資源簡介

復習課 立體幾何初步
學習目標 1.理解單元知識架構，能建構本單元知識體系. 2.了解化歸與轉化思想，掌握其在立體幾何中的應用.
學習活動
目標一：理解單元知識架構，建構本單元知識體系. 任務：根據下列問題,回顧本單元知識，建構單元知識框圖. 什么是基本幾何體的結構特征？你能用基本幾何體的結構特征解釋身邊物體結構嗎？舉例說明. 如何畫出空間幾何體直觀圖？其畫圖步驟有哪些？ 如何計算柱、錐、臺、球的表面積和體積？柱、錐、臺體積公式之間有怎樣的聯系？ 平面的三個基本事實是什么？它是如何刻畫平面“平”、“無限延展”的？ 我們應用了哪些思想和方法研究直線與平面的位置關系？其位置關系又有哪些？如何判定？有什么性質？ 【歸納總結】
目標二：了解化歸與轉化的思想，掌握其在立體幾何中的應用. 化歸與轉化思想：將所研究的對象在一定條件下轉化并歸結為另一種研究對象的思想.一般將有待解決的問題進行轉化，使之成為大家熟悉的或容易解決的問題模式.在本章中，轉化思想體現得淋漓盡致，比如求體積、距離有時要用到頂點的轉化，球的切接問題要將空間幾何圖形轉化為平面幾何圖形，位置關系的證明、空間角的求解轉化到三角形中求解等等． 任務1：利用等體積思想求空間幾何體的體積和距離. 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為，D為BC中點，則三棱錐C1-B1DA的體積為（ ） (　　) A．3　 B． C．1 D． 參考答案： 解：在△ABC中，D為BC中點，則有AD＝AB＝，＝×2×＝.又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD 平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A-B1DC1底面上高．∴＝××＝1.故選C. 【方法歸納】 等體積轉換法： (1)用等體積法求空間幾何體的體積：選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換． (2)用等體積法求點到面的距離：通常在三棱錐中，轉換底面與頂點，利用等體積求距離． 練一練： 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，則點B到平面D1AC的距離等于（ ） (　　) A．　 B．　　 C．1　　 D． 參考答案： 如圖，連接BD1，易知D1D就是三棱錐D1-ABC的高，AD1＝CD1＝，取AC的中點O，連接D1O，則D1O⊥AC，所以D1O＝＝.設點B到平面D1AC的距離為h，則由，得·h＝S△ABC·D1D．因為＝D1O·AC＝××2＝，S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2，所以h＝.故選B． 任務2：利用轉化思想求解與球有關的組合體中的外接球的表面積. 已知三棱錐A-BCD中，△ABD與△BCD是邊長為2的等邊三角形且二面角A-BD-C為直二面角，求三棱錐A-BCD的外接球的表面積. (　　) 參考答案： 取BD中點M，連接AM，CM.取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分點P，Q，過P作平面ABD的垂線，過Q作平面CBD的垂線，兩垂線相交于點O，則點O為外接球的球心，其中OQ＝，CQ＝.連接OC，則外接球的半徑R＝OC＝，所以表面積為4πR2＝． 【方法歸納】 空間與平面轉換：與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接．解決與球有關的組合體問題，不僅用到高維、也要用到低維．球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題． 練一練： 正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內有一個球與四個面都相切，則棱錐的內切球的半徑為________． 參考答案： 如圖，過點P作PD⊥平面ABC于點D，連接AD并延長交BC于點E，連接PE. ∵△ABC是正三角形，∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．∵AB＝2，∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.∵PD＝1，∴三棱錐的體積V＝×3×1＝.設球的半徑為r，以球心O為頂點，三棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，則(3＋3)r＝，r＝＝－1. 任務3：利用平行與垂直的轉化關系，證明線面平行、垂直問題. 如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD邊中點，且AE⊥CD，又G，F分別為DA，EC的中點，將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC． (1)求證：AE⊥平面CDE； (2)求證：FG∥平面BCD； (3)在線段AE上找一點R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說明理由． 參考答案： (1)證明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC． 因為DE∩EC＝E，所以AE⊥平面CDE. (2)證明：取AB的中點H，連接GH，FH，所以GH∥BD，FH∥BC．因為GH 平面BCD，BD 平面BCD，所以GH∥平面BCD．同理FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H，所以平面FHG∥平面BCD．因為GF 平面FHG，所以GF∥平面BCD． (3)取線段AE的中點R，則平面BDR⊥平面DCB． 證明如下：取線段DC的中點M，取線段DB的中點S， 連接MS，RS，BR，DR，EM.則MS=BC且MS//BC，又RE=BC且RE//BC，所以MS=RE且MS//RE，所以四邊形MERS是平行四邊形，所以RS∥ME.在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中點，所以EM⊥DC．由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，所以BC⊥平面CDE.因為EM 平面CDE，所以EM⊥BC．因為BC∩CD＝C，所以EM⊥平面BCD． 因為EM∥RS，所以RS⊥平面BCD．因為RS 平面BDR，所以平面BDR⊥平面DCB． 【方法歸納】 平行與垂直的轉換：平行、垂直關系的證明的核心是轉化，空間向平面的轉化，即面面 線面 線線．相互轉化關系如下： 練一練： 如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是平行四邊形，點M在線段EF上．求證：BC⊥平面ACFE； 參考答案： 證明：在梯形ABCD中，因為AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，所以四邊形ABCD是等腰梯形，∠ADC＝∠BCD＝120°，所以∠DCA＝∠DAC＝30°，所以∠ACB＝90°，所以AC⊥BC．又平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE. 任務4：利用化歸與轉化思想求解空間角. 如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2. (1)求異面直線PA與BC所成角的正切值； (2)求證：平面PDC⊥平面ABCD； (3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值． 