資源簡(jiǎn)介

9.2 正弦定理與余弦定理的應(yīng)用
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
（1）結(jié)合實(shí)例，理解測(cè)量不便到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離的方案，掌握正、余弦定理在測(cè)量高度方面的應(yīng)用； （2）掌握數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用，理解正、余弦定理在測(cè)量距離與角度等方面的應(yīng)用。 （1）會(huì)在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的方法，理清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題及基本圖形和基本等量關(guān)系； （2）能夠用正、余弦定理求解與距離、高度、角度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題。
知識(shí)點(diǎn)01 實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)
1、基線
（1）定義：在測(cè)量過程中，根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做基線。
（2）性質(zhì)：在測(cè)量過程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量既有較高的精確度，一般來說，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度高越高。
2、仰角與俯角：
（1）仰角：在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線的夾角
（2）俯角：在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角
3、方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角（指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°）
4、方位角：從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角
5、坡角與坡度（坡比）：
（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)；
（2）坡度（坡比）：坡面的垂直高度與水平寬度的比值。
【即學(xué)即練1】（23-24高一·全國(guó)·練習(xí)）在某次測(cè)量中，在A處測(cè)得同一平面方向的B點(diǎn)的仰角是，且到A的距離為2，C點(diǎn)的俯角為，且到A的距離為3，則B、C間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意可知，
由余弦定理得，所以.故選：D
知識(shí)點(diǎn)02 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用
1、測(cè)量距離與高度問題的常見類型
（1）測(cè)量距離問題：主要是指水平面上兩個(gè)位置A，B不能直接到達(dá)，從而利用手中的工具，通過測(cè)量有關(guān)數(shù)據(jù)，構(gòu)造三角形，應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決。例如當(dāng)AB的長(zhǎng)度不可直接測(cè)量時(shí)，AB的距離的求法分為以下三類.
兩點(diǎn)間不可達(dá)又不可視 兩點(diǎn)間可視但不可達(dá) 兩點(diǎn)間都不可達(dá)
（2）測(cè)量高度問題：在測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度時(shí)，可以借助正弦定理或余弦定理，構(gòu)造兩角（兩個(gè)仰角或兩個(gè)俯角）和一邊或三角（兩個(gè)方向角和仰角）和一邊，如圖所示．
2、解決方法：選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問題，從而利用正、余弦定理求解。
3、解三角形應(yīng)用題的一般步驟
（1）分析：理解題意，分清已知與位置，畫出示意圖；
（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型中；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；
（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否具有實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解。
【即學(xué)即練2】（23-24高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，某同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C，然后給出了四種測(cè)量方案（的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c），則一定能確定A，B間距離的方案可以是（　　）
A．測(cè)量A，B，b B．測(cè)量a，b，C
C．測(cè)量A，B，a D．測(cè)量A，B，C
【答案】ABC
【解析】對(duì)于A，先利用三角形內(nèi)角和定理求出，再利用正弦定理解出c；
對(duì)于B，直接利用余弦定理即可解出c；
對(duì)于C，先利用三角形內(nèi)角和定理求出，再利用正弦定理解出c；
對(duì)于D，不知道邊的長(zhǎng)度，顯然不能求c.故選：ABC.
【題型一：測(cè)量距離問題】
例1．（23-24高一下·山東泰安·月考）如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知,
由余弦定理可得，故選：D
變式1-1．（22-23高一下·廣東東莞·月考）如圖，設(shè)兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)，測(cè)出的距離為，，則兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
由正弦定理得.故選：C
變式1-2．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·月考）某次軍事演習(xí)中，炮臺(tái)向北偏東方向發(fā)射炮彈，炮臺(tái)向北偏西方向發(fā)射炮彈，兩炮臺(tái)均命中外的同一目標(biāo)，則兩炮臺(tái)在東西方向上的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：由題意得，在北偏西方向上，
之間在南北方向上的距離為，
則在東西方向上的距離為，
其中，
因此，
法二：過炮臺(tái)點(diǎn)作東西方向的水平線交正北方向分別為點(diǎn)，
則由圖知.故選：A.
變式1-3．（23-24高一上·江蘇無錫·月考）如圖，位于我國(guó)南海海域的某直徑為海里的圓形海域上有四個(gè)小島，已知小島B與小島C相距為5海里（小島的大小忽略不計(jì)，測(cè)量誤差忽略不計(jì)），經(jīng)過測(cè)量得到數(shù)據(jù)：．小島C與小島D之間的距離為 海里．
【答案】
【解析】由于四點(diǎn)共圓，所以，
由正弦定理可知，
在中，，
解之得，
顯然不合題意.
變式1-4．（23-24高一下·云南紅河·月考）為繪制海底地貌圖，測(cè)量海底兩點(diǎn)，間的距離，海底探測(cè)儀沿水平方向在，兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，，，，在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi).海底探測(cè)儀測(cè)得，，，，同時(shí)測(cè)得海里.
（1）求的長(zhǎng)度；
（2）求，之間的距離.
【答案】（1）；（2）海里
【解析】（1）如圖所示，在中，，，且海里.
可得，
又因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理，可得.
（2）因?yàn)椋遥?br/>可得，所以，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得，
即（海里）所以間的距離為海里.
【方法技巧與總結(jié)】
三角形中與距離有關(guān)的問題的求解策略：
（1）解決三角形中與距離有關(guān)的問題，若在一個(gè)三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個(gè)三角形中，要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切危倮谜⒂嘞叶ɡ砬蠼猓?br/>（2）解決三角形中與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來解決.
【題型二：測(cè)量高度問題】
例2．（23-24高一下·廣西·開學(xué)考試）桂林日月塔又稱金塔銀塔 情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所以也有金銀塔之稱.如圖1，這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量該塔的高度，在塔底的同一水平面上的兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量，如圖2.已知在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，米，，則該塔的高度（ ）
A．米 B．米 C．50米 D．米
【答案】B
【解析】由題意可知，,,
設(shè)米，則在中，米，
在中，米.
由余弦定理可得，
即，解得.
因?yàn)槊祝悦?故選：B.
