資源簡介

余弦定理、正弦定理應用舉例
學習目標 1.了解實際問題中常用的測量相關術語，能夠運用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離、高度、角度的實際問題.
學習活動
目標：了解實際問題中常用的測量相關術語，能夠運用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離、高度、角度的實際問題. 任務1：利用余弦定理、正弦定理解決不可測量的距離問題. 情景1：如圖所示，A，B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A，B兩點間的距離的方法.并求出A，B間的距離. 問題： (1)如圖，若在河這邊取一點C，根據測角儀可以測出的大小，回顧正弦、余弦定理，據此能求出邊AB的距離嗎？ (2)如圖，若在河這邊取兩點C、D，且DC=2km ，連接AC、BD，根據測角儀測得∠ACB=45°，∠ACD=60°，∠BDA=∠BDC=30°,此時根據正弦定理與余弦定理能求出邊AB的距離嗎？說明理由. 思考：還有其他方法計算A，B兩點間的距離嗎？ 【知識講解】 基線：是指在測量過程中，我們把根據測量的需要而確定的線段，如題中的線段CD. 性質：在測量過程中，應根據實際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度.一般來說，基線越長，測量的精確度越高. 任務2：利用余弦定理、正弦定理解決不可測量的高度問題. 【知識講解】 1.坡度：斜面與地平面所成的角度. 2.仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.如圖所示: . 情景2：如圖，AB是一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法，求出建筑物的高度. 問題： (1)若AB的底部可以到達，那么應該如何設計方案，使得可以計算出建筑物的高度？ (2)結合問題(1)的方案，若AB的底部不可以到達，那么應該如何調整問題(1)的方案？根據調整的方案可以計算出建筑物的高度是多少？（結果保留三位有效數字） 練一練： 如圖所示，要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求電視塔的高度． 任務3.利用余弦定理、正弦定理解決實際問題中的角度問題. 【知識講解】 1.方位角：從某點的指北方向線順時針方向至目標方向線間的水平夾角. 2.方向角：從正北或正南方向到目標方向所形成的小于90°的角. 情景3：位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20 n mile的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救。甲船立即前往營救，同時把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距7 n mile的C處的乙船，那么乙船前往營救遇險漁船時的目標方向線（由觀測點看目標的視線）的方向是北偏東多少度（精確到 ）？需要航行的距離是多少海里（精確到1 n mile）？ 思考：結合任務1、2、3，小組討論利用正余弦定理解決實際問題的步驟是怎樣的？ 【歸納總結】
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 正、余弦定理的實際應用有哪些？用正、余弦定理解決實際問題的步驟是怎樣的？
2余弦定理、正弦定理應用舉例
學習目標 1.了解實際問題中常用的測量相關術語，能夠運用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離、高度、角度的實際問題.
學習活動
目標：了解實際問題中常用的測量相關術語，能夠運用余弦定理、正弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離、高度、角度的實際問題. 任務1：利用余弦定理、正弦定理解決不可測量的距離問題. 情景1：如圖所示，A，B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A，B兩點間的距離的方法.并求出A，B間的距離. 問題： (1)如圖，若在河這邊取一點C，根據測角儀可以測出的大小，回顧正弦、余弦定理，據此能求出邊AB的距離嗎？ (2)如圖，若在河這邊取兩點C、D，且DC=2km ，連接AC、BD，根據測角儀測得∠ACB=45°，∠ACD=60°，∠BDA=∠BDC=30°,此時根據正弦定理與余弦定理能求出邊AB的距離嗎？說明理由. 參考答案： (1)不能，理由：正弦定理適用條件是：①已知兩邊和其中一邊的對角；②已知兩角和任意一邊.余弦定理適用條件是：①已知兩邊及其夾角；②已知三邊；③已知兩邊及其任意一角.而題中只能測量出一個角，其他均不可測量，故不可以. (2)可以，將情境問題轉化為數學問題，畫出其幾何圖象，并通過儀器測出，DC=2km. 解：在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=2km,∠BCA=,∠ACD=,∠CDB=∠ADB=.在中,由正弦定理得,，在中,由余弦定理得. 思考：還有其他方法計算A，B兩點間的距離嗎？ 【知識講解】 基線：是指在測量過程中，我們把根據測量的需要而確定的線段，如題中的線段CD. 性質：在測量過程中，應根據實際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度.一般來說，基線越長，測量的精確度越高. 任務2：利用余弦定理、正弦定理解決不可測量的高度問題. 【知識講解】 1.坡度：斜面與地平面所成的角度. 2.仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角.如圖所示: . 情景2：如圖，AB是一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法，求出建筑物的高度. 問題： (1)若AB的底部可以到達，那么應該如何設計方案，使得可以計算出建筑物的高度？ (2)結合問題(1)的方案，若AB的底部不可以到達，那么應該如何調整問題(1)的方案？根據調整的方案可以計算出建筑物的高度是多少？（結果保留三位有效數字） 參考答案： (1)如圖，在地面上隨機取一點G，然后用測量儀測出點C處的仰角，并測出GB的距離，然后利用直角三角形的正切公式求出AB的高度. (2)如圖所示，在地面上取G、H兩點，并使得B，G，H三點共線，然后分別在G、H處，測得A處的仰角分別為，且GH=100m,DH=1.5m. 所以，在中，.所以m，所以m. 練一練： 如圖所示，要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求電視塔的高度． 參考答案： 解：設電視塔AB的高為x，則在Rt△ABC中， 由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC×CDcos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°， 解得x＝40， 答：電視塔的高為40 m. 任務3.利用余弦定理、正弦定理解決實際問題中的角度問題. 【知識講解】 1.方位角：從某點的指北方向線順時針方向至目標方向線間的水平夾角. 2.方向角：從正北或正南方向到目標方向所形成的小于90°的角. 情景3：位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20 n mile的B處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救。甲船立即前往營救，同時把消息告知位于甲船南偏西，且與甲船相距7 n mile的C處的乙船，那么乙船前往營救遇險漁船時的目標方向線（由觀測點看目標的視線）的方向是北偏東多少度（精確到 ）？需要航行的距離是多少海里（精確到1 n mile）？ 參考答案： 根據題意，畫出示意圖，如圖. 由余弦定理，得 ，于是 由正弦定理得，于是 由于，所以.因此，乙船前往營救遇險漁船時的方向約是北偏東 .大約需要航行24n mile. 思考：結合任務1、2、3，小組討論利用正余弦定理解決實際問題的步驟是怎樣的？ 【歸納總結】 運用正、余弦定理解決實際問題的基本步驟： (1)分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖（一個或幾個三角形）； (2)建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與待求量盡可能地集中在有關三角形中，建立一個解三角形的數學模型； (3)求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數學模型的解； (4)檢驗：檢驗所求的解是否符合實際問題，從而得出實際問題的解.
學習總結
任務：回答下列問題，構建知識導圖. 正、余弦定理的實際應用有哪些？用正、余弦定理解決實際問題的步驟是怎樣的？
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