參考答案： (1)在四棱錐P-ABCD中，因為底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC．故∠PAD為異面直線PA與BC所成的角．又因為AD⊥PD，在Rt△PDA中，tan∠PAD＝＝2，所以異面直線PA與BC所成角的正切值為2. (2)證明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD．又因為AD⊥PD，CD∩PD＝D，所以AD⊥平面PDC．而AD 平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD． (3)如圖,在平面PDC內，過點P作PE⊥CD交直線CD于點E，連接EB．由于平面PDC⊥平面ABCD，而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線，故PE⊥平面ABCD．由此得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角． 在△PDC中,由PD＝CD＝2，PC＝2可得∠PCD＝30°. 在Rt△PEC中，PE＝PCsin 30°＝.由AD∥BC，AD⊥平面PDC，得BC⊥平面PDC，因此BC⊥PC． 在Rt△PCB中，PB＝＝. 在Rt△PEB中，sin∠PBE＝＝. 所以直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為. 【方法歸納】 空間角向平面角的轉換： (1)求異面直線所成的角，一般解法是通過平移轉化為平面角，將兩條異面的直線平移到相交狀態，作出等價的平面角，再解三角形即可． (2)求線面角，找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足，把線面角轉化到一個三角形中求解． (3)求二面角，利用幾何體的特征作出所求二面角的平面角，再把該平面角轉化到某三角形或其他平面圖形中求解． 練一練： 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2，側面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等邊三角形． (1)求證：BD⊥PC； (2)求二面角B-PC-D的大小． 參考答案： (1)證明：如圖，取AB的中點O，連接PO，CO. 因為△PAB是等邊三角形，所以PO⊥AB． 又側面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD． 又BD 平面ABCD，所以PO⊥BD．又AB＝BC＝2AD＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°，所以△DAB≌△OBC．所以∠BCO＝∠ABD，所以BD⊥OC．又OC，PO 平面POC，OC∩PO＝O，所以BD⊥平面POC．又PC 平面POC，所以BD⊥PC． (2)如圖，取PC的中點E，連接BE，DE.因為PB＝BC，所以BE⊥PC．又BD⊥PC，BE∩BD＝B，所以PC⊥平面BDE.所以PC⊥DE，所以∠BED是二面角B-PC-D的平面角(或其補角)．因為BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PAB⊥平面ABCD，所以BC⊥平面PAB．又AD∥BC，所以AD⊥平面PAB．所以BC⊥PB，AD⊥PA．由平面幾何知識，可求得BE＝PC＝，PD＝BD＝，所以DE＝.因為BE2＋DE2＝BD2，所以∠BED＝90°，即二面角B-PC-D的大小為90°.
學習總結
任務：回顧本單元內容，完成下表.
2復習課 立體幾何初步
學習目標 1.理解單元知識架構，能建構本單元知識體系. 2.了解化歸與轉化思想，掌握其在立體幾何中的應用.
學習活動
目標一：理解單元知識架構，建構本單元知識體系. 任務：根據下列問題,回顧本單元知識，建構單元知識框圖. 什么是基本幾何體的結構特征？你能用基本幾何體的結構特征解釋身邊物體結構嗎？舉例說明. 如何畫出空間幾何體直觀圖？其畫圖步驟有哪些？ 如何計算柱、錐、臺、球的表面積和體積？柱、錐、臺體積公式之間有怎樣的聯系？ 平面的三個基本事實是什么？它是如何刻畫平面“平”、“無限延展”的？ 我們應用了哪些思想和方法研究直線與平面的位置關系？其位置關系又有哪些？如何判定？有什么性質？ 【歸納總結】
目標二：了解化歸與轉化的思想，掌握其在立體幾何中的應用. 化歸與轉化思想：將所研究的對象在一定條件下轉化并歸結為另一種研究對象的思想.一般將有待解決的問題進行轉化，使之成為大家熟悉的或容易解決的問題模式.在本章中，轉化思想體現得淋漓盡致，比如求體積、距離有時要用到頂點的轉化，球的切接問題要將空間幾何圖形轉化為平面幾何圖形，位置關系的證明、空間角的求解轉化到三角形中求解等等． 任務1：利用等體積思想求空間幾何體的體積和距離. 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為，D為BC中點，則三棱錐C1-B1DA的體積為（ ） (　　) A．3　 B． C．1 D． 【方法歸納】 練一練： 在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，則點B到平面D1AC的距離等于（ ） (　　) A．　 B．　　 C．1　　 D． 任務2：利用轉化思想求解與球有關的組合體中的外接球的表面積. 已知三棱錐A-BCD中，△ABD與△BCD是邊長為2的等邊三角形且二面角A-BD-C為直二面角，求三棱錐A-BCD的外接球的表面積. (　　) 【方法歸納】 練一練： 正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內有一個球與四個面都相切，則棱錐的內切球的半徑為________． 任務3：利用平行與垂直的轉化關系，證明線面平行、垂直問題. 如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD邊中點，且AE⊥CD，又G，F分別為DA，EC的中點，將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC． (1)求證：AE⊥平面CDE； (2)求證：FG∥平面BCD； (3)在線段AE上找一點R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說明理由． 【方法歸納】 練一練： 如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是平行四邊形，點M在線段EF上．求證：BC⊥平面ACFE； 任務4：利用化歸與轉化思想求解空間角. 如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2，PD＝CD＝2. (1)求異面直線PA與BC所成角的正切值； (2)求證：平面PDC⊥平面ABCD； (3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值． 【方法歸納】 練一練： 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2，側面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等邊三角形． (1)求證：BD⊥PC； (2)求二面角B-PC-D的大小．
學習總結
任務：回顧本單元內容，完成下表.
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