變式2-1．（23-24高一下·浙江·月考）鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖，傳說黃帝煉丹鼎墜積水成湖．白居易曾以詩(shī)賦之：“黃帝旌旗去不回，片云孤石獨(dú)崔嵬．有時(shí)風(fēng)激鼎湖浪，散作晴天雨點(diǎn)來”．某校開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，有建模課題組的學(xué)生選擇測(cè)量鼎湖峰的高度，為此，他們?cè)O(shè)計(jì)了測(cè)量方案．如圖，在山腳A測(cè)得山頂P得仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走了90米到達(dá)B點(diǎn)（A，B，P，Q在同一個(gè)平面內(nèi)），在B處測(cè)得山頂P得仰角為，則鼎湖峰的山高PQ為（ ）米
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，則,
因?yàn)椋?br/>且，
則，
在中，則.故選：B.
變式2-2．（23-24高一下·重慶·月考）濟(jì)南泉城廣場(chǎng)上的泉標(biāo)是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征.小明同學(xué)想測(cè)量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場(chǎng)的A點(diǎn)測(cè)得泉標(biāo)頂端D的仰角為，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)34.2米，到達(dá)B點(diǎn)，又測(cè)得泉標(biāo)頂端D的仰角為，則小明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度約為 米.
（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】38.3
【解析】設(shè)，在中，，則，
在中，由正弦定理得，所以，
結(jié)合，，解得.所以泉標(biāo)的高度約為38.3米.
變式2-3．（23-24高一下·陜西西安·月考）瑞云塔位于福清市融城東南龍首橋頭，如圖，某同學(xué)為測(cè)量瑞云塔的高度，在瑞云塔的正東方向找到一座建筑物，高為，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A，瑞云塔頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測(cè)得瑞云塔頂部M的仰角為15°，瑞云塔的高度為 .
【答案】m
【解析】在Rt中，，由題意可得，
由圖知，，
所以，
在中，由正弦定理可得：
即，解得
在Rt中，如圖可得.
變式2-4．（23-24高一下·山西大同·月考）如圖，用無人機(jī)測(cè)量一座小山的海拔與該山最高處的古塔的塔高，無人機(jī)的航線與塔在同一鉛直平面內(nèi)，無人機(jī)飛行的海拔高度為，在處測(cè)得塔底（即小山的最高處）的俯角為，塔頂?shù)母┙菫椋蛏巾敺较蜓厮骄€飛行到達(dá)處時(shí)，測(cè)得塔底的俯角為，則該座小山的海拔為 ；古塔的塔高為 ．
【答案】；
【解析】如圖，在，，
由正弦定理，
又，
所以，即，
延長(zhǎng)交于，則，
又無人機(jī)飛行的海拔高度為，所以該座小山的海拔為，
在中，，
又，
由正弦定理有，得到，
【方法技巧與總結(jié)】
1、測(cè)量高度問題的解題策略：
（1）“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測(cè)量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題；
（3）“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路。
2、測(cè)量高度問題需要注意3個(gè)問題
（1）在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．
（2）在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)．
（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．
【題型三：測(cè)量角度問題】
例3．（22-23高一下·湖南邵陽(yáng)·月考）前衛(wèi)斜塔位于遼寧省葫蘆島市綏中縣，始建于遼代，又名瑞州古塔，其傾斜度（塔與地面所成的角）遠(yuǎn)超著名的意大利比薩斜塔，是名副其實(shí)的世界第一斜塔．已知前衛(wèi)斜塔的塔身長(zhǎng)，一旅游者在正午時(shí)分測(cè)得塔在地面上的投影長(zhǎng)為，則該塔的傾斜度（塔與地面所成的角）為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，線段為塔身長(zhǎng)，線段為投影長(zhǎng)度，，
所以在中，，
因?yàn)椋裕蔬x：A
變式3-1．（22-23高一下·福建寧德·期末）位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救，甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距10nmile的C處的乙船．乙船也立即朝著漁船前往營(yíng)救，則＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，
由余弦定理得，，
∴，
由正弦定理得，，
即，解得．故選：A．
變式3-2．（22-23高一下·湖北武漢·月考）已知甲船在海島的正南A處，海里，甲船以每小時(shí)4海里的速度向正北航行，同時(shí)乙船自海島出發(fā)以每小時(shí)6海里的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)航行一小時(shí)后，甲船在乙船的（ ）
A．北偏東30°方向 B．北偏東15°方向
C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向
【答案】C
【解析】由題，1小時(shí)后，甲船來到C處，則，則.
又由題可知，此時(shí)，乙船來到D處，，結(jié)合BD是北偏東60°方向，則.
又，則，即此時(shí)乙在甲的北偏東30°方向，甲在乙的南偏西30°方向.故選：C
變式3-3．（22-23高一下·安徽·月考）一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東，距離海里，燈塔C在A的北偏西，距離為海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東方向，則 ．
【答案】
【解析】如圖，在中，，
則，
因?yàn)椋裕?br/>在中，，
則，所以，
則.
變式3-4．（22-23高一下·廣東佛山·月考）通信衛(wèi)星與經(jīng)濟(jì)、軍事等密切關(guān)聯(lián)，它在地球靜止軌道上運(yùn)行，地球靜止軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球（球心為，半徑為），地球上一點(diǎn)的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)，點(diǎn)處的水平面是指過點(diǎn)且與垂直的平面，在點(diǎn)處放置一個(gè)仰角為的地面接收天線（仰角是天線對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星時(shí)，天線與水平面的夾角），若點(diǎn)的緯度為北緯，則 ．
【答案】
【解析】依題意，作出圖形，如圖，
，則，
在中，由正弦定理得：，即，
于是得，
所以.
【方法技巧與總結(jié)】
1、測(cè)量角度問題主要涉及光線（入射角、折射角)，海上、空中的追擊與攔截，此時(shí)問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會(huì)涉及俯角、仰角等概念。解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中己知哪些量，然后解三角形即可.
2、測(cè)量角度問題需要注意3個(gè)問題
（1）測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義；
（2）求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
（3）在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題過程中也要注意體會(huì)正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點(diǎn)。
【題型四：綜合應(yīng)用問題】
例4．（22-23高二上·廣西·月考）如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)觀景臺(tái)，已知射線，為兩邊夾角為的公路(長(zhǎng)度均超過3千米)，在兩條公路，上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)，，從觀景臺(tái)到，建造兩條觀光線路，，測(cè)得千米，千米.
（1）求線段的長(zhǎng)度；
（2）若，求兩條觀光線路與之和的最大值.
