組為，則方法數有;
若分組為，則方法數有；
所以不同的安排方法為種.
32．（23-24高二下·湖南長沙·開學考試）第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚“奉獻，友愛，互助，進步”的志愿服務精神，5名大學生將前往3個場館開展志愿服務工作.若要求每個場館都要有志愿者，則當甲不去場館時，場館僅有2名志愿者的情況有 種.
【答案】42
【解析】甲不去場館，分兩種情況討論，
情形一，甲去場館，場館有兩名志愿者共有種；
情形二，甲去場館，場館場館均有兩人共有種，
場館場館均有兩人共有種，所以甲不去場館時，
場館僅有2名志愿者的情況共有.
五．定序問題
33．（22-23高二下·北京東城·期中）一次演出，原計劃要排個節目，因臨時有變化，擬再添加個小品節目，若保持原有個節目的相對順序不變，則這個節目不同的排列方法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】C
【解析】當兩個節目放在相鄰的位置，有種結果，
當兩個節目不相鄰，從原來形成的五個空中選兩個空排列，共有種結果，
根據分類計數原理知共有種結果，故選：C．
34．（22-23高二下·山東煙臺·期中）某次數學競賽獲獎的6名同學上臺領獎，若甲、乙、丙三人上臺的先后順序已確定，則不同的上臺順序種數為（ ）．
A．20 B．120 C．360 D．720
【答案】B
【解析】因為甲、乙、丙三人上臺的先后順序已確定，
所以不同的上臺順序種數為.故選：B.
35．（23-24高三上·陜西漢中·期中）“仁義禮智信”為儒家“五常”由孔子提出“仁、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，董仲舒擴充為“仁、義、禮、智、信”.將“仁義禮智信”排成一排，其中“仁、義、禮”保持順序不變的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】選將“仁、義、禮”放好保持順序不變，將“智”插空放入有4種方法，
將“信”插空放入有5種方法，共有20種方法，
將“仁義禮智信”排成一排共有種方法，
因此將“仁義禮智信”排成一排，其中“仁、義、禮”保持順序不變的概率為.故選：D
36．（22-23高二下·北京·期末）某4位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，如果保持原來4位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數為（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
【答案】D
【解析】6位同學排成一排準備照相時，共有種排法，
如果保持原來4位同學的相對順序不變，則有種排法，故A，B，C錯誤.故選：D.
37．（22-23高二下·江蘇鹽城·階段練習）書架上已有《詩經》《西游記》《菜根譚》《吶喊》《文化苦旅》五本書，現欲將《圍城》《駱駝祥子》《四世同堂》三本書放回到書架上，要求不打亂原有五本書的順序，且《駱駝祥子》和《四世同堂》必須相鄰，則不同的放法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】D
【解析】分以下兩種情況討論：
（1）《圍城》與《駱駝祥子》《四世同堂》這兩本書不相鄰，
將《駱駝祥子》和《四世同堂》捆綁，形成一個“大元素”，
然后將“大元素”與《圍城》插入由《詩經》《西游記》《菜根譚》《吶喊》《文化苦旅》
五本書所形成的個空位中的個，
由捆綁法結合插空法可知，不同的放法種數為種；
（2）《圍城》與《駱駝祥子》相鄰且《四世同堂》與《圍城》或《駱駝祥子》相鄰，
將《駱駝祥子》和《四世同堂》捆綁，
然后《四世同堂》放在《駱駝祥子》或《四世同堂》旁邊（相鄰），
然后將這三本書形成的“大元素”插入五本書所形成的個空位中的個，
此時，不同的放法種數為.
由分類加法計數原理可知，不同的放法種數為種.故選：D.
