資源簡介

正弦定理
學習目標 1.借助向量運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握正弦定理. 2.掌握正弦定理的適用條件，能用正弦定理解決簡單的實際問題.
學習活動
情境：如圖，設A，B兩點在河的兩岸，測量者為了得到A，B兩點之間的距離．測量者在B的同側，在所在的河岸選定一個點C，測出BC的距離是20m，∠B=45°，∠C=60°，根據這些數據能用前面學習的余弦知識解決這個問題嗎？ 目標一：借助向量運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握正弦定理. 任務：利用向量法推導正弦定理. 我們知道“大邊對大角，小邊對小角”，這是關于三角形邊和角的定性關系，那么三角形的邊和角是否存在定量關系？ 如圖所示，在Rt△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊. 問題： 1.根據三角函數關系說說之間的關系？ 2.對于任意三角形，上述關系是否還成立？說明理由. 思考： 如圖，c是圓O的直徑，R是圓O的半徑，根據正弦定理，說說與半徑R有什么關系？借此歸納與R存在什么關系？ 【歸納總結】 練一練： 如圖，設A，B兩點在河的兩岸，測量者為了得到A，B兩點之間的距離．測量者在B的同側，在所在的河岸選定一個點C，測出BC的距離是20m，∠B=45°，∠C=60°，如何利用正弦定理求AB之間的距離
目標二：掌握正弦定理的適用條件，能用正弦定理解決簡單的實際問題. 任務：利用正弦定理解三角形，歸納正弦定理適用條件. 在△ABC中，已知，求解這個三角形的邊長a. 思考： 為什么利用正弦函數計算角C會有兩個值？ 結合目標一的練一練，小組討論歸納正弦定理的適用條件有哪些？ 【歸納總結】 練一練1： 判斷滿足下列的三角形的個數: (1)b=11, a=20, B=30° (2)c=54, b=39, C=120° (3)b=26, c=15, C=30° (4)a=2,b=6,A=30° 練一練2： 的內角，，的對邊分別為，，，已知，，．求的值；
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “正弦定理”、“應用類型”
2課時15 正弦定理
學習目標 1.借助向量運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握正弦定理. 2.掌握正弦定理的適用條件，能用正弦定理解決簡單的實際問題.
學習活動
情境：如圖，設A，B兩點在河的兩岸，測量者為了得到A，B兩點之間的距離．測量者在B的同側，在所在的河岸選定一個點C，測出BC的距離是24 m，∠B=45°，∠C=60°，根據這些數據能用前面學習的余弦知識解決這個問題嗎？ 目標一：借助向量運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握正弦定理. 任務：利用向量法推導正弦定理. 我們知道“大邊對大角，小邊對小角”，這是關于三角形邊和角的定性關系，那么三角形的邊和角是否存在定量關系？ 如圖所示，在Rt△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊. 問題： 1.根據三角函數關系說說之間的關系？ 2.對于任意三角形，上述關系是否還成立？說明理由. 參考答案： 1.根據直角三角形的三角函數可知，，，所以,所以. 2.成立.如圖， （I）當三角形是銳角三角形時，在銳角 ABC中，過點A作與垂直的單位向量，則與的夾角為，與的夾角為. 因為，所以，得，即. 也即，所以. 過點C作與垂直的單位向量，可得.綜上可得. （Ⅱ）當三角形是鈍角三角形時，如圖， 在鈍角 ABC中，過點A作與垂直的單位向量，則與的夾角為，與的夾角為.同理可得. 思考： 如圖，c是圓O的直徑，R是圓O的半徑，根據正弦定理，說說與半徑R有什么關系？借此歸納與R存在什么關系？ 參考答案： 由圖可知,因為在中，，所以在中，，所以在中有.又因在圓O上，不論怎么移動，上述結論都成立.所以對任意，都有. 【歸納總結】 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即. 推論： ； . 變形： ； 練一練： 如圖，設A，B兩點在河的兩岸，測量者為了得到A，B兩點之間的距離．測量者在B的同側，在所在的河岸選定一個點C，測出BC的距離是20 m，∠B=45°，∠C=60°，如何利用正弦定理求AB之間的距離 參考答案： .根據正弦的兩角和公式可得，由正弦定理可知，，所以，所以m.
目標二：掌握正弦定理的適用條件，能用正弦定理解決簡單的實際問題. 任務：利用正弦定理解三角形，歸納正弦定理適用條件. 在△ABC中，已知，求解這個三角形的邊長a. 參考答案： 根據正弦定理，得.因為c>b,,所以.于是，或. 當時，.此時； 當時，.此時 思考： 為什么利用正弦函數計算角C會有兩個值？ 結合目標一的練一練，小組討論歸納正弦定理的適用條件有哪些？ 參考答案： 在區間(0,π)內，余弦函數單調遞減，所以利用余弦函數求角，只有一解；正弦函數在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，所以利用正弦函數求角，可能有兩解. 【歸納總結】 1.正弦定理的適用條件： 已知兩角及任一邊，求其他兩邊和一角； （2）已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）. 2.正弦定理多解問題：當知兩邊及一邊的對角，求另一邊的對角的正弦值時，若正弦值=1，則一解且為直角；若正弦值≠1，則該對角為銳角或鈍角（可能1解可能2解及無解）. 練一練1： 判斷滿足下列的三角形的個數: (1)b=11, a=20, B=30° (2)c=54, b=39, C=120° (3)b=26, c=15, C=30° (4)a=2,b=6,A=30° 參考答案： （1）2解；（2）1解；（3）2解；（4）無解. 練一練2： 的內角，，的對邊分別為，，，已知，，．求的值； 參考答案： 由正弦定理知，，因為，，， 所以，所以.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “正弦定理”、“應用類型”
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