【答案】（1）3千米；（2）最大值為6千米．
【解析】（1）在中，由余弦定理得，
，所以線段的長(zhǎng)度為3千米；
（2）設(shè)，因?yàn)椋裕?br/>在中，由正弦定理得，.
所以，，
因此
，
因?yàn)椋?
所以當(dāng)，即時(shí)，取到最大值6.
所以兩條觀光線路與之和的最大值為6千米．
變式4-1．（23-24高一下·寧夏石嘴山·月考）某景區(qū)有一人工湖，湖面有兩點(diǎn)，湖邊架有直線型棧道，長(zhǎng)為，如圖所示．現(xiàn)要測(cè)是兩點(diǎn)之間的距離，工作人員分別在兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，在點(diǎn)測(cè)得，；在點(diǎn)測(cè)得．（在同一平面內(nèi)）
（1）求兩點(diǎn)之間的距離；
（2）判斷直線與直線是否垂直，并說明理由．
【答案】（1）；（2）直線與直線不垂直，理由詳見解析.
【解析】（1）依題意，，，，
所以，
，所以，
在三角形中，由正弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得.
（2）在三角形中，由余弦定理得，
，
在三角形中，由正弦定理得，
，
直線與直線不垂直，理由如下：
,
所以直線與直線不垂直.
變式4-2．（23-24高一下·廣東廣州·月考）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿勻速步行，速度為，在甲出發(fā)后，乙從A乘纜車到B，在B處停留后，再勻速步行到C，假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量得，．
（1）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（2）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由題意，，且為鈍角、為銳角，
所以，，
在中，
由正弦定理，可得，解得.
所以索道的長(zhǎng)為，
假設(shè)乙出發(fā)后（乙在纜車上），甲、乙兩游客距離為，
此時(shí)甲行走了，乙距離處，
由余弦定理得，
因?yàn)椋矗?br/>又函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口向上，
所以當(dāng)時(shí)，甲、乙兩游客之間距離最短.
（2）在中由正弦定理，解得，
乙從出發(fā)時(shí)，甲已走了，還需要走才能到達(dá)，
設(shè)乙步行的速度為，
由題意得，解得，
所以為了使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過，
乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：）范圍之內(nèi).
變式4-3．（23-24高一下·重慶渝中·月考）為改進(jìn)城市旅游景觀面貌 提高市民的生活幸福指數(shù)，城建部擬在以水源為圓心空地上，規(guī)劃一個(gè)四邊形形狀的動(dòng)植物園．如圖：四邊形內(nèi)接于圓（注：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)），為動(dòng)物園區(qū)，為植物園區(qū)（為了方便植物園的植物澆水灌溉，水源必須在植物園區(qū)的內(nèi)部或邊界上）．又根據(jù)規(guī)劃已知千米，千米．
（1）若，且，求邊的長(zhǎng)為多少千米？
（2）若線段千米，求動(dòng)植物園的面積（即四邊形的面積）的取值范圍（單位：平方千米）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），則
在中，，即
在中，，
由正弦定理知：，即，
則千米；
（2）設(shè)，則，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
在中：
在中：
則，得，解得，
所以，所以，
所以
所以動(dòng)植物園的面積（即四邊形的面積）的取值范圍為．
變式4-4．（23-24高一下·上海閔行·月考）在臨港滴水湖畔擬建造一個(gè)四邊形的露營(yíng)基地，如圖ABCD所示.為考慮露營(yíng)客人娛樂休閑的需求，在四邊形ABCD區(qū)域中，將三角形ABD區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形BCD區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊AB BC CD DA修建觀賞步道，邊BD修建隔離防護(hù)欄，其中米，米，.
（1）若米，求燒烤區(qū)的面積？
（2）如果燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長(zhǎng)的隔離防護(hù)欄？（精確到0.1米）
（3）考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形ABCD區(qū)域時(shí)，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，再使得花卉觀賞區(qū)的面積盡可能大，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道？
【答案】（1）平方米；（2）米；（3）修建觀賞步道時(shí)應(yīng)使得，
【解析】（1）由余弦定理可知，所以
所以平方米.
（2），解得，
因?yàn)槭氢g角，所以，
，
故需要修建米的隔離防護(hù)欄；
（3），
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)，
設(shè)，
在中，，
解得：，
花卉觀賞區(qū)的面積為
，
因?yàn)椋裕?br/>故當(dāng)，即時(shí)，取的最大值為1，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)
綜上，修建觀賞步道時(shí)應(yīng)使得，.
一、單選題
1．（22-23高一下·貴州遵義·期末）如圖所示，為測(cè)量河對(duì)岸一點(diǎn)與岸邊一點(diǎn)之間的距離，已經(jīng)測(cè)得岸邊的，兩點(diǎn)間的距離為，，，則，間的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?故選：C.
2．（22-23高一下·湖北武漢·月考）如圖，要計(jì)算湯遜湖岸邊兩建筑物B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得，，則兩建筑物B與C的距離為（ ）
A．km B．km C．km D．km
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理可得，
即，整理得，解得或（舍去），
在中，由題意可得，
由正弦定理可得，所以（km）.故選：C.
3．（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·月考）金山寺位于江蘇省鎮(zhèn)江市潤(rùn)州區(qū)，始建于東晉時(shí)期，是中國(guó)佛教禪宗名寺，民間傳說《白蛇傳》中的金山寺即指此，與普陀寺 文殊寺 大明寺并列為中國(guó)的四大名寺，其中慈壽塔為金山標(biāo)志，磚木結(jié)構(gòu)，七級(jí)八面，矗立于數(shù)重樓臺(tái)殿宇之上，如圖：記慈壽塔塔高OT，某測(cè)量小組選取與塔底O在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)A，B.現(xiàn)測(cè)得.，，在B點(diǎn)處測(cè)得塔頂T的仰角為30°，則塔高OT為（ ）
A．36m B． C．45m D．
【答案】A
【解析】在中，因?yàn)?，
所以，
由正弦定理可知：，
在直角三角形中，，故選：A
4．（23-24高一下·河北滄州·月考）某中學(xué)校園內(nèi)的紅豆樹已有百年歷史，小明為了測(cè)量紅豆樹高度，他選取與紅豆樹根部在同一水平面的，兩點(diǎn)，在點(diǎn)測(cè)得紅豆樹根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到處，測(cè)得樹根部在北偏西的方向上，樹梢的仰角為，則紅豆樹的高度為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【解析】依題意可得如下圖形：
在中，，，，，
所以由正弦定理得：，解得：，
在，，
所以，則紅豆樹的高度為米.故選：D
5．（22-23高一下·福建龍巖·期中）如圖所示，為了測(cè)量處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，分別在D處的北偏西15°，北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】B
【解析】在三角形中，，
，
由正弦定理得，
，
在三角形中，，
所以，所以，
由余弦定理得海里.故選：B
6．（23-24高一下·吉林通化·月考）為捍衛(wèi)國(guó)家南海主權(quán)，我海軍在南海海域進(jìn)行例行巡邏.某天，一艘巡邏艦從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島，然后再?gòu)暮u出發(fā)，沿北偏東的方向航行了海里到達(dá)海島.若巡邏艦從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，則航行的方向和路程（單位：海里）分別為（ ）
A．北偏東， B．北偏東，
C．北偏東， D．北偏東，
【答案】C
【解析】據(jù)題意知，在中，，海里，海里，
所以，
所以海里，
又，所以，
又因?yàn)闉殇J角，所以，
所以航行的方向和路程分別為北偏東，海里.故選：C.
