資源簡介

復數的乘、除運算的三角表示及其幾何意義
學習目標 理解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.
學習活動
目標：理解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義. 任務1：類比復數乘法運算探究復數三角表示的乘法運算及其幾何意義. 問題： 1.我們知道復數可以進行加、減、乘、除運算，請回憶一下，復數代數形式乘法運算的法則是什么？ 參考答案： 上節課，我們學習了復數一種新的表示方法—三角形式，那么復數的加法和乘法運算是否能用三角形式來表示呢（設復數分別寫成三角形式， ），并試著用文字語言來表述復數乘法的三角表示公式？ 參考答案： 3.我們知道復數的加、減運算具有幾何意義，那么復數乘法很可能也具有幾何意義.思考討論復數乘法運算的三角表示有什么幾何意義呢？ 參考答案： 思考：和的幾何意義是什么？ 參考答案： 【概念講解】 練一練： 已知i為虛數單位，，，求,請把結果化為代數形式,并作出幾何解釋. 參考答案： 任務2：類比復數三角表示的乘法運算及其幾何意義探究復數三角表示的除法運算及其幾何意義. 問題：除法運算是乘法運算的逆運算. 根據復數乘法運算的三角表示，復數除法的三角表示是怎樣的？如何用文字語言加以表示嗎？ 【概念講解】 練一練： 計算： 參考答案：
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. 關鍵詞：“復數乘、除法三角表示”、“復數乘、除法幾何意義”.
2復數的乘、除運算的三角表示及其幾何意義
學習目標 理解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義.
學習活動
目標1：理解復數乘、除運算的三角表示及其幾何意義. 任務1：類比復數乘法運算探究復數三角表示的乘法運算及其幾何意義. 問題： 1.我們知道復數可以進行加、減、乘、除運算，請回憶一下，復數代數形式乘法運算的法則是什么？ 參考答案：設，所以 ，. 上節課，我們學習了復數一種新的表示方法—三角形式，那么復數的加法和乘法運算是否能用三角形式來表示呢（設復數分別寫成三角形式， ），并試著用文字語言來表述復數乘法的三角表示公式？ 參考答案： ，即積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和. 3.我們知道復數的加、減運算具有幾何意義，那么復數乘法很可能也具有幾何意義.思考討論復數乘法運算的三角表示有什么幾何意義呢？ 參考答案：兩個復數相乘時，可以像下圖那樣，先分別畫出與對應的向量，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點O按順時針方向旋轉角），再把它的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是積. 思考：和的幾何意義是什么？ 參考答案：事實上，由 ，可得的幾何意義是“將對應的向量繞點O按逆時針方向旋轉，得到-1對應的向量”.同樣，由 ，可得的幾何意義是“將-1對應的向量繞點O按逆時針方向旋轉π，得到1對應的向量” 【概念講解】 復數三角形式的乘法法則： . 這就是說，兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和. 復數乘法的幾何意義： 兩個復數相乘時，可以像下圖那樣，先分別畫出與對應的向量，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點O按順時針方向旋轉角），再把它的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是積.這就是復數乘法的幾何意義.簡記為 ：模數相乘，幅角相加. 練一練： 已知i為虛數單位，，，求,請把結果化為代數形式,并作出幾何解釋. 參考答案：， . 首先作與對應的向量，，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉，再將其長度伸長為原來的倍，繞點O按逆時針方向旋轉這樣得到一個長度為4，輻角為的向量,即為積所對應的向量. 任務2：類比復數三角表示的乘法運算及其幾何意義探究復數三角表示的除法運算及其幾何意義. 問題：除法運算是乘法運算的逆運算. 根據復數乘法運算的三角表示，復數除法的三角表示是怎樣的？如何用文字語言加以表示嗎？ 【概念講解】 復數三角形式的除法法則： 設，，且， 因為 ，所以根據復數除法的定義，有. 這就是說，兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差.簡記為 ：模數相除，幅角相減. 練一練： 計算： 參考答案： .
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. 關鍵詞：“復數乘、除法三角表示”、“復數乘、除法幾何意義”.
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