38．（22-23高二下·北京·期中）2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的順序一定，則有 種不同的排法．
【答案】360
【解析】2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的順序一定，∴共有種不同排法，
39．（22-23高二下·山西運城·期中）某中學為迎接新年到來，籌備“唱響時代強音，放飛青春夢想”為主題的元旦文藝晚會.晚會組委會計劃在原定排好的6個學生節目中增加2個教師節目，若保持原來6個節目的出場順序不變，則有 種不同排法.（用數字作答）
【答案】56
【解析】6個學生節目形成7個空，
①當2個教師節目相鄰時利用插空法則有：種情況；
②當2個教師節目不相鄰時有：種情況，
所以共有種情況.
40．（22-23高二下·湖北武漢·期中）某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數學、物理、體育、英語共6節課
（1）如果數學必須比語文先上，則不同的排法有多少種？
（2）原定的6節課已排好，學校臨時通知要增加生物化學地理3節課，若將這3節課插入原課表中且原來的6節課相對順序不變，則有多少種不同的排法？
【答案】（1）種；（2）種
【解析】（1）如果數學必須比語文先上，則不同的排法有種.
（2）若將這3節課插入原課表中且原來的6節課相對順序不變，則有種.
六．標號排位問題
41．（22-23高二下·湖北荊門·期末）編號為1，2，3，4，5的五位同學分別就坐于編號為1，2，3，4，5的五個座位上，每位座位恰好坐一位同學，則恰有兩位同學的編號和座位編號一致的坐法種數為（ ）
A．20 B．45 C．40 D．90
【答案】A
【解析】由題意人中選人出來，他們的兩編號一致，剩下人編號不一致，則有兩種坐法，
所以恰有兩位同學的編號和座位編號一致的坐法種數為．故選：A.
42．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）將編號為1，2，3，4，5的小球放入編號為1，2，3，4，5的小盒中，每個小盒放一個小球，要使得恰有2個小球與所在盒子編號相同，則有（ ）種不同的放球方法，
A．60 B．40 C．30 D．20
【答案】D
【解析】如果有2個小球與所在的盒子的編號相同，
第一步：先從5個小球里選2個編號與所在的盒子相同，有種選法；
第二步：不妨設選的是1、2號球，則再對后面的3，4，5進行排列，
且3個小球的編號與盒子的編號都不相同，則有兩種，
所以有2個小球與所在的盒子的編號相同，共有種方法，故D正確.故選：D.
43．（22-23高二下·河北石家莊·期末）將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據題意，分以下兩步進行：
（1）在個小球中任選個放入相同編號的盒子里，有種選法，
假設選出的個小球的編號為、；
（2）剩下的個小球要放入與其編號不一致的盒子里，
對于編號為的小球，有個盒子可以放入，假設放入的是號盒子.
則對于編號為的小球，有個盒子可以放入，
對于編號為、的小球，只有種放法.
綜上所述，由分步乘法計數原理可知，不同的放法種數為種.故選：B.
44．（22-23高二上·陜西榆林·階段練習）編號為1，2，3的三位學生隨意坐入編號為1，2，3的三個座位，每個座位坐一位學生，則三位學生所坐的座位號與學生的編號恰好都不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】編號為1，2，3的三位學生隨意坐入編號為1，2，3的三個座位時，
1號學生有3種坐法，2號學生有2種坐法，3號學生只有1種坐法，
所以一共有6種坐法，其中座位號與學生的編號恰好都不同的坐法只有2種，
所以所求的概率.故選：B.
45．（22-23高二下·福建福州·期中）將5個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（　　）
A．10種 B．25種 C．36種 D．52種
【答案】B
【解析】根據題意，每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，
分析可得，1號盒子至少放一個，最多放3個小球，
分情況討論：
1號盒子中放1個球，其余4個放入2號盒子，有種方法；
1號盒子中放2個球，其余3個放入2號盒子，有種方法；
1號盒子中放3個球，其余2個放入2號盒子，有種方法；
則不同的放球方法有種，故選：B．
46．（22-23高二下·福建泉州·期中）設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現將這五個球放入這五個盒子內，要求每個盒子內放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法的種數為 .
【答案】45
【解析】先選出1個小球，放到對應序號的盒子里，有種情況，
例如：5號球放在5號盒子里，其余四個球的放法為，，，，
，，，，共9種，
故將這五個球放入這五個盒子內，要求每個盒子內放一個球，
并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法種數為種.