7．（22-23高一下·江蘇南京·月考）如圖，小明欲測(cè)校內(nèi)某旗桿高M(jìn)N，選擇地面A處和他所在教學(xué)樓四樓C處為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)（其中A處、他所在的教學(xué)樓、旗桿位于同一水平地面）．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及，從C點(diǎn)測(cè)得．已知C處距地面10m，則旗桿高（ ）
A．12m B．15m C．16m D．18m
【答案】B
【解析】由題意可知，，，，所以，
在中，，，所以，
由正弦定理可知，，即，解得：，
在直角三角形中，，，
則.故選：B
8．（23-24高一下·江蘇江陰·月考）為了測(cè)量一座底部不可到達(dá)的建筑物的高度，復(fù)興中學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，設(shè)A，B分別為建筑物的最高點(diǎn)和底部．選擇一條水平基線HG，使得H，G，B三點(diǎn)在同一直線上，在G，H兩點(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得A的仰角分別是和，，測(cè)角儀器的高度是h．由此可計(jì)算出建筑物的高度AB，若，則此建筑物的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，
由正弦定理得，所以，
，
在中，，
所以，即此建筑物的高度是.故選：A.
二、多選題
9．（23-24高一下·廣東廣州·月考）裝貨輪在A處看燈搭B在貨輪北偏東，距離為海里；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西，距離為海里.貨輪自A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東，則下列說法正確的是（ ）
A．A處與D處之間的距離是24海里 B．燈塔C與D處之間的距離是海里
C．燈塔C在D處的西偏南 D．D在燈塔B的北偏西
【答案】ABC
【解析】根據(jù)題意作出圖形：
由貨輪在A處看燈搭B在貨輪北偏東，距離為海里，得，，
又在A處看燈塔C在貨輪的北偏西，距離為海里，得，，
又貨輪自A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東，得，
所以在中，.
對(duì)于A：在中，由正弦定理得，
所以（海里)，故A正確；
對(duì)于B：在中，由余弦定理得，
即（海里)，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋裕?br/>所以燈塔在處的南偏西方向，即燈塔C在D處的西偏南，故C正確；
對(duì)于D：由，在燈塔的南偏東處，在燈塔的北偏西處，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
10．（23-24高一下·山東棲霞·月考）如圖，在海面上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)在的正北方向，距離為，在某天10：00觀察到某航船在處，此時(shí)測(cè)得分鐘后該船行駛至處，此時(shí)測(cè)得，則（ ）
A．觀測(cè)點(diǎn)位于處的北偏東方向
B．當(dāng)天10：00時(shí)，該船到觀測(cè)點(diǎn)的距離為
C．當(dāng)船行駛至處時(shí)，該船到觀測(cè)點(diǎn)的距離為
D．該船在由行駛至的這內(nèi)行駛了
【答案】ACD
【解析】A選項(xiàng)中，,，
因?yàn)樵贒的正北方向，所以位于的北偏東方向，故A正確.
B選項(xiàng)中，在中，，，則，
又因?yàn)椋詋m,故B錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)中，在中，由余弦定理，得
，即km，故C正確.
D選項(xiàng)中，在中，，，則.
由正弦定理，得AC=km，故D正確.故選：ACD．
11．（22-23高一下·河北石家莊·月考）石家莊電視塔是石家莊的地標(biāo)性建筑，吸引眾多游客來此拍照，如圖所示，現(xiàn)某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)電視塔的高度進(jìn)行測(cè)量，并繪制出測(cè)量方案示意圖，A為電視塔的最頂端，B為基座（即B在A的正下方），在世紀(jì)公園上（B在同一水平面內(nèi)）選取兩點(diǎn)，測(cè)得的長(zhǎng)為100m．小組成員利用測(cè)角儀已測(cè)得，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)，能確定計(jì)算出電視塔高度的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A：由題意得，在中，這是兩邊夾角情況，
故由正弦定理求得，從而再解求得，故A正確；
對(duì)于B；由題意得四個(gè)條件，
在中，已知，三角形形狀不確定，即無法確定其他邊和角，
而分別在中，也無法確定其他的邊和角，
因此無法通過解三角形，求得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C︰由題意得，在中，已知兩邊和夾角，
由正弦定理求得，從而再解求得，故C正確；
對(duì)于D∶可設(shè)，利用和，分別表示出,
然后在中，結(jié)合和，利用余弦定理列出關(guān)于h的方程，
即可求得h，D正確，故選︰ACD．
三、填空題
12．（22-23高一下·江蘇·月考）圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對(duì)稱之美.為了估算圣·索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物，高約為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線）處測(cè)得建筑物頂、教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在建筑物頂處測(cè)得教堂頂?shù)难鼋菫椋瑒t可估算圣·索菲亞教堂的高度約為 .
【答案】
【解析】由題可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.
13．（22-23高一下·廣東東莞·月考）在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的緝私船奉命以海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°的方向逃竄，緝私船要最快追上走私船，所需的時(shí)間約是 分鐘．（注：）
【答案】15
【解析】設(shè)緝私艇最快在處追上走私船，追上走私船需t小時(shí)，則，，
∴在中，已知,,
，
由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，則，
，∴為東西走向，，
在中，由正弦定理得，
則，且為銳角，
，∴，
即，∴小時(shí)，即分鐘.
