資源簡介

平面向量基本定理
學習目標 1.通過物理中力的分解理解平面向量基本定理及其意義，并能熟練運用一組基底表示平面內的任一向量. 2.會用平面向量基本定理解決有關的向量問題.
學習活動
目標一：通過物理中力的分解理解平面向量基本定理及其意義，并能熟練運用一組基底表示平面內的任一向量. 任務1：根據平行四邊形法則對力F進行分解，然后回答下列問題. 如圖所示，一物體受力F作用，請根據實際受力情況，將力F分解到豎直與水平方向. 問題: (1)在對力F分解的過程當中，我們應用了什么法則？ (2)可不可以利用該法則在將力F分解到其他方向？試一試. (3)在力F分解為其他兩個力時，觀察其他兩個力的方向有什么特點？ 參考答案： (1)平行四邊形法則； (2)可以，略； (3)其它兩個力不在同一方向. 任務2：完成下列探究，回答問題，體會平面向量的基本定理. 如圖1，設是同一個平面內兩個不共線的向量，是這一平面內與都不共線的向量.如圖2所示，在平面內任取一點O，作，將按的方向分解. 問題: (1)如何將按方向分解？ (2)根據分解，如何用表示？ (3)用刻畫向量時，其系數唯一嗎？ 參考答案： (1)如圖，過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于點M；過C做平行于直線OA的直線，與直線OB交于點N，則. (2)由(1)知，分別是與共線的向量，所以，. (3)唯一. 理由：假設不唯一，即存在實數，使得，所以，所以，所以 【歸納總結】 平面向量基本定理： 如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，使. 其中若不共線，則叫做這一平面內所有向量的一個基底. 思考: 作為基底，選取的向量需要滿足什么條件？基底的選取唯一嗎？ 不同的基底，對應的是否相同？ 設是同一平面內所有向量的基底，當與中一個向量共線時，該如何表示？ 零向量能否作為基底向量？說明理由. 【歸納總結】 只有不共線的兩個向量才可以作為基底，基底的選取不是唯一的； 基底給定時，唯一確定的，但不同的基底，各有不同； 零向量不能作為基底中的向量. 練一練： 已知向量不共線，則下列各對向量可以作為平面內的一組基底的是（ ） A．與 B．與 C．與 D．與 參考答案： 解：只要兩向量不共線便可作為基底， 故對于A選項，，共線，不滿足； 對于B選項，，共線，不滿足； 對于C選項，共線，不滿足； 對于D選項，與不共線，故滿足. 故選：D. 任務3.利用向量的運算法則，用基底向量表示平面向量. 如圖所示，不共線，且，用表示. 參考答案： 解：因為，所以 思考: 1.觀察的系數以及A、B、P的位置關系，你能發現什么結論？ 2.觀察的系數，當時，點P的位置是怎樣的？ 參考答案： 設,若，則三點共線. ，若三點共線,則.特別地，當時，P為線段AB的中點.
目標二：會用平面向量基本定理解決有關的向量問題. 任務：根據平面向量基本定理，判斷三角形的形狀. 如圖CD是△ABC的中線，，用向量方法證明△ABC是直角三角形. 問題： 設，如何用表示向量 根據問題1.如何證明△ABC是直角三角形. 參考答案： 解：1.有題意可知，，； 2.，由知，所以，所以，所以△ABC是直角三角形. 思考： 平面向量基本定理在解題過程中起到什么作用，應用了什么數學思想？ 利用平面向量基本定理時，應該選擇什么向量作為基底？ 參考答案： 橋梁作用，利用了化歸思想. 2.利用平面向量基本定理時，應該選擇已知向量作為基底，即已知基底向量之間的模長關系，夾角關系. 練一練： 在中，，，，是邊上一點，，設，． （1）試用，表示； （2）求的值． 參考答案：（1）；（2）. （1）∵是邊上一點，，∴， 又∵，，， ∴ ． （2）∵，，， ∴ ， .
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “平面向量基本定理”、“非零向量”、“不共線向量”
2平面向量基本定理
學習目標 1.通過物理中力的分解理解平面向量基本定理及其意義，并能熟練運用一組基底表示平面內的任一向量. 2.會用平面向量基本定理解決有關的向量問題.
學習活動
目標一：通過物理中力的分解理解平面向量基本定理及其意義，并能熟練運用一組基底表示平面內的任一向量. 任務1：根據平行四邊形法則對力F進行分解，然后回答下列問題. 如圖所示，一物體受力F作用，請根據實際受力情況，將力F分解到豎直與水平方向. 問題: (1)在對力F分解的過程當中，我們應用了什么法則？ (2)可不可以利用該法則在將力F分解到其他方向？試一試. (3)在力F分解為其他兩個力時，觀察其他兩個力的方向有什么特點？ 任務2：完成下列探究，回答問題，體會平面向量的基本定理. 如圖1，設是同一個平面內兩個不共線的向量，是這一平面內與都不共線的向量.如圖2所示，在平面內任取一點O，作，將按的方向分解. 問題: (1)如何將按方向分解？ (2)根據分解，如何用表示？ (3)用刻畫向量時，其系數唯一嗎？ 【歸納總結】 思考: 作為基底，選取的向量需要滿足什么條件？基底的選取唯一嗎？ 不同的基底，對應的是否相同？ 設是同一平面內所有向量的基底，當與中一個向量共線時，該如何表示？ 零向量能作否作為基底向量？說明理由. 【歸納總結】 練一練： 已知向量不共線，則下列各對向量可以作為平面內的一組基底的是（ ） A．與 B．與 C．與 D．與 任務3.利用向量的運算法則，用基底向量表示平面向量. 如圖所示，不共線，且，用表示. 思考: 1.觀察的系數以及A、B、P的位置關系，你能發現什么結論？ 2.觀察的系數，當時，點P的位置是怎樣的？
目標二：會用平面向量基本定理解決有關的向量問題. 任務：根據平面向量基本定理，判斷三角形的形狀. 如圖CD是△ABC的中線，，用向量方法證明△ABC是直角三角形. 問題： 設，如何用表示向量 根據問題1.如何證明△ABC是直角三角形. 思考： 平面向量基本定理在解題過程中起到什么作用，應用了什么數學思想？ 利用平面向量基本定理時，應該選擇什么向量作為基底？ 練一練： 在中，，，，是邊上一點，，設，． （1）試用，表示； （2）求的值．
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “平面向量基本定理”、“非零向量”、“不共線向量”
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