資源簡介

直線與平面垂直
學習目標 1．知道直線與平面垂直的相關概念，理解直線和平面垂直的判定定理，并能運用其解決相關問題. 2．理解直線與平面所成角的概念，并會求一些簡單的直線與平面所成角.
學習活動
導入：在日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認識，比如旗桿與地面的位置關系，給我們以直線與平面垂直的形象，那什么叫做直線與平面垂直呢？怎樣用數(shù)學語言刻畫直線與平面垂直呢？ 目標一：知道直線與平面垂直的相關概念，理解直線和平面垂直的判定定理，并能運用其解決相關問題. 任務1：觀察實例，歸納直線與平面垂直的概念. (1)如圖,在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC. 隨著時間的變化,影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直 (2)旗桿所在直線AB是否與平面內(nèi)所有直線垂直？你能用簡潔的語言給出直線與平面垂直的定義嗎？ 【新知講解】 一般地，如果直線與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面a互相垂直，記作.直線叫做平面a的垂線，平面a叫做直線的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足. 畫法：畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示. 思考： 1.定義中的“任意”一詞能修改為“無數(shù)”嗎？ 2.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，將這一結(jié)論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條 為什么 參考答案： 1.不能，如圖. 2.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 【新知講解】 直線與平面垂直的相關定義：過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離. 任務2：根據(jù)直線與平面垂直的定義，探究直線與平面垂直的判定定理. 根據(jù)定義，判斷直線與平面垂直，需要驗證一條直線與一個平面內(nèi)的所有直線都垂直可行嗎？類比平面與平面平行的判定定理，有沒有判定直線與平面垂直的簡易可行的方法？ 如圖準備一塊三角形的紙片ABC,過ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD,將翻折后的紙片堅起放置在桌面上（BD,DC與桌面接觸）. 問題： (1)折痕AD與桌面垂直嗎？ (2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？為什么？ 參考答案： 容易發(fā)現(xiàn)，AD所在直線與桌面所在平面α垂直(如下圖)的充要條件是折痕AD是BC邊上的高。這時，由于翻折之后垂直關系不變，所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD、DC都垂直.如圖： (3)結(jié)合上述實例，如何判定直線與平面垂直？ 【新知講解】 直線與平面垂直的定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直。 符號語言：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α. 思考：兩條相交直線可以確定一個平面，兩條平行直線也可以確定一個平面，那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”嗎？你能從向量的角度解釋原因嗎？如果改為“無數(shù)條直線”呢？ 參考答案： 不能，平面內(nèi)的兩條相交直線代表兩個不共線向量，而平面內(nèi)的任意向量可以表示為它們的線性組合，從而平面內(nèi)的兩條相交直線可以“代表”這個平面上的任意一條直線；而兩條平行直線所表示的向量是共線的，用它們不能“表示”這個平面內(nèi)與之不同方向的直線． 任務3：根據(jù)線面垂直的判定定理，判定直線與平面垂直. 如圖，已知，求證： 參考答案： 證明：如圖，在平面內(nèi)取兩條相交直線m、n. ∵直線，∴ , .∵，∴, . 又 , ，m、n是兩條相交直線，∴ 【歸納總結(jié)】 判定直線與平面垂直的常用命題： 練一練： 如圖，在三棱錐S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，且SA＝SB＝SC.求證：SD⊥平面ABC 參考答案： 證明：因為SA＝SC，D是AC的中點，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD.由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，所以SD⊥平面ABC. 【方法歸納】 利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟： (1)在這個平面內(nèi)找兩條直線，使它們和這條直線垂直； (2)確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線； (3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論.