14．（23-24高一下·江蘇無錫·月考）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東方向上，距離為n mile；在處看燈塔在貨輪的北偏西方向上，距離．貨輪由處向正北航行到處時(shí)，再看燈塔在南偏東方向上，處與處之間的距離是 n mile，燈塔與處之間的距離是 n mile．
【答案】；
【解析】中，由已知得，，所以，
由正弦定理得
所以與之間的距離為；
中，，由余弦定理，得
所以燈塔與處之間的距離為.
四、解答題
15．（2016·福建廈門·一模）為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣候觀測(cè)，B，C，D三地位于同一水平面上，這種儀器在B地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，兩地相距，，在C地聽到彈射聲音的時(shí)間比D地晚秒，在C地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)A處的仰角為．（已知聲音的傳播速度為），求：

（1）B，C兩地間的距離；
（2）這種儀器的垂直彈射高度AB．
【答案】（1）420米；（2）米
【解析】（1）設(shè)，
∵在C地聽到彈射聲音的時(shí)間比D地晚秒，
∴，
在中，由余弦定理，
∴，解得，
故B，C兩地間的距離為420米；
（2）在中，，
∴米，
故該儀器的垂直彈射高度為米．
16．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選取A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，使得，測(cè)得，，．
（1）若B，D選在兩個(gè)村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且，，求A，C兩點(diǎn)間距離；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，由正弦定理得，
即，解得，所以，
則為等腰直角三角形，所以，
則．
在中，由余弦定理得
，
則，故A，C兩點(diǎn)間距離為．
（2）設(shè)，則由題意可知，，．
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以，
解得，所以．
17．（22-23高一下·黑龍江七臺(tái)河·月考）如圖，某興趣小組為測(cè)量河對(duì)岸直塔高，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，，，可測(cè)的量有，，，，，，．

（1）若，，，，求塔高；
（2）用表示塔高；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）令，由題意，在直角中．
在直角中．
在中．
故，化簡(jiǎn)得，
解得，或（舍），所以塔高為．
（2）同（1）設(shè)，直角中，
在中，且由正弦定理，
所以，解得.
所以塔高為．
18．（22-23高一下·廣西柳州·月考）一艘海輪從出發(fā)，沿北偏東70°的方向航行后到達(dá)海島，然后從出發(fā)，沿北偏東10°的方向航行到達(dá)海島.
（1）求的長(zhǎng);
（2）如果下次航行直接從出發(fā)到達(dá)，應(yīng)沿什么方向航行多少？
【答案】（1） n mile；（2）應(yīng)沿北偏東的方向航方向航行 n mile
【解析】（1）由題意知，在中， ，
，，
根據(jù)余弦定理，
得，
所以n mile．
（2）由正弦定理得，
即，
又，所以．
所以應(yīng)沿北偏東的方向航方向航行 n mile即可到達(dá)C處.
19．（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·月考）南京市人民中學(xué)創(chuàng)建于1887年，是南京市辦學(xué)歷史最長(zhǎng)的中學(xué)之一，位于南京市的珠江路南側(cè)，中山路東側(cè)，長(zhǎng)江路北側(cè)如圖所示的位置.南京人民中學(xué)到長(zhǎng)江路和中山路十字路口約330米，長(zhǎng)江路和中山路夾角約為70.5°，現(xiàn)小王和小張正位于如圖所示的位置分別距長(zhǎng)江路和中山路十字路口200米，300米，并分別按如圖所示的方向散步，速度均為60米/分鐘
（1）起初兩人直線距離多少米？（參考數(shù)據(jù)：）；
（2）t分鐘后兩人間直線的距離是多少？（從現(xiàn)位置開始計(jì)時(shí)到小張到南京市人民中學(xué)大門結(jié)束）；
（3）什么時(shí)候兩人間的直線距離最短，最短距離時(shí)多少？（忽略路寬 等侯紅綠燈時(shí)間）
【答案】（1）300；（2）；（3）分鐘時(shí)距離最短，最短距離為米.
【解析】（1）設(shè)起初兩人直線距離為，
由題意可得，
即起初兩人直線距離為300米；
（2）設(shè)t分鐘后兩人間直線的距離是，則當(dāng)時(shí)，易知小王此時(shí)仍在中山路東側(cè)，
此時(shí)由余弦定理可知
，
當(dāng)時(shí)，易知小王此時(shí)在中山路與長(zhǎng)江路十字路口，顯然兩人相距米，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)小王在中山路西側(cè)，小張仍在長(zhǎng)江路南側(cè)，
則由余弦定理可得
，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)小張?jiān)谥猩铰放c長(zhǎng)江路十字路口，兩人相距米，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)小張?jiān)陂L(zhǎng)江路北側(cè)，小王在中山路西側(cè)，
則由余弦定理可知
，
又當(dāng)和時(shí)，兩人的直線距離也符合關(guān)系式，
故綜上所示t分鐘后兩人間直線的距離是；
（3）由二次函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)分鐘時(shí)，
此時(shí).9.2 正弦定理與余弦定理的應(yīng)用
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
（1）結(jié)合實(shí)例，理解測(cè)量不便到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離的方案，掌握正、余弦定理在測(cè)量高度方面的應(yīng)用； （2）掌握數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用，理解正、余弦定理在測(cè)量距離與角度等方面的應(yīng)用。 （1）會(huì)在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角形的方法，理清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題及基本圖形和基本等量關(guān)系； （2）能夠用正、余弦定理求解與距離、高度、角度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題。
知識(shí)點(diǎn)01 實(shí)際測(cè)量中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)
1、基線
（1）定義：在測(cè)量過程中，根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做基線。
（2）性質(zhì)：在測(cè)量過程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量既有較高的精確度，一般來說，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度高越高。
2、仰角與俯角：
（1）仰角：在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線的夾角
（2）俯角：在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角
3、方向角：從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角（指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°）
4、方位角：從正北的方向線按順時(shí)針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角
5、坡角與坡度（坡比）：
（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)；
（2）坡度（坡比）：坡面的垂直高度與水平寬度的比值。
【即學(xué)即練1】（23-24高一·全國(guó)·練習(xí)）在某次測(cè)量中，在A處測(cè)得同一平面方向的B點(diǎn)的仰角是，且到A的距離為2，C點(diǎn)的俯角為，且到A的距離為3，則B、C間的距離為（ ）
A． B． C． D．
知識(shí)點(diǎn)02 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用
1、測(cè)量距離與高度問題的常見類型
（1）測(cè)量距離問題：主要是指水平面上兩個(gè)位置A，B不能直接到達(dá)，從而利用手中的工具，通過測(cè)量有關(guān)數(shù)據(jù)，構(gòu)造三角形，應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決。例如當(dāng)AB的長(zhǎng)度不可直接測(cè)量時(shí)，AB的距離的求法分為以下三類.
