資源簡介

向量的數乘運算
學習目標 1.通過實例分析，掌握平面向量的數乘運算. 2.類比實數乘法運算律，推導并掌握平面向量數乘運算律及其幾何意義. 3.了解平面向量線性運算的性質及其幾何意義.
學習活動
目標一：通過實例分析，掌握平面向量的數乘運算. 任務：利用向量的加法法則，作出和向量，小組討論下列問題，理解平面向量數乘的概念. 如圖，已知非零向量，作出向量和. 問題: 1觀察圖象，與初向量相比，向量長度和方向分別是怎樣？ 向量與初向量相比，長度和方向又分別是怎樣？ 【歸納總結】 思考：如果把非零向量的長度伸長為原來的3.5倍，方向不變，得到向量，向量該如何用向量表示？它們之間的關系是怎樣的？ 練一練 　　 A．0 B． C． D．
目標二：類比實數乘法運算律推導并掌握平面向量數乘運算律及其幾何意義. 任務1：類比實數乘法的運算律，探究向量數乘的運算律. 問題： (1)實數乘法的運算律有哪些？如何用數學語言表示？ (2)同學們猜想向量數乘運算律有哪些？如何證明？ 【歸納總結】 練一練 關于向量，下列結論錯誤的是　　 A. B． C． D． 任務2：根據向量數乘的運算律，討論下列各類運算律下其向量數乘的幾何意義. 設是實數，那么 結合律： ①； 分配律： ②， ③. 【新知講解】 1.向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算.向量線性運算的結果仍是向量. 2.對于任意向量，以及任意實數，恒有. 練一練 如圖，正方形中，點是的中點，點是的靠近的三等分點．那么　　 B． C． D．
學習總結
任務：根據關鍵詞“向量數乘”，構建知識導圖.
2向量的數乘運算
學習目標 1.通過實例分析，掌握平面向量的數乘運算. 2.類比實數乘法運算律，推導并掌握平面向量數乘運算律及其幾何意義. 3.了解平面向量線性運算的性質及其幾何意義.
學習活動
目標一：通過實例分析，掌握平面向量的數乘運算. 任務：利用向量的加法法則，作出和向量，小組討論下列問題，理解平面向量數乘的概念. 如圖，已知非零向量，作出向量和. 問題: 1觀察圖象，與初向量相比，向量長度和方向分別是怎樣？ 2.向量與初向量相比，長度和方向又分別是怎樣？ 參考答案： 1.如圖，因為，長度是原來的3倍，方向相同. 如圖，因為，長度是原來的3倍，方向相反. 【歸納總結】 向量的數乘：一般地，我們規定實數與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作. 其中，它的長度與方向規定如下： ； 當時，的方向與方向相同；當，的方向與方向相反； ；. 注：數與向量的乘積仍是向量. 思考：如果把非零向量的長度伸長為原來的3.5倍，方向不變，得到向量，向量該如何用向量表示？它們之間的關系是怎樣的？ 參考答案： =3.5，向量與向量方向相同，長度是的3.5倍. 練一練 　　 A．0 B． C． D． 參考答案： 由于實數與向量的乘積仍為向量，且模長等于實數與向量模長的乘積，所以，故選：B．
目標二：類比實數乘法運算律推導并掌握平面向量數乘運算律及其幾何意義. 任務1：類比實數乘法的運算律，探究向量數乘的運算律. 問題： (1)實數乘法的運算律有哪些？如何用數學語言表示？ (2)同學們猜想向量數乘運算律有哪些？如何證明？ 參考答案： (1)①交換律：；②結合律：；③分配律：. (2)結合律：①；分配律：②，③. 證明：結合律①： 當或或時，結合律成立； 當，且時，由向量數乘運算的定義，得,,所以，當同號時，結合律中等式兩邊的向量符號與向量方向相同，當異號時，結合律中等式兩邊的向量符號與向量方向相反.因此，向量是相等向量. 證明：分配律②： 當或或時，②式顯然成立； 當，且時，可分如下兩種情況： 當同號時，的方向與方向相同，所以，即，由同號，知②式兩邊向量的方向都與方向相同，或都與方向相反，即②式兩邊向量的方向相同.所以②式成立. 當異號時，當，知②式兩邊向量的方向都與方向相同，當，知②式兩邊向量的方向都與方向相同，所以②式兩邊向量的方向相同.所以②式成立. 證明：分配律③： 當向量共線，或時，③式顯然成立. 當向量不共線，且時，可分為如下兩種情況： 當時，如圖，在平面內任取一點，作則 由作法知，有，，，所以,因此∽，所以，，因此在同一條直線上，,的方向相同，所以，所以. 當時，亦可證得. 綜上：. 【歸納總結】 設是實數，那么 結合律： ； 分配律： ， . 特別地，我們有，； 練一練 關于向量，下列結論錯誤的是　　 A. B． C． D． 參考答案: 解：，故A錯誤； ，故B正確， ，故C正確； ，故D正確； 故選：A． 任務2：根據向量數乘的運算律，討論下列各類運算律下其向量數乘的幾何意義. 設是實數，那么 結合律： ①； 分配律： ②， ③. 參考答案： 不妨以為例： 等式①的幾何意義是將表示向量的有向線段先伸長或壓縮至原來的倍，再伸長或壓縮至原來的倍，與將表示向量的有向線段伸長或壓縮至原來的倍所得的結果相同. 等式②的幾何意義是將表示向量的有向線段先伸長或壓縮至原來的倍，與將表示向量的有向線段伸長或壓縮至原來的倍后，再與將表示向量的有向線段伸長或壓縮至原來的倍相加，所得到的結果相同. 等式③的幾何意義是將表示向量的有向線段先相加，再伸長或壓縮至原來的倍，與將表示向量的有向線段伸長或壓縮至原來的倍后再相加所得到的結果相同. 【新知講解】 1.向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算.向量線性運算的結果仍是向量. 2.對于任意向量，以及任意實數，恒有. 練一練 如圖，正方形中，點是的中點，點是的靠近的三等分點．那么　　 B． C． D． 參考答案： 解：因為點E是DC的中點，點F是BC的靠近B的三等分點,所以,,所以,故選：D
學習總結
任務：根據關鍵詞“向量數乘”，構建知識導圖.
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