目標二：理解直線與平面所成角的概念，并會求一些簡單的直線與平面所成角. 任務1：觀察圖象，歸納直線與平面所成角的概念. 直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況.那不垂直呢？如圖所示： (1)類比異面直線的刻畫，思考如何刻畫這種不垂直關系？ (2)什么是直線與平面的夾角？范圍是什么？ 【新知講解】 直線和平面所成的角：如圖，一條直線PA和一個平面α相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角. 其中： （1）l為斜線； （2）l與的交點A為斜足； （3）直線OA為在平面上的射影； （4）直線l與射影OA所成角∠PAO(角θ)為直線l與平面上所成角； （5）直線與平面所成角θ取值范圍：0° ≤ θ ≤ 90°. 任務2：求線面角. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1DCB1所成的角. (1)直線A1B和平面A1DCB1所成的角的平面角是什么？如何構建？ (2)如何求的值？ 參考答案： (1)連接，交于點O，再連接. 因為是在正方體中，所以平面，所以是直線與平面所成的角. (2)設正方體的邊長為1. 所以在△A1BO中，，. 所以，所以直線與平面所成的角的大小等于30°. 思考：結(jié)合上面實例，說說如何求解異面直線所成角？ 【方法歸納】 求斜線與平面所成角的步驟： (1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關，才能便于計算. (2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角. (3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.
學習總結(jié)
任務：回答下列問題，回顧本課所學. 1.本節(jié)課你學了哪些知識？ 2.直線與平面垂直的定義與判定和前面學過的直線與平面平行的定義與判定在知識結(jié)構，思想方法等方面有哪些共同點和不同點？
2直線與平面垂直
學習目標 1．知道直線與平面垂直的相關概念，理解直線和平面垂直的判定定理，并能運用其解決相關問題. 2．理解直線與平面所成角的概念，并會求一些簡單的直線與平面所成角.
學習活動
導入：在日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認識，比如旗桿與地面的位置關系，給我們以直線與平面垂直的形象，那什么叫做直線與平面垂直呢？怎樣用數(shù)學語言刻畫直線與平面垂直呢？ 目標一：知道直線與平面垂直的相關概念，理解直線和平面垂直的判定定理，并能運用其解決相關問題. 任務1：觀察實例，歸納直線與平面垂直的概念. (1)如圖,在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC. 隨著時間的變化,影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直 (2)旗桿所在直線AB是否與平面內(nèi)所有直線垂直？你能用簡潔的語言給出直線與平面垂直的定義嗎？ 【新知講解】 思考： 1.定義中的“任意”一詞能修改為“無數(shù)”嗎？ 2.在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，將這一結(jié)論推廣到空間，過一點垂直于已知平面的直線有幾條 為什么 【新知講解】 任務2：根據(jù)直線與平面垂直的定義，探究直線與平面垂直的判定定理. 根據(jù)定義，判斷直線與平面垂直，需要驗證一條直線與一個平面內(nèi)的所有直線都垂直可行嗎？類比平面與平面平行的判定定理，有沒有判定直線與平面垂直的簡易可行的方法？ 如圖準備一塊三角形的紙片ABC,過ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD,將翻折后的紙片堅起放置在桌面上（BD,DC與桌面接觸）. 問題： (1)折痕AD與桌面垂直嗎？ (2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直？為什么？ (3)結(jié)合上述實例，如何判定直線與平面垂直？ 【新知講解】 思考：兩條相交直線可以確定一個平面，兩條平行直線也可以確定一個平面，那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”嗎？你能從向量的角度解釋原因嗎？如果改為“無數(shù)條直線”呢？ 任務3：根據(jù)線面垂直的判定定理，判定直線與平面垂直. 如圖，已知，求證： 【歸納總結(jié)】 練一練： 如圖，在三棱錐S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，且SA＝SB＝SC.求證：SD⊥平面ABC 【方法歸納】
目標二：理解直線與平面所成角的概念，并會求一些簡單的直線與平面所成角. 任務1：觀察圖象，歸納直線與平面所成角的概念. 直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況.那不垂直呢？如圖所示： (1)類比異面直線的刻畫，思考如何刻畫這種不垂直關系？ (2)什么是直線與平面的夾角？范圍是什么？ 【新知講解】 任務2：求線面角. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1DCB1所成的角. (1)直線A1B和平面A1DCB1所成的角的平面角是什么？如何構建？ (2)如何求的值？ 思考：結(jié)合上面實例，說說如何求解異面直線所成角？ 【方法歸納】
學習總結(jié)
任務：回答下列問題，回顧本課所學. 1.本節(jié)課你學了哪些知識？ 2.直線與平面垂直的定義與判定和前面學過的直線與平面平行的定義與判定在知識結(jié)構，思想方法等方面有哪些共同點和不同點？
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