資源簡介

平面幾何中的向量方法
學習目標 1.掌握用向量方法解決平面幾何問題的步驟，會用向量方法解決簡單的平面幾何問題.
學習活動
目標一：掌握用向量方法解決平面幾何問題的步驟，會用向量方法解決簡單的平面幾何問題. 任務1：利用向量的相關概念性質，將平面幾何元素及其表示轉化為向量及其運算. 由于向量的線性運算和數量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數量積表示出來，如何將以下平面幾何元素及其表示轉化為向量及其運算？ 幾何元素及其表示向量及其運算點A線段AB，A,B兩點的距離角直線A,B,C,三點共線直線
任務2：利用向量法證明幾何結論，歸納向量法的解題思路. 如圖，DE是△ABC的中位線，證明：. 問題： (1)利用初中方法如何證明？ (2)如何利用向量法證明？ 思考：利用向量方法解決幾何的步驟是哪些？ 【歸納總結】 任務3：利用向量法探究平行四邊形邊長與對角線的關系. 已知平行四邊形ABCD，你能發現對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關系嗎？ 問題： (1)如圖，矩形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關系？ (2)從矩形推廣到平行四邊形，這個結論還成立嗎？ 思考：如何用自然語言敘述這個關系式的意義呢？ 練一練： 如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.設B（a，0）,D（b，c）. 問題： (1)點C的坐標分別是多少？ (2)利用向量坐標法如何證明？
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 利用向量法解決幾何問題的三步曲是哪些？
2平面幾何中的向量方法
學習目標 1.掌握用向量方法解決平面幾何問題的步驟，會用向量方法解決簡單的平面幾何問題.
學習活動
目標一：掌握用向量方法解決平面幾何問題的步驟，會用向量方法解決簡單的平面幾何問題. 任務1：利用向量的相關概念性質，將平面幾何元素及其表示轉化為向量及其運算. 由于向量的線性運算和數量積運算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數量積表示出來，如何將以下平面幾何元素及其表示轉化為向量及其運算？ 幾何元素及其表示向量及其運算點A線段AB，A,B兩點的距離角直線A,B,C,三點共線直線
參考答案： 任務2：利用向量法證明幾何結論，歸納向量法的解題思路. 如圖，DE是△ABC的中位線，證明：. 問題： (1)利用初中方法如何證明？ 參考答案： 如圖：延長DE至點F,使DE=EF,連結CF. ∵E為AC中點，∴AE=EC.又∵DE=EF,∠AED=∠CEF ∴△AED≌△CEF(SAS).∴AD=CF,∠ADE=∠F ∴AB∥CF,即BD∥CF.又∵AD=BD,∴BD=CF. ∴四邊形DBCF為平行四邊形. ∴BC=DF=2DE,且DE∥BC (2)如何利用向量法證明？ 參考答案： 解：取為基底，因為D,E是AB，AC邊上的中點，從而.又,所以.于是DE∥BC，DE=BC. 思考：利用向量方法解決幾何的步驟是哪些？ 【歸納總結】 任務3：利用向量法探究平行四邊形邊長與對角線的關系. 已知平行四邊形ABCD，你能發現對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關系嗎？ 問題： (1)如圖，矩形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關系？ 參考答案： (2)從矩形推廣到平行四邊形，這個結論還成立嗎？ 參考答案： 第一步,建立平面幾何與向量的聯系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題； 取為基底向量，設，則. 第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關系: 上面兩式相加，得. 第三步，把運算結果“翻譯”成幾何關系: 思考：如何用自然語言敘述這個關系式的意義呢？ 參考答案： 平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍． 練一練： 如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.設B（a，0）,D（b，c）. 問題： (1)點C的坐標分別是多少？ (2)利用向量坐標法如何證明？ 參考答案： (1)由題可知，C（a+b,c）. (2)因為 所以.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 利用向量法解決幾何問題的三步曲是哪些？
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