47．（22-23高二下·天津武清·期中）編號為的四位同學，分別就座于編號為的四個座位上．
（1）每位座位恰好坐一位同學，求恰有兩位向學編號和座位編號一致的坐法種數？
（2）每位座位恰好坐一位同學，求每位同學編號和座位編號都不一致的坐法種數？
（3）每位座位恰好坐一位同學，求編號的兩位同學必須相鄰坐在一起的坐法種數？
【答案】（1）6；（2）9；（3）12
【解析】（1）由題意從4人中選出2人，他們的編號和座位編號一致，
其余兩人的不一致，只有一種坐法，故坐法種數為；
（2）不妨第一位同學先選座位，有3種選法，
如果與他選的座位編號相同編號的同學選和第一位同學編號相同的座位，
則其余兩人只有1種坐法；
如果與他選的座位編號相同編號的同學選其余兩編號的座位，有2種選法，
其余2人只有1種坐法，故共有的坐法種數為；
（3）編號的兩位同學必須相鄰，可以坐編號為或或的座位，兩人內部全排列，
其余兩人在余下的位置上隨便選座位，有種坐法，
故共有的坐法種數為.
48．（22-23高二下·江蘇常州·月考）設有編號為1、2、3、4、5的5個球和編號為1、2、3、4、5的5個盒子，現將這5個球放入5個盒子內．
（1）只有1個盒子空著，共有多少種投放方法？
（2）沒有1個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？
（3）每個盒子內投放1球，并且至少有2個球的編號與盒子編號相同，有多少種投放方法？
【答案】（1）1200種；（2）119種；（3）31種
【解析】（1）首先選定兩個不同的球，作為一組，選法有種，
再將組排到個盒子，有種投放法．共計種方法；
（2）沒有一個盒子空著，相當于個元素排列在個位置上，有種，
而球的編號與盒子編號全相同只有1種，
所以沒有一個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同的投法有種．
（3）滿足的情形：第一類，五個球的編號與盒子編號全同的放法：1種；
第二類，四個球的編號與盒子編號相同的放法：0種；
第三類，三個球的編號與盒子編號相同的放法：種；
第四類，兩個球的編號與盒子編號相同的放法：種．
所以滿足條件的放法數為：種．專題02 排列組合綜合應用
一．數字排列問題
1．（22-23高二下·江蘇揚州·期中）用，，，四個數字組成沒有重復數字的三位偶數，共有（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
2．（22-23高二下·江蘇揚州·期中）從1，2，3，4，5，6六個數字中，選出一個奇數和兩個偶數，組成一個沒有重復數字的三位數，這樣的三位數共有（ ）
A．9個 B．24個 C．36個 D．54個
3．（22-23高二下·江蘇泰州·期中）（多選）從1，2，3，4，6中任取若干數字組成新的數字，下列說法正確的有（ ）
A．若數字可以重復，則可組成的三位數的個數為125
B．若數字可以重復，則可組成的四位數且為偶數的個數為375
C．若數字不能重復，則可組成的三位數的個數為70
D．若數字不能重復，則可組成的四位數且為偶數的個數為72
4．（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）（多選）下列正確的是（ ）
A．由數字1，2，3，4能夠組成24個沒有重復數字的三位數
B．由數字1，2，3，4，能夠組成16個沒有重復數字的三位偶數
C．由數字1，2，3，4能夠組成64個三位密碼
D．由數字1，2，3，4能夠組成28個比320大的三位數
5．（22-23高二下·吉林延邊·期中）用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數，則下列說法正確的是 .
（1）可以組成個四位數
（2）可以組成個四位偶數
（3）可以組成個能被3整除的四位數
（4）將組成的四位數按從小到大的順序排成一列，則第85個數為2310
6．（22-23高二下·江蘇揚州·期中）用0 1 2 3四個數字組成沒有重復數字的自然數.
