資源簡介

向量的數量積
學習目標 1.通過物理做功實例，理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積. 2.通過幾何直觀，了解平面向量的投影的概念以及投影向量的意義.
學習活動
目標一：通過物理做功實例，理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積. 任務：根據物理做功情境，回答下列問題，抽象出向量數量積的相關性質. 如圖所示：一個物體在力F的作用下產生位移s. 問題: 1.力F對該物體做了多少功？功是標量還是矢量？ 2.能否把“功”看成是兩個向量相乘的結果呢？ 參考答案： 1.，其中是向量的夾角，功是標量. 【歸納總結】 如圖所示，已知兩個非零向量，O是平面上的任意一點，作，則（）叫做向量的夾角. 當時，同向； 當時，反向； 當，垂直，記作. 已知兩個非零向量，它們的夾角為，我們把數量叫做向量的數量積（或內積），記作，即. 規(guī)定：零向量與任一向量的數量積為0. 練一練 已知與的夾角，求. 參考答案： 解： .
目標二：通過幾何直觀，了解平面向量的投影的概念以及投影向量的意義. 【新知講解】 如圖，設是兩個非零向量，，過的起點A和終點B，分別做所在直線的垂線，垂足分別為,得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 任務：如圖，在平面內任取一點O，作，根據投影概念，解決問題. 問題： 1.如何作出向量在向量上的投影呢？ 參考答案： 如圖所示，向量即向量在向量上的投影. 2.設與方向相同的單位向量為，，與的夾角為. (1)如何用、表示？ (2)如何用、、表示？ 參考答案： (1)因為，所以，所以. (2)當為銳角時，與方向相同，所以；當為直角時，，所以；當為鈍角時，與方向相反，所以,即. 綜上：對任意的，都有. 【歸納總結】 設是兩個非零向量，且的夾角為，則在方向上的投影為，在方向上的投影為. 練一練 若，，和的夾角為，則在方向上的投影為　　 A．2 B． C． D．4 參考答案： 解：由題意，可知向量在方向上的投影為．故選：C． 思考： 當兩個非零向量相互平行或垂直時，向量在方向上的投影是多少？它們的數量積是多少？ 參考答案： 當同向時，可知其夾角為0，所以在方向上的投影為，所以； 當反向時，可知其夾角為，所以在方向上的投影為-，所以； 當垂直時，可知其夾角為，所以在方向上的投影為0，所以. 【歸納總結】 向量數量積的性質： 1.； 2.當同向時，；當反向時，. 特別地，或. 3. 思考： 如果，是否有或？ 參考答案： 不一定，當時，.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “數量積”、“投影”、“垂直”
2向量的數量積
學習目標 1.通過物理做功實例，理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積. 2.通過幾何直觀，了解平面向量的投影的概念以及投影向量的意義.
學習活動
目標一：通過物理做功實例，理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積. 任務：根據物理做功情境，回答下列問題，抽象出向量數量積的相關性質. 如圖所示：一個物體在力F的作用下產生位移s. 問題: 1.力F對該物體做了多少功？功是標量還是矢量？ 2.能否把“功”看成是兩個向量相乘的結果呢？ 【歸納總結】 練一練 已知與的夾角，求.
目標二：通過幾何直觀，了解平面向量的投影的概念以及投影向量的意義. 新知講解： 如圖，設是兩個非零向量，，過的起點A和終點B，分別做所在直線的垂線，垂足分別為,得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 任務：如圖，在平面內任取一點O，作，根據投影概念，解決問題. 問題： 1.如何作出向量在向量上的投影呢？ 2.設與方向相同的單位向量為，，與的夾角為. (1)如何用、表示？ (2)如何用、、表示？ 【歸納總結】 練一練 若，，和的夾角為，則在方向上的投影為　　 A．2 B． C． D．4 思考： 當兩個非零向量相互平行或垂直時，向量在方向上的投影是多少？它們的數量積是多少？ 【歸納總結】 思考： 如果，是否有或？
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “數量積”、“投影”、“垂直”
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