資源簡介

平面向量的正交分解及坐標表示
學習目標 1.借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示. 2.會用坐標表示平面向量的加、減運算.
學習活動
目標一：借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示. 任務1：根據物體平衡，分析斜坡上物體受力情況，了解正交分解的概念. 我們知道任意一個向量都可以用該平面內兩個不共線向量表示，即任意一個向量都可以分解為同一平面內的兩個不共線向量. 如圖所示，一物體靜止在斜坡上. 思考： (1)該物體受到的重力產生哪兩種作用效果？ (2)根據作用效果對重力進行分解，作為基底的向量，其位置關系有什么特點？ 【歸納總結】 任務2：類比點的坐標表示，結合平面向量基本定理，理解向量的坐標表示. 如圖，設與x軸、y軸方向相同的單位向量分別為，取作為基底，將向量沿x軸、y軸分解，則由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x,y,使得. 這樣，平面內的任一向量都可由x,y唯一確定，我們把有序數對(x,y)叫做向量的坐標，記作. 其中，x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標,叫做向量的坐標表示. 問題： (1)坐標表示分別是什么？ (2)如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起始點作，則點A的位置與什么有關？點A的坐標是多少？ (3)點A的坐標與向量有什么聯系和區別？ 任務3：根據下列圖形，利用正交分解求解相關向量的坐標. 問題： (1)根據平行四邊形法則，可以沿x軸、y軸如何分解？ (2)如何用作為基底表示，其坐標表示是多少？ (3)的坐標是多少？ 【歸納總結】
目標二：會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算. 任務1：根據平面向量的坐標表示，探究向量坐標加減的運算法則. 已知則的坐標是多少？ 思考：向量坐標的加、減法運算是怎樣的？ 【歸納總結】 練一練： 已知，求的坐標. 任務2：探究如何利用點坐標求向量坐標. 如圖，已知點，連接OA，OB. 問題： (1)如何用坐標表示向量？ (2)向量該如何用表示，其坐標表示是多少？ 思考：向量的起點與終點坐標與向量坐標之間有什么關系？ 【歸納總結】 任務3：求出點的坐標，并歸納解題方法. 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求頂點D的坐標. 思考：這兩種解法在思想方法上有什么異同點？ 【歸納總結】
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “正交分解”、“向量加減運算”、“點坐標與向量坐標”.
2平面向量的正交分解及坐標表示
學習目標 1.借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示. 2.會用坐標表示平面向量的加、減運算.
學習活動
目標一：借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示. 任務1：根據物體平衡，分析斜坡上物體受力情況，了解正交分解的概念. 我們知道任意一個向量都可以用該平面內兩個不共線向量表示，即任意一個向量都可以分解為同一平面內的兩個不共線向量. 如圖所示，一物體靜止在斜坡上. 思考： (1)該物體受到的重力產生哪兩種作用效果？ (2)根據作用效果對重力進行分解，作為基底的向量，其位置關系有什么特點？ 參考答案： (1)沿斜坡向下，垂直斜坡向下. (2)兩個基底向量相互垂直（如圖）. 【歸納總結】 正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 任務2：類比點的坐標表示，結合平面向量基本定理，理解向量的坐標表示. 如圖，設與x軸、y軸方向相同的單位向量分別為，取作為基底，將向量沿x軸、y軸分解，則由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x,y,使得. 這樣，平面內的任一向量都可由x,y唯一確定，我們把有序數對(x,y)叫做向量的坐標，記作. 其中，x叫做在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標,叫做向量的坐標表示. 問題： (1)坐標表示分別是什么？ (2)如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起始點作，則點A的位置與什么有關？點A的坐標是多少？ (3)點A的坐標與向量有什么聯系和區別？ 參考答案： . 點A的位置與有關，由唯一確定，A（x，y）. 區別表示形式不同向量中間用等號連接，而點A（x，y）中間沒有等號意義不同點A（x，y）的坐標（x，y）表示點A在平面直角坐標系內的位置，的坐標（x，y）表示向量的大小，也表示向量的方向，另外（x，y）可以表示成點和向量.聯系當平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標與向量終點的坐標相同.
任務3：根據下列圖形，利用正交分解求解相關向量的坐標. 問題： (1)根據平行四邊形法則，可以沿x軸、y軸如何分解？ (2)如何用作為基底表示，其坐標表示是多少？ (3)的坐標是多少？ 參考答案： (1). (2). (3) 【歸納總結】 求向量坐標的兩種方法： (1)正交分解法：即將向量直接正交分解，用表示； (2)將向量平移，使起點與原點重合，讀出終點坐標.
目標二：會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算. 任務1：根據平面向量的坐標表示，探究向量坐標加減的運算法則. 已知則的坐標是多少？ 參考答案： 解：由題意知， 思考：向量坐標的加、減法運算是怎樣的？ 【歸納總結】 兩個向量的和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差） 練一練： 已知，求的坐標. 參考答案： 解： 任務2：探究如何利用點坐標求向量坐標. 如圖，已知點，連接OA，OB. 問題： (1)如何用坐標表示向量？ (2)向量該如何用表示，其坐標表示是多少？ 參考答案： 解：(1)， (2). 思考：向量的起點與終點坐標與向量坐標之間有什么關系？ 【歸納總結】 向量坐標等于此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標. 注：1.向量坐標只與起點、終點的相對位置有關，而與它們的具體位置無關； 2.當向量確定后，向量的坐標就是唯一確定，向量在平移前后，其坐標不變. 任務3：求出點的坐標，并歸納解題方法. 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是(-2，1)、(-1，3)、(3，4)，求頂點D的坐標. 參考答案： 解：（法1）設頂點D的坐標為(x,y). 頂點D坐標為(2,2). （法2）如圖，由向量加法的平行四邊形法則可知： , ,頂點D坐標為(2,2). 思考：這兩種解法在思想方法上有什么異同點？ 參考答案： 不同點：前者是利用“兩個向量相等，則它們坐標相等”解題過程中應用了方程思想；后者利用向量加法的平行四邊形法則求得向量的坐標，進而得到點D坐標. 相同點：同時用了數形結合思想方法. 【歸納總結】 求一個點的坐標時，可以利用向量相等，共線等條件，也可以轉化為求該點相對于坐標原點的位置向量的坐標.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “正交分解”、“向量加減運算”、“點坐標與向量坐標”.
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