兩點(diǎn)間不可達(dá)又不可視 兩點(diǎn)間可視但不可達(dá) 兩點(diǎn)間都不可達(dá)
（2）測(cè)量高度問題：在測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度時(shí)，可以借助正弦定理或余弦定理，構(gòu)造兩角（兩個(gè)仰角或兩個(gè)俯角）和一邊或三角（兩個(gè)方向角和仰角）和一邊，如圖所示．
2、解決方法：選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問題，從而利用正、余弦定理求解。
3、解三角形應(yīng)用題的一般步驟
（1）分析：理解題意，分清已知與位置，畫出示意圖；
（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型中；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；
（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否具有實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解。
【即學(xué)即練2】（23-24高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）（多選）如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，某同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C，然后給出了四種測(cè)量方案（的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c），則一定能確定A，B間距離的方案可以是（　　）
A．測(cè)量A，B，b B．測(cè)量a，b，C
C．測(cè)量A，B，a D．測(cè)量A，B，C
【題型一：測(cè)量距離問題】
例1．（23-24高一下·山東泰安·月考）如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于，燈塔A在觀察站C的北偏東的方向，燈塔B在觀察站C的南偏東的方向，則燈塔A與燈塔B間的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式1-1．（22-23高一下·廣東東莞·月考）如圖，設(shè)兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)，測(cè)出的距離為，，則兩點(diǎn)間的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式1-2．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·月考）某次軍事演習(xí)中，炮臺(tái)向北偏東方向發(fā)射炮彈，炮臺(tái)向北偏西方向發(fā)射炮彈，兩炮臺(tái)均命中外的同一目標(biāo)，則兩炮臺(tái)在東西方向上的距離為（ ）
A． B． C． D．
變式1-3．（23-24高一上·江蘇無錫·月考）如圖，位于我國(guó)南海海域的某直徑為海里的圓形海域上有四個(gè)小島，已知小島B與小島C相距為5海里（小島的大小忽略不計(jì)，測(cè)量誤差忽略不計(jì)），經(jīng)過測(cè)量得到數(shù)據(jù)：．小島C與小島D之間的距離為 海里．
變式1-4．（23-24高一下·云南紅河·月考）為繪制海底地貌圖，測(cè)量海底兩點(diǎn)，間的距離，海底探測(cè)儀沿水平方向在，兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，，，，在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi).海底探測(cè)儀測(cè)得，，，，同時(shí)測(cè)得海里.
（1）求的長(zhǎng)度；
（2）求，之間的距離.
【方法技巧與總結(jié)】
三角形中與距離有關(guān)的問題的求解策略：
（1）解決三角形中與距離有關(guān)的問題，若在一個(gè)三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個(gè)三角形中，要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切危倮谜⒂嘞叶ɡ砬蠼猓?br/>（2）解決三角形中與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來解決.
【題型二：測(cè)量高度問題】
例2．（23-24高一下·廣西·開學(xué)考試）桂林日月塔又稱金塔銀塔 情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所以也有金銀塔之稱.如圖1，這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量該塔的高度，在塔底的同一水平面上的兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量，如圖2.已知在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，米，，則該塔的高度（ ）
A．米 B．米 C．50米 D．米
變式2-1．（23-24高一下·浙江·月考）鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖，傳說黃帝煉丹鼎墜積水成湖．白居易曾以詩(shī)賦之：“黃帝旌旗去不回，片云孤石獨(dú)崔嵬．有時(shí)風(fēng)激鼎湖浪，散作晴天雨點(diǎn)來”．某校開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，有建模課題組的學(xué)生選擇測(cè)量鼎湖峰的高度，為此，他們?cè)O(shè)計(jì)了測(cè)量方案．如圖，在山腳A測(cè)得山頂P得仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走了90米到達(dá)B點(diǎn)（A，B，P，Q在同一個(gè)平面內(nèi)），在B處測(cè)得山頂P得仰角為，則鼎湖峰的山高PQ為（ ）米
A． B． C． D．
變式2-2．（23-24高一下·重慶·月考）濟(jì)南泉城廣場(chǎng)上的泉標(biāo)是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征.小明同學(xué)想測(cè)量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場(chǎng)的A點(diǎn)測(cè)得泉標(biāo)頂端D的仰角為，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)34.2米，到達(dá)B點(diǎn)，又測(cè)得泉標(biāo)頂端D的仰角為，則小明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度約為 米.
（參考數(shù)據(jù)：，，）
變式2-3．（23-24高一下·陜西西安·月考）瑞云塔位于福清市融城東南龍首橋頭，如圖，某同學(xué)為測(cè)量瑞云塔的高度，在瑞云塔的正東方向找到一座建筑物，高為，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A，瑞云塔頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測(cè)得瑞云塔頂部M的仰角為15°，瑞云塔的高度為 .