（1）其中三位數偶數有多少個？
（2）把這些數從小到大排成一個數列，1230是這個數列的第幾項？
7．（22-23高二下·山西晉中·期中）從0-9這10個數字取出3個數字，試問：
（1）能組成多少個沒有重復數字的三位數？
（2）能組成多少個沒有重復數字的三位數奇數？
8．（22-23高二下·江蘇徐州·期中）用0，1，2，3，4這五個數字組成沒有重復數字的五位數
（1）在組成的五位數中，所有偶數有多少個？
（2）在組成的五位數中，大于31000的數有多少個？
（3）在組成的五位數中，數字2和數字4不相鄰的數有多少個？
二．隊列排序問題
9．（23-24高三上·黑龍江雞西·期末）2023年杭州亞運會期間，甲 乙 丙3名運動員與4名志愿者站成一排拍照留念，若甲與乙相鄰 丙不排在兩端，則不同的排法種數有（ ）
A．720 B．960 C．1120 D．1440
10．（22-23高二下·江蘇揚州·期中）在學校元旦文藝晚會上，有三對教師夫婦參加表演節目，要求每人只能參加一個單項表演節目.按節目組節目編排要求，男教師的節目不能相鄰，且夫妻教師的節目也不能相鄰，則該6名教師表演的節目的不同編排順序共有（ ）種.
A．12種 B．24種 C．36種 D．48種
11．（22-23高二下·浙江嘉興·期中）（多選）要從候選的位男同學、位女同學中選出位同學站成一排主持“慶祝‘五四’青年節”文藝匯演，要求至少要有位男同學，若兩位男生均被選上，則這兩位男同學站位不能相鄰，那么（ ）
A．若位男同學同時被選中，則不同的站位方式有種
B．若位男同學中恰有一位被選中，則不同的站位方式有種
C．若女同學乙不能站兩邊，則不同的站位方式有種
D．若男同學甲必須被選中，則不同的站位方式有種
12．（23-24高二上·湖北武漢·期中）（多選）傳承紅色文化，宣揚愛國精神，東湖中學國旗隊在高一年級招收新成員，現有小明、小紅、小華等6名同學新入方陣參加隊列訓練，則下列說法正確的是（ ）
A．6名同學站成一排，小明、小紅、小華必須按從左到右的順序站位，則不同的站法種數為120種
B．6名同學站成一排，小明、小紅兩人相鄰，則不同的排法種數為240種
C．6名同學站成一排，小明、小紅兩人不相鄰，則不同的排法種數為480種
D．6名同學平均分成三組到進行三種不同的隊列訓練（每種訓練必須有人參加），則有540種不同的安排方法
13．（22-23高二下·江蘇南通·期中）（多選）在樹人中學舉行的演講比賽中，有3名男生，2名女生獲得一等獎.現將獲得一等獎的學生排成一排合影，則（ ）
A．3名男生排在一起，有6種不同排法 B．2名女生排在一起，有48種不同排法
C．3名男生均不相鄰，有12種不同排法 D．女生不站在兩端，有108種不同排法
14．（23-24高二上·重慶北碚·期中）五聲音階是中國古樂基本音階，故有成語“五音不全”．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這五個音階全用上，排成一個五個音階的音序，且要求宮、角、羽三音階不全相鄰，則可排成不同的音序種數是 ．
15．（22-23高二下·河南·期中）有4名男生，4名女生，全排成一行，求下列情形的排法種數．
（1）甲、乙兩人必須排在兩端；
（2）男女相間．
16．（23-24高二上·陜西漢中·階段練習）電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴酷環境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰第一階段戰役的勝利，著名的“松骨峰戰斗”在該電影中就有場景.現有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結果）
（1）女生必須坐在一起的坐法有多少種？
（2）女生互不相鄰的坐法有多少種？
（3）甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？
三．幾何涂色問題
17．（22-23高二下·江蘇南京·期中）如圖，用4種不同的顏色給圖中四塊區域涂色，若相鄰的區域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（ ）
A． B． C． D．
18．（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（ ）

A．240 B．360 C．480 D．600
19．（22-23高二下·河北唐山·期中）如圖，某城區的一個街心花園共有五個區域，中心區域⑤是代表城市特點的標志性塑像，要求在周圍①②③④四個區域內種植鮮花，現有四個品種的鮮花供選擇，要求每個區域只種一個品種且相鄰區域所種品種不同，則不同的種植方法共有（ ）

A．48種 B．60種 C．84種 D．108種
20．（23-24高二·遼寧沈陽·月考）如圖所示，將四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法種數為（ ）

A．120 B．96 C．72 D．48
21．（22-23高二下·山東菏澤·期中）如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（ ）
A．360種 B．264種 C．192種 D．144種
22．（22-23高二下·河北邯鄲·期中）某社區計劃在該小區內如圖所示的一塊空地布置花卉，要求相鄰區域布置的花卉種類不同，且每個區域只布置一種花卉，若有5種不同的花卉可供選擇，則不同的布置方案有 .

