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余弦定理
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.借助向量運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理. 2.能用余弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
情境：如圖所示： 量得島A與島C距離為1338m，量得島A與島B距離為700m，再利用儀器測(cè)出島A對(duì)島B和島C（即線段BC）的張角為，思考島B與島C的距離長(zhǎng)度是多少？ 目標(biāo)一：借助向量運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理. 任務(wù)1：根據(jù)向量推導(dǎo)出余弦定理公式. 我們知道兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，這說(shuō)明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的，也就是說(shuō)，三角形的其它邊、角都可以用這兩邊及其夾角來(lái)表示，那么，表示的公式是什么？如圖.在三角形ABC中，三個(gè)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,怎樣用邊a,b和角C表示邊c？ 問(wèn)題： (1)設(shè)，向量如何用表示？ (2)根據(jù)向量的有關(guān)性質(zhì)，如何用邊a,b和角C表示邊c？ 【歸納總結(jié)】 思考： 還能用其他方法證明余弦定理嗎？ 練一練： 如圖，島A與島C距離b為1338m，島A與島B距離為700m,利用儀器測(cè)出島A對(duì)島B和島C（即線段BC）的張角A為.求島B與島C的距離a長(zhǎng)度是多少？（結(jié)果保留到整數(shù)部位，） 任務(wù)2：根據(jù)余弦定理推導(dǎo)夾角公式，理解余弦定理與勾股定理的關(guān)系. 關(guān)于三角形的余弦定理公式為，，. 思考： (1)根據(jù)余弦定理公式，關(guān)于三角形的三個(gè)內(nèi)角表達(dá)形式是怎樣的？ (2)勾股定理是關(guān)于直角三角形的三邊關(guān)系，余弦定理是指三角形三邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系，據(jù)此說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)定理之間有什么關(guān)系？
目標(biāo)二：能用余弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 任務(wù)1：利用余弦定理判斷三角形的形狀. 在△ABC中，若，則△ABC的形狀為（　 ） A.鈍角三角形　 B.直角三角形 C.銳角三角形　 D.不能確定 練一練： △ABC中，若,則△ABC的形狀為（ ）. A.銳角　 B.直角 C.鈍角　 D.不能確定 【歸納總結(jié)】 任務(wù)2：利用余弦定理求解三角形. 在△ABC中，已知a= ,b=2, c=，求解三角形三個(gè)內(nèi)角. 思考： 根據(jù)余弦定理公式，歸納已知哪些條件可求三角形的邊長(zhǎng)、角？ 【歸納總結(jié)】
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)下列關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖. “余弦定理”、“應(yīng)用類型”
2余弦定理
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.借助向量運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理. 2.能用余弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
學(xué)習(xí)活動(dòng)
情境：如圖所示： 量得島A與島C距離為1338m，量得島A與島B距離為700m，再利用儀器測(cè)出島A對(duì)島B和島C（即線段BC）的張角為，思考島B與島C的距離長(zhǎng)度是多少？ 目標(biāo)一：借助向量運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，掌握余弦定理. 任務(wù)1：根據(jù)向量推導(dǎo)出余弦定理公式. 我們知道兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，這說(shuō)明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的，也就是說(shuō)，三角形的其它邊、角都可以用這兩邊及其夾角來(lái)表示，那么，表示的公式是什么？如圖.在三角形ABC中，三個(gè)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,怎樣用邊a,b和角C表示邊c？ 問(wèn)題： (1)設(shè)，向量如何用表示？ (2)根據(jù)向量的有關(guān)性質(zhì)，如何用邊a,b和角C表示邊c？ 參考答案： (1)根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可知. (2)由向量的性質(zhì)可知： 同理可得： 【歸納總結(jié)】 余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即 ， ， . 思考： 還能用其他方法證明余弦定理嗎？ 參考答案： 如圖所示，以CB所在的直線為x軸，過(guò)C點(diǎn)垂直于CB的直線為y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為： , 練一練： 如圖，島A與島C距離b為1338m，島A與島B距離為700m,利用儀器測(cè)出島A對(duì)島B和島C（即線段BC）的張角A為.求島B與島C的距離a長(zhǎng)度是多少？（結(jié)果保留到整數(shù)部位，） 參考答案： 解析：由余弦定理可知， m. 任務(wù)2：根據(jù)余弦定理推導(dǎo)夾角公式，理解余弦定理與勾股定理的關(guān)系. 關(guān)于三角形的余弦定理公式為，，. 思考： (1)根據(jù)余弦定理公式，關(guān)于三角形的三個(gè)內(nèi)角表達(dá)形式是怎樣的？ (2)勾股定理是關(guān)于直角三角形的三邊關(guān)系，余弦定理是指三角形三邊與其中一個(gè)角之間的關(guān)系，據(jù)此說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)定理之間有什么關(guān)系？ 參考答案： (1)，， (2)根據(jù)余弦定理可知，不妨設(shè)時(shí)，，此時(shí)有，即為勾股定理.因此余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.
目標(biāo)二：能用余弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 任務(wù)1：利用余弦定理判斷三角形的形狀. 在△ABC中，若，則△ABC的形狀為（　 ） A.鈍角三角形　 B.直角三角形 C.銳角三角形　 D.不能確定 參考答案： 根據(jù)余弦定理可知，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋訟為鈍角，故選A. 練一練： △ABC中，若,則A是（ ）. A.銳角 　 B.直角 C.鈍角　 D.不能確定 參考答案： 根據(jù)余弦定理可知，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋訟為銳角，故選A. 思考：如何用余弦定理判斷三角形形狀？ 【歸納總結(jié)】 設(shè)a是最長(zhǎng)的邊，則 （1）△ABC是鈍角三角形； （2）△ABC是直角三角形； （3）△ABC是銳角三角形； 任務(wù)2：利用余弦定理求解三角形. 在△ABC中，已知a= ,b=2, c=，求解三角形三個(gè)內(nèi)角. 參考答案： 解：，因?yàn)椋裕唬驗(yàn)椋裕? 思考： 根據(jù)余弦定理公式，歸納已知哪些條件可求三角形的邊長(zhǎng)、角？ 【歸納總結(jié)】 （1）已知兩邊和夾角求對(duì)邊 （2）已知三邊求角度 （3）已知兩邊和一邊的對(duì)角求對(duì)另一邊
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)下列關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識(shí)導(dǎo)圖. “余弦定理”、“應(yīng)用類型”
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