變式2-4．（23-24高一下·山西大同·月考）如圖，用無人機(jī)測(cè)量一座小山的海拔與該山最高處的古塔的塔高，無人機(jī)的航線與塔在同一鉛直平面內(nèi)，無人機(jī)飛行的海拔高度為，在處測(cè)得塔底（即小山的最高處）的俯角為，塔頂?shù)母┙菫椋蛏巾敺较蜓厮骄€飛行到達(dá)處時(shí)，測(cè)得塔底的俯角為，則該座小山的海拔為 ；古塔的塔高為 ．
【方法技巧與總結(jié)】
1、測(cè)量高度問題的解題策略：
（1）“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測(cè)量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題；
（3）“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路。
2、測(cè)量高度問題需要注意3個(gè)問題
（1）在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．
（2）在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)．
（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．
【題型三：測(cè)量角度問題】
例3．（22-23高一下·湖南邵陽(yáng)·月考）前衛(wèi)斜塔位于遼寧省葫蘆島市綏中縣，始建于遼代，又名瑞州古塔，其傾斜度（塔與地面所成的角）遠(yuǎn)超著名的意大利比薩斜塔，是名副其實(shí)的世界第一斜塔．已知前衛(wèi)斜塔的塔身長(zhǎng)，一旅游者在正午時(shí)分測(cè)得塔在地面上的投影長(zhǎng)為，則該塔的傾斜度（塔與地面所成的角）為（ ）
A． B． C． D．
變式3-1．（22-23高一下·福建寧德·期末）位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救，甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距10nmile的C處的乙船．乙船也立即朝著漁船前往營(yíng)救，則＝（ ）
A． B． C． D．
變式3-2．（22-23高一下·湖北武漢·月考）已知甲船在海島的正南A處，海里，甲船以每小時(shí)4海里的速度向正北航行，同時(shí)乙船自海島出發(fā)以每小時(shí)6海里的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)航行一小時(shí)后，甲船在乙船的（ ）
A．北偏東30°方向 B．北偏東15°方向
C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向
變式3-3．（22-23高一下·安徽·月考）一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東，距離海里，燈塔C在A的北偏西，距離為海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東方向，則 ．
變式3-4．（22-23高一下·廣東佛山·月考）通信衛(wèi)星與經(jīng)濟(jì)、軍事等密切關(guān)聯(lián)，它在地球靜止軌道上運(yùn)行，地球靜止軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球（球心為，半徑為），地球上一點(diǎn)的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)，點(diǎn)處的水平面是指過點(diǎn)且與垂直的平面，在點(diǎn)處放置一個(gè)仰角為的地面接收天線（仰角是天線對(duì)準(zhǔn)衛(wèi)星時(shí)，天線與水平面的夾角），若點(diǎn)的緯度為北緯，則 ．
【方法技巧與總結(jié)】
1、測(cè)量角度問題主要涉及光線（入射角、折射角)，海上、空中的追擊與攔截，此時(shí)問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會(huì)涉及俯角、仰角等概念。解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中己知哪些量，然后解三角形即可.
2、測(cè)量角度問題需要注意3個(gè)問題
（1）測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義；
（2）求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值；
（3）在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題過程中也要注意體會(huì)正、余弦定理綜合使用的優(yōu)點(diǎn)。
【題型四：綜合應(yīng)用問題】
例4．（22-23高二上·廣西·月考）如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)觀景臺(tái)，已知射線，為兩邊夾角為的公路(長(zhǎng)度均超過3千米)，在兩條公路，上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)，，從觀景臺(tái)到，建造兩條觀光線路，，測(cè)得千米，千米.
（1）求線段的長(zhǎng)度；
（2）若，求兩條觀光線路與之和的最大值.
變式4-1．（23-24高一下·寧夏石嘴山·月考）某景區(qū)有一人工湖，湖面有兩點(diǎn)，湖邊架有直線型棧道，長(zhǎng)為，如圖所示．現(xiàn)要測(cè)是兩點(diǎn)之間的距離，工作人員分別在兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，在點(diǎn)測(cè)得，；在點(diǎn)測(cè)得．（在同一平面內(nèi)）
（1）求兩點(diǎn)之間的距離；
（2）判斷直線與直線是否垂直，并說明理由．
變式4-2．（23-24高一下·廣東廣州·月考）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿勻速步行，速度為，在甲出發(fā)后，乙從A乘纜車到B，在B處停留后，再勻速步行到C，假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量得，．
（1）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
（2）為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
變式4-3．（23-24高一下·重慶渝中·月考）為改進(jìn)城市旅游景觀面貌 提高市民的生活幸福指數(shù)，城建部擬在以水源為圓心空地上，規(guī)劃一個(gè)四邊形形狀的動(dòng)植物園．如圖：四邊形內(nèi)接于圓（注：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)），為動(dòng)物園區(qū)，為植物園區(qū)（為了方便植物園的植物澆水灌溉，水源必須在植物園區(qū)的內(nèi)部或邊界上）．又根據(jù)規(guī)劃已知千米，千米．
（1）若，且，求邊的長(zhǎng)為多少千米？
（2）若線段千米，求動(dòng)植物園的面積（即四邊形的面積）的取值范圍（單位：平方千米）.
變式4-4．（23-24高一下·上海閔行·月考）在臨港滴水湖畔擬建造一個(gè)四邊形的露營(yíng)基地，如圖ABCD所示.為考慮露營(yíng)客人娛樂休閑的需求，在四邊形ABCD區(qū)域中，將三角形ABD區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形BCD區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊AB BC CD DA修建觀賞步道，邊BD修建隔離防護(hù)欄，其中米，米，.