23．（22-23高二下·江蘇徐州·期中）如圖是一個由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形，現在用四種顏色給這四個直角三角形和一個小正方形區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方法有 種.
24．（2024·全國·模擬預測）中國古建筑聞名于世，源遠流長.如圖1所示的五脊殿是中國傳統建筑中的一種屋頂形式，該屋頂的結構示意圖可近似地看作如圖2所示的五面體.現裝修工人準備用四種不同形狀的風鈴裝飾五脊殿的六個頂點，要求E，F處用同一種形狀的風鈴，其它每條棱的兩個頂點掛不同形狀的風鈴，則不同的裝飾方案共有 種.
四．分組分配問題
25．（22-23高二下·貴州黔西·期中）北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結合．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，某學校決定派小明和小李等6名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，每人參與且只參與一個吉祥物的安裝，每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，若小明和小李必須安裝不同的吉祥物，則不同的分配方案種數為（ ）
A．24 B．20 C．18 D．12
26．（22-23高二下·江蘇宿遷·期中）2023年3月5號是毛澤東主席提出“向雷鋒同志學習”60周年紀念日，某志愿者服務隊在該日安排4位志愿者到兩所敬老院開展志愿服務活動，要求每所敬老院至少安排1人，每個志愿者都要參加活動，則不同的分配方法數是（ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
27．（22-23高二下·陜西榆林·期中）中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設空間站要安排甲、乙等名航天員開展實驗，三個實驗艙每個至少一人至多三人，則不同的安排方法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
28．（22-23高二下·河南許昌·期中）為了提高命題質量，命題組指派5名教師對數學卷的選擇題，填空題和解答題這3種題進行改編，則每種題型至少至少指派1名教師的不同分派方法種數為（ ）
A．144 B．120 C．150 D．180
29．（22-23高二下·河南·期中）將5名實習教師分配到某校高二年級的甲、乙、丙3個班級實習，要求每個班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有（　　）
A．種 B．種 C．種 D．種
30．（23-24高二上·江西南昌·期中）現有4名同學報名參加3個不同的課后服務小組，每人只能報一個小組，若每個小組至少要有1人參加，則共有 種不同的安排方法.
31．（22-23高二下·吉林延邊·期中）有5名學生志愿者到3個小區參加疫情防控常態化宣傳活動，每名學生只去1個小區，每個小區至少安排1名學生，則不同的安排方法為 .
32．（23-24高二下·湖南長沙·開學考試）第19屆亞運會在杭州舉行，為了弘揚“奉獻，友愛，互助，進步”的志愿服務精神，5名大學生將前往3個場館開展志愿服務工作.若要求每個場館都要有志愿者，則當甲不去場館時，場館僅有2名志愿者的情況有 種.