（1）若米，求燒烤區(qū)的面積？
（2）如果燒烤區(qū)是一個(gè)占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長(zhǎng)的隔離防護(hù)欄？（精確到0.1米）
（3）考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形ABCD區(qū)域時(shí)，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最大時(shí)，再使得花卉觀賞區(qū)的面積盡可能大，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)觀賞步道？
一、單選題
1．（22-23高一下·貴州遵義·期末）如圖所示，為測(cè)量河對(duì)岸一點(diǎn)與岸邊一點(diǎn)之間的距離，已經(jīng)測(cè)得岸邊的，兩點(diǎn)間的距離為，，，則，間的距離為（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一下·湖北武漢·月考）如圖，要計(jì)算湯遜湖岸邊兩建筑物B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得，，則兩建筑物B與C的距離為（ ）
A．km B．km C．km D．km
3．（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·月考）金山寺位于江蘇省鎮(zhèn)江市潤(rùn)州區(qū)，始建于東晉時(shí)期，是中國(guó)佛教禪宗名寺，民間傳說《白蛇傳》中的金山寺即指此，與普陀寺 文殊寺 大明寺并列為中國(guó)的四大名寺，其中慈壽塔為金山標(biāo)志，磚木結(jié)構(gòu)，七級(jí)八面，矗立于數(shù)重樓臺(tái)殿宇之上，如圖：記慈壽塔塔高OT，某測(cè)量小組選取與塔底O在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)A，B.現(xiàn)測(cè)得.，，在B點(diǎn)處測(cè)得塔頂T的仰角為30°，則塔高OT為（ ）
A．36m B． C．45m D．
4．（23-24高一下·河北滄州·月考）某中學(xué)校園內(nèi)的紅豆樹已有百年歷史，小明為了測(cè)量紅豆樹高度，他選取與紅豆樹根部在同一水平面的，兩點(diǎn)，在點(diǎn)測(cè)得紅豆樹根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到處，測(cè)得樹根部在北偏西的方向上，樹梢的仰角為，則紅豆樹的高度為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．（22-23高一下·福建龍巖·期中）如圖所示，為了測(cè)量處島嶼的距離，小明在D處觀測(cè)，分別在D處的北偏西15°，北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
6．（23-24高一下·吉林通化·月考）為捍衛(wèi)國(guó)家南海主權(quán)，我海軍在南海海域進(jìn)行例行巡邏.某天，一艘巡邏艦從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島，然后再?gòu)暮u出發(fā)，沿北偏東的方向航行了海里到達(dá)海島.若巡邏艦從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，則航行的方向和路程（單位：海里）分別為（ ）
A．北偏東， B．北偏東，
C．北偏東， D．北偏東，
7．（22-23高一下·江蘇南京·月考）如圖，小明欲測(cè)校內(nèi)某旗桿高M(jìn)N，選擇地面A處和他所在教學(xué)樓四樓C處為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)（其中A處、他所在的教學(xué)樓、旗桿位于同一水平地面）．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角，C點(diǎn)的仰角以及，從C點(diǎn)測(cè)得．已知C處距地面10m，則旗桿高（ ）
A．12m B．15m C．16m D．18m
8．（23-24高一下·江蘇江陰·月考）為了測(cè)量一座底部不可到達(dá)的建筑物的高度，復(fù)興中學(xué)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，設(shè)A，B分別為建筑物的最高點(diǎn)和底部．選擇一條水平基線HG，使得H，G，B三點(diǎn)在同一直線上，在G，H兩點(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得A的仰角分別是和，，測(cè)角儀器的高度是h．由此可計(jì)算出建筑物的高度AB，若，則此建筑物的高度是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高一下·廣東廣州·月考）裝貨輪在A處看燈搭B在貨輪北偏東，距離為海里；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西，距離為海里.貨輪自A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東，則下列說法正確的是（ ）
A．A處與D處之間的距離是24海里 B．燈塔C與D處之間的距離是海里
C．燈塔C在D處的西偏南 D．D在燈塔B的北偏西
10．（23-24高一下·山東棲霞·月考）如圖，在海面上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)在的正北方向，距離為，在某天10：00觀察到某航船在處，此時(shí)測(cè)得分鐘后該船行駛至處，此時(shí)測(cè)得，則（ ）
A．觀測(cè)點(diǎn)位于處的北偏東方向
B．當(dāng)天10：00時(shí)，該船到觀測(cè)點(diǎn)的距離為
C．當(dāng)船行駛至處時(shí)，該船到觀測(cè)點(diǎn)的距離為
D．該船在由行駛至的這內(nèi)行駛了
11．（22-23高一下·河北石家莊·月考）石家莊電視塔是石家莊的地標(biāo)性建筑，吸引眾多游客來此拍照，如圖所示，現(xiàn)某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)電視塔的高度進(jìn)行測(cè)量，并繪制出測(cè)量方案示意圖，A為電視塔的最頂端，B為基座（即B在A的正下方），在世紀(jì)公園上（B在同一水平面內(nèi)）選取兩點(diǎn)，測(cè)得的長(zhǎng)為100m．小組成員利用測(cè)角儀已測(cè)得，則根據(jù)下列各組中的測(cè)量數(shù)據(jù)，能確定計(jì)算出電視塔高度的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
12．（22-23高一下·江蘇·月考）圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對(duì)稱之美.為了估算圣·索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物，高約為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線）處測(cè)得建筑物頂、教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在建筑物頂處測(cè)得教堂頂?shù)难鼋菫椋瑒t可估算圣·索菲亞教堂的高度約為 .
13．（22-23高一下·廣東東莞·月考）在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的緝私船奉命以海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°的方向逃竄，緝私船要最快追上走私船，所需的時(shí)間約是 分鐘．（注：）
14．（23-24高一下·江蘇無錫·月考）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東方向上，距離為n mile；在處看燈塔在貨輪的北偏西方向上，距離．貨輪由處向正北航行到處時(shí)，再看燈塔在南偏東方向上，處與處之間的距離是 n mile，燈塔與處之間的距離是 n mile．
四、解答題
15．（2016·福建廈門·一模）為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣候觀測(cè)，B，C，D三地位于同一水平面上，這種儀器在B地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，兩地相距，，在C地聽到彈射聲音的時(shí)間比D地晚秒，在C地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)A處的仰角為．（已知聲音的傳播速度為），求：
（1）B，C兩地間的距離；
（2）這種儀器的垂直彈射高度AB．
16．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選取A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，使得，測(cè)得，，．
（1）若B，D選在兩個(gè)村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且，，求A，C兩點(diǎn)間距離；
（2）求的值．
17．（22-23高一下·黑龍江七臺(tái)河·月考）如圖，某興趣小組為測(cè)量河對(duì)岸直塔高，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，，，可測(cè)的量有，，，，，，．

（1）若，，，，求塔高；
（2）用表示塔高；
18．（22-23高一下·廣西柳州·月考）一艘海輪從出發(fā)，沿北偏東70°的方向航行后到達(dá)海島，然后從出發(fā)，沿北偏東10°的方向航行到達(dá)海島.
（1）求的長(zhǎng);
（2）如果下次航行直接從出發(fā)到達(dá)，應(yīng)沿什么方向航行多少？
19．（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·月考）南京市人民中學(xué)創(chuàng)建于1887年，是南京市辦學(xué)歷史最長(zhǎng)的中學(xué)之一，位于南京市的珠江路南側(cè)，中山路東側(cè)，長(zhǎng)江路北側(cè)如圖所示的位置.南京人民中學(xué)到長(zhǎng)江路和中山路十字路口約330米，長(zhǎng)江路和中山路夾角約為70.5°，現(xiàn)小王和小張正位于如圖所示的位置分別距長(zhǎng)江路和中山路十字路口200米，300米，并分別按如圖所示的方向散步，速度均為60米/分鐘
（1）起初兩人直線距離多少米？（參考數(shù)據(jù)：）；
（2）t分鐘后兩人間直線的距離是多少？（從現(xiàn)位置開始計(jì)時(shí)到小張到南京市人民中學(xué)大門結(jié)束）；
（3）什么時(shí)候兩人間的直線距離最短，最短距離時(shí)多少？（忽略路寬 等侯紅綠燈時(shí)間）

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