五．定序問題
33．（22-23高二下·北京東城·期中）一次演出，原計劃要排個節目，因臨時有變化，擬再添加個小品節目，若保持原有個節目的相對順序不變，則這個節目不同的排列方法有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
34．（22-23高二下·山東煙臺·期中）某次數學競賽獲獎的6名同學上臺領獎，若甲、乙、丙三人上臺的先后順序已確定，則不同的上臺順序種數為（ ）．
A．20 B．120 C．360 D．720
35．（23-24高三上·陜西漢中·期中）“仁義禮智信”為儒家“五常”由孔子提出“仁、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，董仲舒擴充為“仁、義、禮、智、信”.將“仁義禮智信”排成一排，其中“仁、義、禮”保持順序不變的概率為（ ）
A． B． C． D．
36．（22-23高二下·北京·期末）某4位同學排成一排準備照相時，又來了2位同學要加入，如果保持原來4位同學的相對順序不變，則不同的加入方法種數為（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
37．（22-23高二下·江蘇鹽城·階段練習）書架上已有《詩經》《西游記》《菜根譚》《吶喊》《文化苦旅》五本書，現欲將《圍城》《駱駝祥子》《四世同堂》三本書放回到書架上，要求不打亂原有五本書的順序，且《駱駝祥子》和《四世同堂》必須相鄰，則不同的放法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
38．（22-23高二下·北京·期中）2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的順序一定，則有 種不同的排法．
39．（22-23高二下·山西運城·期中）某中學為迎接新年到來，籌備“唱響時代強音，放飛青春夢想”為主題的元旦文藝晚會.晚會組委會計劃在原定排好的6個學生節目中增加2個教師節目，若保持原來6個節目的出場順序不變，則有 種不同排法.（用數字作答）
40．（22-23高二下·湖北武漢·期中）某班級周六的課程表要排入歷史、語文、數學、物理、體育、英語共6節課
（1）如果數學必須比語文先上，則不同的排法有多少種？
（2）原定的6節課已排好，學校臨時通知要增加生物化學地理3節課，若將這3節課插入原課表中且原來的6節課相對順序不變，則有多少種不同的排法？
六．標號排位問題
41．（22-23高二下·湖北荊門·期末）編號為1，2，3，4，5的五位同學分別就坐于編號為1，2，3，4，5的五個座位上，每位座位恰好坐一位同學，則恰有兩位同學的編號和座位編號一致的坐法種數為（ ）
A．20 B．45 C．40 D．90
42．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）將編號為1，2，3，4，5的小球放入編號為1，2，3，4，5的小盒中，每個小盒放一個小球，要使得恰有2個小球與所在盒子編號相同，則有（ ）種不同的放球方法，
A．60 B．40 C．30 D．20
43．（22-23高二下·河北石家莊·期末）將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數為（ ）
A． B． C． D．
44．（22-23高二上·陜西榆林·階段練習）編號為1，2，3的三位學生隨意坐入編號為1，2，3的三個座位，每個座位坐一位學生，則三位學生所坐的座位號與學生的編號恰好都不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
45．（22-23高二下·福建福州·期中）將5個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（　　）
A．10種 B．25種 C．36種 D．52種
46．（22-23高二下·福建泉州·期中）設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現將這五個球放入這五個盒子內，要求每個盒子內放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，則這樣的投放方法的種數為 .
47．（22-23高二下·天津武清·期中）編號為的四位同學，分別就座于編號為的四個座位上．
（1）每位座位恰好坐一位同學，求恰有兩位向學編號和座位編號一致的坐法種數？
（2）每位座位恰好坐一位同學，求每位同學編號和座位編號都不一致的坐法種數？
（3）每位座位恰好坐一位同學，求編號的兩位同學必須相鄰坐在一起的坐法種數？
48．（22-23高二下·江蘇常州·月考）設有編號為1、2、3、4、5的5個球和編號為1、2、3、4、5的5個盒子，現將這5個球放入5個盒子內．
（1）只有1個盒子空著，共有多少種投放方法？
（2）沒有1個盒子空著，但球的編號與盒子編號不全相同，有多少種投放方法？
（3）每個盒子內投放1球，并且至少有2個球的編號與盒子編號相同，有多少種投放方法？

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